数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算（共37张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算（共37张ppt） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 36.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-14 10:49:02 | ||
图片预览
文档简介
(共37张PPT)
第一章
空间向量与立体几何
通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决. 在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系，一个自然的想法是，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题. 在本章，我们就来研究这些问题.
在本章学习中，我们要注意利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理及其坐标表示，在此过程中体会平面向量与空间向量的共性和差异; 在运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系的过程中，体会向量方法与综合几何方法的共性和差异; 通过用向量方法解决数学问题和实际问题，感悟向量在研究几何问题中的作用.
单元知识框架：
新课导入
导
在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等。显然，这些力不在同一个平面内。联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢
下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始。
类比
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
1.了解空间向量的概念.
2.掌握空间向量的加减运算、数乘运算. （重点）
3.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点)
学习目标：1分钟
问题导学（5分钟）
阅读课本2-5页，并思考下列问题
1.空间向量及相关概念有哪些？
2.空间向量的线性运算有哪些？
探究一：我们已经学面向量的概念，我们能否根据平面向量的概念类比得出空间向量的概念？
我们一起回忆一下平面向量的相关概念，类比的得出空间向量的概念
点拨精讲（24分钟）
问题1 平面向量是什么？我们是如何表示平面向量的？
平面向量 空间向量
定义
表示
起点
终点
？
平面中既有大小又有方向的量
1.或者是
2.坐标表示
1. 空间向量的概念
2. 空间向量的模及表示方法
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示. 有向线段的长度表示向量的模.
与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量. 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 空间向量用黑体字母a,b,c,···表示. (注意：印刷体才用黑体a表示，而书写体一定要加箭头，即 )
C
A
B
O
问题2 你能回忆起平面向量中相关概念吗？
平面向量 空间向量
零向量
单位向量
相等向量
相反向量
共线向量
长度为0的向量，记作:
模为1的向量.
模相等，方向相同的向量。记：
模相等，方向相反的向量。记：
空间向量中这些概念适用吗？
方向相同或相反的向量叫做共线向量，（平行向量），
记
零向量与任意向量共线
概念的本质是一样的
因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. 空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合. 因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.
这样就使得所有空间向量问题都可以转变成平面向量解决.
探究二：我们学面向量相关的概念后，学面向量的线性运算，我们能否类比平面向量的线性运算得出空间向量的线性运算？
我们一起回忆一下平面向量的线性运算，类比的得出空间向量线性运算
问题3 平面向量的线性运算有哪些？我们当时是如何探究这些运算？
加法，减法，数乘
定义
法则
运算律
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算，由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算:
1.空间向量加法的三角形法则：
2.空间向量加法的平行四边形法则：
3.空间向量减法的三角形法则:
(首尾相接首尾连)
(共起点)
(共起点)
A
B
C
D
A
B
C
基本运算 (空间向量线性运算与平面向量的运算是一样的)
4.数乘运算
实数λ与平面向量 的积是一个向量，记作 ，其长度和方向规定如下：
① |λ |＝|λ|| |；
②若λ>0，λ 与 的方向相同；
若λ<0，λ 与 的方向相反；
若λ＝0，λ ＝ .
基本运算 (空间向量线性运算与平面向量的运算是一样的)
5.空间向量的线性运算律：
与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律(其中λ，μ∈R):
基本运算 (空间向量线性运算与平面向量的运算是一样的)
你能证明这些运算律吗？证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？
a
b
c
O
A
B
C
a
b
+
a
b
c
O
A
B
C
b
c
+
空间向量
a
b
+
c
+
(
)
a
b
+
c
+
(
)
( a + b )+ c = a +( b + c )
向量加法结合律：
由以上证明可以看出，证明空间向量的加法结合律时，由于三个向量可能不同在任何一个平面内，因此证明方法与平面向量有所区别.对于空间向量线性运算的其他运算律，它们都只涉及同一平面内的向量，因此证明方法与平面向量相同.
探究三 如图示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′ (底面是平行四边形的四棱柱) 中，分别标出 ， 表示的向量. 从中体会向量加法运算的交换律及结合律. 一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
A
C
D
B
C′
D′
B′
A′
三个不共面的向量的和与这三个向量的关系：
三个不共面的向量的和就是以这三个不共面的向量为邻边的平行六面体的对角线所在向量.
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到: 有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
教材第5页练习
A
C
D
B
C′
D′
B′
A′
E
F
教材第5页练习
A
C
D
B
C′
D′
B′
A′
E
F
探究四 对任意两个空间向量 与 ，如果 ， 与 有什么位置关系？反过来， 与 有什么位置关系时， ？
类似于平面向量共线的充要条件，
对任意两个空间向量 与 ，
的充要条件是存在实数λ，使 .
空间共线向量定理
这个定理的作用：
① 判定两个向量是否共线；
② 判定三点是否共线.
