4.1.2函数奇偶性的应用 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
4.1.2　函数奇偶性的应用
核心知识目标 核心素养目标
1.会根据函数的奇偶性求函数值或解析式.
2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题. 1.利用奇偶性求函数的解析式,培养逻辑推理素养.
2.借助奇偶性与单调性的应用,提升逻辑推理、数学运算素养.
知识探究·素养培育
探究点一
利用奇偶性求函数值
[例1] 设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于(　　)
(A)3 (B)1 (C)-1 (D)-3
解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,
所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1.
又因为f(x)为定义在R上的奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-(2+2×1-1)=-3.故选D.
解析:由奇函数的性质可知,
f(0)=a=0.
所以当x≥0时,
f(x)=x2-2x,
所以f(-3)=-f(3)=-3.
变式训练1-1:定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时,f(x)=x2-2x+a,
则a=　　　　,f(-3)=　　　　.
答案:0　-3
方法总结
根据函数的奇偶性及函数在定义域某区间上的解析式求值时,应结合奇偶函数性质将待求值转化为定义域已知的区间上求解或根据函数解析式特征变形求解.
易错警示
本例中当x≥0时,函数解析式含参数b,因此需利用奇函数在原点处有定义,则f(0)=0的性质,求出b的值,然后根据奇函数性质求f(-1)的值.
探究点二
利用奇偶性求函数的解析式
[例2] (1)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求f(x)的解析式;
变式训练2-1:已知f(x)为R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,则当x<0时,
f(x)=(　　)
(A)x2-2x (B)-x2+2x
(C)x2+2x (D)-x2-2x
解析:设x<0,-x>0,即f(x)=-f(-x)=-x2+2x.故选B.
变式训练2-2:已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+x-1,则函数f(x)的解析式为　　　　.
方法总结
已知函数在某区间上的解析式及函数的奇偶性,求其对称区间或整个定义域上的解析式的方法如下:
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式就把x设在哪个区间上;
(2)将已知区间上对应的解析式代入;
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而得出f(x)的解析式.
易错警示
涉及奇函数在R上的解析式,不要忘记x=0时,f(0)=0的特殊情况.
探究点三
函数奇偶性与单调性的综合
[例3] (1)已知奇函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)+f(a-1)<0,
则实数a的取值范围是(　　)
变式训练3-1:若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,则不等式f(x)+f(x-2)≥0的解集为(　　)
(A)(-∞,2] (B)(-∞,1]
(C)[1,+∞) (D)[2,+∞)
解析:因为f(x)是奇函数,在(-∞,0]上单调递减,则f(x)在[0,+∞)上单调递减,
所以f(x)在R上单调递减.
又由f(x)是奇函数,则不等式f(x)+f(x-2)≥0可化为f(x-2)≥f(-x),
所以x-2≤-x,即x≤1.故选B.
方法总结
(1)根据奇偶函数的性质求一端是0的不等式的解集,常根据函数的奇偶性质作出函数图象,结合图象直观求解.
(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
(3)根据奇函数的函数值大小求解与自变量有关的参数问题,可利用奇函数的性质将自变量转化到函数的同一个单调区间上,再利用函数的单调性,去掉 “f”转化为自变量的大小.
(4)根据偶函数的性质将函数值的大小转化为自变量的大小,可以利用偶函数的性质f(x)=f(-x)=f(|x|),转化为函数在(0,+∞)上的单调性去掉“f”求解.
拓展探索素养培优
(3)在第一象限内,函数图象向上与y轴无限接近、向右与直线y=ax无限接近;在第三象限内,函数图象向下与y轴无限接近,向左与直线y=ax无限接近.该函数的图象如图所示.
该函数的单调性可以使用单调性的定义加以证明(此处略),在(0,+∞)上的最小值可以由基本不等式得出,在(-∞,0)上有最大值可由函数是奇函数得出.
(2)若函数f(x)≤5在x∈[1,4]上恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)由题意知,a+b+5+a-b+5=14,解得a=2.
当b=0时,函数为偶函数,
当b≠0时,函数为非奇非偶函数.
备用例题
[例2] 已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(-1)=-1,当a,b∈[-1,1],且a+b≠0时,(a+b)[f(a)+f(b)]>0成立,若f(x)t∈[-1,1]恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
(A)(-∞,-2)∪{0}∪(2,+∞)
(B)(-∞,-2)∪(2,+∞)
(C)(-2,2)
(D)(-2,0)∪(0,2)
[例3] 定义在R上的函数f(x)具有性质:(1)f(x+y)=f(x)+f(y);(2)当x>0时,f(x)单调递增,则不等式f(x+1)+f(3x-3)+4x>2的解集为　　　　.
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