专题24.1.4 圆周角与圆心角
【教学目标】
理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及两个推论的知识和简单应用。
2、理解并掌握圆内接四边形定理。
3、圆周角相关定理理解运用。
【教学重难点】
1、理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及两个推论的知识和简单应用。
2、理解并掌握圆内接四边形定理。
3、圆周角相关定理理解运用。
【知识亮解】
知识点一：圆周角
1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。
亮题一、圆周角定理
【例1】★（2020春 江阴市期中）如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．35° C．25° D．60°
【分析】连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等边三角形得到∠AOB＝60°，然后根据圆周角定理得到∠C的度数．
【解析】连接OA、OB，如图，
∵OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠C∠AOB＝30°．故选：A．
【例2】★如图，点A，B，C在⊙O上，∠OAB＝65°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50° B．32.5° C．25° D．20°
【解析】∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝65°，∴∠AOB＝50°，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠AOB＝25°，故选：C．
【例3】★如图，半径为5的⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC、∠EAD．已知DE＝8，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于（ ）
A． B． C．4 D．3
【分析】作直径CF，作AH⊥BC于H，如图，先利用等角的补角相等得到∠BAF＝∠DAE，则BF＝DE＝8，再利用垂径定理得到CH＝BH，然后判断AH为△CBF的中位线，从而得到AHBF＝4．
【解析】作直径CF，作AH⊥BC于H，如图，∵∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠BAF＝∠DAE，∴，∴BF＝DE＝8，∵AH⊥BC，∴CH＝BH，而CA＝FA，
∴AH为△CBF的中位线，∴AHBF＝4，即弦BC的弦心距等于4． 故选：C．
【例4】★如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝50°，∠C＝10°，则∠B＝ °．
【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝100°，然后根据三角形内角和，利用∠B+∠A＝∠BOC+∠C求出∠B的度数．
【解析】∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵∠B+∠A＝∠BOC+∠C，∴∠B＝100°+10°﹣50°＝60°．故答案为60．
【例5】★★点A、B、C在⊙O上，且四边形OABC为平行四边形，P为⊙O上异于A、B、C的一点，则∠APC＝ ．
【分析】如图，连接OB，先证明四边形OABC为菱形，再证明△AOB和△BOC都为等边三角形，则△AOB＝∠BOC＝60°，即∠AOC＝∠ABC＝120°，讨论：当P点在优弧AC上或当P点在劣弧AC上时，利用圆周角定理可得到∠APC的度数．
【解析】如图，连接OB，∵四边形OABC为平行四边形，OA＝OC，∴四边形OABC为菱形，
∴AB＝BC＝OA＝OC＝OB，∴△AOB＝∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠ABC＝120°，
当P点在优弧AC上时，∠APC∠AOC＝60°；
当P点在劣弧AC上时，∠APC＝∠ABC＝120°；即∠APC的度数为60°或120°．故答案为60°，120°．
【例6】★★如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（ ）
+ B．2+ C．4 D．2+2
【解析】连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°，
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝30°，
∵A（﹣5，0），B（1，0），∴AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴PD＝，PA＝PB＝PC＝2，
∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，∴四边形PEOD是矩形，∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，
∴CE＝＝＝2，∴OC＝CE+OE＝2+，∴点C的纵坐标为2+，故选：B．
【例7】★★如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【解析】连接OP，PC，OC，
∵OP≥OC﹣PC＝2，∴当点O，P，C三点共线时，OP最小，最小值为2，
∵OA＝OB，∠APB＝90°，∴AB＝2OP，当O，P，C三点共线时，AB有最小值为2OP＝4，故选：B．
【例8】★★如图，在⊙O中，弦AB的长为10，半径OD⊥AB，垂足为C，E为⊙O上任意一点，连接DE、BE．
（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝2CD，求CD的长．
【分析】（1）由OD⊥AB，根据垂径定理可得，然后由圆周角定理，即可求得∠DEB的度数；
（2）根据半径为5，CD＝2，可求出OC的长度，然后根据勾股定理可求得AC的长度，继而可得出AB的值．
【解析】（1）∵在⊙O中，OD⊥AB，∴，∵∠AOD＝50°，∴∠DEB∠AOD＝25°；
（2）设CD＝x，则OC＝2x，OD＝OA＝3x．
∵OD⊥AB，∴AC＝CB＝5，
在Rt△AOC中，∵OA2＝AC2+OC2，∴9x2＝4x2+52，解得x或（舍弃），∴CD
【例9】★★已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC上一动点，AG，DC的延长线交于点F，连接BC．
（1）若AB＝4，∠B＝60°，求CD的长；
（2）设∠DGF＝β°，∠BCD＝α°，求β关于α的函数表达式．
【解析】（1）连接OC．
∵OB＝OC，∠B＝60°，∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，OB＝OC＝2，
∵AB⊥CD，∴DE＝EC，∠OEC＝90°，
∴EC＝OC sin60°＝，∴CD＝2EC＝2．
（2）连接OD．
∵∠AOD＝2∠AGD＝2（180﹣β°），∠DOB＝2∠DCB＝2α°，
∵∠AOD+∠DOB＝180°，∴2（180°﹣β°）+2α°＝180°
∴2β﹣2α＝180，∴β＝90+α（0＜α＜90）．
亮题二、直径所对的圆周角是90°
【例1】★如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆周上，∠CBD＝20°，则∠A的度数为（ ）
A．45° B．80° C．70° D．60°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得∠BCD＝90°，然后由直角三角形的两个锐角互余、同弧所对的圆周角相等求得∠A＝∠D＝70°．
【解析】∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠CBD＝20°，∴∠D＝70°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠A＝∠D＝70°（同弧所对的圆周角相等）；故选：C．
【例2】★如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠D＝20°，则∠CBA的度数是 ．
【分析】首先证明∠ACB＝90°，求出∠A即可解决问题．
【解析】∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠CBA＝90°，∵∠A＝∠D＝20°，∴∠CBA＝70°，故答案为70°．
【例3】★如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（ ）
A．20° B．70° C．30° D．90°
