4.5　角的比较与补(余)角 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
4.5角的比较与补(余)角
沪科版 七年级上册
导入新课
旧知回顾
1．角有哪两种定义方式？
答：角可以看作是从一点O出发的两条射线所组成的图形，∠AOB也可以看作是射线OA绕点O旋转到OB的位置后形成的图形．
2．如图：怎样比较图形中线段AB、BC、CA的大小？怎样比较∠A、∠B、∠C呢？
答：比较线段大小用度量法、叠合法；角的大小，比较边也同样如此．
A
B
C
探究新知
问题：怎样比较两个角的大小呢？
比较角的大小可以根据角之间的和、差关系来进行分析．
比较角的大小的方法：(1)度量法(2)叠合法
角的大小比较
用量角器量出角的度数，再比较它们的大小.
B
A
C
D
E
F
70°
40°
∠ABC ＞∠DEF
度量法：
叠合法结论
O
B
A
O'
C
D
O
B
A
O'
C
D
O
B
A
O'
C
D
1.若射线O'C与射线OB重合，那么∠DO'C___∠AOB.
2.若射线O'C在∠AOB外部，那∠DO'C___∠AOB.
3.若射线O'C在∠AOB内部，那么∠DO'C___∠AOB.
=
>
<
结论：角的两边张开越大，角就越大，与所画边的长短无关.
思考：角的大小与两边画出部分的长短是否相关？
O
B
A
O'
C
D
O
B
A
O'
C
D
如图，求解下列问题：
(1)试比较∠AOC与∠BOC，∠BOD与∠COD的大小；
(2)将∠AOC写成两个角的和与两个角的差的式．
∠AOC=∠AOD-∠DOC.
O
A
B
C
D
例1
解：（1）由图可看出：
∠AOC>∠BOC，（OB在∠AOC内）；
∠BOD>∠COD.（OC在∠B内）
（2）∠AOC=∠AOB+∠BOC；
例2
根据下图，回答下列问题：
(1)试比较∠AOB，∠AOD，∠AOE，∠AOC的大小，并找出其中的锐角、直角、钝角、平角；
(2)在图中找出角的三个等量关系．
[解析] ∠AOB是平角，∠AOC是钝角，∠AOD是直角，∠AOE是锐角，于是就可找到这几个角的大小关系．
A
O
E
D
B
C
所以∠AOB>∠AOC>∠AOD>∠AOE.
∠DOB＝∠COD＋∠BOC等．
解：(1)由图可知，∠AOB是平角，
∠AOC是钝角，∠AOD是直角，∠AOE是锐角，
(2)等量关系：
∠COE＝∠EOD＋∠COD，
∠AOB＝2∠AOD＝∠AOE＋∠BOE，
A
O
E
D
B
C
1.在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定有（ ）
A．∠AOC＝∠BOC　　　　　B．∠BOC>∠AOC
C．∠AOC>∠BOC D．∠AOB>∠BOC
D
2.如图，若∠AOB＝∠COD，那么∠1_____∠2(选填“>”“＝”或“<”)．
＝
练习
C
O
D
A
B
2
1
3.如图，若∠AOC＝∠BOD，那么∠AOD与∠BOC的关系是(　　)
A.∠AOD＞∠BOC
B.∠AOD＜∠BOC
C.∠AOD＝∠BOC
D.无法确定
C
练习
A
O
D
B
C
大家在练习本上画一个角，然后把角的两边对折，展开以后你会发现折痕把角分成了两个角，这两个角有什么关系呢，它们又和原来的角有着怎样的等量关系？
做一做：
从一个角的顶点出发的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
角平分线的定义
几何语言
O
B
A
C
因为OC是∠AOB的平分线，
所以∠AOC ＝∠BOC = ∠AOB
或∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC
如图，点O为直线AB上一点，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线，求∠MON的度数．
[解析] 首先应确定∠MON的转化问题：
∠MON＝∠MOC＋∠CON，再结合角平分线的定义，易得到∠MOC＋∠CON＝ ∠AOB.
例3
O
M
A
B
N
C
又∵∠MON＝∠MOC＋∠CON，
解：∵点A，O，B在一条直线上，
∴∠AOB＝180°.
∵∠AOC＋∠BOC＝∠AOB，
∴∠AOC＋∠BOC＝180°.
又∵OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，
∴∠MON＝90°.
＝ ×180°＝90°.
