14.3 因式分解(练习卷)-人教版八年级上册
一.选择题
.已知x2+x=1,那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2023的值为( )
A.2020 B.2021 C.2022 D.2023
.若a,b,c是直角三角形ABC的三边长,且a2+b2+c2+200=12a+16b+20c,则△ABC三条角平分线的交点到一条边的距离为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
.已知a、b、c为△ABC的三边长,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,a2+b2≠c2,是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形
.若(x+p)(x+q)=x2+mx+36,p、q为正整数,则m的最大值与最小值的差为( )
A.25 B.24 C.8 D.74
.由图得到的等式中正确的有( )
①a2+b2+2ab=(a+b)2;
②a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2;
③b2+c2+2bc=(b+c)2;
④b2+c2+ab+bc+ac=(a+b+c)(b+c);
⑤(a+b+c)2﹣(b+c)2=a2+2ab+2ac;
⑥(a+b+c)(a+b+c)=a2+b2+c2+ab+bc+ac;
⑦a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2.
A.①②④⑤ B.①③④⑤⑦ C.①③⑤⑦ D.①②③⑥⑦
同号两实数a,b满足a2+b2=4﹣2ab,若a﹣b为整数,则ab的值为( )
A.1或 B.1或 C.2或 D.2或
下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.a2﹣2a+4 B.a2+2a﹣1 C.a2+a﹣1 D.a2﹣4a+4
下列四种说法中正确的有( )
①关于x、y的方程2x+4y=107存在整数解
②若两个不等实数a、b满足2(a4+b4)=(a2+b2)2,则a、b互为相反数.
③若(a﹣c)2﹣4(a﹣b)(b﹣c)=0,则2b=a+c.
④若x2﹣yz=y2﹣xz=z2﹣xy,则x=y=z.
A.①④ B.②③ C.①②④ D.②③④
若a﹣2b=10,ab=5,则a2+4b2的值是( )
A.125 B.120 C.110 D.100
.已知三个实数a,b,c满足a+b+c≠0,a=,c=,则下列结论不成立的是( )
A.b=0 B.c=0 C.a=b D.a≠﹣b
二.填空题
.把多项式3a2﹣27分解因式的结果是 .
.已知x2﹣3x+1=0,则﹣2x2+6x= ;x3﹣2x2﹣2x+9= .
.已知多项式x4+mx+n能分解为(x2+px+q)(x2+2x﹣3),则p= ,q= .
.定义:对于四位自然数m,若其千位数字与个位数字之和为7,百位数字与十位数字之和也等于7,则称这个四位自然数m为“七巧数”.例如:3254是“七巧数”,因为3+4=7,2+5=7,所以3254是“七巧数”;1456不是“七巧数”,因为1+6=7,4+5≠7,所以1456不是“七巧数”.
(1)若一个“七巧数”的千位数字为a,则其个位数字可以表示为 ;(用含a的代数式表示)
(2)若“七巧数”m的千位数字加上十位数字的和,是百位数字减去个位数字的差的3倍,请写出一个满足条件的“七巧数” .
.在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是:如对于多项式x4﹣y4,因式分解的结果是(x﹣y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:(x﹣y)=0,(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码,对于多项式4x3﹣xy2,取x=11,y=12时,用上述方法产生的密码是 (写出一个即可).
三.解答题
.分解因式:
(1)﹣4m2n3+12m3n2﹣2mn;
(2);
(3)8a3﹣8a2+2a.
.因式分解:
(1)(a﹣)a+1;
(2)16a2(x﹣y)+9b2(y﹣x).
.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为“友好数”.如:①8=32﹣12;②16=52﹣32;③24=72﹣52,因此8,16,24都是“友好数”.
(1)32是“友好数”吗?为什么?
(2)若一个“友好数”能表示为两个连续奇数2k+1和2k﹣1(k为正整数)的平方差,则这个“友好数”是8的倍数吗?请用因式分解的方法进行说明.
.下面是某同学对多项式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:设x2﹣4x=a,则原式=(a+2)(a+6)+4(第一步)
=a2+8a+16(第二步)
=(a+4)2(第三步)
=(x2﹣4x+4)2(第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底? .(填“彻底”或“不彻底”)
若彻底,直接跳到第(3)问;若不彻底,请先直接写出因式分解的最后结果: .
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1进行因式分解.
.教材中写道:“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”,如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决数学问题的方法,不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题.
例如:分解因式x2+2x﹣3.
原式=x2+2x+1﹣1﹣3=(x2+2x+1)﹣4=(x+1)2﹣4=(x+1+2)(x+1﹣2)=(x+3)(x﹣1);
例如;求代数式x2+4x+6的最小值.
