2023年浙江省普通高中学业水平考试数学押题预测试卷（含解析）

2023年浙江省普通高中学业水平考试数学押题预测试卷
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．设集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，4，6，9}，则A∩B等于（　　）
A．{4，6，9} B．{1，2，8}
C．{1，2，4，6，8，9} D．{4，6}
2．函数f（x）＝+的定义域为（　　）
A．{x|x≥﹣3且x≠0} B．{ f（x）|x≥﹣3}
C．{x|x＞﹣3且x≠0} D．{x|x＞﹣3}
3．函数y＝2﹣x的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．＝（　　）
A． B． C． D．
5．圆心为（﹣1，2），半径r＝3的圆的标准方程为（　　）
A．（x﹣1）2+（y+2）2＝9 B．（x+1）2+（y﹣2）2＝9
C．（x﹣1）2+（y+2）2＝3 D．（x+1）2+（y﹣2）2＝3
6．已知函数，则＝（　　）
A． B． C． D．
7．下列函数在R上为增函数的是（　　）
A．y＝x2 B．y＝x C． D．
8．若a＞0，b＞0，且a+2b＝1，则的最小值是（　　）
A．8 B．25 C．18 D．20
9．设A，B是平面上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P满足||PA|﹣|PB||＝3，则P点的轨迹是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
10．不等式组，所表示的平面区域的面积大小为（　　）
A．1 B．2 C． D．2
11．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是（　　）
A．l α，m β，且l⊥m B．l α，m β，且l⊥m，l⊥n
C．m α，n β，m∥n，且l⊥m D．l α，l∥m，且m⊥β
12．将函数向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（　　）
A．y＝sin2x B．y＝cos2x
C． D．
13．若不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（　　）
A．﹣3＜k＜0 B．﹣3≤k≤0 C．﹣3＜k≤0 D．k＜﹣3或k≥0
14．已知，均为单位向量，且它们的夹角为，那么|+2|的值为（　　）
A． B． C． D．4
15．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于（　　）
A．120° B．60° C．30° D．以上均错
16．已知当﹣1≤a≤1时，x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0恒成立，则实数x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，1]∪[3，+∞）
C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）
17．已知非零向量，满足，则，的夹角最大为（　　）
A． B． C． D．
18．通过以下操作得到一系列数列：
第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；
第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，
第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3．
按上述这样操作11次后，得到的数列记为{an}，则a1025的值是（　　）
A．6 B．12 C．18 D．108
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）
19．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S7＝21﹣7a7，则S10＝　 　．
20．已知△ABC中，a＝，b＝，A＝，则B＝　 　．
21．椭圆上一点P到左焦点的距离为6，则点P到右焦点的距离是 　 　．
22．在△ABC中，点D满足，当E点在线段AD上移动时，若，则t＝（λ﹣1）2+μ2的最小值是 　 　．
三、解答题（本大题共3小题，共31分）
23．已知函数f（x）＝3sin（2x+），x∈R．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最小正周期．
24．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）
两点，且|AB|＝9．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，求三角形OAB的面积．
25．已知函数f（x）＝|x﹣|，且对任意的x，f（x）+f（﹣x+）≥m．
（1）求m的取值范围；
（2）若m∈N，证明：f（sin2α）﹣f（cos2a+1）≤m．
