2022~2023学年第一学期高二年级第一次月考数学试题(含答案)

2022~2023学年第一学期
高二年级第一次月考数学试题
选择题
已知空间向量，，若，则=（ ）
2.若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于（ ）
3.设向量，，不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）
4.已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（ ）
5.空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则=（ ）
6.已知，，若直线与线段没有公共点，则实数的取值范围是（ ）
7.直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（ ）
8.如图，在三棱柱中，，，，则与平面所成角的大小为（ ）
9.在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ）
10.已知直线恒过定点，点的坐标为，直线上有一动点，当取得最小值时，点的坐标为（ ）
11.在棱长为的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面、平面与平面的一个公共点，设，则=（ ）
12.已知正方体棱长为，为棱的中点，为底面上的动点，则下列说法正确的有（ ）个
（1）存在点，使得；
（2）存在唯一点，使得；
（3）当，此时点的轨迹长度为；
（4）当为底面的中心时，三棱锥的外接球体积为.
填空题
13.设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且，，三点共线，实数= .
14.求经过点且在轴上的截距等于在轴上的截距的倍的直线方程为 .
15.已知向量，满足，，且，则在上的投影向量的坐标为 .
16.两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和点，使，且（称为异面直线，的公垂线）.已知，，，则线段的长为 .
解答题
17.如图，在正方体中，为的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18.已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.
（1）求点，的坐标；
（2）求的面积.
19.已知在中，角，，的对边分别为，，，满足.
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围.
20.已知直线过两直线，的交点，且分别交轴、轴的正半轴于，两点.
（1）若直线与垂直，求直线的方程；
（2）当取最小值时，求出最小值及直线的方程.
21.如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，，是的中点，试问在上是否存在一点（不与端点重合），使得点到平面的距离为？
22.已知四棱锥，底面为菱形，，为上的点，过的平面分别交，于点，，且.
（1）证明：；
（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
参考答案：
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
题号 9 10 11 12
答案
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.；.
18.；.
19.；.
20.；.
21.存在点且当点为的中点时，点到平面的距离为.
22.；.