原式=x2+4x+4﹣4+6=x2+4x+4+2=(x+2)2+2.
∵(x+2)2≥0,
∴当x=﹣2时,x2+4x+6有最小值是2.
解决下列问题:
(1)若多项式x2+6x+m是一个完全平方式,那么常数m的值为 ;
(2)分解因式:x2+6x﹣16= ;
(3)若x>﹣1,比较:x2+6x+5 0(填“>,<或=”),并说明理由;
(4)求代数式﹣x2﹣6x﹣5的最大或最小值.
参考答案与试题解析
一.选择题
.【解答】解:∵x2+x=1,
∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2023
=x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2023
=x2(x2+x)+x3﹣x2﹣2x+2023
=x2+x3﹣x2﹣2x+2023
=x(x2+x)﹣x2﹣2x+2023
=x﹣x2﹣2x+2023
=﹣x2﹣x+2023
=﹣(x2+x)+2023
=﹣1+2023
=2022.
故选:C.
.【解答】解:∵a2+b2+c2+200=12a+16b+20c.
∴a2﹣12a+36+b2﹣16b+64+c2﹣20c+100=0.
∴(a﹣6)2+(b﹣8)2+((c﹣10)2)=0.
∴a﹣6=0,b﹣8=0,c﹣10=0.
∴a=6,b=8,c=10.
三角形内角平分线,交点是三角形内心,三角形内心到三角形三边的距离相等.
由直角三角形性质知,直角三角形的内心到一条边的距离为:r===2.
故选:B.
.【解答】解:∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,
∴c2(a2﹣b2)=(a2﹣b2)(a2+b2),
∴c2(a2﹣b2)﹣(a2﹣b2)(a2+b2)=0,
∴(a2﹣b2)[c2﹣(a2+b2)]=0,
∴a2﹣b2=0或c2﹣(a2+b2)=0,
∴a2=b2或c2=(a2+b2),
∵a2+b2≠c2,
∴a2=b2,
∴a=b(舍去负值),
∴△ABC为等腰三角形.
故选:B.
.【解答】解:(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,
∵(x+p)(x+q)=x2+mx+36,
∴p+q=m,pq=36,
∵36=4×9,则p+q=13,
36=1×36,则p+q=37,
36=2×18,则p+q=20,
36=3×12,则p+q=15,
36=6×6,则p+q=12,
∴m的最大值为37,最小值为12.
其差为25,
故选:A.
.【解答】解:由图知:两个边长分别是a,b的正方形,两个长为a,宽是b的长方形拼成一个边长为(a+b)的长方形.
∴a2+b2+2ab=(a+b)2.
故可以得到①.
∵图中没有边长为(a﹣b)的长方形或正方形.
∴不能得到②.
由图知:两个边长分别是b,c的正方形,两个长为b,宽是c的长方形拼成一个边长为(b+c)的长方形.
∴b2+c2+2bc=(b+c)2.
故可以得到③.
∵(a+b+c)(b+c)=ab+ac+b2+bc+bc+c2=b2+c2+ab+2bc+ac≠b2+c2+ab+bc+ac.
∴不能得到④.
综上可以排除A,B,D三个选项,
故选:C.
【解答】解:∵a2+b2=4﹣2ab,
∴(a+b)2=4,
∴(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab=4﹣4ab≥0,
∴ab≤1,
∵ab>0,
∴0<ab≤1.
∴0≤4﹣4ab<4.
∵a﹣b为整数,
∴4﹣4ab为平方数.
∴4﹣4ab=1或0,
解得ab=或1;
故选:A.
【解答】解:A.根据完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,那么a2﹣2a+4不能用完全平方公式进行因式分解,故A不符合题意.
B.根据完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,那么a2+2a﹣1不能用完全平方公式进行因式分解,故B不符合题意.
C.根据完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,那么a2+a﹣1不能用完全平方公式进行因式分解,故C不符合题意.
D.根据完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,那么a2﹣4a+4=(a﹣2)2,即a2﹣4a+4能用完全平方公式进行因式分解,故D符合题意.
故选:D.
【解答】解:因为2,4都是偶数,而偶数的倍数也是偶数,两个偶数的和也是偶数,故①是错误的;
由2(a4+b4)=(a2+b2)2得:(a+b)2(a﹣b)2=0,所以:a+b=0或a﹣b=0,又因为a≠b,故②是正确的;
因为(a﹣c)2﹣4(a﹣b)(b﹣c)=(a+c﹣2b)2=0,所以2b=a+c,故③是正确的;
由x2﹣yz=y2﹣xz=z2﹣xy得x=y=z或x+y+z=0,故④是错误的;
故选:B.
