3.4对数函数的图象和性质的应用(习题课)课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
3.4　对数函数的图象和性质的应用(习题课)
核心知识目标 核心素养目标
1.掌握对数函数的性质及应用.
2.在解决简单实际问题的过程中,体会对数函数是一类重要的函数
模型. 借助对数函数图象及性质的应用,培养逻辑推理及数学运算素养.
知识探究·素养培育
探究点一
探究角度1　利用单调性比较大小
对数函数的单调性及应用
[例1] 比较下列各组数的大小.
(4)因为log1.11.7>log1.11=0,
log0.21.7所以log1.11.7>log0.21.7.
变式训练1-1:比较下列各组中两个值的大小:
(1)ln 2,ln 0.9;
(2)loga5.1,loga5.9(a>0,且a≠1);
解:(1)函数y=ln x在(0,+∞)上是增函数,因为2>0.9,所以ln 2>ln 0.9.
(2)当0因为5.1<5.9,所以loga5.1>loga5.9.
当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数,
因为5.1<5.9,
所以loga5.1(3)log67,log76;
(4)log3π,log20.8.
解:(3)因为log67>log66=1,log76所以log67>log76.
(4)因为log3π>log31=0,log20.8所以log3π>log20.8.
方法总结
比较两个对数值大小的方法
(1)logab与logac型(同底数)
①构造函数y=logax;
②判断b与c的大小关系;
③利用y=logax的单调性比较大小.
(2)logac与logbc型(同真数)
①在同一坐标系中作y=logax与y=logbx的图象;
②作直线x=c与两图象分别交于A,B两点;
③根据A,B点高低判断对数值的大小.
(3)logab与logcd型(底数不同,真数不同)
①取中间值,通常为1,0,logad或logcb;
②把两个对数值与中间值进行比较;
③利用不等关系的传递性,间接得到对数值的大小关系.
解析:①因为22a+1>25a-2,所以2a+1>5a-2,即3a<3,所以a<1,即0所以实数a的取值范围是(0,1).
[例2] 已知a>0且满足不等式22a+1>25a-2,则实数a的取值范围是　　　　　;不等式loga(3x+1)探究角度2　对数不等式的解法
变式训练2-1:若对数函数y=f(x)的图象过点(4,2),则不等式f(2x-3)>f(x)的解集是　　　　.
答案:(3,+∞)
探究角度3　复合型对数函数的单调性
[例3] (1)函数y=lg(-x2+2x+3)的单调递增区间是　　　　;
(1)解析:由-x2+2x+3>0得-1设u(x)=-x2+2x+3,
则u(x)在区间(-1,1]上单调递增,
在区间[1,3)上单调递减.
又y=lg x在(0,+∞)上单调递增,
所以函数y=lg(-x2+2x+3)的单调递增区间是(-1,1].
答案:(-1,1]
(2)讨论函数f(x)=loga(3x-1)的单调性.
方法总结
解决对数型复合函数单调性问题的思路
(1)对数型复合函数一般可以分为两类:一类是外层函数为对数函数,即y=logaf(x)型;另一类是内层函数为对数函数,即y=f(logax)型.
①对于y=logaf(x)型复合函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0②研究y=f(logax)型复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.
(2)研究对数型复合函数的单调性,一定要注意先研究函数的定义域,也就是要坚持“定义域优先”的原则.
探究点二
对数(型)函数的值域与最值问题
[例4] (1) 函数f(x)=log2(x2-2x+3),x∈[0,3]的值域为(　　)
(A)[1,1+log23] (B)[log23,1+log23]
(C)[1,2] (D)[1+log23,+∞)
解析:(1)令t=x2-2x+3,x∈[0,3],
所以t∈[2,6]时,f(t)=log2t∈[1,1+log23].故选A.
答案:(1)A
(A)(-2,4) (B)[-2,4)
(C)(-∞,-2] (D){-2}
(2)已知函数g(x)=tx-2+2(t>0,t≠1)的图象过定点(a,b),则函数f(x)=logb
(-ax2+2ax+7)在区间[-1,2]上的值域为(　　)
(A)[0,1] (B)[1,2]
(C)[0,2] (D)[1,3]
解析:(2)由题意知a=2,b=3,所以函数f(x)=log3(-2x2+4x+7),令m=-2x2+
4x+7,x∈[-1,2],则m∈[1,9],所以函数f(x)在区间[-1,2]上的值域为[0,2].故选C.
方法总结
(1)对数函数的值域为(-∞,+∞).
(2)求形如y=logaf(x)(a>0且a≠1)的复合函数值域的步骤:①求函数的定义域;②将原函数拆分成y=logau(a>0且a≠1),u=f(x)两个函数;③由定义域求u的取值范围;④利用函数y=logau(a>0且a≠1)的单调性求值域.同理可求y=f(logax)(a>0且a≠1)型复合函数的值域.
探究点三
对数函数的实际应用
变式训练5-1:抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%,则至少要抽　　 　　次(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈
0.477 1).
答案:8
拓展探索素养培优
对数函数的综合应用
[典例] 已知函数f(x)=loga(1+x)+loga(1-x)(a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)证明:f(x)为偶函数;
(3)求关于x的不等式f(x)≥loga(x2+x)的解集.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:对数函数的图象与性质.
关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.
学科素养:逻辑推理,数学运算.
(2)证明:因为f(x)的定义域为(-1,1),关于坐标原点对称,
f(-x)=loga(1-x)+loga(1+x)=f(x),
故f(x)为偶函数.
(3)解:f(x)=loga(1+x)+loga(1-x)=loga(1+x)(1-x)=loga(1-x2),
f(x)≥loga(x2+x),
即loga(1-x2)≥loga(x2+x).
(1)求a,b的值及函数的定义域;
(2)证明f(x)的单调性(要求用定义证明).
备用例题
[例1] (1)若函数y=log2(mx2-2mx+3)的定义域为R,则实数m的取值范围是
　　 　　;
(2)若函数y=log2(mx2-2mx+3)的值域为R,则实数m的取值范围是　　　　;
答案:(1)[0,3)　(2)[3,+∞)
答案:(3)(-∞,-3)∪(1,+∞)　(-∞,-3)
[例2] 解下列方程与不等式.
(1)lg(x2+4x-26)-lg(x-3)=1;
(2)log2x解:(2)由log2x解得x>4,所以不等式的解集为(4,+∞).
(1)求y=f(x)的解析式;
点击进入 课时训练·分层突破