《创新方案》2013-2014学年高中数学北师大版必修一章末复习方案与全优评估：第二章 函数（含高频考点例析）

1．函数及其表示
(1)函数的概念：
函数是建立在两个非空数集之间的一种特殊的对应关系，即是一种特殊的映射．函数具有三个要素，即定义域、对应法则和值域，三者缺一不可．其中最重要的是定义域和对应法则，值域由定义域和对应法则确定．研究函数时应注意定义域优先的原则，其题型主要有以下几类：
①已知f(x)的函数表达式，求定义域；
②已知f(x)的定义域，求f(φ(x))的定义域，其实质是由φ(x)的取值范围，求出x的取值范围；
③已知f(φ(x))的定义域，求f(x)的定义域，其实质是由x的取值范围，求φ(x)的取值范围．
(2)相同函数：
判断两个函数是否相同，应抓住两点：①定义域是否相同；②对应法则是否相同．同时应注意，解析式可以化简．
(3)映射的概念：
①映射是建立在两个非空集合之间的一种特殊的对应关系，这种对应满足存在性与唯一性．判断给出的对应f：A→B是否为映射，可从给出的对应是否满足(i)A中的不同元素可以有相同的像，即允许多对一，但不允许一对多；(ii)B中的元素可以无原像，即B中可以有“空元”．
②特殊的映射：一一映射：如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任一元素，在集合A中都有且只有一个原像，这时这两个集合的元素之间存在一一对应的关系，并把这个映射叫作从集合A到集合B的一一映射．
③函数是一种特殊的映射，它是数集到数集的映射．
2．函数的基本性质
函数的奇偶性、单调性与最值是函数最重要的性质，在每年的高考中均有体现．常见问题有判断函数的奇偶性、单调性，求单调区间，求函数的最值或求某变量的取值范围、奇偶性与单调性的应用等．
(1)函数的奇偶性：
具有奇偶性的函数的特点：
a．对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称；
b．整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；
c．可逆性：f(－x)＝f(x)?f(x)是偶函数；
f(－x)＝－f(x)?f(x)是奇函数；
d．图像特征：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．
(2)函数单调性：
①单调性的判定：
判断函数的单调性一般有两种方法：一是定义法；二是图像法．其中定义法具有严格的推理性，在证明单调性时通常使用此法，其基本思路是：
a．设元：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1b．作差：即作f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))；
c．变形：即通过通分、配方、因式分解等手段，对差式向有利于判断符号的方向变形；
d．定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；
e．结论：根据定义得出结论．
②求函数的单调区间：
求函数的单调区间通常可采用：
a．利用已知函数的单调性；
b．定义法：先求定义域，再利用单调性定义；
c．图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间．
函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制，例如函数y＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”．
3．二次函数的图像与性质
(1)对于任何二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可以通过配方化为y＝a(x＋)2＋＝a(x－h)2＋k，其中h＝－，k＝.熟练掌握“配方法”是掌握二次函数性质的关键．
(2)研究二次函数时应注意二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中系数a，b，c对函数图像及性质的影响：
①二次项系数a的正负决定着函数图像的开口方向、开口大小和单调性；
②一次项系数b是否为0决定着函数的奇偶性，当b＝0时，函数为偶函数；当b≠0时，函数为非奇非偶函数．
③c是否为0决定着函数图像是否经过原点．
④a和b共同决定着函数的对称轴，a，b，c共同决定着函数的顶点位置．
[例1]　求下列函数的解析式：
(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1；
(2)f(x＋1)＝2x2＋5x＋2；
(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.
[解]　(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
∵f(f(x))＝4x－1，∴f(ax＋b)＝4x－1.
∴a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x－1，
∴解得或
∴f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(2)令x＋1＝t，则x＝t－1.
∴f(t)＝2(t－1)2＋5(t－1)＋2＝2t2＋t－1.
∴f(x)＝2x2＋x－1.
(3)由题意知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.①
将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②
联立①②消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，
即f(x)＝x2－2x.
