4.2简单幂函数的图象和性质 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
4.2　简单幂函数的图象和性质
知识探究·素养培育
探究点一
[问题1] 给出下列五个问题:
①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数.
②如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.
③如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.
幂函数
(1)上述5个问题中,若自变量都用x表示,因变量用y表示,则对应的函数关系式分别是什么
(2)观察这些函数的解析式,它们有什么共同的结构特征
(2)它们均可表示为y=xα的形式.
知识点1:幂函数的概念
一般地,形如 (α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.
[思考] y=1(x≠0)是幂函数吗
提示:是.因为它可写成y=x0(x≠0)的形式.
y=xα
方法总结
幂函数解析式的特征
(1)xα的系数是1;
(2)xα的底数是自变量,指数α为常数;
(3)项数只有一项.
探究点二
幂函数的图象与性质
提示:作出函数图象如图.
这些函数都过点(1,1),且当指数大于0时函数在第一象限单调递增,当指数小于0时函数在第一象限单调递减.
知识点2:幂函数的图象与性质
{x|x≠0}
[0,+∞)
[0,+∞)
{y|y≠0}
[0,+∞)
奇偶性 函数 函数 函数 函数 .
函数
单调性 在(-∞,+∞)
上单调 . 在(-∞,0]上单调 ,在(0,+∞)上单调 . 在(∞,+∞)
上单调 . 在(-∞,0)上单调 ,在(0,+∞)上单调 . 在[0,+∞)上单调 .
定点 .
奇
偶
奇
奇
非奇非偶
递增
递减
递增
递减
递减
递增
(1,1)
递增
解析:由幂函数的图象在第一象限的单调性可得,m2+2m-3<0,解得-3答案:C1,C4,C3,C2
方法总结
(1)幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第二或第三象限内出现要看幂函数的奇偶性;
(2)幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1的右侧,按逆时针方向,图象所对应的幂指数依次增大(如图);
(3)根据图象研究函数解析式时,应结合函数在第一象限的单调性确定y=xα中α的符号,根据图象的对称性,确定α是奇数还是偶数.
拓展探索素养培优
幂函数性质的应用
备用例题
解:(1)因为f(x)为幂函数,所以(m-1)2=1,
所以m=0或2.
当m=0时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,满足题意.
当m=2时,f(x)=x-2在(0,+∞)上单调递减,不满足题意,舍去.
所以m=0.
(2)当x∈[1,2]时,记f(x)的值域为集合A,若集合B=[2-k,4-k],且A∪B=A,求实数k的取值范围.
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