活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第四章数列4．4.2　数学归纳法(2) 学案（有答案）

4．4.2　数学归纳法(2)
1. 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，能通过“归纳→猜想→证明”的方法处理问题．
2. 通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．
活动一 用数学归纳法证明整除性问题
例1　用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除，其中n∈N*.
方法一：配凑递推假设；
方法二：计算f(k＋1)－f(k)，避免配凑．
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件是解题的关键；
②注意从“n＝k到n＝k＋1”时项的变化．
例2　求证： an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N*)．
活动二 用数学归纳法证明平面几何问题
例3　在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点，则这n条直线将平面分成多少个部分？
活动三 体会归纳→猜想→证明的方法
　例4　设n∈N*，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1，
(1) 当n＝1，2，3，4时，计算f(n)的值；
(2) 你对f(n)的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想．
1. 猜归法是发现与论证的完美结合．
数学归纳法证明正整数问题的一般方法：归纳→猜想→证明．
2. 两个注意：
(1) 是否用了归纳假设；
(2) 从n＝k到n＝k＋1时关注项的变化．
1. 上一个n层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为f(n)，则下列猜想中正确的是(　　)
A. f(n)＝n B. f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)
C. f(n)＝f(n－1)f(n－2) D. f(n)＝
2. 用数学归纳法证明“5n－2n(n∈N*)能被3整除”的过程中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为(　　)
A. 5(5k－2k)＋3×2k B. (5k－2k)＋4×5k－2k
C. (5－2)(5k－2k) D. 2(5k－2k)－3×5k
3. (多选)用数学归纳法证明>对任意n≥k(n，k∈N*)都成立，则以下满足条件的k的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，则可以猜想的结论为_______________________________________________________．
5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝14，且an＝Sn－2n－1(n∈N*)．
(1) 求，，的值；
(2) 由(1)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．
参考答案与解析
【活动方案】
例1　①当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立．
②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除．
则当n＝k＋1时，
[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝(21k＋28)·7k－1＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1＝(3k＋1)·7k－1＋9(2k＋3)·7k，
所以[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，即当n＝k＋1时，命题也成立．
综上，对任何n∈N*命题都成立．
例2　①当n＝1时，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除；
②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，命题成立，
即ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，
则当n＝k＋1时，
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1
＝a·ak＋1＋(a2＋2a＋1)(a＋1)2k－1
＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，
所以ak＋2＋(a＋1)2k＋1能被a2＋a＋1整除，即当n＝k＋1时，命题也成立．
综上，对任意n∈N*命题都成立．
例3　设n条直线将平面分成f(n)个部分，
则f(1)＝2＝1＋1，
f(2)＝4＝1＋1＋2，
f(3)＝7＝1＋1＋2＋3，
f(4)＝11＝1＋1＋2＋3＋4，
……
由此猜想f(n)＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1，2时，结论均成立；
②假设当n＝k(k∈N*，k≥2)时，结论成立，即f(k)＝1＋1＋2＋3＋…＋k，
则当n＝k＋1时，第(k＋1)条直线与前面的k条直线都相交且不共点，有k个交点，这k个交点将这条直线分成(k＋1)段，每一段将原有的平面部分分成2个部分，即在原平面部分数上增加了(k＋1)个部分，所以f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＝1＋1＋2＋3＋…＋k＋k＋1.
综上，对任意n∈N*，都有f(n)＝1＋1＋2＋3＋…＋n＝.
例4　(1) f(1)＝51＋2×30＋1＝8，
f(2)＝52＋2×31＋1＝32，
f(3)＝53＋2×32＋1＝144，
f(4)＝54＋2×33＋1＝680.
(2) 猜想：当n∈N*时，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1能被8整除．
①当n＝1时，f(1)＝8，命题成立；
②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，命题成立，即f(k)能被8整除．
当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝5k＋1＋2×3k＋1
＝5×5k＋6×3k－1＋1
＝5k＋2×3k－1＋1＋4(5k＋3k－1)
＝f(k)＋4(5k＋3k－1)．
因为5k，3k－1均为奇数，所以5k＋3k－1为偶数，
所以4(5k＋3k－1)能被8整除，所以f(k＋1)能被8整除．
综合①②知，对任意n∈N*，命题都成立．
【检测反馈】
1. D　解析：上一个n层的台阶，所有不同上法的总数为f(n)，那么可以从第n－2个台阶上两层到第n层的台阶，也可以从第n－1个台阶上一层到第n层的台阶，故f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)，其中n≥3.又f(1)＝1，f(2)＝2，故选D.
2. A　解析：假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即5k－2k能被3整除，则当n＝k＋1时，5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k＝5×5k－5×2k＋3×2k＝5(5k－2k)＋3×2k.
3. CD　解析：取n＝1，则＝，＝，>不成立；取n＝2，则＝，＝，>不成立；取n＝3，则＝，＝，>成立；取n＝4，则＝，＝，>成立；下证：当n≥3时，>成立．当n＝3时，＝，＝，>成立；设当n＝k，k≥3时，有>成立，则当n＝k＋1时，有＝，令t＝，则＝＝3－.因为t>，所以>3－＝.因为－＝>0，所以>＝，所以当n＝k＋1时，不等式也成立，由数学归纳法可知，>对任意的n≥3都成立．故选CD.
4. 1＋＋＋…＋<(n≥2，n∈N*)
5. (1) 由题意，得当n＝1时，a1＝S1＝S1－1，解得S1＝2，则＝1；
当n＝2时，a2＝S2－S1＝S2－2＝14，
解得S2＝16，则＝4；
当n＝3时，a3＝S3－S2＝S3－22，
解得S3＝72，则＝9.
(2) 由(1)猜想可得数列的通项公式为＝n2(n∈N*)．下面运用数学归纳法证明．
①当n＝1时，由(1)可得＝1成立；
②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，＝k2成立，
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(＋)Sk＋1－2k＋1－1，
即Sk＋1＝Sk－2k＝2k·k2－2k＝(k2－1)·2k，
则Sk＋1＝(k＋1)(k－1)·2k，
当k＝1时，上式显然成立；
当k>1时，Sk＋1＝2(k＋1)2·2k＝(k＋1)2·2k＋1，即＝(k＋1)2，
则当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可得，对一切n∈N*，＝n2成立．