结论：共线向量不具有传递性.
注意：(1)方向向量一定是非零向量
(2)一条直线的所有方向向量都互相平行
直线的方向向量
如图示，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量 ，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得
我们把与直线平行的非零向量称为直线l的方向向量. 这样，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
推论: 如果l为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 ，其中向量 叫做直线l的方向向量.
O
A
P
l
a
b
a
b
O
A
B
b
结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.
思考：它们确定的平面是否唯一？
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量
既可能共面，也可能不共面
d
b
a
c
共面向量
那么什么情况下三个向量共面呢？
对平面内任意两个不共线向量 ， ，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量 可以写成 ，其中(x，y)是唯一确定的有序实数对. 对两个不共线的空间向量 ， ，
如果 ，那么向量 与向量 ， 有什么位置关系？反过来，向量 与 ， 向量有什么位置关系时， ？
探究五：
如果空间向量 与两不共线向量 ， 共面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则有
反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如果 ，那么向量 与向量 , 有什么位置关系？
C
可以发现，对空间任意两个不共线的向量 ， ，向量 与向量 ， 共面的充要条件是存在唯一的有序数对(x，y)，使 .
共面向量定理
例1 如图示, 已知平行四边形ABCD, 过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD, 在四条射线上分别取点E,F,G,H, 并且使 求证：E,F,G,H四点共面.
证明：
由于四边形ABCD是平行四边形，
∴由向量共面的充要条件知，E, F, G, H四点共面.
A
E
H
G
F
D
C
B
O
教材第5页练习
A
C
D
B
C′
D′
B′
A′
C
D
B
F
E
A
B
D
C
A′
B′
C′
D′
A
E
F
课堂小结
1.空间向量：
(1)定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.
(2)长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
2.空间向量的表示：
(1)字母表示法：用字母表示
(2)几何表示法：用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模.即向量的起点是，终点是，则向量也可以记作其模记为
.
课堂小结
3.几类特殊向量：
(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为.
(2)单位向量：模为1的向量叫做单位向量.
(3)相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，即为.
(4)共线向量或平行向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有.
(5)相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相等向量.
课堂小结
4.空间向量的线性运算：
(1)加法：
(2)减法：
(3)数乘运算：当时，
当时，当时，
运算律：
(1)交换律：
(2)结合律：
(3)分配律：
课堂小结
5.空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使.
6.空间向量共面的充要条件：
(1)共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
(2)空间向量共面的充要条件：如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
第一章
空间向量与立体几何
通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决. 在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系，一个自然的想法是，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题. 在本章，我们就来研究这些问题.
在本章学习中，我们要注意利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理及其坐标表示，在此过程中体会平面向量与空间向量的共性和差异; 在运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系的过程中，体会向量方法与综合几何方法的共性和差异; 通过用向量方法解决数学问题和实际问题，感悟向量在研究几何问题中的作用.
单元知识框架：
新课导入
导
在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等。显然，这些力不在同一个平面内。联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢
下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始。
类比
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
1.了解空间向量的概念.
2.掌握空间向量的加减运算、数乘运算. （重点）
3.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点)
学习目标：1分钟
问题导学（5分钟）
阅读课本2-5页，并思考下列问题
1.空间向量及相关概念有哪些？
2.空间向量的线性运算有哪些？
探究一：我们已经学面向量的概念，我们能否根据平面向量的概念类比得出空间向量的概念？
我们一起回忆一下平面向量的相关概念，类比的得出空间向量的概念
点拨精讲（24分钟）
问题1 平面向量是什么？我们是如何表示平面向量的？
平面向量 空间向量
定义
表示
起点
终点
？
平面中既有大小又有方向的量
1.或者是
2.坐标表示
1. 空间向量的概念
2. 空间向量的模及表示方法
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示. 有向线段的长度表示向量的模.
与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量. 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 空间向量用黑体字母a,b,c,···表示. (注意：印刷体才用黑体a表示，而书写体一定要加箭头，即 )
C
A
B
O
问题2 你能回忆起平面向量中相关概念吗？
平面向量 空间向量
零向量
单位向量
相等向量
相反向量
共线向量
长度为0的向量，记作:
模为1的向量.
模相等，方向相同的向量。记：
模相等，方向相反的向量。记：
空间向量中这些概念适用吗？
方向相同或相反的向量叫做共线向量，（平行向量），
记
零向量与任意向量共线
概念的本质是一样的
因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. 空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合. 因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.
这样就使得所有空间向量问题都可以转变成平面向量解决.
