高一数学第一章 《集合与函数》检测题及答案解析

第一章 集合与函数
建议用时
实际用时
满分
实际得分
120分钟
150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．集合{1,2,3}的所有真子集的个数为(　　)
A．3　 B．6
C．7 D．8
2．下列五个写法，其中错误写法的个数为(　)
①{0}∈{0,2,3}；②?{0}；③{0,1,2}?{1,2,0}；④0∈?；⑤0∩?＝?.
A．1 B．2
C．3 D．4
3．使根式与分别有意义的x的允许值集合依次为M、F，则使根式＋有意义的x的允许值的集合可以表示为(　 )
A．M∪F B．M∩F
C．?MF D．?FM
4．已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于(　　)
A．N B．M
C．R D．?
5．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（　　）
A．y＝x（x－2）　　
　B．y ＝x（｜x｜－1）　
C．y ＝｜x｜（x－2）　　
D．y＝x（｜x｜－2）
6．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，则y等于(　　)
A．20－2x(0B．20－2x(0C．20－2x(5≤x≤10)
D．20－2x(57．用固定的速度向如图所示形状的瓶中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系
是 (　　)
　
8．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)
①y＝f(|x|); ②y＝f(－x);
③y＝xf(x); ④y＝f(x)＋x.
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
已知0≤x≤，则函数f(x)＝x2＋x＋1(　　)
A．有最小值－，无最大值
B．有最小值，最大值1
C．有最小值1，最大值
D．无最小值和最大值
10．已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(|x|)的图象是 (　　)
　
11．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　)
A．f(－)B．f(－1)C．f(2)D．f(2)12．(2009·四川高考)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则的值是(　　)
A.0 B.
C.1 D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设全集U＝{a，b，c，d，e}，A＝{a，c，d}，B＝{b，d，e}，则UA∩UB＝________.
14．设全集U＝R，A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1≤x<2}，则U(A∩B)＝________.
15．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间
(－∞，3]上为减函数，则实数a的取值范围为________．
16．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若，则f（x）的解析式为_______．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分) 设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，且A∩B＝{2}．
(1)求a的值及集合A，B；
(2)设全集U＝A∪B，求(UA)∪ (UB)；
(3)写出(UA)∪(UB)的所有子集
18．(12分)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠?且BA，求a，b的值．
19．(12分) 已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．
20．(12分)已知函数f(x)＝4x2－4ax＋(a2－2a＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3，求实数a的值．
21．(12分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择．若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为300元/时，其他主要参考数据如下：
工具
途中速度
(千米/时)
途中费用(元/千米)
装卸时间(小时)
装卸费
用(元)
汽车
50
8
2
1 000
火车
100
4
4
1 800
问：如何根据运输距离的远近选择运输工具，使运输过程中的费用与损耗之和最小？
22．(12分)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x2>x1>0时，f(x2)>f(x1)．
(1)求f(1)、f(4)、f(8)的值；
(2)若有f(x)＋f(x－2)≤3成立，求x的取值范围
一、选择题
1. C 解析：含一个元素的有{1}，{2}，{3}，共3个；含两个元素的有{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3个；空集是任何非空集合的真子集，故共有7个．
2. C 解析：②③正确．
3. B 解析：根式＋有意义，必须与同时有意义才可．
4. A 解析：M＝{x|y＝x2－2}＝R，N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，故M∩N＝N.
5. D 解析：当x≥0时，f（x）＝x2－2x，f（x）为奇函数，
　　∴ 当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x）＝－x2－2x＝x（－x－2）．
∴ 即f（x）＝x（|x|－2）.
6. D 解析：C＝20＝y＋2x，由三角形两边之和大于第三边可知2x>y＝20－2x，x>5；
由得.
7. B 解析：水面升高的速度由慢逐渐加快．
8. D 解析：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．①y＝f(|x|)为偶函数；②y＝f(－x)为奇函数；③令F(x)＝xf(x)，所以F(－x)＝(－x)f(－x)＝(－x)·[－f(x)]＝xf(x)，所以F(－x)＝F(x)，所以y＝xf(x)为偶函数；④令F(x)＝f(x)＋x，所以F(－x)＝f(－x)＋(－x)＝－f(x)－x＝－[f(x)＋x]，所以F(－x)＝－F(x)，所以y＝f(x)＋x为奇函数．
9. C 解析：f(x)＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋，画出该函数的图象知，f(x)在区间[0，]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝1，f(x)max＝f()＝.
