3.2.1 双曲线及其标准方程
对点1-----双曲线的定义
1.已知，则动点的轨迹是( )
A. 一条射线 B. 双曲线右支 C. 双曲线 D. 双曲线左支
2.已知平面上定点，及动点，命题甲：为常数，命题乙：点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.如果点在运动过程中，总满足关系式，点的轨迹是( )
A. 双曲线的右支 B. 椭圆 C. 双曲线的上支 D. 射线
4.在平面直角坐标系中，为单位向量，，若的终点表示的轨迹是右支双曲线，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
对点2-------双曲线的标准方程
1.焦点在轴上，，的双曲线的方程为 ．
2. 经过点和的双曲线的标准方程是 ．
3.双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点M，求此双曲线的标准方程．
4.(多选)若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是( )
A. 若为椭圆，则 B. 若为双曲线，则或
C. 曲线可能是圆 D. 若为焦点在轴上的椭圆，则
5.在“的焦距为”，“上一点到两焦点距离之差的绝对值为”，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中．
问题：已知双曲线， ，求的方程．
对点3------焦点三角形
1.已知曲线的方程为，点，在双曲线的右支上，线段经过双曲线的右焦点，，为另一焦点，则的周长为( )
A. B. C. D.
2.已知，为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，则( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的焦点坐标为，a=2.
求双曲线标准方程；
若双曲线上存在一点使得，求的面积．
4.已知椭圆与双曲线有公共焦点、，设是它们的一个交点．
试用，表示的面积
当是常数时，求面积的最大值．
对点4----与双曲线相关的轨迹方程
1.已知、两地相距，在地听到炮弹的爆炸声比在地晚，且声速为，则炮弹爆炸点P的轨迹方程为 ．
2.在中，已知，，且，则的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
3.已知动圆 都外切，求圆心的轨迹．
4.已知圆：和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是 ．
3.2.1 双曲线及其标准方程
对点1-----双曲线的定义
1.已知，则动点的轨迹是( )
A. 一条射线 B. 双曲线右支 C. 双曲线 D. 双曲线左支
【答案】B
解析：=6，，
为定值，且<，，
动点的轨迹是以，为两焦点的双曲线的右支．
故选B．
注：若=4，则动点的轨迹是以，为两焦点的双曲线双支.
2.已知平面上定点，及动点，命题甲：为常数，命题乙：点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
解析：若，则点M的轨迹是两条射线，甲乙；
根据双曲线的定义，乙甲.
故选B.
注：当时，点的轨迹是线段的垂直平分线；当时，点M的轨迹是两条射线；当时，点M的轨迹是双曲线；当时，点M的轨迹不存在.
3.如果点在运动过程中，总满足关系式，点的轨迹是( )
A. 双曲线的右支 B. 椭圆 C. 双曲线的上支 D. 射线
【答案】C
解析：，配方，得.
此等式的几何意义：点与定点，的距离的差为，且到的距离远.
，点的轨迹是以为焦点双曲线的上支．
注：变形“符号语言”，看出“几何意义”是关键
4.在平面直角坐标系中，为单位向量，，若的终点表示的轨迹是右支双曲线，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析：如图，，.
=，=.
，即.
点P在双曲线右支，，即．
故选C．
注：思维路径：向量语言图形语言几何意义.
对点2-------双曲线的标准方程
1.焦点在轴上，，的双曲线的方程为 ．
【答案】
解析：，又焦点在轴上，双曲线的方程为．
注：题很简单，但要牢记两点：①双曲线“c”最大；②方程结构与焦点位置相关.
2. 经过点和的双曲线的标准方程是 ．
【答案】
解析：设所求双曲线方程为.
，在双曲线上，，解此方程组，得，
双曲线的标准方程为．
注：已知双曲线上两点坐标求方程，但焦点在哪个轴上不确定，按照题中形式“设方程”会带来计算方便.
3.双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点M，求此双曲线的标准方程．
解：椭圆的焦点为，.
设双曲线的方程为．
，解得，双曲线的标准方程为．
注：此题也可以从“双曲线定义”入手.
4.(多选)若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是( )
A. 若为椭圆，则 B. 若为双曲线，则或
C. 曲线可能是圆 D. 若为焦点在轴上的椭圆，则
【答案】BC
解：对于A选项，方程变形为方程，若表示椭圆，则，解此不等式组，
得，且，故A选项不正确；
对于B选项，方程表示双曲线，则，解此不等式，得或，故B选项正确；
对于C选项，方程变形为方程，若表示圆，则，解得，故C选项正确；
对于D选项，方程变形为方程，若表示焦点在轴上的椭圆，则，解此不等式组，得，故D选项不正确.
故选BC．
5.在“的焦距为”，“上一点到两焦点距离之差的绝对值为”，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中．
问题：已知双曲线， ，求的方程．
解析：选
(i)若，则，，.
，=3，，则的方程为；
(ii)若，变形为，则，，.
=3，，则的方程为．
选
(i)若，则，所以=2，，则的方程为；
(ii)若，则，所以=4，，则的方程为：．
注：此题全面考查了圆、椭圆、双曲线这三种曲线方程的结构特点.
对点3------焦点三角形
1.已知曲线的方程为，点，在双曲线的右支上，线段经过双曲线的右焦点，，为另一焦点，则的周长为( )
A. B. C. D.
【答案】B
解析：如图.
，，
，即．
．
的周长=．
故选B
注：本体结论要记住！
2.已知，为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析：如图，变形为，则，b=，c==2.
解方程组，得 .
=2c=4.
对于，由余弦定理，得
= =.
故选C.
注：点P也可以在第四象限，但的值不变.
3.已知双曲线的焦点坐标为，a=2.
求双曲线标准方程；
若双曲线上存在一点使得，求的面积．
解析：，，，双曲线方程为；
如图，点P不妨在第一象限.
有方程组，变形②式，得
=20.
①代入③，得.
的面积．
注：此题没必要把、分别求出来.
4.已知椭圆与双曲线有公共焦点、，设是它们的一个交点．
试用，表示的面积
当是常数时，求面积的最大值．
解析:如图，设．
由方程组，得.
对于，由余弦定理，得
，
。
．
，，当且仅当时，取等号，
面积的最大值为．
注：本题涉及的知识点较多，且计算有一定的难度，对提升解题能力有一定的帮助.
对点4----与双曲线相关的轨迹方程
1.已知、两地相距，在地听到炮弹的爆炸声比在地晚，且声速为，则炮弹爆炸点P的轨迹方程为 ．
【答案】
解析：如图，建立平面直角坐标系，使、两点在轴上，
且坐标原点与线段的中点重合.
.
依据双曲线的定义，可知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支.
，，即， 炮弹爆炸点P的轨迹方程为．
注：合理建系，把实际问题转化为解析几何问题.
2.在中，已知，，且，则的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
【答案】B
解析：，由正弦定理，得=4<=8.
点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支(不含与横轴交点)，且，，．
顶点的轨迹方程为 ．
故选B．
注：A、B、C三点不能在一条直线上,所以要除去与横轴交点.
3.已知动圆 都外切，求圆心的轨迹．
解析：如图，，1；，.
设所求圆的半径为，则，，
，根据双曲线定义可知：点的轨迹为以，为焦点的双曲线的左支。
，，，，，
点的轨迹方程为: ，即 ．
注：两圆外切，“圆心距等于半径和”是解题关键.
4.已知圆：和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是 ．
【答案】．
解析：如图，圆心，半径等于.
的垂直平分线交于点，
.
依据双曲线的定义，可知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线，
且，，，双曲线方程为．
故答案为：．
注：本题点的轨迹是双曲线双支.