2023年浙江省普通高中学业水平考试数学押题预测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．设集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，4，6，9}，则A∩B等于（　　）
A．{4，6，9} B．{1，2，8}
C．{1，2，4，6，8，9} D．{4，6}
解：∵集合A＝{2，4，6，8，9}，
B＝{1，4，6，9}，
∴A∩B＝{4，6，9}．
故选：A．
2．函数f（x）＝+的定义域为（　　）
A．{x|x≥﹣3且x≠0} B．fx|x≥﹣3} C．{x|x＞﹣3且x≠0} D．{x|x＞﹣3}
解：由题意得x+3≥0且x≠0，
解得x≥﹣3且x≠0．
故选：A．
3．函数y＝2﹣x的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
解：函数y＝2﹣x的定义域为R，在定义域内单调递减，
故选：D．
4．＝（　　）
A． B． C． D．
解：．
故选：D．
5．圆心为（﹣1，2），半径r＝3的圆的标准方程为（　　）
A．（x﹣1）2+（y+2）2＝9 B．（x+1）2+（y﹣2）2＝9
C．（x﹣1）2+（y+2）2＝3 D．（x+1）2+（y﹣2）2＝3
解：根据题意：要求的圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝9；
故选：B．
6．已知函数，则＝（　　）
A． B． C． D．
解：∵函数，
∴f（﹣）＝﹣（﹣）2+3＝，
∴＝f（）3+1＝．
故选：A．
7．下列函数在R上为增函数的是（　　）
A．y＝x2 B．y＝x C． D．
解：对于A，由二次函数的性质可知，函数y＝x2在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，故A错误，
对于B，由一次函数的性质可知，函数y＝x在R上单调递增，故B正确，
对于C，由幂函数的性质可知，函数y＝在[0，+∞）上单调递增，所以函数y＝﹣在[0，+∞）上单调递减，故C错误，
对于D，由反比例函数的性质可知，函数y＝在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递减，故D错误，
故选：B．
8．若a＞0，b＞0，且a+2b＝1，则的最小值是（　　）
A．8 B．25 C．18 D．20
解：
＝（）（a+2b）
＝++17
≥8+17＝25，
当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立；
故选：B．
9．设A，B是平面上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P满足||PA|﹣|PB||＝3，则P点的轨迹是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
解：因为||PA| |PB||＝3＜4，
所以P点的轨迹是双曲线．
故选：C．
10．不等式组，所表示的平面区域的面积大小为（　　）
A．1 B．2 C． D．2
解：不等式组，表示的平面区域，如图所示：
由，解得，所以C（1，1），
又AC⊥OC，故＝1．
故选：A．
11．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是（　　）
A．l α，m β，且l⊥m B．l α，m β，且l⊥m，l⊥n
C．m α，n β，m∥n，且l⊥m D．l α，l∥m，且m⊥β
解：由l α，m β，且l⊥m，不一定得到α⊥β；
由l α，m β，且l⊥m，l⊥n，不一定得到α⊥β；
由m α，n β，m∥n，且l⊥m，不一定得到α⊥β；
由l∥m，且m⊥β，得l⊥β，又l α，可得α⊥β．
∴α⊥β的一个充分条件是D．
故选：D．
12．将函数向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（　　）
A．y＝sin2x B．y＝cos2x
C． D．
解：将函数向右平移个单位长度，得到y＝sin[2（x﹣）+]＝sin2x，
故选：A．
13．若不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（　　）
A．﹣3＜k＜0 B．﹣3≤k≤0 C．﹣3＜k≤0 D．k＜﹣3或k≥0
解：2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，
①k＝0时，﹣＜0恒成立，
②k≠0时，，
解可得，﹣3＜k＜0，
综上可得，﹣3＜k≤0，
故选：C．
14．已知，均为单位向量，且它们的夹角为，那么|+2|的值为（　　）
A． B． C． D．4
解：∵＝，
∴．
故选：A．
15．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于（　　）
A．120° B．60° C．30° D．以上均错
解：设直线l与平面α所成角为θ，则由题意可得：，
又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°．
