沪科版八年级数学上册 一课一练 13.1三角形中的边角关系 三角形的外角 （含答案）

13.1三角形中的边角关系--三角形的外角
一、选择题
1．如图，若∠B＝35°，∠ACD＝120°，则∠A＝（　　）
A．35° B．75° C．85° D．95°
2．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（　　）
A．45° B．60° C．75° D．105°
3．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1的度数是（　　）
A．90° B．100° C．105° D．135°
4．如图，在△ABC中，EF∥BC，ED平分∠BEF，且∠DEF＝70°，则∠B的度数为（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，∠ACE＝110°，BF平分∠ABD，则∠FBE＝（　　）
A．105° B．110° C．115° D．120°
6．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A＝（　　）
A．60° B．80° C．70° D．50°
7．如图，将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠AED的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠ACD的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
9．如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论不正确的是（　　）
A．AD∥BC B．∠ACB＝2∠ADB
C．∠ADC＝90°﹣∠ABD D．BD平分∠ADC
10．把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，∠ABC＝60°，∠C＝∠DBE＝90°，其中A，D，B三点在同一直线上，BM为∠ABC的平分线，BN为∠CBE的平分线，则∠MBN的度数是（　　）
A．55° B．30° C．45° D．60°
二、填空题
11．如图，已知∠1＝98°，∠2＝142°，那么∠3＝　 　．
12．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝65°，∠C＝45°，则∠DAC＝　 　度．
13．如图，已知△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E＝　 　度．
14．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为　 　．
15．如图，△ABC中，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，AD∥BC．以下结论：①∠ABC＝∠ACB；②∠ADC+∠ABD＝90°；③BD平分∠ADC；④2∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有　 　．（填序号）
16．如图，已知△ABC，∠B的角平分线与∠C的外角角平分线交于点D，∠B的外角角平分线与∠C的外角角平分线交于点E，则∠E+∠D＝　 　．
17．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠部分形成的角为55°，则图中角α的度数为　 　．
18．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A＝64°，则∠A1＝　 　，∠A3＝　 　，若∠A＝α，则∠A2018为　 　．
三、解答题
19．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别是21°和32°．检验工人量得∠BDC＝148°．就断定这个零件不合格，这是为什么？
20．如图所示，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB；BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角．
（1）若∠BAC＝70°，求：∠BOC的度数；
（2）探究∠BDC与∠A的数量关系．（直接写出结论，无需说明理由）
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝29°，CD是边AB上的高，E是边AB延长线上一点．
求：（1）∠CBE的度数；
（2）∠BCD的度数．
22.如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．
（1）若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数；
（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．
23．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；
（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
24．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．
答案
一、选择题
C．C．C．D．C．A．D．C．D．C．
二、填空题
11．60°．
12．35．
13．25．
14．150°．
15．①②④．
16．90°．
17．80°．
18．32°，8°，．
三、解答题
19．延长CD交AB于点E，
因为工人量得∠BDC＝148°，
所以∠BDE＝180°﹣∠BDC＝180°﹣148°＝32°，
又因为已知∠B＝21°，
所以∠AEC＝32°+21°＝53°，
因为∠C＝32°，
所以∠A＝180°﹣32°﹣53°＝95°≠90°，
所以零件不合格．
20．（1）∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB∠ABC∠ACB（∠ABC+∠ACB），
∵∠A＝70°，
∴∠OBC+∠OCB（180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣55°
＝125°；
（2）∠BDC＝90°∠A．
理由如下：
∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠BCD（∠A+∠ABC）、∠DBC（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠DBC，
＝180°[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
＝180°（∠A+180°），
＝90°∠A；
21．（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝29°，∠CBE是△ABC的外角，
∴∠CBE＝∠ACB+∠A＝90°+29°＝119°；
（2）∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝90°．
∴∠A+∠ACD＝90°．
∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∠A＝29°，
∴∠BCD＝∠A＝29°．
22．（1）∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
∴∠ACD+∠ECD＝∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE＝∠D+∠DBC，
又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠ECD，
∴∠A＝2（∠DCE﹣∠DBC），∠D＝∠DCE﹣∠DBC，
∴∠A＝2∠D，
∵∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，
∴∠A＝60°，
∴∠D＝30°；
（2）∠D（∠M+∠N﹣180°）；
理由：延长BM、CN交于点A，
则∠A＝∠BMN+∠CNM﹣180°，
由（1）知，∠D∠A，
∴∠D（∠M+∠N﹣180°）．
23．（1）∵∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°，
∵∠B＝30°，
∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝70°，
∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，
∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
24．（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB）
（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
（180°+∠A）
＝90°∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
∠ABC∠MBC
（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．
综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．