基本不等式
知识梳理
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
题型一 利用基本不等式求最值
例1 (1)(2022·长沙模拟)设0A. B．4
C. D．9
答案 C
解析 y＝4x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·2＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号，
∴当x＝时，ymax＝.
(2)若x<，则f(x)＝3x＋1＋有( )
A．最大值0 B．最小值9
C．最大值－3 D．最小值－3
答案 C
解析 ∵x<，∴3x－2<0，
f(x)＝3x－2＋＋3
＝－＋3
≤－2＋3＝－3.
当且仅当2－3x＝，即x＝－时取“＝”．
（3）函数的最小值为___________.
【答案】9
【分析】由题意得，原函数表达式可化为关于的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题，即可得答案.
【详解】因为，则，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
∴已知函数的最小值为9.
故答案为：9.
训练巩固
1.若，则取最大值时的值是 。
【答案】
【解析】
，，由基本不等式得，
当且仅当，即，时取等号，
取最大值时的值是．
2．已知正数a、b满足，则ab的最大值为 。
【答案】
【解析】因为正数a、b满足，
故可得，
当且仅当时，即时取得最大值.
3．的最大值为 。
【答案】
【解析】因为，所以
由均值不等式可得：
当且仅当，即时，等号成立，
4.已知，的最小值为____________.
【答案】
【分析】将所求代数式变形为，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，则，
当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值．
故答案为：
题型二 常数代换法
例 2 （1）已知，且，则当取到最小值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用1的替换，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】依题意，当且仅当，即时等号成立，
故选：D
（2）已知，，且，则的最小值为________．
【答案】
【分析】妙用“1”，展开使用基本不等式可得.
【详解】因为，
所以
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
（3）已知，且，则的最小值为 。
【答案】14
【解析】
，当且仅当时等号成立，取得最小值14
训练巩固
5.已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【分析】由基本不等式求解
【详解】，
当且仅当即时取等号.
故选：B
6.(2022·襄阳模拟)若实数x>1，y>且x＋2y＝3，则＋的最小值为________．
答案 4
解析 令x－1＝m,2y－1＝n，
则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，
∴＋＝＋
＝(m＋n)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，即m＝n＝时取“＝”．
∴＋的最小值为4.
7.已知正数、满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出，将与相乘，利用基本不等式可求得的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】因为，，则，，
所以，，
所以，
当且仅当时，即，时等号成立．
又恒成立，所以．
故选：C.
题型三 消元法
例3 (2022·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____．
答案 6
解析：由x＋3y＋xy＝9，得x＝，
所以x＋3y＝＋3y＝
＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2－6
＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，
所以x＋3y的最小值为6.
巩固训练
8.若正数满足，则的最小值是 。
【答案】4
【解析】因为正数满足，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
9.若实数满足，则的最大值为 、
【答案】
【解析】由实数满足，，设，解得，
则，当且仅当，及时等号成立，所以的最大值为
题型四 参数问题
例4 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】
【分析】由基本不等式求得在时的最小值即可得．
【详解】当时，不等式恒成立，
对均成立．
由于，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值等于3，，
则实数a的取值范围是．
巩固训练
10.已知关于的不等式的解集为，或.
(1)求的值；
(2)当，且时，有恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集可得1和是方程的两个实数，利用韦达定理可列出方程组，解得答案；
（2）利用基本不等式求得的最小值，根据恒成立即可得，求得答案.
（1）
因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根且，
所以 ，解得 ，故.
（2）
由（1）知，于是有，
故，
（当时等号成立）
依题意有，即，
解得，所以的取值范围为.
课后练习
1.如果，那么的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用配凑法来解决基本不等式即可.
【详解】 ，当且仅当“”等号成立. 的最小值为4.
故选：D
2.已知，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】D
【分析】由基本不等式直接可得.
【详解】由基本不等式可得，整理得
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为8.
故选：D
3.当时，函数的最小值为（ ）
A． B．
C． D．4
【答案】B
【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决.
【详解】因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立．
故选：B．
4.（多选）已知，则（ ）
A．的最大值为18 B．的最大值为12
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】AC
【分析】对于A，根据基本不等式，可列出二次不等式，求解可得答案；对于B，根据A的结论，结合不等式性质，可得答案；对于C，利用换元法，整理函数关系，结合基本不等式，可得答案；对于D，直接使用基本不等式，结合A的结论，研究等号成立条件，可得答案.
【详解】对于A，，当且仅当时等号成立，令，则，则，解得，即有，故A正确；
对于B，由A可得，故B错误；
对于C，由，，，可得，则，当且仅当时等号成立，故C正确：
对于D，，当且仅当时，等号成立，由A可知，，此时，当且仅当时，等号成立，则取不到，故D不正确；
故选：AC
5．（多选）设正实数满足，则（ ）
A．有最小值4 B．有最小值2
C．有最小值 D．有最小值8
【答案】AD
【分析】利用基本不等式及变形即可求解.
【详解】对于A，，当且仅当且即时，等号成立，所以的最小值为4，故A正确；
对于B，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为2，故B 不正确；
对于C，由不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，故C不正确；
对于D，由不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确.
故选：AD.
6．（多选）下列函数中最小值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】结合基本不等式求得正确答案.