【分析】连接AC，如图，根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，∠ACB＝∠ADB＝70°，然后利用互余计算∠ABC的度数．
【解析】连接AC，如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，
∵∠ACB＝∠ADB＝70°，∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．故答案为20°．故选：A．
【例4】★如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为 ．
【解析】∵AB为⊙O的直径，C为的中点，∴OC⊥AD，
∵∠BAD＝20°，∴∠AOC＝90°﹣∠BAD＝70°，
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO＝（180°﹣∠AOC）＝（180°﹣70°）＝55°．故答案为55°．
【例5】★如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）
OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD
【解析】∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；
∴AD⊥OC，选项B成立；
∴AF＝FD，选项D成立；
∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；故选：C．
【例6】★★如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的最大值为 ．
【分析】由于∠APB＝90°，则根据圆周角定理可判断点P在以AB为直径的圆上，取AB的中点，连接CO，如图，则OC＝2，然后点与圆的位置关系确定PC的最大值．
【解析】∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上，
取AB的中点，连接CO，如图，则OC2，
∵点P为CO的延长线于⊙O的交点时，CP最大，∴PC的最大值为22．故答案为22．
【例7】★★如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，
∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝12，BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故选：D．
【例8】★如图，已知是半圆的直径，，是的中点，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】连接BC，∵AB是半圆O的直径，∠BAC=32°，∴∠ACB=90°，∠B=90°-32°=58°，
∴∠D=180°-∠B=122°（圆内接四边形对角互补），
∵D是的中点，∴∠DAC=∠DCA=（180°-∠D）÷2=29°，故选B．
【例9】★★如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC＝55°，则∠BAD等于（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
【分析】连接OB、OC．求出∠BOD即可解决问题．
【解析】连接OB，OC，∵∠ADC＝55°，∴∠AOC＝2∠ADC＝110°，∴弧AC＝110°，
∵AD是半圆的直径，∴弧CD＝70°，
∵D是弧BD的中点，∴弧BD＝140°，∴∠BOD＝140°，∴∠BAD＝∠BOD＝70°，故选：D．
【例10】★如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，
若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（ ）
A．l00° B．105° C．110° D．120
【分析】利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用互余计算出∠BAC＝60°，接着根据角平分线定义得到∠BCD＝45°，从而利用圆周角定理得到∠BAD＝∠BCD＝45°，然后计算∠BAC+∠BAD即可．
【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°，
∵∠BAD＝∠BCD＝45°，∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°．故选：B．
【例11】★★如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，垂足为D，连接AE、EC．
（1）若∠AEC＝25°，求∠AOB的度数；
（2）若∠A＝∠B，EC＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；
（2）想办法证明∠B＝∠AEB＝∠AEC＝30°，即可解决问题．
【解析】（1）连接OC．
∵半径OA⊥弦BC，∴，∴∠AOC＝∠AOB，
∵∠AOC＝2∠AEC＝50°，∴∠AOB＝50°．
（2）∵BE是⊙O的直径，∴∠ECB＝90°，∴EC⊥BC，
∵OA⊥BC，∴EC∥OA，∴∠A＝∠AEC，
∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA，
∵∠A＝∠B，∴∠B＝∠AEB＝∠AEC＝30°，
∵EC＝4，∴EB＝2EC＝8，∴⊙O的半径为4．
【例12】★★如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点F、D，点F是弧BD的中点．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝45°，连结AF、BD交于点E，求证：AE＝BC．
【分析】（1）欲证明AB＝AC，只要证明△AFB≌△AFC（ASA）．
（2）证明△ADE≌△BDC（ASA）即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵点F是的中点，∴，∴∠BAF＝∠CAF，
∵AB是直径，∴∠AFB＝∠AFC＝90°
∵AF＝AF，∴△AFB≌△AFC（ASA），∴AB＝AC．
（2）证明：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝45°，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴AD＝DB，
∵∠C+∠CBD＝90°，∠C+∠CAF＝90°，∴∠CBD＝∠CAF，
∵∠BDC＝∠ADF＝90°，∴△ADE≌△BDC（ASA），∴AE＝BC．
【例13】★★已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ．
（1）如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝2时，求⊙O的半径；
（2）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明．
【解析】（1）连接AB，
∵∠APQ＝∠BPQ＝45°，∴∠APB＝∠APQ+BPQ＝90°，∴AB是⊙O的直径，
∴AB＝＝＝3，∴⊙O的半径为；
（2）AB∥ON，
证明：连接OA、OB、OQ，
∵∠APQ＝∠BPQ，∴＝，∴∠AOQ＝∠BOQ，
∵OA＝OB，∴OQ⊥AB，
∵OP＝OQ，∴∠OPN＝∠OQP，
∵∠OPN+∠OQP+∠PON+∠NOQ＝180°，∴2∠OPN+PON+∠NOQ＝180°，
∵∠NOP+2∠OPN＝90°，∴∠NOQ＝90°，∴NO⊥OQ，∴AB∥ON．
题型八、圆的内接四边形
【例1】★（2020春 洪泽区期中）如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝100°，则∠α度数为（ ）
A．160° B．120° C．100° D．80°
【分析】在优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，先由圆内接四边形的性质求出∠ADB的度数，再由圆周角定理求出∠AOB的度数即可．
【解析】优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，．
∵四边形ACBD内接与⊙O，∠C＝100°，∴∠ADB＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝2×80°＝160°．故选：A．
【例2】★如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠CBD＝55°，则∠AOC的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．125°
