2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册一元二次不等式 学案(含解析)

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名称 2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册一元二次不等式 学案(含解析)
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-10-14 08:10:12

文档简介

一元二次不等式
知识梳理
1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x12.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0);
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
题型一 一元二次不等式的解法
例 1 求下列不等式的解集:
(1);
(2);
(3).
【答案】(1);
(2);
(3).
【分析】(1)二次三项式配方,由平方的性质可得不等式的解集;
(2)不等式两边同乘以,然后左边因式分解,转化为两个一元一次不等式组求解;
(3)移项,通分,再把分子、分母中最高次项化为正数,然后转化为两个一元一次不等式组求解.
(1)
可化为,所以,即,解集为;
(2)
或化为,即,
所以或,
的解集为,无解,
综上,原不等式的解集为;
(3)
化为,即,即,
所以或,
不等式组无解,不等式的解集为.
综上,原不等式的解集为.
巩固训练
1.求下列方程、不等式(组)的解集.
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)设,解方程可求得的值,进一步解方程可得,从而得到解集;
(2)解绝对值不等式和一元二次不等式可求得结果.
(1)
设,则,,解得:或;
当时,;当时,;
综上所述:方程的解集为.
(2)
由得:,解得:,
不等式组的解集为.
题型二 含参一元二次不等式
例2 已知关于的不等式.
(1)若此不等式的解集是,求的值;
(2)讨论此不等式的解集.
【答案】(1)或
(2)答案见解析
【分析】(1)由题意知,,2是的两根,从而可求出;
(2)通过讨论对应方程两根的大小,得出不等式的解集.
(1)
由题意知,,是的两根,
所以,解得或.
(2)
就是,即.
方程的两根是,.
①当,即时,此不等式的解集是.
②当,即时,此不等式是,解集是.
③当,即时,此不等式的解集是.
巩固训练
2.已知关于的不等式.
(1)若此不等式的解集为,求实数的值;
(2)若,解关于的不等式
【答案】(1)(2)时,解集为,时,解集为;时,解集为;时,解集为;时,解集为
【详解】试题分析:(1)利用三个二次关系可知与不等式对应的方程的根为,代入可得实数的值;(2)解不等式时需对a分情况讨论来解不等式,时为一次不等式,时为二次不等式,结合二次函数图像求解
试题解析:(1)由题意可知, 2分
和为方程的两根, 于是, 4分
(2)①当时,由,得; 6分
②当时,不等式可化为,解得或; 8分
③当时,不等式可化为,
若,即,则, 10分
若,即,则不等式解集为, 12分
若,即,则. 14分
综上,当时,不等式解集为;
当时,不等式解集为;
当时,则不等式解集为;
当时,不等式解集为;
当时,不等式解集为.
题型三 一元二次不等式参数综合问题
例 3(1)若二次不等式对恒成立,求的取值范围.
【答案】
【分析】把恒成立问题转化成最值问题,分类讨论求出最小值,解不等式即可.
【详解】解:,抛物线对称轴
当即时,函数最小值为,与不合,舍去;
当即时,函数最小值为;
当时,函数最小值为与矛盾,舍去.
综上所述得得取值范围为.
(2)设函数.
(1)若的解集是,求实数的值;
(2)若恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,,关于的不等式在有解,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)由题意,根据函数与方程的关系,可得方程解的问题,根据韦达定理,可得答案;
(2)根据二次函数的性质,结合不等式恒成立,整理参数以及根的判别式与零的大小,可得不等式组,解得答案;
(3)由题意,利用二次函数的性质,将不等式有解问题,可得最小值小于参数的不等式恒成立问题,可得答案
(1)
由题意,可得方程的解为或,
则,解得.
(2)
因为恒成立,即恒成立,
当时,,故不满足题意;
当时,则,则,,解得,
所以的取值范围为.
(3)
当时,不等式在有解,即,
令,则函数的对称轴为直线,
若,则恒成立,
则,
若,则,解得,
综上所述,,实数的取值范围为.
(3)已知二次函数,且满足,.
(1)求函数的解析式;
(2)当()时,求函数的最小值(用表示).
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由题意可得,且,化简可求出,从而可求出的解析式,
(2)求出抛物线的对称轴,然后分,和三种情况求解函数的最小值
(1)
因为二次函数,且满足,,
所以,且,
由,得,
所以,得,
所以.
(2)
因为是图象的对称轴为直线,且开口向上的二次函数,
当时,在上单调递增,
则;
当,即时,
在上单调递减,
则;
当,即时,,
综上
巩固训练
