高一数学《函数.奇偶性》检测题及答案解析

1.3.2 奇偶性
建议用时 实际用时 满分 实际得分
45分钟 100分
一、选择题(本大题共5个小题，每小题6分，共30分)
1．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（　　）　
　A．，b＝0　　　　B．a＝－1，b＝0 　　C．a＝1，b＝0　　　　　D．a＝3，b＝0
2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝
－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)
A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
3．若函数f(x)＝ax＋(a∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A．任意a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是增
函数
B．任意a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是减
函数
C．存在a∈R，函数f(x)为奇函数
D．存在a∈R，函数f(x)为偶函数
4．若函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上是
增函数，又f(2)＝0，则的解集为(　　)
A．(－2,0)∪(0,2)
B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,0)∪(2，＋∞)
5.设偶函数f（x）的定义域为R，当时，
f（x）是增函数，则的大小关系是（ ）
A．f(π)>f(3) >f (2)
B．f(π)>f(2)>f(3)
C．f(π)D．f(π)二、填空题(本大题共4个小题，每小题6分，共24分)
6.若函数满足，并且时，，则当时，= .
7.若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m ＝_________．
8．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a＝________.
9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝________.
三、解答题(本大题共3个小题，共46分)
10.（14分）判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝
11．（15分）设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋
f（x2），求证：f（x）是偶函数.
12．（17分）已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围
一、选择题
1.A 解析：由f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0．
　　又定义域为［a－1，2a］，∴ a－1＝2a，∴ ．故选A．
2.D 解析：∵ f(x－4)＝－f(x)，∴ T＝8.又f(x)是R上的奇函数，∴ f(0)＝0.
∵ f(x)在[0,2]上是增函数，∴ f(x)在[0,2]上恒大于等于0.
又f(x)是奇函数，∴ f(x)在[－2,0]上也是增函数，且f(x)在[2,0]上恒小于等于0..
易知x∈[2,4]时，f(x)＝－f(x－4)≥0，且f(x)为减函数．
同理f(x)在[4,6]上为减函数且f(x)≤0.如图．
∵ f(－25)＝f(－1)＜0，f(11)＝f(3)＞0，f(80)＝f(0)＝0，∴ f(－25)＜f (80)＜f(11)．
3.C 解析：当a＝1时，函数f(x)在(0,1)上为减函数，A错；当a＝1时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，B错；D选项中的a不存在．
4.A 解析：因为函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f(2)＝0，所以x>2或－20；x<－2或05.A 解析：因为是偶函数,所以因为当时是增函数,所以.
二、填空题
6. 解析：当时，，.
7. 0 解析：因为函数y＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，∴ f（－x）＝f（x），即(m－1)(－x)2＋
2m（－x）＋3＝（m1）x2＋2mx＋3，整理，得m＝0．
8.－1 解析：令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x(1－x).
又f(x)为奇函数，所以当x<0时,f(x)＝x(1－x).
当<0时,f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0，
解得a＝－1或a＝2(舍去)．
当0时,即,无解.
9.－0.5 解析：由f(x＋2)＝－，得f(x＋4)＝－＝f(x)，故f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．因为f(x)是偶函数，得f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．
而1≤x≤2时，f(x)＝x－2，∴ f(1.5)＝－0.5.
故f(6.5)＝－0.5.
三、解答题
10.解： (1)函数的定义域为{x|x≠－1，}，不关于原点对称，
∴ 函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
（2）由得x＝±1，此时f(x)＝0，x∈{－1,1}．
∴ f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵ ∴ f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．
此时f(x)＝＝.又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴ f(x)＝为奇函数．
11.证明：由x1，x2R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1，
则f（1）＝2f（1），∴ f（1）＝0．
又令x1＝x2＝－1，
则 f［－1×（－1）］＝2f（）＝0，
∴ （－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，
∴ f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．
点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．
12.解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]