2022-2023学年人教版九年级数学上册24.4 弧长和扇形面积 课时练习(含解析)

24.4 弧长和扇形面积（附解析）
一、单选题(共10个小题)
1．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．2
2．如图，AB切⊙O于点B，连接OA交⊙O于点C，连接OB．若，OA＝4，则劣弧的长是（　 　）
A．π B．π C．π D．π
3．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（　　 ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
4．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）
A． B． C．4 D．
5．如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上，则阴影部分的面积为（结果保留π）（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将绕点旋转得到，已知，，则线段扫过的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，△ABC内接于⊙O，若，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为（ ）
A．10cm2 B．10cm2 C．20cm2 D．20cm2
9．在半径为6 cm的圆中，长为2π cm的弧所对的圆周角的度数为 （　 　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共10个小题)
11．若把一个半径为12cm，圆心角为的扇形做成圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是_______，圆锥的高是__________，侧面积是____________．
12．用一个半径为10cm半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为_________．
13．如图，圆锥的轴截面是边长为8cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为__________．
14．若一个圆锥的母线长为，它的半径为，则这个圆锥的全面积为________．
15．如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是________cm2．
16．一个母线长为6cm，底面半径为3cm的圆锥展开后得到的侧面展开图扇形的圆心角是______度．
17．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是________cm．
18．正方形的边长为4，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图．当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为_____________．
19．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长为.在母线上的点处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点，则此蚂蚁爬行的最短距离为_______．
20．如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为___________．
三、解答题(共6个小题)
21．求阴影部分的面积．（单位：cm，结果用含π的形式表示）
22．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
(1)若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
(2)若AC＝，CE＝4，求阴影部分的面积．
23．如图，如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
24．如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为．
(1)求它的侧面展开图的圆心角；
(2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？
25．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC．
(1)求剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径；
(2)若用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥形铁帽，求此圆锥形铁帽的底面圆的半径r．
26．已知：如图，半圆O的直径，点C，D是这个半圆的三等分点．求的度数及弦和围成的图形（图中阴影部分）的面积S．（结果保留）
参考答案：
1．A
【详解】解：设底面圆半径为r，
则，
解得r＝6．
故选：A．
2．B
【详解】解：∵AB切⊙O于点B，
∴，
∵，
∴，
∵OA＝4，
∴OBOA＝2，
∴劣弧的长π，
故选B．
3．A
【详解】解：∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，
由弧长公式l，
∴2.5π，
解得：r＝6，
故选：A．
4．B
【详解】解：由题意可知点从开始至结束所走过的路径为两个圆心角为120°，半径为1的扇形弧长，
所以点从开始至结束所走过的路径长度为：．
故选B．
5．B
【详解】解：连接OF，
∵∠AOD=45°，四边形CDEF是正方形，
∴OD=CD=DE=EF，
在Rt△OFE中，OE=2EF，
∵OF=，，
∴，
解得：EF=1，
∴EF=OD=CD=1，
∴
．
故选：B．
6．D
【详解】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴， ．
∵AB扫过的图形的面积=，
∴AB扫过的图形的面积=，
∴AB扫过的图形的面积=．
故选：D．
7．C