【解答】解:∵(a﹣2b)2=a2+4b2﹣4ab.
∴a2+4b2=(a﹣2b)2+4ab.
∵a﹣2b=10,ab=5.
∴a2+4b2=102+4×5=120.
故选:B.
【解答】解:∵a+c=+==a,
∴c=0,
故B选项不符合题意;
∴a==,
∴a=b,
故C选项不符合题意;
∵a+b+c≠0,
∴a+b≠0,
∴a≠﹣b,
故D选项不符合题意;
故选:A.
二.填空题
.【解答】解:3a2﹣27=3(a2﹣9)=3(a+3)(a﹣3),
故答案为:3(a+3)(a﹣3).
.【解答】解:∵x2﹣3x+1=0,
∴x2﹣3x=﹣1,
∴﹣2x2+6x
=﹣2(x2﹣3x)
=﹣2×(﹣1)
=2,
x3﹣2x2﹣2x+9
=x3﹣3x2+x2﹣3x+x+9
=x(x2﹣3x)+(x2﹣3x)+x+9
=﹣x+(﹣1)+x+9
=8,
故答案为:2,8.
.【解答】解:∵(x2+px+q)(x2+2x﹣3)=x4+px3+qx2+2x3+2px2+2qx﹣3x2﹣3px﹣3q
=x4+(p+2)x3+(q+2p﹣3)x2+(2q﹣3p)x﹣3q
=x4+mx+n.
∴展开式乘积中不含x3、x2项,
∴,解得:.
故答案为:﹣2,7.
.【解答】解:(1)根据题中的新定义知:个位数为7﹣a,
故答案为:7﹣a.
(2)设千位数是a,百位数是b,则个位数是(7﹣a),十位数是(7﹣b),
由题意得:a+7﹣b=3(b﹣7+a),
即:a+2b=14,
∵a是1﹣7之间的正整数,b是0﹣7之间的正整数,
∴当a=2时,b=6,a=4时,b=5,当a=6时,b=4,
所以m的值为:2615或4523或6431.
.【解答】解:4x3﹣xy2=x(4x2﹣y2)
=x(2x+y)(2x﹣y).
当x=11,y=12时,各因式的值为:x=11,2x+y=22+12=34.
2x﹣y=22﹣12=10.
∴产生的密码为:113410.
故答案为:113410.
三.解答题
.【解答】解:(1)﹣4m2n3+12m3n2﹣2mn
=﹣2mn(2mn2﹣6m2n+1).
(2)
=
=.
(3)8a3﹣8a2+2a
=2a(4a2﹣4a+1)
=2a(2a﹣1)2.
.【解答】解:(1)(a﹣)a+1
=
=.
(2)16a2(x﹣y)+9b2(y﹣x)
=16a2(x﹣y)﹣9b2(x﹣y)
=(x﹣y)(16a2﹣9b2)
=(x﹣y)(4a+3b)(4a﹣3b).
.【解答】解:(1)∵32=9=52﹣42,但是4不是奇数,
∴32不是“友好数”;
(2)∵(2k+1)2﹣(2k﹣1)2
=(2k+1+2k﹣1)×(2k+1﹣2k+1)
=4k 2=8k,
∴两个连续奇数2k+1和2k﹣1(k为正整数)的平方差是8的倍数.
.【解答】解:(1)从第二步到第三步是两个数和的完全平方式,故选:C.
(2)分解因式必须分解到每一个多项式都不能再分解为止,而(x2﹣4x+4)2=(x﹣2)4,
故答案为:不彻底,(x﹣2)4.
(3)设x2﹣2x=a,则原式=a(a+2)+1
=a2+2a+1
=(a+1)2
=(x2﹣2x+1)2
=(x﹣1)4.
.【解答】解:(1)∵6x=2×3 x,且x2+6x+m是一个完全平方式,
所以m的值为9,
故答案为:9.
(2)∵x2+6x﹣16
=x2+6x+9﹣9﹣16
=(x+3)2﹣25
=(x+8)(x﹣2),
故答案为:(x+8)(x﹣2);
(3)∵x>﹣1,
∴x+1>0,x+5>4,
∴x2+6x+5=(x+1)(x+5)>0.
(4)∵原式=﹣(x2+6x+9﹣9)﹣5
=﹣(x+3)2+4≤4,
所以代数式﹣x2﹣6x﹣5的最大值为4.