【分析】设点E是优弧AB（不与A，B重合）上的一点，则∠AEC∠AOC，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角即可求得．
【解析】设点E是优弧AC（不与A，C重合）上的一点，连接AE、CE，
∵∠CBD＝55°．∴∠E＝180°﹣∠ABC＝∠CBD＝55°．∴∠AOC＝2∠E＝110°．故选：C．
【例3】★如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝110°，则∠DCE＝ °．
【分析】先利用圆周角定理得∠A∠BOD＝55°，然后根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求解．
【解析】∵∠BOD＝110°，∴∠A∠BOD＝55°，∴∠DCE＝∠A＝55°．故答案为55．
【例4】★如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE，若∠B＝76°，则∠AEC＝ °．
【分析】根据平行四边形的性质求出∠D，根据圆内接四边形的性质得出∠D+∠AEC＝180°，代入求出即可．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝76°，∴∠D＝∠B＝76°，
∵四边形AECD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝180°﹣76°＝104°，故答案为：104．
【例5】★如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D＝70°，则∠BAE＝ °．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝70°，∴∠DCB＝（180°﹣∠D）＝110°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝70°，∠B＝180°﹣∠BCD＝70°
∴∠BAE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故答案为：40。
【例6】★如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝55°，分别连接AC、BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC，根据等腰三角形的性质、圆周角定理计算即可．
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠EBC＝55°，
∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝55°，∴∠DAC＝70°，由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC＝70°，故选：D．
【例7】★如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．
∵＝，∠BAC＝25°，∴∠DCE＝∠BAC＝25°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．
故选：B．
【例8】★如图四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠D，连接AC，则线段AC的长（ ）
A．4 B．4 C．6 D．8
【分析】连接OA，OC，利用内接四边形的性质得出∠D＝60°，进而得出∠AOC＝120°，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解析】连接OA，OC，过O作OE⊥AC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝2∠D，∴∠B+∠D＝3∠D＝180°，解得：∠D＝60°，∴∠AOC＝120°，
在Rt△AEO中，OA＝4，∴AE＝2，∴AC＝4，故选：B．
【点睛】此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出∠D＝60°．
【例9】★如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故选：C．
【例10】★★如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．
（1）若∠CBD＝40°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1＝∠2．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CDB＝∠CBD＝40°，根据圆周角定理得到∠CAB＝∠CDB＝40°，∠CAD＝∠CBD＝40°，结合图形计算得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠CEB，根据三角形的外角性质证明结论．
【解答】（1）∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝40°，
由圆周角定理得，∠CAB＝∠CDB＝40°，∠CAD＝∠CBD＝40°，∴∠BAD＝40°+40°＝80°；
（2）证明：∵CE＝CB，∴∠CBE＝∠CEB，∴∠1+∠CDB＝∠2+∠CAB，
∵∠BAC＝∠BDC＝∠CBD，∴∠1＝∠2．
【例11】★★★如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D，∠ADB＝90°，BE平分∠ABD交CD于点E，则的最小值是 ．
【解析】如图，取AB的中点O，连接OC，OD，AE．
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，OA＝OB，∴OC＝OD＝AB，∴A，C，B，D四点共圆，
∵CA＝CB，∴∠CBA＝∠CBA＝45°，
∴∠CDA＝∠CBA＝45°，∠CDB＝∠CAB＝45°，∴∠CDB＝∠CDA，
∵BE平分∠ABD，∴AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，
∵∠CAE＝∠CAB+∠BAE＝45°+∠BAE，∠CEA＝∠EDA+∠EAD＝45°+∠DAE，
∴∠CAE＝∠CEA，∴CA＝CE＝定值，
∴当CD的值最大时，的值最小，
∴CD是直径时，的值最小，最小值＝＝，故答案为．
【例12】★★★已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
（1）如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，若AC⊥BD．垂足为E，AB＝4，DC＝6，求⊙O的半径．
【解析】（1）∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴AC、BD是⊙O的直径，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD；
（2）连接DO，延长交圆O于F，连接CF、BF．
∵DF是直径，
∴∠DCF＝∠DBF＝90°，
∴FB⊥DB，
又∵AC⊥BD，
∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD＝90°，
∵∠FCA+∠ACD＝90°，
∴∠BDC＝∠FCA＝∠BAC，
∴四边形ACFB是等腰梯形，∴CF＝AB．
根据勾股定理，得CF2+DC2＝AB2+DC2＝DF2＝52，∴DF＝2，
∴OD＝，即⊙O的半径为．
【亮点训练】
【变式1】★如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
【答案】D
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC=40°，进而利用垂径定理得出∠AOB=80°即可．
【详解】∵∠ABC=20°，∴∠AOC=40°，
∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=40°，∴∠AOB=80°，故选：D．
【变式2】★（2020·扬州市二模）如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（ ）
A．70° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA=OB，可求出∠ABO的度数
【详解】
连接OA、OC，∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°，
∵OA＝OB（都是半径），∴∠ABO＝∠OAB＝ （180°﹣∠AOB）＝55°．故选：B．
【变式3】★如图，在⊙中，半径垂直弦于，点在⊙上，，半径等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出是等腰直角三角形，进而得出答案．