3.(1)已知关于的方程在上有解,求实数的取值范围;
(2)已知关于的方程在上恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【分析】(1)由题可知在上有解,根据二次函数的性质求函数最值即得;
(2)由题可知在上有恒成立,根据二次函数的性质即得.
【详解】(1)由可得,
所以在上有解,
因为,在上单调递增,
所以,
所以;
(2)由题可知在上有恒成立,
由上可知,
所以.
4.已知函数.
(1)若的解集是,求实数的值.
(2)若恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,函数在有解,求的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】(1)根据一元二次不等式的解集的端点值为一元二次方程的根,由此求解出的值;
(2)要使恒成立,即,根据的取值进行分类讨论,由此求解出不等式解集;
(3)将问题转化为“在有解”,然后分析二次函数在的最小值小于等于,由此求解出的取值范围,即可求出的取值范围.
(1)
由题意可知:且,解得.
(2)
若恒成立,则
当时,不恒成立;
当时,解得:.
实数的取值范围为:.
(3)
时,在有解,
即在有解,
因为的开口向上,对称轴,
①即,时,函数取得最小值即,∴.
②即时,当取得最小值,此时,解得.
③当即时,当时取得最小值,此时,解得,
综上,或.
所以:的范围为:.
5.已知函数.
(1)若,且存在使能成立,求a的取值范围;
(2)若关于x的方程有两个不相等的正实数根,,求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用二次函数的性质得到函数在区间上单调递增,转化为,求解即可.
(2)转化,由关于x的方程有两个不相等的正实数根,借助判别式和韦达定理求的范围,列出不等式组求解即可.
(1)
若,函数为开口向上的二次函数,且对称轴为,
∴函数在区间上单调递增,
∵存在使能成立,
∴,∴,
∴a的取值范围为.
(2)
∵关于x的方程有两个不相等的正实数根,,
∴,∴,
∴,
∴的取值范围为.
6.已知二次函数.
(1)若存在使成立,求的取值范围;
(2)当时,求在区间上的最小值.
【答案】(1);(2).
【分析】(1)由题意,根据即可求解;
(2)由题意,即,再根据对称轴与区间的三种位置关系分情况讨论即可求解.
【详解】解:(1)因为存在使成立,
所以,解得,
所以的取值范围为;
(2)由题可知:,即.
当时,,其图象开口向上,对称轴,下面分类讨论:
当,即时,在区间上为增函数,
则有;
当,即时,在区间上为减函数,在上为增函数,则有;
当即时,在区间上为减函数,
则有.
综上, .
课后练习
1.不等式9-12x≤-4x2的解集为(  )
A.R B.
C. D.
答案 C
解析 原不等式可化为4x2-12x+9≤0,
即(2x-3)2≤0,
∴2x-3=0,∴x=,
∴原不等式的解集为.
2.已知不等式的解集为空集,则的取值范围是( )
A. B.
C.或 D.或
【答案】A
【分析】由题意可得出,解不等式即可求出答案.
【详解】因为不等式的解集为空集,
所以,
解得:.
故选:A.
3.若不等式的解集为R,则实数m的取值范围是( )
A. B. C.或 D.
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质分类讨论求解即可.
【详解】因为不等式的解集为R,
当时,,符合题意;
当时,,
综上:.
故选:B
4.命题“,”是命题“”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由命题“,”求出的范围,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
【详解】若,,则,解得,
∴命题“,”是命题“”的充要条件,
故选:A.
5.已知关于x的不等式的解集为或,则下列结论正确的是(  )
A.a<0 B.
C. D.的解集是
【答案】D
【分析】由已知,是方程的两个根且,由此确定的关系,并由此判断A,B,C,再化简不等式求其解.
【详解】因为不等式的解集为或,,
所以且,是方程的两个根,
所以,,
所以,,
因为,所以A错,
因为,,所以,所以C错,
因为,,,所以,B错,
因为,,所以可化为,所以,方程的解为或,所以不等式的解集是,
故选:D.
6.已知,且是方程的两实数根,则,,m,n的大小关系是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据二次函数图像特点,结合图像平移变换即可得到答案.
【详解】∵,为方程的两实数根,∴,为函数的图像与x轴交点的横坐标,
令,∴m,n为函数的图像与x轴交点的横坐标,易知函数的图像可由的图像向上平移2022个单位长度得到,
所以.
故选:C.
7.若两个正实数x,y满足,且不等式恒成立,则实数m的取值范围为( )
A. B.或
C. D.或
【答案】C
【分析】先由结合基本不等式求出的最小值,进而得,再解一元二次不等式即可.
【详解】由题意知,,
当且仅当,即时取等,又不等式恒成立,则不等式,
即 ,解得.
故选:C.
8.已知关于的一元二次不等式的解集为,且,则的最大值为__________.
【答案】
【分析】由的解集为可得,从而得出的关系,求的最大值转化成求的最小值,再结合基本不等式即可得出答案.
【详解】因为一元二次不等式的解集为
所以
因为