10. B 解析：因为y＝f(|x|)是偶函数，所以y＝f(|x|)的图象是由y＝f(x)把x≥0的图象保留，再关于y轴对称得到的．
11. D 解析：由f(x)是偶函数，得f(2)＝f(－2)，又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－<－1，则f(2)12. A 解析：令x＝－，则－ f()＝ f(－)，又∵ f ()＝f (－)，∴ f ()＝0；令x＝，则 f ()＝
 f ()，得f ()＝0；令x＝，则 f ()＝ f ()，得f ()＝0；而0· f(1)＝f(0)＝0，∴ f ＝f(0)＝0，故选A.
二、填空题
13. ? 解析：UA∩UB＝U(A∪B)，而A∪B＝{a，b，c，d，e}＝U.
14. {x|x<1或x≥2} 解析：A∩B＝{x|1≤x<2}，∴ U(A∩B)＝{x|x<1或x≥2}．
15. a≤－2 解析：函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，则由题意知：1－a≥3，即a≤－2.
16. 解析：由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
　　可得，联立，∴ ．
三、解答题
17.解：(1)由交集的概念易得，2是方程2x2＋ax＋2＝0和x2＋3x＋2a＝0的公共解，则a＝－5，此时A＝，B＝.
(2)由并集的概念易得，U＝A∪B＝.
由补集的概念易得，UA＝{－5}，UB＝.
所以(UA)∪(UB)＝.
(3)(UA)∪(UB)的所有子集即集合的所有子集：，，{－5}，.
18.解：(1)当B＝A＝{－1,1}时，易得a＝0，b＝－1.
(2)当B含有一个元素时，由Δ＝0得a2＝b.
当B＝{1}时，由1－2a＋b＝0，得a＝1，b＝1；
当B＝{－1}时，由1＋2a＋b＝0，得a＝－1，b＝1.
19.解：(1)∵ f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[，3]，
∴ f(x)的最小值是f(1)＝1.又f()＝，f(3)＝5，
∴ f(x)的最大值是f(3)＝5，
即f(x)在区间[，3]上的最大值是5，最小值是1.
(2)∵ g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，
∴ ≤2或≥4，即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
20.解：f(x)＝42＋2－2a.
(1)当<0，即a<0时，f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2＝3，解得a＝1－或a＝1（舍去）.
(2) 当0≤≤2，即0≤a≤4时，f(x)min＝＝2－2a＝3，解得a＝－(舍去)．
(3) 当>2，即a>4时，f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18＝3，解得a＝5＋或a＝5（舍去）.
综上可知：a的值为1－或5＋.
21.解：设甲、乙两地距离为x千米(x>0)，选用汽车、火车运输时的总支出分别为y1和y2.
由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表：
工具
途中及装卸费用
途中时间
汽车
8x＋1 000
＋2
火车
4x＋1 800
＋4
于是y1＝8x＋1 000＋(＋2)×300＝14x＋1 600，
y2＝4x＋1 800＋(＋4)×300＝7x＋3 000.令y1－y2<0得x<200.
①当0②当x＝200时，y1＝y2，此时选用汽车或火车均可；
③当x>200时，y1>y2，此时应选用火车．
故当距离小于200千米时，选用汽车较好；当距离等于200千米时，选用汽车或火车均可；当距离大于200千米时，选用火车较好．
22.解：(1)f(1)＝f(1)＋f(1)，∴ f(1)＝0，f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，f(8)＝f(2)＋f(4)＝1＋2＝3.
(2)∵ f(x)＋f(x－2)≤3，∴ f[x(x－2)]≤f(8).
又∵ 对于函数f(x)有x2>x1>0时f(x2)>f(x1)，∴ f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
∴ 解得2∴ x的取值范围为(2,4]