【详解】半径弦于点，，，
，是等腰直角三角形，
，，则半径．故选：B．
【变式4】★（2020·张家港市期末）如图，是⊙上的点，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵与都是所对的圆周角，∴．故选：D．
【变式5】★★如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E，连接AD，BC，CO
（1）当∠BCO＝25°时，求∠A的度数；
（2）若CD＝4，BE＝4，求⊙O的半径．
【解析】（1）∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B，
∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠BCO＝25°，
∵CD⊥AB，∴在Rt△ADE中，∠A＝90°﹣∠D＝90°﹣25°＝65°；
（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，∴CE＝CD＝，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝BE﹣BO＝4﹣r，
∴，解得：r＝3，∴⊙O的半径为3．
【变式6】★如图，是⊙的直径，、是⊙上的两点，，则_____．
【答案】
【详解】，．故答案为：．
【变式7】★如图点，，，在上，，，，则_____．
【答案】70°
【详解】∵=，∴，∴，
∵，∴．故答案为
【变式8】★如图，在⊙O中，直径BA的延长线与弦ED的延长线相交于点C，且CD＝OA．若∠BOE＝75°，则∠C的度数为 ．
【分析】连接OD，如图，利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠DOC，再根据三角形外角性质得∠EDO＝2∠C，所以∠E＝∠EDO＝2∠C，然后利用∠EOB＝∠C+∠E可计算出∠C．
【解析】连接OD，如图，∵DC＝OA＝DO，∴∠C＝∠DOC，
∵∠EDO＝∠C+∠DOC，∴∠EDO＝2∠C，∵OD＝OE，∴∠E＝∠EDO＝2∠C，
∵∠EOB＝∠C+∠E，∴∠C+2∠C＝75°，∴∠C＝25°．故答案为25°．
【变式9】★★（2019秋 东海县期中）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（ ）
①AC＝CD； ②AD＝BD； ③； ④CD平分∠ACB
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据折叠的性质可得AD＝CD；根据线段中点的定义可得AD＝BD；根据垂径定理可作判断③；延长OD交⊙O于E，连接CE，根据垂径定理可作判断④．
【解析】过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，
由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；
∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∵AC＝CD，故②正确；
∴，由折叠得：，∴；故③正确；
延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：A．
【变式10】★★如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．
【答案】(1)26°;(2)8.
【解析】
（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴=，∴∠DEB=∠AOD=×52°=26°；
（2）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴AC=BC，即AB=2AC，
在Rt△AOC中，AC===4，则AB=2AC=8．
亮题三、直径所对的圆周角是90°
【变式1】★如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于( )
A．33° B．57° C．67° D．66°
【答案】B
【解析】如图，连接DC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴∠D=180-∠BCD-∠DBC=180°-90°-33°=57°，
又∵∠A=∠D，∴∠A=57°.故选B.
【变式2】★从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵直径所对的圆周角等于直角，∴从直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．
故选B．
【变式3】★（2020·江阴市期中）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）
A．勾股定理 B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理 D．90°的圆周角所对的弦是直径
【答案】B
【详解】由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．故选B．
【变式4】★如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】C
【详解】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．
∵∠ACO＝50°，∴∠BCO＝90°﹣50°＝40°．∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO＝40°．故选：C．
【变式5】★如图，ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（ ）
A．36° B．46° C．27° D．63°
【答案】A
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=54°，∴∠B=∠ADC=54°．
∵BE为⊙O的直径， ∴∠BAE=90°．∴∠AEB=90°﹣∠B=90°﹣54°=36°．故选A．
【变式6】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=30，则∠B的度数为( )
A．30° B．50° C．60° D．80°
【答案】C
【详解】∵AB为⊙O的直径，∴∠C=90°，∵∠A=30°，∴∠B=180°-90°-30°=60°．故选：C．
【变式7】★如图，已知的内接正方形边长为2，则的半径是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【详解】如图，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，边长为2，∴BC=CD=2，∠BCD=90°，∴BD==2，
∵正方形ABCD是⊙O的内接四边形，∴BD是⊙O的直径，∴⊙O的半径是=，
故选：C.
【变式8】★如图，已知是半圆的直径，，是的中点，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】连接BC，∵AB是半圆O的直径，∠BAC=32°，∴∠ACB=90°，∠B=90°-32°=58°，
∴∠D=180°-∠B=122°（圆内接四边形对角互补），
∵D是的中点，∴∠DAC=∠DCA=（180°-∠D）÷2=29°，故选B．
【变式9】★如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB的大小为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．25°
【答案】C
【详解】∵四边形ABCO是平行四边形，OA=OC，∴四边形ABCO是菱形，
∴OA=AB，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠ABD=60°，
∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴∠ADB=30°，故选C.
【变式10】★如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．
【答案】40
【分析】若要利用∠BAD的度数，需构建与其相等的圆周角；连接BD，由圆周角定理可知∠ACD=∠ABD，
在Rt△ABD中，求出∠ABD的度数即可得答案．
【详解】连接BD，如图，∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，∴∠ACD=∠ABD=40°，故答案为：40．
【变式11】★如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为______.