探究二：我们学面向量相关的概念后，学面向量的线性运算，我们能否类比平面向量的线性运算得出空间向量的线性运算？
我们一起回忆一下平面向量的线性运算，类比的得出空间向量线性运算
问题3 平面向量的线性运算有哪些？我们当时是如何探究这些运算？
加法，减法，数乘
定义
法则
运算律
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算，由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算:
1.空间向量加法的三角形法则：
2.空间向量加法的平行四边形法则：
3.空间向量减法的三角形法则:
(首尾相接首尾连)
(共起点)
(共起点)
A
B
C
D
A
B
C
基本运算 (空间向量线性运算与平面向量的运算是一样的)
4.数乘运算
实数λ与平面向量 的积是一个向量，记作 ，其长度和方向规定如下：
① |λ |＝|λ|| |；
②若λ>0，λ 与 的方向相同；
若λ<0，λ 与 的方向相反；
若λ＝0，λ ＝ .
基本运算 (空间向量线性运算与平面向量的运算是一样的)
5.空间向量的线性运算律：
与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律(其中λ，μ∈R):
基本运算 (空间向量线性运算与平面向量的运算是一样的)
你能证明这些运算律吗？证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？
a
b
c
O
A
B
C
a
b
+
a
b
c
O
A
B
C
b
c
+
空间向量
a
b
+
c
+
(
)
a
b
+
c
+
(
)
( a + b )+ c = a +( b + c )
向量加法结合律：
由以上证明可以看出，证明空间向量的加法结合律时，由于三个向量可能不同在任何一个平面内，因此证明方法与平面向量有所区别.对于空间向量线性运算的其他运算律，它们都只涉及同一平面内的向量，因此证明方法与平面向量相同.
探究三 如图示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′ (底面是平行四边形的四棱柱) 中，分别标出 ， 表示的向量. 从中体会向量加法运算的交换律及结合律. 一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
A
C
D
B
C′
D′
B′
A′
三个不共面的向量的和与这三个向量的关系：
三个不共面的向量的和就是以这三个不共面的向量为邻边的平行六面体的对角线所在向量.
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到: 有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
教材第5页练习
A
C
D
B
C′
D′
B′
A′
E
F
教材第5页练习
A
C
D
B
C′
D′
B′
A′
E
F
探究四 对任意两个空间向量 与 ，如果 ， 与 有什么位置关系？反过来， 与 有什么位置关系时， ？
类似于平面向量共线的充要条件，
对任意两个空间向量 与 ，
的充要条件是存在实数λ，使 .
空间共线向量定理
这个定理的作用：
① 判定两个向量是否共线；
② 判定三点是否共线.
结论：共线向量不具有传递性.
注意：(1)方向向量一定是非零向量
(2)一条直线的所有方向向量都互相平行
直线的方向向量
如图示，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量 ，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得
我们把与直线平行的非零向量称为直线l的方向向量. 这样，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
推论: 如果l为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 ，其中向量 叫做直线l的方向向量.
O
A
P
l
a
b
a
b
O
A
B
b
结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.
思考：它们确定的平面是否唯一？
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量
既可能共面，也可能不共面
d
b
a
c
共面向量
那么什么情况下三个向量共面呢？
对平面内任意两个不共线向量 ， ，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量 可以写成 ，其中(x，y)是唯一确定的有序实数对. 对两个不共线的空间向量 ， ，
如果 ，那么向量 与向量 ， 有什么位置关系？反过来，向量 与 ， 向量有什么位置关系时， ？
探究五：
如果空间向量 与两不共线向量 ， 共面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则有
反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如果 ，那么向量 与向量 , 有什么位置关系？
C
可以发现，对空间任意两个不共线的向量 ， ，向量 与向量 ， 共面的充要条件是存在唯一的有序数对(x，y)，使 .
共面向量定理
例1 如图示, 已知平行四边形ABCD, 过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD, 在四条射线上分别取点E,F,G,H, 并且使 求证：E,F,G,H四点共面.
证明：
由于四边形ABCD是平行四边形，
∴由向量共面的充要条件知，E, F, G, H四点共面.
A
E
H
G
F
D
C
B
O
教材第5页练习
A
C
D
B
C′
D′
B′
A′
C
D
B
F
E
A
B
D
C
A′
B′
C′
D′
A
E
F
课堂小结
1.空间向量：
(1)定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.
(2)长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
2.空间向量的表示：
(1)字母表示法：用字母表示
(2)几何表示法：用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模.即向量的起点是，终点是，则向量也可以记作其模记为
.
课堂小结
3.几类特殊向量：
(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为.
(2)单位向量：模为1的向量叫做单位向量.
(3)相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，即为.
(4)共线向量或平行向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有.
(5)相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相等向量.
课堂小结
4.空间向量的线性运算：
(1)加法：
(2)减法：
(3)数乘运算：当时，
当时，当时，
运算律：
(1)交换律：
(2)结合律：
(3)分配律：
课堂小结
5.空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使.
6.空间向量共面的充要条件：
(1)共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
(2)空间向量共面的充要条件：如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.