初中数学人教版八年级下学期 第二十章 20.2 数据的波动程度
一、单选题
1．（2020九上·大丰期末）为了考察某种小麦的长势，从中抽取了5株麦苗，测得苗高(单位：cm)为：10、16、8、17、19，则这组数据的极差是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（2020八上·邛崃期末）射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击10次，平均环数均为8.7环，方差分别为S甲2=0.51，S乙2=0.62，S丙2=0.48，S丁2=0.45，则四人中成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（2019八下·东莞期末）甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是9.3环，方差如表：
选手 甲 乙 丙 丁
方差（环2） 0.035 0.016 0.022 0.025
则这四个人中成绩发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2019·锦州）甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.28m，方差分别是s甲2＝0.60，s乙2＝0.62，s丙2＝0.58，s丁2＝0.45，则这四名同学跳高成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2019·台州）方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据x·x1·…xn，可用如下算式计算方差s2= [（x1-5）2+（x2-5）2+.…+（xn-5）2]，其中“5”是这组数据的（ ）
A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数
二、填空题
6．（2020八上·昌平期末）数字2018、 2019 、2020 、2021 、2022的方差是 ；
7．（2020九上·泰兴期末）人数相同的九年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：
= 90，S2甲=1.234，S2乙=2.001，则成绩较为稳定的班级是 (填甲班或乙班)．
8．（2020八上·西安期末）数据-1，0，1，2，3的标准差为 。
9．（2019八下·廉江期末）设甲组数：1，1，2，5的方差为S甲2，乙组数是：6，6，6，6的方差为S乙2，则S甲2与S乙2的大小关系是S甲2 S乙2（选择“＞”、“＜”或“=”填空）．
10．（2019八下·余姚期末）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数都是8环，众数和方差如下表，则这四人中水平发挥最稳定的是 。
选手 甲 乙 丙 丁
众数（环） 9 8 8 10
方差（环2） 0.035 0.015 0.025 0.27
三、综合题
11．（2019九上·海州期中）在甲、乙两名同学中选拔一人参加“英语口语听力”大赛，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩（单位：分）如下：
甲：79，81，82，85，83 乙：88，79，90，81，72.
（1）求甲、乙两名同学测试成绩的方差；
（2）请你选择一个角度来判断选拔谁参加比赛更合适.
12．为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A、B两位同学在学校实习基地现场进行加工直径为20mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据依次如下图表所示（单位：mm）
平均数 方差 完全符合 要求个数
A 20 0.026 2
B 20 SB2 5
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
（1）考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些；
（2）计算出SB2的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；
（3）考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】极差
【解析】【解答】19-8=11，
故答案为：D.
【分析】计算最大数19与最小数8的差即可.
2．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】由分析可得：0.62>0.51>0.48>0.45，所以0.45最小，故选择D项
【分析】样本中每一个数据与平均数的差的平方的平均数叫做样本方差，方差反映了一组数据的稳定性和波动情况，方差越小说明稳定性好、波动性小，故比较方差的大小即可得出答案
3．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】∵0.016＜0.022＜0.025＜0.035，
∴乙的成绩的方差最小，
∴这四个人中成绩发挥最稳定的是乙．
故答案为：B．
【分析】根据方差的性质可知，方差的值最小，代表数据的波动趋于稳定，根据题意得到答案即可。
4．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵s甲2＝0.60，s乙2＝0.62，s丙2＝0.58，s丁2＝0.45，
∴s丁2＜s丙2＜s甲2＜s乙2，
∴成绩最稳定的是丁.
故答案为：D.
【分析】由方差越大数据的波动越大，成绩越不稳定，从而将几个方差比大小即可得出结论.
5．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：依题可得：
5为这组数据的平均数.
故答案为：B.
【分析】方差公式：S2= [（x1- ）2+（x2- ）2+……+（xn- ）2]，其中 表示平均数，从而可得答案.
6．【答案】2
【知识点】方差
【解析】【解答】解：
=2
故答案为：2
【分析】先求平均数，然后利用方差的公式进行计算.
7．【答案】甲班
【知识点】方差
【解析】【解答】∵ =90，S2甲=1.234，S2乙=2.001
∴甲班的成绩较为稳定
故答案是：甲班
【分析】根据方差的意义，一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，计算公式 ；方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.根据题意比较方差的大小即可解决.