【详解】解：∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
故选：C．
8．B
【详解】解：圆锥的侧面积为：，
故选：B．
9．A
【详解】∵，
∴圆心角的度数为n=2×30°=60°．
∴长为2π cm的弧所对的圆周角的度数为，
故选A．
10．A
【详解】解：如图：
正方形的面积；①
两个扇形的面积；②
②①，得：．
故选：A．
11． 4
【详解】解：如图，
这个圆锥的底面周长为，
设半径为r，
则有，
解得r=4；
圆锥的高是：，
侧面积为，
故答案为：4；；
12．
【详解】解：如图所示：
圆锥的侧面展开图的弧长为（cm），
∴圆锥的底面半径为（cm），
∴圆锥的高为：（cm）．
故答案是：cm．
13．
【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ＝8π，
以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝8π，
设展开后的圆心角是n°，则，
解得：，
即展开后∠BAC＝×180°＝90°，
AP＝AC＝4，AB＝8，
则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，
由勾股定理得：，
故答案为：．
14．
【详解】解：这个圆锥的全面积（cm）．
故答案为：．
15．90π
【详解】解：由图可知这个几何体是个圆锥，且它的底面圆的直径是10cm，高12cm，
则底面圆的半径是5cm，
母线长==13cm，
它的全面积=侧面积+底面积=π×5×13+π×5×5=90π(cm2)．
故答案为：90π．
16．180
【详解】解：∵母线长为cm，底面半径为cm，
∴展开的扇形的弧长为，以母线为半径的圆的周长为，
∴侧面展开图扇形的圆心角=，
故答案为：．
17．3
【详解】解：连接BC，由题意知∠BAC=90°，
∴BC是⊙O的直径，BC=24cm，
∵AB=AC，
∴，
∴AB＝＝＝12（cm），
∴＝＝6π（cm）
∴圆锥的底面圆的半径＝6π÷（2π）＝3（cm）．
故答案为：3．
18．π
【详解】解：如图，连接AC，交BD于点O，取BC的中点N，连接NH，
∴MF＝BM＝BNAB，
∴点F的运动轨迹为以点M为圆心，BM长为半径的圆上，
∵∠ABC＝∠FBH＝90°，
∴∠ABC﹣∠FBC＝∠FBH﹣∠FBC，
即∠ABF＝∠CBH，
∴△MBF≌△NBH（SAS），
∴NH＝MF＝BM＝BN，
∴点H在以点N为圆心，BN长为半径的圆上，
∴当点E在C处时，点F与O重合，
当点E在B处时，点F与点B重合，
∴点H所在的圆弧的圆心角为90°，
∴点H所经过的路径长，
故答案为：π．
19．
【详解】解：，
底面周长，
将圆锥侧面沿剪开展平得一扇形，此扇形的半径，弧长等于圆锥底面圆的周长
设扇形圆心角度数为，则根据弧长公式得：
，
，
即展开图是一个半圆，
点是展开图弧的中点，
，
连接，则就是蚂蚁爬行的最短距离，
在中由勾股定理得，
，
，
即蚂蚁爬行的最短距离是．
故答案为：．
20．
【详解】解：如图，为边的高，
所有小圆相切，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
与⊙O相切，
∴⊙O的半径，
阴影部分的面积．
故答案为：．
21．
【详解】解：如图可知，阴影部分是由以正方形四边中点为圆心，2为半径的圆的公共部分组合而成，即由8个弓形组合而成
由得：
，
∴．
22．(1)∠C=40°；
(2)阴影部分的面积为．
【详解】（1）
解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵∠ADE=25°，
∴∠AOE=2∠ADE=50°，
∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°；
（2）
解：设OA=OE=r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：，
即，
解得：r=4，
∴OC=8，
∴OA=OC，
∴∠C=30°，
∴∠AOC=60°，
∴=OA AC=×4×4=8，
∴阴影部分的面积．
23．(1)直线AD与圆O相切，理由见解析
(2)
【详解】
（1）
解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，
（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴，
∴，
∴，
∴扇形BOC的面积为，
∵，
∴阴影部分的面积为．
24．(1)；(2)
【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为，
根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得：
，
又∵．
，
解得：．
∴它的侧面展开图的圆心角是90°；
（2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下：
根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径，
，B为的中点，
由（1）知
∴
∴它所走的最短路线长是．
25．(1)剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径为2；(2)
【详解】（1）
解：连接OA，OB，OC，作OD⊥AB于点D．
则AD=AB，
∵BA= CA，OA= OA，OB= OC，
∴△BAO≌△CAO，
∴∠BAO=∠CAO，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAO=30 °，
∵圆的直径为4，
∴ OA=2，
∴OD=1，DA==，
∴AB=2DA=2；
∴剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径为2；
（2）
解：则扇形（即阴影部分）的弧长是：，
根据题意得：，
解得：r=．
答：此圆锥形铁帽的底面圆的半径为．
26．；
【详解】解：如图，连接OC、OD、CD，OC与AD交于点M，
∵点C，D是这个半圆的三等分点，
∴，
∵和为同弧所对的圆周角和圆心角，
∴，
∵，
∴和都是等边三角形，
∴，
∵在和中，
∴
∴图中阴影部分的面积等于扇形COD的面积，
∵半径
∴