【答案】1
【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=∠CDB=30°，∴BC=AB=，故答案为1．
【变式12】★如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为_____．
【答案】60°
【解析】∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠CBD=30°，∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；
故答案是：60°
【变式13】★如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为_______．
【答案】65°．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数
【详解】∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°．∵∠B=∠ACD=25°，∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．故答案为:65°
【变式14】★★△ABC内接于⊙O，AH⊥BC，垂足为H，AD平分∠BAC，交⊙O于点D．
求证：AD平分∠HAO.
【答案】证明见解析.
【分析】首先延长AO交⊙O于N，连接BN，根据圆周角定理与AH⊥BC，可得∠ABN=∠AHC=90°，又由∠C=∠N，可得∠BAN=∠HAC，然后根据AD平分∠BAC，即可证得∠DAO=∠DAH．
【解析】证明：延长AO交⊙O于N，连接BN，
∵AN是⊙O的直径，AH⊥BC，∴∠ABN=∠AHC=90°，∴∠BAN+∠N=90°，∠HAC+∠C=90°，
∵∠N=∠C，∴∠BAN=∠HAC，
∵AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，∴∠DAO=∠DAH．∴AD平分∠HAO.
【变式15】★如图，AB是圆O的直径，∠ACD＝30°，
（1）求∠BAD的度数．
（2）若AD＝4，求圆O的半径．
【答案】（1）60°；（2）4
【详解】（1）∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠C＝30°，∴∠BAD＝60°；
（2）∵∠B＝30°，∠ADB＝90°，∴AB＝2AD，∵AD＝4，∴AB＝8，∴圆O的半径为4．
亮题四、圆的内接四边形
【变式1】★如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝110°，则∠BCD的度数为（ ）
A．55° B．70° C．110° D．125°
【答案】D
【详解】由圆周角定理得,∠A=∠BOD=55°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD=180° ∠A=125°，故选：D.
【变式2】★如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=70°，则∠C的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠A=180°，∴∠A=180°﹣70°=110°．故选B．
【变式3】★如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（ ）
A．80° B．100° C．60° D．40°
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=180°-140°=40°．∴∠AOC=2∠ABC=80°．故选A．
【变式4】★如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是（ ）
A．110° B．90° C．70° D．50°
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠B=180°，∴∠D=180°﹣70°=110°，故选A．
【变式5】★（2020·泰州市期末）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A的度数等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
【答案】C
【详解】设∠A、∠C分别为x、2x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴x+2x＝180°，解得，x＝60°，即∠A＝60°，故选：C．
【变式6】★如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】B
【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A=180°-∠C=40°，∴∠BOD=2∠A=80°，故选B.
【变式7】★如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( )
A．115° B．105° C．100° D．95°
【答案】B
【详解】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，而∠BAD=105°，∴∠DCE=105°．故选B．
【变式8】★圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3∶4∶6，则∠D的度数为( )
A．60° B．80° C．100° D．120°
【答案】C
【详解】根据圆内接四边形的性质可得：∠A+∠C=∠B+∠D=180°，
设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=6x，则3x+6x=180°，解得：x=20°，则∠B=80°，∠D=180°－80°=100°。故选：C
【变式9】★如图，D是等腰△ABC外接圆弧AC上的点，AB＝AC且∠CAB=56°，则∠ADC的度数为（ ）
A．116° B．118° C．122° D．126°
【答案】B
【详解】∵AB=AC，∠CAB=56 ，∴∠B==62 ，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC=180 -∠B=180 -62 =118 .故选B.
【变式10】★如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE=_____°．
【答案】n
【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB=180°，
又∵∠DCE+∠DCB=180°∴∠DCE=∠A=n°，故答案为n
【变式11】★（2020·盐城市期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为_____．
【答案】130°
【详解】在优弧AB上取一点D，连接AD、DB
∵OA=OB，∠ABO=40°，∴∠OAB=40°，∴∠AOB=100°，
∴∠ADB=50°，∴∠ACB=180°﹣50°=130°，故答案为130°．
【变式12】★如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB＝60°，∠ADC＝106°，则∠OCB＝_____°．
【答案】46°
【详解】∵OC∥AD，∴∠OCD=180°-∠ADC=74°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD=180°-∠DAB=120°，∴∠OCB=∠BCD-∠OCD=46°，故答案为：46.
【变式13】★★如图,AB是⊙0的直径,点C在⊙0上,D是中点,若∠BAC=70°,求∠C．下面是小雯的解法,请帮他补充完整:
【解析】在⊙0中,
∵D是的中点
∴BD=CD．
∴∠1=∠2( )(填推理的依据).
∵∠BAC=70°,
∴∠2=35°.
∵AB是⊙0的直径,
∴∠ADB=90°( )(填推理的依据).
∴∠B=90°-∠2=55°.
∵A、B、C、D四个点都在⊙0上,
∴∠C+∠B=180°( )(填推理的依据).
∴∠C=180°-∠B= (填计算结果).
【详解】
依次填写:
①等弧所对的圆周角相等;
②直径所对的圆周角是直角;
③圆内接四边形对角互补;
④125°
【变式14】★★如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF．
（1）证明：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）110°．
【分析】（1）连接AD，利用直径所对的圆周角为直角，可得AD⊥BC，再根据CD＝BD，故AD垂直平分BC，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得：AB＝AC，再根据等边对等角和同弧所对的圆周角相等即可得到∠E＝∠C；
（2）根据内接四边形的性质：四边形的外角等于它的内对角，可得∠CFD＝∠E＝55°，再利用外角的性质即可求出∠BDF.