[借题发挥]
求函数的解析式常见的类型及求法
(1)待定系数法．若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
(2)换元法．已知函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围．
(3)消元法．若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(－x)、f()等，可根据已知等式构造其他等式组成方程组，通过消元法解方程组求出f(x)．
(4)求实际问题中的函数解析式，需引入合适的变量，根据数学的有关知识建立函数解析式，但应注意自变量的实际取值范围．
(5)利用函数的奇偶性．
1．解答下列各题：
(1)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－x＋1，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)＝x2－2x，g(x)＝x2＋1，求f(g(x))的解析式．
(3)已知f(x)＋2f()＝3x，求f(x)的解析式；
(4)若f(x)＝f(－x)·x＋10，求函数的解析式f(x)．
解：(1)∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，
∴f(0)＝0.
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋x＋1＝x2＋x＋1，即－f(x)＝x2＋x＋1，
∴x＜0时，f(x)＝－x2－x－1.
∴f(x)＝
(2)f(g(x))＝(x2＋1)2－2(x2＋1)＝x4－1.
(3)由f(x)＋2f()＝3x，
知f()＋2f(x)＝.
由上面两式联立消去f()，可得f(x)＝－x；
(4)由f(x)＝f(－x)·x＋10，
知f(－x)＝f(x)·(－x)＋10，
联立两式消去f(－x)，
得f(x)＝－f(x)·x·x＋10x＋10，
所以f(x)＝.
[例2]　求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝x4＋2x2－2；
(3)y＝x－.
[解]　(1)y＝＝＝－1＋.
∵x2＋1≥1，∴0＜≤1.
∴－1＜－1≤0.故函数的值域为(－1，0]；
(2)函数的定义域是R，设x2＝t，则t≥0.
则y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3，t≥0.
∵y＝(t＋1)2－3在t≥0上是单调递增的，
∴当t＝0时，y取最小值－2.
∴函数y＝x4＋2x2－2的最小值为－2.
∴y≥－2，故值域为[－2，＋∞)；
(3)法一：由函数的解析式可知，1－2x≥0，∴x≤.
∵函数y＝x，y＝－在(－∞，]上均单调递增，
∴函数y＝x－在(－∞，]上均单调递增，
∴y≤－＝，
∴原函数的值域为(－∞，]．
法二：设＝t，则x＝(t≥0)，
∴y＝－t＝－(t＋1)2＋1(t≥0)，
可知函数y＝－(t＋1)2＋1在[0，＋∞)上单调递减，
∴y≤－(0＋1)2＋1＝，
∴原函数的值域为(－∞，]．
[借题发挥]　求函数的值域视解析式特点常用以下方法：
(1)直接法．即由函数的定义域和对应法则直接导出值域．
(2)图像法．即利用函数的图像求解．
(3)配方法：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，通常先经过配方化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，借助于二次函数的单调性或直接根据其图像求解．
(4)换元法．形如y＝ax＋b＋(ac≠0)的函数，可通过换元转化为二次函数在特定区间上的值域问题，如本题(3)的解法二．
(5)利用函数的单调性．根据函数的单调性及定义域求函数的最值，从而确定值域．
但须注意的是，求函数的值域必须考察函数的定义域，注意定义域对值域的约束作用，这一点往往易被忽略．
2．求下列函数的值域．
(1)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5]；
(2)y＝x＋.
解：(1)配方得y＝(x－2)2＋2.
∵x∈[1，5]，由图知2≤y≤11，
即函数的值域为[2，11]；
(2)令u＝，则u≥0，x＝，
∴y＝＋u＝(u＋1)2≥.
∴函数的值域为[，＋∞)．
[例3]　定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，则(　　)
A．f(3)＜f(－2)＜f(1)　　 B．f(1)＜f(－2)＜f(3)
C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(－2)
[解析]　对任意x1x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有
＜0，
即x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，因此函数f(x)在[0，＋∞]上是减函数，又f(x)在R上是偶函数，
故f(－2)＝f(2)，
由于3＞2＞1＞0，故有f(3)＜f(－2)＜f(1)．
[答案]　A
[借题发挥]
若将上题中的条件“＜0”改为“＞0”，则结果又如何？
3．设函数f(x)＝是奇函数(a，b，c都是整数)，且f(1)＝2，f(2)<3，f(x)在[1，＋∞)上是增加的．
(1)求a，b，c的值；
(2)当x<0时，f(x)的单调性如何？证明你的结论．
解：(1)由f(1)＝2，得＝2.