8．【答案】
【知识点】标准差
【解析】【解答】解：这几个数的平均数为：（-1+0+1+2+3）÷5=1，
这几个数的方差为：[(1+1)2+(1-0)2+(1-1)2+(1-2)2+(1-3)2]÷5=2，
∴这几个数的标准差为：.
故答案为：.
【分析】根据平均数、方差、标准差的计算方法即可算出答案.
9．【答案】＞
【知识点】方差
【解析】【解答】因为甲组数有波动，而乙组的数据都相等，没有波动，
所以s甲2＞s乙2．
故答案为：＞．
【分析】观察甲、乙两组数据可知甲组数有波动，乙组的数据没有波动，波动越大方差越大，波动越小方差越小，据此判断即可.
10．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由表可知：S乙2=0.015【分析】根据方差最小发挥最稳定，可以判断乙发挥最稳定.
11．【答案】（1）解：甲平均分为 （分）
乙的平均分为 （分）
甲的方差:
乙的方差
（2）解：选拔甲参加比赛更合适，
∵4＜42，甲、乙的平均分相等，
甲的方差较小
∴甲的成绩比较稳定
∴选拔甲参加比赛更合适.
【知识点】方差
【解析】【分析】（1）先求出甲、乙两名同学的平均分，再利用方差公式计算方差即可；（2）根据平均分相同，方差越小，成绩越稳定，即可判断.
12．【答案】（1）解：根据表中数据可看出，B的完全符合要求的件数多，B的成绩好些
（2）解：∵sB2= [4（20﹣20）2+3（19.9﹣20）2+2（20.1﹣20）2+（20.2﹣20）2]=0.008，
且sA2=0.026，
∴sA2＞sB2，即在平均数相同的情况下，B的波动性小，
∴B的成绩好些
（3）解：从图中折线走势可知，尽管A的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，而B比较稳定，潜力小，所以不让B参加，而派A参加，即可选派A去参赛．
【知识点】方差
【解析】【分析】（1）根据表中数据可看出，B同学的零件完全符合要求的件数多，所以B同学的成绩好些；
（2） =[4+3+2+]=0.008;而sA2=0.026，所以sA2＞sB2，即在平均数相同的情况下，B的波动性小，波动越小，成绩越稳定；
（3）从图中折线走势可知，尽管A的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，而B比较稳定，潜力小，所以不让B参加，而派A参加，即可选派A去参赛．
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一、单选题
1．（2020九上·大丰期末）为了考察某种小麦的长势，从中抽取了5株麦苗，测得苗高(单位：cm)为：10、16、8、17、19，则这组数据的极差是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【知识点】极差
【解析】【解答】19-8=11，
故答案为：D.
【分析】计算最大数19与最小数8的差即可.
2．（2020八上·邛崃期末）射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击10次，平均环数均为8.7环，方差分别为S甲2=0.51，S乙2=0.62，S丙2=0.48，S丁2=0.45，则四人中成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】由分析可得：0.62>0.51>0.48>0.45，所以0.45最小，故选择D项
【分析】样本中每一个数据与平均数的差的平方的平均数叫做样本方差，方差反映了一组数据的稳定性和波动情况，方差越小说明稳定性好、波动性小，故比较方差的大小即可得出答案
3．（2019八下·东莞期末）甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是9.3环，方差如表：
选手 甲 乙 丙 丁
方差（环2） 0.035 0.016 0.022 0.025
则这四个人中成绩发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】∵0.016＜0.022＜0.025＜0.035，
∴乙的成绩的方差最小，
∴这四个人中成绩发挥最稳定的是乙．
故答案为：B．
【分析】根据方差的性质可知，方差的值最小，代表数据的波动趋于稳定，根据题意得到答案即可。
4．（2019·锦州）甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.28m，方差分别是s甲2＝0.60，s乙2＝0.62，s丙2＝0.58，s丁2＝0.45，则这四名同学跳高成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵s甲2＝0.60，s乙2＝0.62，s丙2＝0.58，s丁2＝0.45，
∴s丁2＜s丙2＜s甲2＜s乙2，
∴成绩最稳定的是丁.
故答案为：D.
【分析】由方差越大数据的波动越大，成绩越不稳定，从而将几个方差比大小即可得出结论.
5．（2019·台州）方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据x·x1·…xn，可用如下算式计算方差s2= [（x1-5）2+（x2-5）2+.…+（xn-5）2]，其中“5”是这组数据的（ ）
A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：依题可得：
5为这组数据的平均数.
故答案为：B.
