2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一第二章重难点突破利用基本不等式求最值（取值范围）（有答案）

利用基本不等式求最值（取值范围）
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知实数，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
若正实数、、满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
正实数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
若，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列说法正确的有( )
A. 的最小值为
B. 已知，则的最小值为
C. 若正数，满足，则的最小值为
D. 设，为实数，若，则的最大值为
已知，是正实数，则下列选项正确的是( )
A. 若，则有最小值
B. 若，则有最大值
C. 若，则有最大值
D. 有最小值
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
设与均为正数，且，则的最小值为 ．
已知为正实数，则的最小值是 ．
已知，，则有最 值，为
已知正实数，满足，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知正实数，满足：
，求的最大值；
且，求的最小值．
本小题分
若正实数，满足，求的最小值
当时，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查连续多次使用基本不等式求最值，有一定的难度．
【解答】
解：令，，
则，．
则
，当且仅当时等号成立．
则最小值为．
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：基本不等式的应用，关系式的恒等变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
【解答】
解：正实数、、满足，
则：，
所以：当且仅当，即时等号成立．
故的最小值为．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查基本不等式的知识，解答本题的关键是掌握基本不等式的性质，属于中档题．
变形得，然后利用基本不等式求最小值．
【解答】
解：正实数，满足，
则
，
当且仅当，即，时取等号．
则的最小值是．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值．
【解答】
解：由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式的应用，属于较难题．
对于，当时，其余三项利用基本不等式判断．
【解答】
解：对于，当时，，故A错误；
对于，因为，
，当且仅当时成立，故B成立；
对于，正数，满足，所以，
，
当且仅当时等号成立，故C成立，
对于，，而
，
即，所以
，
即，即
．
当且仅当，，即，时取最大值，故D成立．
故选BCD．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属中档题．
利用基本不等式对选项ABCD一一进行分析判定．
【解答】
解：对于选项A，因为，所以，
所以当且仅当时取，所以A正确
对于选项B，当且仅当，即，时取，所以B错误
对于选项C，因为当且仅当时取，所以，所以C正确
对于选项D，当且仅当 且 ，即，时取，所以D错误．
故选AC．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，关键是配凑基本不等式的条件，属于较难题．
根据题意，分析可得，再利用乘“”法展开，最后利用基本不等式即可得答案．
【解答】
解：根据题意，与均为正数，且，
所以
，
当且仅当，
即时，等号成立，
所以的最小值为，
故答案为．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式，考查利用基本不等式求最值，考查分析与计算能力，综合性强，属于拔高题．
因为，令，即原式，计算得原式，即可得到答案．
【解答】
解：因为，
令，
因为，所以，
所以原式，
又因为，
所以，
所以，
所以原式
，
当且仅当，即时，取等号，
故答案为．

9.【答案】大

【解析】
【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
由题可得 ，根据可得，再根据基本不等式得到 ，即可求解．
【解答】
解： ，
，
，
，

，
当且仅当 ，即时，等号成立，
，
有最大值，为，
故答案为：大；．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式的应用，属于中档题．
根据题意，将变形为 ，展开利用基本不等式可得结论．
【解答】
解：根据题意，正实数，满足，
则
，
当且仅当，即时，取最小值，
故答案为：．

11.【答案】解：因为，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，所以的最大值为．
因为，且，所以，且，
，当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为．
【解析】本题考察基本不等式的运用，属于一般难度题．
利用即可；
利用即可．
12.【答案】解：，
令，可得，
又，解得，
故的最小值为．
设，则，
题中式子变为，
当且仅当，即，即时，取等号，
的最小值为．

【解析】本题主要考查了基本不等式求最值，属于中档题．
由基本不等式可得，，解不等式可求
换元将所求式变形为可使用基本不等式即可．
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