4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较5信息技术支持的函数研究课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的
比较
*§5　信息技术支持的函数研究
核心知识目标 核心素养目标
1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.
2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异.
3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题. 通过三种函数的增长特征的实际应用,培养数学建模素养.
知识探究·素养培育
探究点一
[问题] 观察如表给出的函数值:
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
x f(x)=2x g(x)=x2 h(x)=log2x
1 2 1 0
2 4 4 1
3 8 9 1.585 0
4 16 16 2
5 32 25 2.321 9
6 64 36 2.585 0
7 128 49 2.807 4
8 256 64 3
(1)函数f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值有什么共同的变化趋势
(2)函数f(x),g(x),h(x)增长的速度有什么不同
提示:(1)函数f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值增大.
(2)各函数增长的速度不同,其中f(x)=2x增长得最快,其次是g(x)=x2,最慢的是h(x)=log2x.
知识点: 三种函数的增长趋势
增函数
y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xα(α>0)
在(0,+∞)
上的增减性 .
图象的变
化趋势 随x增大,近似与y轴平行 随x增大,近似与x轴平行 α值较小(α<1)时,增长较慢;α值较大(α>1)时,增长较快
增长速度 ①随x增大,y=ax增长速度 ,并且当a越大时,y=ax增长的速度 .随x增大,y=ax增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.
②随x增大,y=logax增长速度 ,并且当a越大时,y=logax增长速度 .
③存在一个x0,当x>x0时,有 .
越来越快
越快
越来越慢
越慢
ax>xα>logax
[例1] (1)下列函数中,增长速度最快的是(　　)
(A)y=2 021x (B)y=x2 021
(C)y=log2 021x (D)y=2 021x
解析:(1)指数函数y=ax,在a>1时呈爆炸式增长,增长速度最快,故选A.
答案:(1)A
(2)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 37 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数型函数变化的变量是　　　 　.
解析:(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从题表中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,因此可知y2关于x呈指数型函数变化.
答案:(2)y2
变式训练1-1:三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如表:
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则关于x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　)
(A)y1,y2,y3 (B)y2,y1,y3
(C)y3,y2,y1 (D)y3,y1,y2
解析:由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较,可知指数函数增长最快,对数函数增长最慢,由题中表格可知,y1是幂函数,y2是指数函
数,y3是对数函数,故选C.
方法总结
几类增长速度不同的的函数模型
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.
(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数函数模型.
(3)增长速度较慢的函数模型是对数函数模型.
探究点二
一次函数、指数函数、对数函数模型的比较
[例2] 函数f(x)=1.1x和g(x)=ln x+1的图象如图所示,设两个函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数,并比较 f(x) 与g(x)的大小(以x1,x2为分界点);
解:(1)曲线C1对应的函数为f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数为g(x)=ln x+1.
当xg(x);
当x1当x>x2时,f(x)>g(x);
当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 021),g(2 021)的大小.
解:(2)因为f(1)>g(1),f(2)g(14),
所以1所以x1<6x2.
从题图可以看出,当x1所以f(6)当x>x2时,f(x)>g(x),
所以f(2 021)>g(2 021).
又g(2 021)>g(6),
所以f(2 021)>g(2 021)>g(6)>f(6).
变式训练2-1:函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
解:(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lg x.
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)以两个图象交点为分界点,对 f(x),g(x)的大小进行比较.
解:(2)当xf(x);
当x1g(x);
当x>x2时,g(x)>f(x);
当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
方法总结
由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数,图象呈直线上升的函数是一次函数.
拓展探索素养培优
[典例] 某汽车制造商在2021年初公告:公司计划2021年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如表所示:
年份/年 2018 2019 2020
年产量/万辆 8 18 30
如果我们分别将2018,2019,2020,2021定义为第一、二、三、四年,现在你有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=
a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系
试题情境:课程学习情境.
必备知识:指数函数、幂函数、对数函数的图象与性质.
关键能力:逻辑思维能力,抽象概括能力,运算求解能力.
学科素养:数学抽象,数学建模,数学运算.
[素养演练] 某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本y(单位:元/102 kg)与上市时间x(单位:天)的数据如表:
时间x 50 110 250
种植成本y 150 108 150
(1)根据上述表格中的数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本y与上市时间x的变化关系:y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=a·bx,y=alogax;
(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低的上市天数及最低种植成本.
解:(2)当x=150时,ymin=100(元/102 kg).
即西红柿种植成本最低时的上市天数是150天,最低种植成本是100元/
102 kg.
方法总结
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律.
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律.
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律.
因此,需抓住题中蕴含的数学信息,恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.
备用例题
[例1] 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3,
C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 020),g(2 020)的大小.
解:(2)因为f(1)>g(1),f(2)g(10),
所以1所以x1<6x2.
从图象上可以看出,当x1所以f(6)当x>x2时,f(x)>g(x),
所以f(2 020)>g(2 020).
又因为g(2 020)>g(6),
所以f(2 020)>g(2 020)>g(6)>f(6).
[例2] 某公司为了实现2021年1 000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过5万元,同时奖金数额不超过利润的25%.
(1)请指出符合公司要求的模型应该满足的条件;
解:(1)由题意,符合公司要求的模型只需满足:当x∈[10,1 000]时,①函数为增函数;②函数的最大值不超过5;③y≤x·25%.
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