【详解】对于A选项，时，，所以A选项错误.
对于B选项，，
当且仅当时等号成立，B选项正确.
对于C选项，，
由于无解，所以等号不成立，故C选项错误.
对于D选项，，
当且仅当时等号成立，所以D选项正确.
故选：BD
7．（多选）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】BCD
【分析】对式子变形，构造定值，利用基本不等式求解最值，利用最值解决恒成立问题.
【详解】由，得，因为，所以，所以，则，
当且仅当时，等号成立，故，
因为恒成立，所以，解得.故A错.
故选：BCD.
8.已知，则的最大值是________．
【答案】
【详解】由题意，根据基本不等式，可得答案.
【分析】，当且仅当，即时取等号.
，故的最大值是.
故答案为：
9.函数的最小值是______.
【答案】
【分析】将函数转化为，运用基本不等式求解.
【详解】函数，
即
，
当且仅当，即时，取等号，
则函数的最小值为，
故答案为：.
10.已知，求的最小值___________，求的最大值___________.
【答案】 3 2
【分析】根据题意，化简得到，利用基本不等式，求得其最小值，又由，即可求得其最大值，得到答案.
【详解】因为，可得，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.
由且，即且，可得，
则，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：；.
11.若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，的最小值为________．
【答案】
【解析】对于空1，由于a>0，b>0，直接利用基本不等式可得即可得解；对于空2，根据1的 “妙用”变形a＋2b－4＝0为，和相乘利用基本不等式即可得解.
【详解】因为a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，
所以a＋2b＝4，所以，
当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，
所以ab的最大值为2，
因为 ，
当且仅当a＝b时等号成立，所以的最小值为.
【点睛】本题考查了基本不等式及其应用，考查了“1”的妙用求最值，考查了计算能力，属于简单题.
12.已知，，则的最小值_________.
【答案】20
【分析】设，利用表示，利用得到，再变形得到，利用基本不等式求出最小值.
【详解】令，则，
去分母化简得：，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立．
故答案为：20
13.已知，，且.
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求的最大值.
【答案】（1）8；（2）4.
【分析】（1）由已知条件凑配出积为定值，然后由基本不等式得最小值；
（2）问题转化为不等式恒成立，把分子中的“1”用代换然后求得最小值（（1）中已有）可得参数范围，从而得参数最大值．
【详解】解：（1）因为，
所以.
因为，，
所以，当且仅当，时，等号成立，
则.
即当且仅当，时，取得最小值.
（2）要使恒成立，只需恒成立.
因为，
所以.
由（1）可知，
所以，
即，则，故的最大值是.
14.设函数.
(1)若，若集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；
(2)当时，记不等式的解集为，集合.若对于任意正数，，求的最大值.
【答案】(1)
(2)最大值为
【分析】（1）分情况：当时，，满足题意当，判别式等0求解即可
（2）由题知，因为，
当时，函数，得，
所以，换元，结合基本不等式得解.
（1）
由题意得，
集合中有且只有一个元素，
当时，，此时满足题意，
当时，令，则，解得或，
综上所述，的取值集合为.
（2）
集合，对于任意正数，
当时，函数，则，即，
又，令，此时，
所以
当且仅当，即时取等号，故的最大值为.基本不等式
知识梳理
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
题型一 利用基本不等式求最值
例1 (1)(2022·长沙模拟)设0A. B．4
C. D．9
(2)若x<，则f(x)＝3x＋1＋有( )
A．最大值0 B．最小值9
C．最大值－3 D．最小值－3
（3）函数的最小值为___________.
训练巩固
1.若，则取最大值时的值是 。
2．已知正数a、b满足，则ab的最大值为 。
3．的最大值为 。
4.已知，的最小值为____________.
题型二 常数代换法
例 2 （1）已知，且，则当取到最小值时，（ ）
A． B． C． D．
（2）已知，，且，则的最小值为________．
（3）已知，且，则的最小值为 。
训练巩固
5.已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
6.(2022·襄阳模拟)若实数x>1，y>且x＋2y＝3，则＋的最小值为________．
7.已知正数、满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三 消元法
例3 (2022·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____．
巩固训练
8.若正数满足，则的最小值是 。
9.若实数满足，则的最大值为 、
题型四 参数问题
例4 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
巩固训练
10.已知关于的不等式的解集为，或.
(1)求的值；
(2)当，且时，有恒成立，求的取值范围.
课后练习
1.如果，那么的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
2.已知，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．8
3.当时，函数的最小值为（ ）
A． B．
C． D．4
4.（多选）已知，则（ ）
A．的最大值为18 B．的最大值为12
C．的最小值为 D．的最小值为
5．（多选）设正实数满足，则（ ）
A．有最小值4 B．有最小值2
C．有最小值 D．有最小值8
6．（多选）下列函数中最小值为的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（多选）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．
8.已知，则的最大值是________．
9.函数的最小值是______.
10.已知，求的最小值___________，求的最大值___________.
11.若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，的最小值为________．
12.已知，，则的最小值_________.
13.已知，，且.
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求的最大值.
14.设函数.
(1)若，若集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；
(2)当时，记不等式的解集为，集合.若对于任意正数，，求的最大值.