故选：C．
16．已知当﹣1≤a≤1时，x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0恒成立，则实数x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，1]∪[3，+∞）
C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）
解：令g（a）＝（x﹣2）a+x2﹣4x+4，
∵当﹣1≤a≤1时，x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0恒成立，
∴，即，
解得x＞3，或x＜1．
∴实数x的取值范围是（﹣∞，1）∪（3，+∞），
故选：D．
17．已知非零向量，满足，则，的夹角最大为（　　）
A． B． C． D．
解：由，
则，
设，的夹角为θ，
则cosθ＝＝≥＝，当且仅当||＝||时取等号，
又θ∈[0，π]，
则0≤θ≤，
即，的夹角最大为，
故选：C．
18．通过以下操作得到一系列数列：
第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；
第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，
第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3．
按上述这样操作11次后，得到的数列记为{an}，则a1025的值是（　　）
A．6 B．12 C．18 D．108
解：设数列经过第n次拓展后的项数为bn，
∵数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，
则经过第n+1次拓展后增加的项数为bn﹣1，
∴bn+1＝bn+bn﹣1＝2bn﹣1，
即bn+1﹣1＝2（bn﹣1），即＝2，
∴数列{bn﹣1}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列，
∴bn﹣1＝2n，∴bn＝2n+1，
∴经过11次拓展后6所在的位置为：210﹣1+1+1＝210+1＝1025，
∴a1025＝6．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
19．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S7＝21﹣7a7，则S10＝　15　．
解：由{an}是等差数列，得S7＝7a4＝21﹣7a7，则7（a4+a7）＝21，解得a4+a7＝3，
所以S10＝（a1+a10）＝（a4+a7）＝5×3＝15．
故答案为：15．
20．已知△ABC中，a＝，b＝，A＝，则B＝　或　．
解：因为，所以，所以，
又因为b＞a，所以B＞A，所以或，
故答案为：或．
21．椭圆上一点P到左焦点的距离为6，则点P到右焦点的距离是 　4　．
解：因为椭圆的半长轴a＝5，
由椭圆的定义可得：点P到左焦点的距离和右焦点的距离的和为2a＝10，
所以点P到右焦点的距离为10﹣6＝4．
故答案为：4．
22．在△ABC中，点D满足，当E点在线段AD上移动时，若，则t＝（λ﹣1）2+μ2的最小值是 　　．
解：如图，
E在线段AD上，所以存在实数k使得；
＝；则
∴，
∴
＝，
∴时，t取最小值．
故答案为：．
三．解答题（共3小题）
23．已知函数f（x）＝3sin（2x+），x∈R．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最小正周期．
解：（1）由于函数f（x）＝3sin（2x+），
所以f（0）＝3sin＝；
（2）由于函数f（x）＝3sin（2x+），所以函数的最小正周期为．
24．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）
两点，且|AB|＝9．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，求三角形OAB的面积．
解：（1）抛物线y2＝2px的焦点为，
所以直线AB的方程为，
由消去y得4x2﹣5px+p2＝0，
所以，
由抛物线定义得|AB|＝x1+x2+p＝9，
即，所以p＝4．
所以抛物线的方程为y2＝8x．
（2）由p＝4知，方程4x2﹣5px+p2＝0，
可化为x2﹣5x+4＝0，
解得x1＝1，x2＝4，故，．
所以，．
则△OAB面积．
25．已知函数f（x）＝|x﹣|，且对任意的x，f（x）+f（﹣x+）≥m．
（1）求m的取值范围；
（2）若m∈N，证明：f（sin2α）﹣f（cos2a+1）≤m．
解：（1），
当且仅当时等号成立，
∵f（x）对任意的x，f（x）+f（﹣x+）≥m，∴，
∴m的取值范围为．
（2）由（1）知，，又m∈N，∴m＝0．
要证f（sin2α）﹣f（cos2α+1）≤m，即证f（sin2α）﹣f（cos2α+1）≤0，
∵f（sin2α）﹣f（cos2α+1）＝
＝＝，
当时，f（sin2α）﹣f（cos2α+1）＝2sin2α﹣2≤0；
当，f（sin2α）﹣f（cos2α+1）＝﹣1，
综上，f（sin2α）﹣f（cos2α+1）≤0，∴原命题成立．