高一数学《函数的单调性》检测题及答案解析

1.3.1 单调性与最大（小）值
建议用时 实际用时 满分 实际得分
45分钟 100分
一、选择题(本大题共5小题，每小题6分，共
30分)
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的
是(　 　)
A．y＝　　　　 B．y＝3x2＋1
C．y＝ D．y＝|x|
2．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)， 当x>2时，f(x)单调递增，如果x1＋x2<4，且
(x1－2)(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．恒小于0 B．恒大于0
C．可能为0 D．可正可负
3．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
4.如果函数上单调递减，则实数满足的条件是 (　　)
A．(8，＋∞) B．[8, ＋∞)
C．(∞,8) D．(∞,8]
5．函数y＝的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，－3] B．(－∞，－1]
C．[1，＋∞) D．[－3，－1]
二、填空题 (本大题共4小题，每小题6分，共24分)
6.函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.
7.已知函数[1，2]，则是 (填序号).
①[1，2]上的增函数；
②[1，2]上的减函数；
③[2，3]上的增函数；
④[2，3]上的减函数.
8．已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，对于满足0①f(x2)－f(x1)>x2－x1；
②x2f(x1)>x1f(x2)；
③其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)
9．已知函数f(x)＝(a≠1)．
若a>0，则f(x)的定义域是________.
三、解答题(本大题共3小题，共46分)
10．（14分）若函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上递增，求实数a的取值范围
11．（16分）已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足：①对于任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(0)的值；
(2)求f(x)的最大值.
12．（16分）定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0(1)试求f(0)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论
一、选择题
1.D 解析：由函数单调性定义知选D.
2. A 解析：因为(x1－2)(x2－2)<0，若x12时，f(x)单调递增且f(－x)＝－f(x＋4)，所以有f(x2)3.C 解析：f(x)＝由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－24.B 解析：图象的对称轴是直线,它的递减区间是,
因为在区间上递减,所以,所以
5. A　解析：该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝＋2x－3图象的对称轴为直线x＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．
二、填空题
6. －3 解析：　f(x)＝2(x－)2＋3－，由题意得＝2，∴m＝8.∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝3.
7.③ 解析：,所以
由二次函数的知识知,是[2，3]上的增函数.
8. ②③ 解析：由f(x2)－f(x1)>x2－x1，可得>1，即两点(x1，f(x1))与(x2，f(x2))连线的斜率大于1，显然①不正确；由x2f(x1)>x1f(x2)得>，即表示点(x1，f(x1))与原点连线的斜率大于点(x2，f(x2))与原点连线的斜率，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断结论③是正确的．
9. 解析：当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即此时函数f(x)的定义域是.
三、解答题
10.解：f(x)＝＝＝＋a.
任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f(x1)－f(x2)<0.
∵x2－x1>0，x1＋2>0，x2＋2>0，∴1－2a<0，故a>.
即实数a的取值范围是.
点评：对于函数单调性的理解，应从文字语言、图形语言和符号语言三个方面进行辨析，做好定性刻画、图形刻画和定量刻画．逆用函数单调性的定义，根据x1－x2与f(x1)－f(x2)是同号还是异号构造不等式来求字母的取值范围．
11.解：(1)对于条件③，令x1＝x2＝0得f(0)≤0，又由条件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.
(2)任取且0≤x1∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)≥0.
即f(x2)≥f(x1)，故f(x)在[0,1]上递增，从而f(x)的最大值是f(1)＝1.
12.解：(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．
因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.
(2)函数f(x)在R上单调递减．
证明如下：任取x1，x2∈R，且设x1在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
若取m＋n＝x2，m＝x1，
则已知条件可化为f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)，
由于x2－x1>0，所以0在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1.
当x>0时，01>0，
又f(0)＝1，所以对于任意的x∈R均有f(x)>0.
所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
即f(x2)