2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一第二章重难点突破不等式的证明（有答案）

不等式的证明
一、解答题（本大题共11小题，共132.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知为正实数．
求证：；
如果一个直角三角形的两条直角边分别为，且它的周长为．
求证：斜边；
求直角三角形面积的最大值．
本小题分
选用恰当的证明方法，证明下列不等式．
已知，，，求证：
已知，，为正数，且满足证明：；
本小题分
已知，，且．
求证：；
求的最小值．
本小题分
已知，，，
求证：
求证：．
本小题分
已知，为正实数，且满足．
若恒成立，求的最小值；
证明：．
本小题分
已知，，求证：；
已知，，求证：．
本小题分
若，，，均为正实数，求证：；
利用的结论，求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时的值．
本小题分
设，，且求证：
；
与不可能同时成立．
本小题分
已知，用比较法证明；
已知，用反证法证明：．
本小题分
已知，，求证：．
本小题分
设，均为正实数，求证：．
答案和解析
1.【答案】解：为正实数，不等式等价于，
由
所以，当时取“”；
直角三角形的两条直角边分别为，则斜边，
其周长为，
由的结论，，
所以，
所以斜边；
由斜边，得，
面积为，
当时取“”，
所以直角三角形面积的最大值为．

【解析】本题考查了基本不等式及利用基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由题意，不等式等价于，进而利用基本不等式即可证明；
由的结论，，则可证斜边；
由斜边，得，则面积为，由此可得答案．
2.【答案】证明：，，，，，均大于，
，
当且仅当，即时等号成立
，
当且仅当，即时等号成立
，
当且仅当，即时等号成立．
以上三式相加得，
当且仅当时等号成立．
．
证明：因为，，都是正实数，
因为，即，
只需证
，当且仅当时，等号成立．
同理，当且仅当时，等号成立
同理，当且仅当时，等号成立
以上三式相加得，
所以，
当且仅当时，等号成立．

【解析】本题主要考查了不等式的证明，以及基本不等式的应用，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．
利用，，，三个式子相加可得结论；
由题可知，利用基本不等式，，三个式子相加可得结论．
3.【答案】证明：欲证，
需证，
由于，则需证，
，
因为，，
所以，当且仅当时等号成立
所以，
所以成立．
所以成立．
解：因为，，
所以
，
当且仅当，即，取“”，
故的最小值为．

【解析】本题考查基本不等式的运用，不等式的证明，属于中档题．
先运用分析法可知只需证，再根据和基本不等式可得即可证明不等式；
先根据乘“”法得到，展开后再利用基本不等式即可求解最小值．
4.【答案】证明：
，
任何数的平方都是恒大于等于的，所以得证
，，，，
同理：，．
．
故当且仅当即时等号成立．
【解析】本题考查作差法比较大小以及基本不等式的证明，属于中档题．
左边减去右边可得，即可得到结论；
运用基本不等式证明即可．
5.【答案】解：因为，，，由基本不等式得，当且仅当时取等号．
所以的最大值为，又因为恒成立，所以，的最小值为．
因为，当且仅当时取等号，
所以，
当且仅当时取等号，得证．

【解析】本题考查利用基本不等式求最值，不等式中的恒成立问题以及运用放缩法证明不等式，属于中档题．
通过基本不等式可得，从而得出的最大值，即可得出的最小值；
通过基本不等式进行放缩可得，再证明即可证明原结论．
6.【答案】证明：
，
，，
，，
，当且仅当时，等号成立，
故，即得证．
证明：，，
，
要证，
只需证，
只需证，
只需证，即，，这是已知条件，故不等式得证．
【解析】本题主要考查不等式的证明，掌握作差法和分析法是解本题的关键，属于中档题．
根据已知条件，结合作差法，即可证明．
由，，可得，再结合分析法，即可求证．
7.【答案】解：证明：，，，，
，当且仅当时取等号，
．
，．
，
当且仅当，即时取得最小值，最小值为．

【解析】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．
对展开运用基本不等式，证明，即可得到答案；
，即可得到最小值以及的值．
8.【答案】证明：由，得，
由基本不等式及，有，
即，当且仅当时取等号．
假设与同时成立，则，
即：，
由知，因此，即，
而，因此，
因此矛盾，
因此假设不成立，原结论成立．
【解析】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和反证法证明，考查推理能力，属于基础题．
由已知等式可得，再由基本不等式即可得证；
运用反证法证明，结合不等式的性质，即可得到矛盾，进而得到证明．
9.【答案】证明：，
因为，取等号的条件为，
而，故等号无法取得，
即，
又，所以，
所以；
假设，则，
所以由得，
所以，
又，所以，
即矛盾，所以假设错误，
所以．

【解析】本题考查作差法比较大小以及反证法证明，属于中档题．
利用作差法比较大小即可；
假设，则，结合中的结论，得到矛盾，即可得证．
10.【答案】证明：
．
因为，，所以，，，
所以，
故，即．

【解析】本题考查不等式的性质及不等式证明，考查作差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
利用作差法证明，证明右边减左边大于等于即可．
11.【答案】解：由于，均为正实数，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
又，
当且仅当时等号成立，
所以，
当且仅当，
即时取等号．
【解析】本题考查基本不等式及不等式的证明，属于一般题．
利用基本不等式化简并证明，注意每次利用基本不等式都要考虑等号能否成立．
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