由f(2)<3，得<3.
∵f(x)为奇函数，故f(x)的定义域关于原点对称，
又f(x)的定义域为{x|x≠－}(显然b≠0，
否则f(x)为偶函数)，
∴－＝0，即c＝0.
于是得f(x)＝x＋，且＝2，<3.
∴<3.
∴0∴b＝1，∴a＝1.
故a＝b＝1，c＝0，符合f(x)在[1，＋∞)上是增加的；
(2)f(x)在(－∞，－1]上是增函数，
在[－1，0)上是减函数．
证明如下：
由(1)知f(x)＝x＋，
设x1而f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)(1－)＝(x1x2－1)
当－1≤x1显然x1－x2<0，0∴f(x1)－f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在[－1，0)上是减函数．
当x1显然x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)∴f(x)在(－∞，－1]上是增函数．
综上，f(x)在(－∞，－1]上是增函数，
在[－1，0)上是减函数.
[例4]　对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x＞0时，f(x)＞1.f(3)＝4.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)求函数f(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值．
[解]　(1)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则x2－x1＞0，
∴f(x2－x1)＞1.
f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)
＝f(x2－x1)－1＞0.
∴f(x1)＜f(x2)，即f(x)是R上的增函数；
(2)令x＝y＝1，则f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝f(2)＋f(1)－1＝3f(1)－2.
又∵f(3)＝4，∴3f(1)－2＝4，
∴f(1)＝2，f(2)＝2f(1)－1＝3，
由(1)知f(x)是R上的增函数，
∴f(x)在[1，2]上是增函数，
∴f(x)的最小值为f(1)＝2，最大值为f(2)＝3.
[借题发挥]
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题，抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性，或是求函数值、解析式等．主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上的恒等式，利用变量代换解题．
4．已知函数y＝f(x)对任意x，y∈R均有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－
(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；
(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值，最小值．
解：(1)证明：令x＝y＝0，得f(0)＝0，
令x＝－y，得f(－x)＝－f(x)．
在R上任取x1，x2，且x1＜x2，则x2－x1＞0，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．
∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0，
即f(x2)＜f(x1)．
∴f(x)在R上为单调减函数；
(2)由(1)知f(x)在[－3，3]上是减函数．
∴f(－3)最大，f(3)最小．
f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×(－)＝－2，
∴f(－3)＝－f(3)＝2.
故f(x)在[－3，3]上最大值为2，最小值为－2.
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝(m＋2)xm是幂函数，则实数m等于(　　)
A．0　　　　　　　　　　　 B．1
C．－1 D．2
解析：由已知m＋2＝1，即m＝－1.
答案：C
2．给定映射f：(x，y)→(x＋2y，2x－y)，在映射f下，(3，1)的原像为(　　)
A．(1，3) B．(1，1)
C．(3，1) D．(，)
解析：由已知得得
答案：B
3．若函数f(x)＝则f(f(1))等于(　　)
A．2 B．4
C．1 D．3
解析：f(x)＝12＝1，∴f(f(1))＝f(1)＝1.
答案：C
4．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．[1，2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，2) D．[1，＋∞)
解析：由得x≥1且x≠2，∴函数f(x)的定义域为[1，2)∪(2，＋∞)．
答案：A
5．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图像是(　　)
解析：因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以图像开口向上，且与y轴交于负半轴上．
答案：D
6．已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2，3)内是单调函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3
C．a≤－3或a≥－2 D．－3≤a≤－2
解析：y＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2，由已知得，a≤2或a≥3.
答案：A
7．min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：∵(x＋2)－(10－x)＝2(x－4)，
∴f(x)＝
∴当0≤x≤4时，f(0)≤f(x)≤f(4)，即2≤f(x)≤6；
当x>4时，f(x)∴f(x)max＝6.
答案：C
8．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：依题意，f(－4)＝16－4b＋c＝f(0)＝c，
∴b＝4，f(－2)＝4－2b＋c＝－2，∴c＝2.
∴f(x)＝
∴f(x)＝x即为x2＋4x＋2＝x(x≤0)或x＝2(x>0)，∴x＝－1，－2或2.