【详解】（1）证明：连接AD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C；
（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＝180°﹣∠E，
∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，
∴∠CFD＝∠E＝55°，
由（1）得：∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝55°+55°＝110°．
【亮点检测】
1．已知AB是⊙O的直径，过点A的弦AD平行于半径OC，若∠A＝70°，则∠B等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．60°
【答案】B
【分析】
由AD∥OC，∠A=70°，根据平行线的性质，即可求得∠AOC的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠B的度数．
【详解】
解：∵AD∥OC，∠A=70°，
∴∠AOC=∠A=70°，
∴∠B=∠AOC=35°．
故选：B．
【点睛】
此题考查了圆周角定理与平行线的性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键．
2．如图，已知内接于，是的直径，平分，交于，若，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
连接，由平分，可得，根据圆周角定理推论得为等腰直角三角形，，计算即可．
【详解】
解：如图：
连接，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：．
【点睛】
本题考查角平分线的定义，圆周角定理推论，等腰三角形的判定等相关知识点，牢记定理内容是解题关键．
3．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠BAD＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】
根据圆周角定理推论：直径所对圆周角为直角、同圆中等弧所对圆周角相等即可得到结论．
【详解】
解：是的外接圆的直径，
点，，，在上，
，
，
是的外接圆的直径，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，由圆周角定理得到，是解题的关键．
4．如图，中，弦相交于点，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据三角形外角的性质得出的度数，然后根据圆周角定理可得．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质以及圆周角定理，熟知同弧或等弧所对的圆周角相等是解本题的关键．
5．下列命题中，正确的是（ ）
A．圆心角相等，所对的弦相等 B．三点确定一个圆
C．长度相等的弧是等弧 D．弦的垂直平分线必经过圆心
【答案】D
【分析】
根据圆的有关性质对每一项进行判断即可得出答案．
【详解】
解：A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；
B.不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
C.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项错误；
D.弦的垂直平分线必经过圆心，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断．
6．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）
A．10° B．14° C．16° D．26°
【答案】C
【分析】
连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数．
【详解】
解：如图，连接BD，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7．如图，四边形为的内接四边形，平分，于点，已知，，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】
延长BA到E，使AE＝BC，连接DE，如图，根据圆周角定理得到∠DAC＝∠DBC＝60°，∠DCA＝∠DBA＝60°，再判断△DAC为等边三角形得到DA＝DC，于是可证明△ADE≌△BCD，所以∠E＝∠DBC＝60°，接着判断△DBE为等边三角形，所以BH＝EH，然后计算出BH得到BE的长，从而得到AB+BC的长．
【详解】
解：延长BA到E，使AE＝BC，连接DE，如图，
∴∠DAE=∠DCB
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×120°＝60°，
∵∠DAC＝∠DBC＝60°，∠DCA＝∠DBA＝60°，
∴△DAC为等边三角形，
∴DA＝DC，
在△ADE和△BCD中，
，
∴△ADE≌△BCD（SAS），
∴∠E＝∠DBC＝60°，
而∠DBA＝60°，
∴△DBE为等边三角形，
∵DH⊥AB，
∴BH＝EH，
在Rt△BDH中，BH＝DH＝×＝，
∴BE＝2BH＝，
∴AB+BC＝．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查圆内线段求解，解题的关键是熟知勾股定理、圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线的性质、垂径定理的应用．
8．如图，圆的两条弦，相交于点，且弧弧，，则的度数为__________．
【答案】80°
【分析】
根据圆周角定理得到∠A=∠C=40°，由三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵弧弧，
∴∠A=∠C=40°，
∴∠CEB=∠A+∠C=80°，
故选答案为：80°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
9．如图所示，△ABC中，∠C＝25°，∠B＝85°，过点A，B的圆交边AC，BC于点E，D，则∠EDC＝___________°．
【答案】70
【分析】
由三角形的内角和是180°，得∠A＝70°，由圆内接四边形性质可求∠BDE，再根据邻补角定义求∠EDC即可．
【详解】
解：∠A＝180°-∠C-∠B＝180°-25-85°=70°，
∵∠A＋∠BDE＝180°，
∴∠BDE＝110°，
又∠BDE＋∠EDC＝180°，
∴∠EDC＝70°．
故答案为：70．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质和三角形内角和，解题关键是明确圆内接四边形对角互补，准确进行计算．
10．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是_______度．
【答案】126
【分析】
先根据圆周角定理得到∠A＝∠BOD＝54°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数．
【详解】
∵∠BOD＝108°，
∴∠A＝∠BOD＝54°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝126°．
故答案是：126．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
11．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠C＝40°，∠AED＝100°，则∠D＝______．
【答案】60°
【分析】
首先根据圆周角定理的推论，得∠C=∠ABD，再根据三角形外角的性质即可求得∠D的度数．
【详解】
解：∵∠C=40°，
∴∠C=∠B=40°．
∵∠AED=100°，
∴∠D=∠AED-∠B=100°-40°=60°．
故答案是：60°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．
12．如图，是的弦，是上一点，交于点，连接，，若，，则的度数为________．
【答案】
【分析】
设∠AOC=x°，根据圆周角定理得到∠B的度数，根据三角形的外角的性质列出方程，解方程得到答案．
【详解】
解：设∠AOC=x°，则∠B=x°，
∵∠AOC=∠ODC+∠C，∠ODC=∠B+∠A，
∴x=20°+30°+x， 解得x=100°．
故选A．
【点睛】
本题主要考查的是圆周角定理和三角形的外角的性质，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
13．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为_____________．
【答案】
【分析】
作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，连接OA，OC，作OD⊥AC于D，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，OB，作OD⊥AC于D，
∵∠AMN＝40°，
∴∠AON＝80°，
∵B为弧AN的中点，
∴∠AOB＝∠NOB＝40°，
由对称可知，∠CON＝∠NOB＝40°，
∴∠AOC＝120°，
∵MN＝2
∴OA＝OC＝1，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴OD＝，
，
AC＝2CD＝．
故答案为．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质等，确定点P的位置，求出∠AOC的度数是解决本题的关键．
14．如图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是________．
【答案】4
【分析】
连接，，求出，，，四点共圆，则是的一条弦，当为的直径时最大．
【详解】
解：如图，连接，，根据，
所以，，，四点共圆，且为直径，
的中点为圆心，则为的一条弦，
当为的直径时最大，
所以时最大，
即的最大值为4．
故答案为4
【点睛】
本题考查了四点共圆，解题的关键是找出符合条件的的位置，有一定难度．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度数．
【答案】110°
【分析】
先根据圆周角定理得到∠A=∠BOD=70°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数．
【详解】
∵∠BOD＝140°，
