4.1.1函数奇偶性的定义及判断 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1　函数的奇偶性
4.1.1　函数奇偶性的定义及判断
核心知识目标 核心素养目标
1.理解函数奇偶性的定义.
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题. 1.借助函数奇偶性的特征的学习,培养直观想象素养.
2.通过函数奇偶性的判断和证明,培养逻辑推理素养.
知识探究·素养培育
探究点一
函数的奇偶性
如何用数量关系来刻画函数图象的这种对称性呢
提示:若函数f(x)满足f(-x)=f(x),则f(x)的图象关于y轴对称;
若函数f(x)满足f(-x)=-f(x),则f(x)的图象关于原点对称.
偶函数 奇函数
条件 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,如果对任意的x∈A,有-x∈A
. .
结论 函数f(x)是偶函数 函数f(x)是奇函数
图象性质 关于 对称 关于 对称
知识点:函数的奇偶性
f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
y轴
原点
[思考] 奇(偶)函数的定义域具有什么特征 它是函数具有奇偶性的什么条件
提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件.
解:(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),因此函数f(x)是奇函数.
解:(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,
所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(4)函数定义域是R,且f(-x)=|-x+3|+|-x-3|=|x-3|+|x+3|=f(x),因此函数f(x)是偶函数.
方法总结
根据函数解析式判断函数y=f(x)奇偶性的步骤
(1)求出函数的定义域.
(2)判断定义域是否关于原点对称,若否,则函数不具有奇偶性,结束判断;若是,则进行下一步.
(3) x∈I(I为定义域),计算f(-x),若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;若f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),则f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
易错警示
(1)若函数解析式不是最简形式,需先化简函数解析式;
(2)若函数f(x)=0或可化为f(x)=0,且定义域关于原点对称,则函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数.
探究点二
函数奇偶性的图象特征
[问题2] 如何作出函数y=f(|x|)的图象
提示:因为函数y=f(|x|)是偶函数,所以我们只需先作出y轴右侧的部分,然后把右侧的图象对称到y轴的左侧即可.
变式训练2-1:已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出f(x)在区间[-5,0]上的图象;
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
解:(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称,由y=f(x)在区间[0,5]上的图象,可知它在区间[-5,0]上的图象,如图所示.
(2)由图象知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
方法总结
涉及奇偶函数图象问题,常利用奇函数图象关于原点对称、偶函数图象关于y轴对称解题.
探究点三
利用函数的奇偶性求解析式中的参数
[问题3] (1)对于定义域内的任意x,若f(-x)+f(x)=0,则函数f(x)是否具有奇偶性 若f(-x)-f(x)=0呢
(2)若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)的值可求吗 若f(x)为偶函
数呢
提示:(1)由f(-x)+f(x)=0得f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
由f(-x)-f(x)=0得f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.
(2)若f(x)为奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0;若f(x)为偶函数,无法求出f(0)的值.
变式训练3-1:若函数f(x)=x2+(a+5)x+b是偶函数,定义域为[a,2b],则a+b=
　　　　.
方法总结
(1)定义域含参数:奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数;
(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是关于x的恒等式求解;
(3)若函数y=f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0;
(4)若函数y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则b=0.
备用例题
[例1] 设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　)
(A)f(x)g(x)是偶函数
(B)|f(x)|g(x)是奇函数
(C)f(x)|g(x)|是奇函数
(D)|f(x)g(x)|是奇函数
解析:对于A,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),是奇函数,故A错误;
对于B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),是偶函数,故B错误;
对于C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,是奇函数,故C正确;
对于D,|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,是偶函数,故D错误.故选C.
(2)用定义法证明:函数f(x)在区间(-2,2)上是减函数;
(3)解关于x的不等式f(x-1)+f(x)<0.
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