答案：C
9．函数y＝f(x)在(0，2)上是减函数，且关于x的函数y＝f(x＋2)是偶函数，那么(　　)
A．f()＜f(3)＜f()
B．f()＜f(3)＜f()
C．f(3)＜f()＜f()
D．f(3)＜f()＜f()
解析：∵y＝f(x＋2)是偶函数，
∴f(x＋2)＝f(－x＋2)．
∴f(x)的对称轴是x＝2.
∴f()＝f()．
∵y＝f(x)在(0，2)上是减函数且关于x＝2对称，
∴y＝f(x)在(2，4)上是增函数．
∴f()＜f(3)＜f()＝f()．
答案：A
10．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为(　　)
A．3 800元 B．5 600元
C．3 818元 D．3 000元
解析：设这个人的稿费为x元，纳税金额为y元，
依题意得y＝
令0.14(x－800)＝420，
解得x＝3 800，∴这个人的稿费为3 800元．
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．函数y＝x2的图像先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得图像对应的函数解析式是y＝________．
解析：函数y＝x2的图像向左平移1个单位，得函数y＝(x＋1)2，再将函数y＝(x＋1)2向上平移3个单位，得函数y＝(x＋1)2＋3.
答案：y＝(x＋1)2＋3
12．若函数f(x)的定义域为[－1，2]，则函数f(3－2x)的定义域是________．
解析：∵f(x)的定义域为[－1，2]，
∴f(3－2x)中，－1≤3－2x≤2，得≤x≤2，
∴f(x)的定义域为[，2]．
答案：[，2]
13．已知f(2x＋1)＝3x－4，f(a)＝4，则a＝________．
解析：设t＝2x＋1，则x＝.
∴f(t)＝3·－4＝－.
∴f(a)＝－＝4.∴a＝.
答案：
14．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝1＋，则f(x)的解析式为________．
解析：当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f(－x)＝1＋＝1－，
又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－1＋，
且f(0)＝0，∴f(x)＝
答案：f(x)＝
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋2(1－2a)x＋6在(－∞，－1)上为减函数．
(1)求f(2)的取值范围；
(2)比较f(2a－1)与f(0)的大小．
解：(1)二次函数f(x)图像的对称轴为x＝2a－1，
∴函数在(－∞，2a－1]上为减函数．
∴－1≤2a－1.∴a≥0.
而f(2)＝22＋2(1－2a)×2＋6＝－8a＋14，
∵a≥0，∴f(2)＝14－8a≤14；
(2)∵当x＝2a－1时，函数y＝f(x)取最小值，
∴f(2a－1)≤f(0)．
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．若f(3)＝1，且f(a)＞f(a－1)＋2，求实数a的取值范围．
解：∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，
∴2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(9)．
∴不等式f(a)＞f(a－1)＋2可化为f(a)＞f(a－1)＋f(9)＝f(9(a－1))．
∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，
∴解之得1＜a＜.
∴实数a的取值范围是(1，)．
17．(本小题满分12分)设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．
解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增知，f(x)在(0，＋∞)上递减，
因为2a2＋a＋1＝2(a＋)2＋＞0，
2a2－2a＋3＝2(a－)2＋＞0，
且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，
所以2a2＋a＋1＞2a2－2a＋3，
即3a－2＞0，所以a＞.
18(本小题满分14分)根据市场调查，某商品在最近的20天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝
销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝－t＋30，(0≤t≤20，t∈N)，设商品的日销售额为F(t)(销售量与价格之积)．
(1)求商品的日销售额F(t)的解析式；
(2)求商品的日销售额F(t)的最大值．
解：(1)F(t)＝
即F(t)＝
(2)当0≤t<10，t∈N时，F(t)＝－(t－5)2＋625.
∴F(t)的图像的对称轴为t＝5.
∴t＝5时，F(t)max＝625.
当10≤t≤20，t∈N时，F(t)＝(t－35)2－25.
∴F(t)的图像的对称轴为t＝35.
∴F(t)在[10，20]上是减函数．
∴t＝10时，F(t)max＝600.
∵625>600，
∴t＝5时，F(t)max＝625.
即日销售额F(t)的最大值为625元．