∴∠A＝∠BOD＝70°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝116°，则∠ADC的角度是_____．
【答案】58°
【分析】
直接利用圆周角定理求解．
【详解】
∵∠AOC和∠ADC都对，
∴∠ADC=∠AOC=×116°=58°．
故答案为：58°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
17．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
【答案】（1）20；（2）30°
【分析】
（1）根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出⊙O的半径，即可求出答案；
（2）连接OC，先证明，从而可证得、、的度数是即∠MOC=60°，再由圆周角定理即可求解．
【详解】
解：（1）∵弦CD⊥AB，
∴，∠OED=90°
设圆的半径为r，则OD=r，OE=OB-OE=r-4，
∴即，
解得，
∴圆的直径；
（2）连接OC，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，
∴，
∵∠M＝∠D，
∴，
∴，
∵MD过O，
∴、、的度数是，
∴∠MOC=60°，
∴．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理和圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠ADB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由见解析．
【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，再根据圆周角定理可得∠ADB＝45°；
（2）利用旋转的性质和AD∥BF，证明（SAS），得到EF=MF，再证明，利用勾股定理可得AE、CF、EF的关系．
【详解】
（1）如图1，∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．
理由如下：如图所示，设绕点B逆时针旋转得到，连接FM，
∴，
∴，
∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°，
∴,
∴，
∴,
在和中，
∴（SAS），
∴EF=EM，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理，
，
∴．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相应的知识点．专题24.1.4 圆周角与圆心角
【教学目标】
理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及两个推论的知识和简单应用。
2、理解并掌握圆内接四边形定理。
3、圆周角相关定理理解运用。
【教学重难点】
1、理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及两个推论的知识和简单应用。
2、理解并掌握圆内接四边形定理。
3、圆周角相关定理理解运用。
【知识亮解】
知识点一：圆周角
1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。
亮题一、圆周角定理
【例1】★（2020春 江阴市期中）如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．35° C．25° D．60°
【例2】★如图，点A，B，C在⊙O上，∠OAB＝65°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50° B．32.5° C．25° D．20°
【例3】★如图，半径为5的⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC、∠EAD．已知DE＝8，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于（ ）
A． B． C．4 D．3
【例4】★如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝50°，∠C＝10°，则∠B＝ °．
【例5】★★点A、B、C在⊙O上，且四边形OABC为平行四边形，P为⊙O上异于A、B、C的一点，则∠APC＝ ．
【例6】★★如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（ ）
+ B．2+ C．4 D．2+2
【例7】★★如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【例8】★★如图，在⊙O中，弦AB的长为10，半径OD⊥AB，垂足为C，E为⊙O上任意一点，连接DE、BE．
（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝2CD，求CD的长．
【例9】★★已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC上一动点，AG，DC的延长线交于点F，连接BC．
（1）若AB＝4，∠B＝60°，求CD的长；
（2）设∠DGF＝β°，∠BCD＝α°，求β关于α的函数表达式．
亮题二、直径所对的圆周角是90°
【例1】★如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆周上，∠CBD＝20°，则∠A的度数为（ ）
A．45° B．80° C．70° D．60°
【例2】★如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠D＝20°，则∠CBA的度数是 ．
【例3】★如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（ ）
A．20° B．70° C．30° D．90°
【例4】★如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为 ．
【例5】★如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）
OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD
【例6】★★如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的最大值为 ．
【例7】★★如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，
∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【例8】★如图，已知是半圆的直径，，是的中点，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【例9】★★如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC＝55°，则∠BAD等于（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
【例10】★如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，
若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（ ）
A．l00° B．105° C．110° D．120
【例11】★★如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，垂足为D，连接AE、EC．
（1）若∠AEC＝25°，求∠AOB的度数；
（2）若∠A＝∠B，EC＝4，求⊙O的半径．
【例12】★★如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点F、D，点F是弧BD的中点．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝45°，连结AF、BD交于点E，求证：AE＝BC．
【例13】★★已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ．
（1）如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝2时，求⊙O的半径；
（2）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明．
亮题三、圆的内接四边形
【例1】★（2020春 洪泽区期中）如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝100°，则∠α度数为（ ）
A．160° B．120° C．100° D．80°
【例2】★如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠CBD＝55°，则∠AOC的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．125°
【例3】★如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝110°，则∠DCE＝ °．
【例4】★如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE，若∠B＝76°，则∠AEC＝ °．
【例5】★如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D＝70°，则∠BAE＝ °．
【例6】★如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝55°，分别连接AC、BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
【例7】★如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【例8】★如图四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠D，连接AC，则线段AC的长（ ）
A．4 B．4 C．6 D．8
【例9】★如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【例10】★★如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．
（1）若∠CBD＝40°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1＝∠2．