所以(当且仅当时取等号)
所以的最大值为
故答案为:
9.函数,,若存在,,使得,则a的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据条件求出两个函数的值域,结合若存在,,使得,等价为两个集合有公共元素,然后根据集合关系进行求解即可.
【详解】∵函数;
∴当时,当时,有最小值;当时,有最大值1;
即,则的值域为[-1,1];
当≤x≤2时,,即,则的值域为,
若存在,,使得,
则,
若,
则或,
得或,
则当时,即集合或的补集,
∴,
即实数a的取值范围是,
故答案为:.
10.已知实数a,b满足,若关于x的不等式的解集中有且仅有3个整数,则实数a的取值范围是_________;
【答案】
【分析】先对不等式左边进行因式分解,再结合对进行分类讨论,分,和三种情况,求出符合要求的实数a的取值范围.
【详解】可变形为,
因为,所以,
其中,
当时,开口朝下,不合题意;
当时,,解得:,所以不满足整数解有且仅有3个,舍去;
当时,开口朝上,
因为,所以不等式解集为,
此时要想不等式解集中有且仅有3个整数,则这3个整数解为0,-1,-2,
则必有,所以,结合,
所以,所以,
综上:
故答案为:.
11.给定关于的不等式.
(1)若不等式的解集是,求值;
(2)解此不等式.
【答案】(1)或(2)详见解析
【分析】(1)根据一元二次不等式的解法,结合一元二次方程根与系数关系可求出的值;
(2)不等式可转化为,讨论的值,可求出不等式的解集.
【详解】(1)∵不等式的解集是,
∴与是方程的实根,且,
则,解得或.
(2)原不等式可化为,
①若,则,即.
②若,则,
方程的解为或,
当时,即,原不等式的解集为R.
当时,即,原不等式的解集为,
当时,即,原不等式的解集为.
综上所述,原不等式的解集情形如下:
当时,解集为;当,解集为;
时,原不等式的解集为R;当时,解集为.
12.设关于x的二次函数.
(1)若,解不等式;
(2)若不等式在上恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)由题设有,解一元二次不等式求解集即可.
(2)由题意在上恒成立,令并讨论m范围,结合二次函数的性质求参数范围.
(1)
由题设,等价于,即,解得,
所以该不等式解集为.
(2)
由题设,在上恒成立.
令,则对称轴 且,
①当时,开口向下且,要使对恒成立,
所以,解得,则.
②当时,开口向上,只需,即.
综上,.
13.若,且关于x的不等式在R上有解,求实数a的取值范围.
【答案】
【分析】根据二次不等式的解法即得;或参变分离,求函数的最值即得.
【详解】方法一(判别式法)关于x的不等式可变形为,
由题可得,
解得,
又,
所以实数a的取值范围为;
方法二(分离变量法)因为,所以关于x的不等式可变形为,
因为,
所以,解得,
又,所以实数a的取值范围为.
14.已知函数.
(1)若不等式解集为,求不等式的解集;
(2)已知,,若命题“,总有”是假命题,求实数b的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由不等式的解集可得的两个根,利用根与系数的关系建立等式求出a、b、c的关系,代入所求不等式求解即可得答案.
(2)写出该命题的否命题,由题意,该命题的否命题为真命题,从而分离参数转化为最值的求解即可得答案.
(1)
解:关于x的不等式的解集为,
所以方程的两根为,3,且,
所以,解得,.
所以不等式可转化为,
即,解得,
所以不等式的解集为.
(2)
解:命题“,总有”是假命题,
所以它的否定命题“,使得”是真命题,
又,,所以不等式为,
即,使得成立,
因为在单调递减,所以,
所以,
所以实数b的取值范围是.
15.已知函数和.
(1)若,关于的不等式的解集是.求实数,的值;
(2)若,,,解关于的不等式;
(3)若,,,对,总,使得,求实数的取值范围 (注:表示的是函数中对应的函数值,表示的是中对应的函数值.)
【答案】(1) ,;(2)答案见解析;(3) 实数的取值范围为.
【分析】(1)由一元二次方程与一元二次不等式的解集的关系求a,b,(2)根据一元二次不等式的解法求解不等式;(3)根据不等式恒成立问题和存在性问题的处理方法转化条件,总,使得,求m的范围.
【详解】(1)∵ 关于的不等式的解集是,
∴ 和3是方程的根,
∴ ,,又,
∴ ,,,
(2)∵ ,,
∴ 不等式可化为,
∴ ,
当时,原不等式可化为
∴ ,
当时,方程的解为和,且,
不等式的解集为,
当时,不等式可化为
的解集为,
当时,方程的解为和,且,
不等式的解集为,
∴ 当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为;
(3)∵ 对,总,使得,
∴ ,
又在上的最小值为,
∵,,,

