活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第四章数列4.4.1　数学归纳法(1) 学案（有答案）

4.4.1　数学归纳法(1)
1. 了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
2. 通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．
活动一 了解数学归纳法的背景
　　情境1：有一种多米诺骨牌游戏，在一个平面上摆一排骨牌(每块骨牌都竖起)，假定这排骨牌有无数块，我们要使所有的骨牌都倒下，只要做两件事就行了．第一，使第一块骨牌倒下；第二，保证前一块骨牌倒下后一定能击倒下一块骨牌．
思考1
这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
情境2：对于数列{an}，已知a1＝1，且an＋1＝(n＝1，2，3……)，通过对n＝1，2，3，4，前4项的归纳，我们可以猜想出其通项公式为an＝，但归纳推理得出的猜想不一定成立，必须经过严格的证明．
要证明这个猜想，同学们自然就会想到从n＝5开始一个个往下验证，当n较小时可以逐个验证，但当n较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n取所有正整数时，逐个验证是不可能的．故需要寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数n都成立．
思考2
你认为证明数列的通项公式是an＝这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？试类比多米诺骨牌游戏解决这个问题．
活动二 了解数学归纳法的原理
　　一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法原理：
(1) 当n取第一个值n0(n0∈N*)时结论正确；
(2) 假设n＝k (k≥n0，k∈N*)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．
根据(1)(2)就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．
用框图表示为：
活动三 掌握数学归纳法的简单应用——证明一些简单的数学命题
　例1数学归纳法证明：若等差数列{an}中，a1为首项，d为公差，则通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
例2　用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n2＝ (n∈N*)．
　用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N*时，…(1－)＝.
活动四 用数学归纳法证明不等式
例3　求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．
用数学归纳法证明不等式的四个关键：
(1) 验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1；
(2) 证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不运用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设；
(3) 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明；
(4) 用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等．
1. 若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则n＝1时，f(n)等于(　　)
A. 1 B.
C. 1＋＋ D. 以上答案均不正确
2. 已知n∈N?，用数学归纳法证明f(n)＝1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝时，假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，需要用到的f(k＋1)与f(k)之间的关系式是(　　)
A. f(k＋1)＝f(k)＋3k－5 B. f(k＋1)＝f(k)＋3k－2
C. f(k＋1)＝f(k)＋3k＋1 D. f(k＋1)＝f(k)＋3k＋4
3. (多选)已知一个命题F(k)，k＝2n(n∈N*)，当n＝1，2，…，999时，F(k)成立，并且当n＝999＋1时，它也成立，则下列命题中不正确的是(　　)
A. F(k)对于k＝2 002成立 B. F(k)对于每一个自然数k成立
C. F(k)对于每一个偶数k成立 D. F(k)对于某些偶数可能不成立
4. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时，从n＝k推证n＝k＋1时，左边增加的代数式是________．
5. 用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)．
参考答案与解析
【活动方案】
思考1：①第一张骨牌倒下；
②任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下．
思考2：相似．
①易知，当n＝1时，猜想成立；
②假设当n＝k，k∈N*时，猜想成立，即ak＝，
则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝，
即n＝k＋1时，猜想也成立．
综合①②知，猜想成立．
例1　①当n＝1时，a1＝a1＋0×d＝a1，结论成立；
②假设当n＝k时，结论成立，即ak＝a1＋(k－1)d.
当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋d＝a1＋(k－1)d＋d＝a1＋[(k＋1)－1]d，
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
综上，an＝a1＋(n－1)d，对任意n∈N*都成立．
例2　①当n＝1时，12＝＝1，结论成立；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论也成立，
即12＋22＋…＋k2＝.
则当n＝k＋1时，
12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2
＝＋(k＋1)2
＝
＝
＝，
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
综上，对任意n∈N*，等式都成立．
跟踪训练　①当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，所以n＝2时等式成立；
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立，
即…(1－)＝，
则当n＝k＋1时，
…
＝·
＝＝＝，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
综上，对任意n≥2，n∈N*，等式都成立．
例3　①当n＝2时，左边＝＋＋＋＝，故左边>右边，不等式成立；
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即＋＋…＋>，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋
＝＋＋…＋＋(＋＋－)>＋(＋＋－)．
要证＋＋－≥0，
只需证(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0，
只需证(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k2＋27k＋6)≥0，
只需证9k＋5≥0，显然成立，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上，对任意n≥2，n∈N*，不等式都成立．
【检测反馈】
1. C
2. C　解析：由题意，得当n＝k时，f(k)＝1＋4＋7＋…＋(3k－2)．当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]，则f(k＋1)＝f(k)＋3k＋1.
3. ABC　解析：由于命题F(k)，k＝2n(n∈N*)，当n＝1，2，…，999时，F(k)成立，并且当n＝999＋1时，它也成立，可得F(k)对于1～2 000内的偶数均成立，而对于其他数不一定成立，故F(k)对于k＝2 002不一定成立，F(k)对于每一个自然数k不一定成立，F(k)对于每一个偶数k不一定成立，F(k)对于某些偶数可能不成立．故选ABC.
4. 4k＋3　解析：由题意，可得当n＝1时，等式左边＝1＋2；当n＝k时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋2k；当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)，所以从k到k＋1时，左边需增加的代数式是(2k＋1)＋2(k＋1)＝4k＋3.
5. ①当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4＝10，右边＝＝10，等式成立．
②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋3＋…＋(k＋3)＝，
那么当n＝k＋1时，1＋2＋3＋…＋(k＋3)＋(k＋4)＝＋(k＋4)＝，
即当n＝k＋1时，等式成立．
综上，1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)成立．