∴∠MOC＋∠CON＝ (∠AOC＋∠BOC)
O
M
A
B
N
C
∴∠MOC＝ ∠AOC，∠CON＝ ∠BOC.
1.如图①，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，若∠COD＝25°，则∠AOB＝ ．
100°
2.如图②，∠AOB＝90°，OE，OC分别是∠AOD，∠DOB的平分线，则∠EOC＝________°.
45
练习
A
O
B
D
C
①
A
O
C
D
B
E
②
探究新知
补（余）角
如果两个角的和等于一个直角，就说这两个角互为余角(简称互余).如图，可以说∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角.
定义
2
1
余角
图中给出的各角，那些互为余角？
24°
75°
46.2°
43.8°
15°
66°
连一连：
如果两个角的和等于一个平角，就说这两个角互为补角(简称互补).如图，可以说∠3是∠4的补角或∠4是∠3的补角.
3
4
定义
补角
图中给出的各角，那些互为补角？
10°
30°
60°
80°
100°
120°
150°
170°
连一连：
∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的大小有什么关系？
1
2
3
∠2=180°－∠1
∠3=180°－∠1
思考：
同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等．
结论：
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
5°
32°
45°
77°
62°23′
x°(x<90)
27°37′
117°37′
85°
175°
58°
148°
45°
135°
103°
13°
90°－x°
结论： 同一个锐角的补角比它的余角大90°.
180°－x°
填一填：
已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补.若∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？
2
1
4
3
例4
又∵∠1＝∠3，∴∠2=∠4.
解∵∠1与∠2互补，∴∠2=180°-∠1.
∵∠3与∠4互补，∴∠4=180°-∠3.
1.如图，∠ACB＝∠CDB＝90°，则∠ACD的余角有____个．
两
2.两个角相等且互余，则这两个角都等于______；两个角相等且互补，则这两个角都等于________．
3.如果一个角的补角是150°，则这个角的余角为_______．
45°
90°
60°
练习
A
C
D
B
答：这个角为50°.
练习
4.已知一个角的补角比它的余角的3倍大10°，求这个角的度数．
解：设这个角为α，
由题意得180－α＝3(90－α)＋10，
解得α＝50.
随堂练习
C
2.如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD等于(　　)
A．30° B．35°
C．20° D．40°
B
1.如图，∠1=∠3，那么（ ）.
A.∠1=∠2 B. ∠2=∠3
C.∠AOC=∠BOD D. ∠1= ∠BOD
1
2
3
B
D
O
C
A
O
A
E
C
B
D
3.如图∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=146°，∠BOC= _____.
34°
4.如图，OD平分∠AOC，OE平分∠COB，
①如∠ AOC= 70°,∠ COB = 40°,∠ DOE=_____.
②如果∠ DOE=n°，则∠AOB=_________.
（2n）°
55°
O
D
C
B
A
（第2题图）
D
B
A
O
C
E
（第3题图）
O
A
B
C
D
5.如图：∠AOC=∠BOD=90°
⑴已知∠BOC=20 °,则∠AOD=________.
160°
⑵已知∠AOD=150 °，则∠BOC=_____.
30°
6.如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，且∠AOB＝40°，求∠COD的度数．
∵∠AOB＝40°，
解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC＝90°，
∴∠AOB，∠COD都是∠BOC的余角，
∴∠AOB＝∠COD.
∴∠COD＝40°.
A
B
O
D
C
7.一个角的补角比它的余角的2倍多12°，求这个角的度数.
答：这个角的度数为12°.
解：设这个角的度数为x°.
所以它的补角为（180-x)°，
它的余角为（90-x）°，
依题意，得 180-x=2(90-x)+12.
解方程，得 x=12.
8.如图，将长方形ABCD沿EF折叠，C点落在C′处，D点落在D′处.若∠EFC＝119°，则∠BFC′为
解：∵将长方形ABCD沿EF折叠，
C点落在C′处，D点落在D′处，
∠EFC＝119°，
∴∠EFC′＝∠EFC＝119°，
∠EFB＝180°－∠EFC＝61°，
∴∠BFC′＝∠EFC′－∠EFB
＝119°－61°＝58°.
D
D′
C
C′
E
F
A
B
课堂小结
互余：两角之和为直角
角的比较
角的比较
角平分线
互余与互补
度量法
叠合法
概念
与角有关的和、差、倍、分的计算
互补：两角之和为平角
性质：同（等）角的补（余）相等