甘肃省定西市临洮县文峰中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学（文）试题（Word版含答案）

文峰中学2021-2022学年高二下学期期中考试
数学文试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2．在复平面内，复数z对应的点为（，2），则（ ）
A． B． C． D．
3．在等比数列中，，，则（ ）．
A． B．3 C． D．
4．下图是某地区2001年至2021年环境保护建设投资额（单位：万元）的折线图．
根据该折线图判断，下列结论正确的是（ ）
A．为预测该地2022年的环境保护建设投资额，应用2001年至2021年的数据建立回归模型更可靠
B．为预测该地2022年的环境保护建设投资额，应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠
C．投资额与年份负相关
D．投资额与年份的相关系数
5．函数的图象可能是
A． B． C． D．
6．为抗击新冠肺炎疫情，全国各地的医护人员纷纷请战支援武汉，某医院从请战的5名医护人员中随机选派2名支援武汉，已知这5名医护人员中有一对夫妻，则这对夫妻恰有一人被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．观察下面的数表：
1 2
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4 5
……
若第n行的各数之和为231，则（ ）
A．15 B．18 C．20 D．21
8．2022年北京冬奥会的成功举办使北京成为奥运史上第一座“双奥之城”.其中2008年北京奥运会的标志性场馆之一“水立方”摇身一变成为了“冰立方”.“冰立方”在冬奥会期间承接了冰壶和轮椅冰壶等比赛项目.“水立方”的设计灵感来自于威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为2，则该多面体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
9. 在中，角，，的对边分别是，，，且，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．设，，，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知椭圆C的左、右焦点分别为，，直线AB过与该椭圆交于A，B两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝1，b＝，B＝60°，则△ABC的面积为___________.
14.某学校的教师配置及比例如图，为了调查各类教师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分教师进行调查．在抽取的样本中，青年教师有30人，则该样本中的老年教师人数为______．
15.已知，向量，，且，则θ＝__________．
16．函数（，）的部分图像如图所示，MN∥x轴，则________，________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．有n2（n≥4）个正数，排成n×n矩阵（n行n列的数表），其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比都相等，且满足a24＝1，a42＝，a43＝，
求：（1）公比q；
（2）用k表示a4k；
（3）求a11＋a22＋a33＋…＋ann的值．
18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为棱的中点.
(1)证明：平面 ；
(2)求四棱锥的体积.
19.已知（），且的最小正周期为．
（1）求的解析式；
（2）求关于x的不等式的解集．
20．已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)当时，有最小值2，求的值.
21．已知O为坐标原点，椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围。
选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．
(1)求曲线的普通方程；
(2)若直线与曲线交于A，两点，求以为直径的圆的极坐标方程．
23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数，.
(1)当时，解不等式；
(2)若在时有解，求实数的取值范围.
2021-2022学年度高二数学期中考试卷（文科）
一、单选题
1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A 7.C 8.C 9.B 10.B 11.B 12.C
二、填空题
13. 14. 12 15. 16. 2 ,
三、解答题
17.解：（1）∵每一行的数成等差数列，
∴
又∵每一列的数成等比数列 ∴
又∵ ∴
18．【解析】
(1)证明：取 的中点为，连接，
在三角形中，，且，
∵，∴，且，
∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，∴平面 ；
(2)解：过做，垂足为，
∵平面平面，且平面平面，
∴平面，
在直角三角形中，，，∴，
在直角三角形中，，∴
又∵，∴
又∵，∴，∴，
∴.
20．(1)；
(2).
【解析】
(1)解：当时，，可得，则，，
所以切线斜率为，且切点为，
故所求切线方程为，即.
(2)解：，其中，则.
若，则，在上单调递增，函数无最小值，不符合题意；
若，当时，，当时，.
①，对任意的，，函数在上单调递减，
则，解得，合乎题意；
②，函数在单调递减，在上单调递增，
所以，解得，不合题意.
综上所述，存在符合题意.
21．(1)；
(2).
【解析】
(1)
由题意，，又，解得．
所以椭圆C为.
(2)
设，
若直线l的斜率存在，设l为，联立，
消去y得：，，
则，又，
故且，即，则，又，
所以，
整理得，则且恒成立．
，
又，且，故.
当直线l的斜率不存在时，，又，又，解得，则．
综上，的取值范围为．
选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．(1)；
(2).
【解析】
(1)
由(为参数)，得(为参数)，消去得，
所以曲线的普通方程为.
(2)
由得直线l的直角坐标方程：，
由解得或，不妨令点，，
则中点坐标为，，
以为直径的圆的直角坐标方程为，即，
将，，代入得，
所以以为直径的圆的极坐标方程是.
23．(1)
(2)
【解析】
(1)当时，，
当时，恒成立，
当时，由，得，
综上，
所以不等式的解集为.
(2)，即，
又因为，则，
整理得，则，
即在有解，则
所以实数的取值范围为