【例11】★★★如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D，∠ADB＝90°，BE平分∠ABD交CD于点E，则的最小值是 ．
【例12】★★★已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
（1）如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，若AC⊥BD．垂足为E，AB＝4，DC＝6，求⊙O的半径．
【亮点训练】
题型一、圆周角定理
【变式1】★如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
【变式2】★（2020·扬州市二模）如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（ ）
A．70° B．55° C．45° D．35°
【变式3】★如图，在⊙中，半径垂直弦于，点在⊙上，，半径等于（ ）
A． B． C． D．
【变式4】★（2020·张家港市期末）如图，是⊙上的点，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
【变式5】★★如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E，连接AD，BC，CO
（1）当∠BCO＝25°时，求∠A的度数；
（2）若CD＝4，BE＝4，求⊙O的半径．
【变式6】★如图，是⊙的直径，、是⊙上的两点，，则_____．
【变式7】★如图点，，，在上，，，，则_____．
【变式8】★如图，在⊙O中，直径BA的延长线与弦ED的延长线相交于点C，且CD＝OA．若∠BOE＝75°，则∠C的度数为 ．
【变式9】★★（2019秋 东海县期中）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（ ）
①AC＝CD； ②AD＝BD； ③； ④CD平分∠ACB
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式10】★★如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．
题型二、直径所对的圆周角是90°
【变式1】★如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于( )
A．33° B．57° C．67° D．66°
【变式2】★从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】★（2020·江阴市期中）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）
A．勾股定理 B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理 D．90°的圆周角所对的弦是直径
【变式4】★如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【变式5】★如图，ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（ ）
A．36° B．46° C．27° D．63°
【变式6】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=30，则∠B的度数为( )
A．30° B．50° C．60° D．80°
【变式7】★如图，已知的内接正方形边长为2，则的半径是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式8】★如图，已知是半圆的直径，，是的中点，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式9】★如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB的大小为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．25°
【变式10】★如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．
【变式11】★如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为______.
【变式12】★如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为_____．
【变式13】★如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为_______．
【变式14】★★△ABC内接于⊙O，AH⊥BC，垂足为H，AD平分∠BAC，交⊙O于点D．
求证：AD平分∠HAO.
【变式15】★如图，AB是圆O的直径，∠ACD＝30°，
（1）求∠BAD的度数．
（2）若AD＝4，求圆O的半径．
亮题三、圆的内接四边形
【变式1】★如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝110°，则∠BCD的度数为（ ）
A．55° B．70° C．110° D．125°
【变式2】★如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=70°，则∠C的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【变式3】★如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（ ）
A．80° B．100° C．60° D．40°
【变式4】★如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是（ ）
A．110° B．90° C．70° D．50°
【变式5】★（2020·泰州市期末）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A的度数等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
【变式6】★如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【变式7】★如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( )
A．115° B．105° C．100° D．95°
【变式8】★圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3∶4∶6，则∠D的度数为( )
A．60° B．80° C．100° D．120°
【变式9】★如图，D是等腰△ABC外接圆弧AC上的点，AB＝AC且∠CAB=56°，则∠ADC的度数为（ ）
A．116° B．118° C．122° D．126°
【变式10】★如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE=_____°．
【变式11】★（2020·盐城市期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为_____．
【变式12】★如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB＝60°，∠ADC＝106°，则∠OCB＝_____°．
【变式13】★★如图,AB是⊙0的直径,点C在⊙0上,D是中点,若∠BAC=70°,求∠C．下面是小雯的解法,请帮他补充完整:
【解析】在⊙0中,
∵D是的中点
∴BD=CD．
∴∠1=∠2( )(填推理的依据).
∵∠BAC=70°,
∴∠2=35°.
∵AB是⊙0的直径,
∴∠ADB=90°( )(填推理的依据).
∴∠B=90°-∠2=55°.
∵A、B、C、D四个点都在⊙0上,
∴∠C+∠B=180°( )(填推理的依据).
∴∠C=180°-∠B= (填计算结果).
【变式14】★★如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF．
（1）证明：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数．
【亮点检测】
1．已知AB是⊙O的直径，过点A的弦AD平行于半径OC，若∠A＝70°，则∠B等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．60°
2．如图，已知内接于，是的直径，平分，交于，若，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠BAD＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图，中，弦相交于点，则（ ）．
A． B． C． D．
5．下列命题中，正确的是（ ）
A．圆心角相等，所对的弦相等 B．三点确定一个圆
C．长度相等的弧是等弧 D．弦的垂直平分线必经过圆心
6．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）
A．10° B．14° C．16° D．26°
7．如图，四边形为的内接四边形，平分，于点，已知，，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
8．如图，圆的两条弦，相交于点，且弧弧，，则的度数为__________．
9．如图所示，△ABC中，∠C＝25°，∠B＝85°，过点A，B的圆交边AC，BC于点E，D，则∠EDC＝___________°．
10．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是_______度．
11．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠C＝40°，∠AED＝100°，则∠D＝______．
12．如图，是的弦，是上一点，交于点，连接，，若，，则的度数为________．
13．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为_____________．
14．如图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是________．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度数．
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝116°，则∠ADC的角度是_____．
17．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．