【分析】方差公式：S2= [（x1- ）2+（x2- ）2+……+（xn- ）2]，其中 表示平均数，从而可得答案.
二、填空题
6．（2020八上·昌平期末）数字2018、 2019 、2020 、2021 、2022的方差是 ；
【答案】2
【知识点】方差
【解析】【解答】解：
=2
故答案为：2
【分析】先求平均数，然后利用方差的公式进行计算.
7．（2020九上·泰兴期末）人数相同的九年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：
= 90，S2甲=1.234，S2乙=2.001，则成绩较为稳定的班级是 (填甲班或乙班)．
【答案】甲班
【知识点】方差
【解析】【解答】∵ =90，S2甲=1.234，S2乙=2.001
∴甲班的成绩较为稳定
故答案是：甲班
【分析】根据方差的意义，一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，计算公式 ；方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.根据题意比较方差的大小即可解决.
8．（2020八上·西安期末）数据-1，0，1，2，3的标准差为 。
【答案】
【知识点】标准差
【解析】【解答】解：这几个数的平均数为：（-1+0+1+2+3）÷5=1，
这几个数的方差为：[(1+1)2+(1-0)2+(1-1)2+(1-2)2+(1-3)2]÷5=2，
∴这几个数的标准差为：.
故答案为：.
【分析】根据平均数、方差、标准差的计算方法即可算出答案.
9．（2019八下·廉江期末）设甲组数：1，1，2，5的方差为S甲2，乙组数是：6，6，6，6的方差为S乙2，则S甲2与S乙2的大小关系是S甲2 S乙2（选择“＞”、“＜”或“=”填空）．
【答案】＞
【知识点】方差
【解析】【解答】因为甲组数有波动，而乙组的数据都相等，没有波动，
所以s甲2＞s乙2．
故答案为：＞．
【分析】观察甲、乙两组数据可知甲组数有波动，乙组的数据没有波动，波动越大方差越大，波动越小方差越小，据此判断即可.
10．（2019八下·余姚期末）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数都是8环，众数和方差如下表，则这四人中水平发挥最稳定的是 。
选手 甲 乙 丙 丁
众数（环） 9 8 8 10
方差（环2） 0.035 0.015 0.025 0.27
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由表可知：S乙2=0.015【分析】根据方差最小发挥最稳定，可以判断乙发挥最稳定.
三、综合题
11．（2019九上·海州期中）在甲、乙两名同学中选拔一人参加“英语口语听力”大赛，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩（单位：分）如下：
甲：79，81，82，85，83 乙：88，79，90，81，72.
（1）求甲、乙两名同学测试成绩的方差；
（2）请你选择一个角度来判断选拔谁参加比赛更合适.
【答案】（1）解：甲平均分为 （分）
乙的平均分为 （分）
甲的方差:
乙的方差
（2）解：选拔甲参加比赛更合适，
∵4＜42，甲、乙的平均分相等，
甲的方差较小
∴甲的成绩比较稳定
∴选拔甲参加比赛更合适.
【知识点】方差
【解析】【分析】（1）先求出甲、乙两名同学的平均分，再利用方差公式计算方差即可；（2）根据平均分相同，方差越小，成绩越稳定，即可判断.
12．为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A、B两位同学在学校实习基地现场进行加工直径为20mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据依次如下图表所示（单位：mm）
平均数 方差 完全符合 要求个数
A 20 0.026 2
B 20 SB2 5
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
（1）考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些；
（2）计算出SB2的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；
（3）考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由．
【答案】（1）解：根据表中数据可看出，B的完全符合要求的件数多，B的成绩好些
（2）解：∵sB2= [4（20﹣20）2+3（19.9﹣20）2+2（20.1﹣20）2+（20.2﹣20）2]=0.008，
且sA2=0.026，
∴sA2＞sB2，即在平均数相同的情况下，B的波动性小，
∴B的成绩好些
（3）解：从图中折线走势可知，尽管A的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，而B比较稳定，潜力小，所以不让B参加，而派A参加，即可选派A去参赛．
【知识点】方差
【解析】【分析】（1）根据表中数据可看出，B同学的零件完全符合要求的件数多，所以B同学的成绩好些；
（2） =[4+3+2+]=0.008;而sA2=0.026，所以sA2＞sB2，即在平均数相同的情况下，B的波动性小，波动越小，成绩越稳定；
（3）从图中折线走势可知，尽管A的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，而B比较稳定，潜力小，所以不让B参加，而派A参加，即可选派A去参赛．
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