∴ 当时,在上的最小值为,

∴ ,
当时,在上的最小值为,

∴ 不存在,
∴ 当时,在上的最小值为,

∴ 不存在,
综上可得:实数的取值范围为.一元二次不等式
知识梳理
1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x12.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0);(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
题型一 一元二次不等式的解法
例 1 求下列不等式的解集:
; (2); (3).
巩固训练
1.求下列方程、不等式(组)的解集.
(1); (2).
题型二 含参一元二次不等式
例2 已知关于的不等式.
(1)若此不等式的解集是,求的值;
(2)讨论此不等式的解集.
巩固训练
2.已知关于的不等式.
(1)若此不等式的解集为,求实数的值;
(2)若,解关于的不等式
题型三 一元二次不等式参数综合问题
例 3(1)若二次不等式对恒成立,求的取值范围.
(2)设函数.
(1)若的解集是,求实数的值;
(2)若恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,,关于的不等式在有解,求实数的取值范围.
(3)已知二次函数,且满足,.
(1)求函数的解析式;
(2)当()时,求函数的最小值(用表示).
巩固训练
3.(1)已知关于的方程在上有解,求实数的取值范围;
(2)已知关于的方程在上恒成立,求实数的取值范围.
4.已知函数.
(1)若的解集是,求实数的值.
(2)若恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,函数在有解,求的取值范围.
5.已知函数.
(1)若,且存在使能成立,求a的取值范围;
(2)若关于x的方程有两个不相等的正实数根,,求的取值范围.
6.已知二次函数.
(1)若存在使成立,求的取值范围;
(2)当时,求在区间上的最小值.
课后练习
1.不等式9-12x≤-4x2的解集为(  )
A.R B.
C. D.
2.已知不等式的解集为空集,则的取值范围是( )
A. B.
C.或 D.或
3.若不等式的解集为R,则实数m的取值范围是( )
A. B. C.或 D.
4.命题“,”是命题“”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知关于x的不等式的解集为或,则下列结论正确的是(  )
A.a<0 B.
C. D.的解集是
6.已知,且是方程的两实数根,则,,m,n的大小关系是( )
A. B.
C. D.
7.若两个正实数x,y满足,且不等式恒成立,则实数m的取值范围为( )
A. B.或
C. D.或
8.已知关于的一元二次不等式的解集为,且,则的最大值为__________.
9.函数,,若存在,,使得,则a的取值范围是__________.
10.已知实数a,b满足,若关于x的不等式的解集中有且仅有3个整数,则实数a的取值范围是_________;
11.给定关于的不等式.
(1)若不等式的解集是,求值;
(2)解此不等式.
12.设关于x的二次函数.
(1)若,解不等式;
(2)若不等式在上恒成立,求实数m的取值范围.
13.若,且关于x的不等式在R上有解,求实数a的取值范围.
14.已知函数.
(1)若不等式解集为,求不等式的解集;
(2)已知,,若命题“,总有”是假命题,求实数b的取值范围.
15.已知函数和.
(1)若,关于的不等式的解集是.求实数,的值;
(2)若,,,解关于的不等式;
(3)若,,,对,总,使得,求实数的取值范围 (注:表示的是函数中对应的函数值,表示的是中对应的函数值.)