第二章 直线和圆的方程章节练习-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第二章 直线和圆的方程章节练习-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 667.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-15 14:42:59 | ||
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文档简介
直线和圆的方程
章节练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（共12题，每题5分，总分60分）
1．已知点，则直线的斜率是（ ）
A． B． C．3 D．
2．将直线绕着原点顺时针旋转，得到新直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
3．设直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，则“是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．如果且，那么直线不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．点到直线距离为（ ）
A． B．2 C． D．
8．已知两条平行直线与间的距离为3，则（ ）
A．9或21 B．或21
C．9或 D．9或3
9．已知圆的一条直径的端点分别是，，则此圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知圆，则过圆上一点的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知直线过点且斜率为1，若圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知圆与圆，则两圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
第II卷（非选择题）
二、填空题（共4题，每题5分，总分20分）
13．过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
14．以为圆心，以r为半径的圆A与圆B：内含，则r的取值范围为______．
15．过点引圆的切线，则该切线长为_________.
16．已知三个不同的点 在同一条直线上，则实数a的值为___________.
三、解答题（共6题，总分70分）
17．过点的直线与以、为端点的线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围．（8分）
18．直线过点且与直线垂直.
（1）求直线的方程；（4分）
（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.（6分）
19．
(1)在平面直角坐标系中，直线与圆相切于点，圆心在直线上. 求圆的方程；（6分）
(2)已知圆与圆：相交，求实数的取值范围.（8分）
20．已知圆过三个点.
(1)求圆的方程；（4分）
(2)过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹.（6分）
21．已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点．
（1）求的取值范围；（4分）
（2）若，其中为坐标原点，求的面积．（8分）
22．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．
（1）求圆C的标准方程；（6分）
（2）直线与圆C交于A，B两点．（10分）
①求k的取值范围；
②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】直接根据斜率公式即可求出答案.
【详解】因为点，所以.
故选：D.
2．A
【分析】依据两直线垂直充要条件即可求得新直线的斜率.
【详解】直线的斜率为
由题意可知新直线与直线互相垂直，
则新直线的斜率为
故选：A
3．D
【解析】对直线的倾斜角分锐角和钝角进行讨论，再结合正切函数的性质，即可得答案；
【详解】解：∵直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，
当倾斜角均为锐角时，和均为钝角时，若“”，则“”，
若“”，则“”，
当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“”，则“与”的大小不能确定，
若“”，则“与”的大小也不能确定，
故则“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【点睛】直线的斜率，将斜率视为倾斜角的函数，再利用正切函数的性质进行求解.
4．B
【分析】设直线方程为，，将点代入即可求解.
【详解】设直线方程为，，
直线过点，
代入直线方程的，得，
则所求直线方程为，
故选：B．
5．C
【分析】根据且，得，则直线方程可化为斜截式，再根据的符号，即可得出结论.
【详解】因为，所以，所以直线方程可化为．
因为且，所以同号，异号，从而有，
所以直线的斜率为负，且在y轴上的截距为正，所以直线不经过第三象限．
故选：C．
6．D
【分析】就直线与平行或过的中点可求直线的方程.
【详解】若过的直线与平行，因为，
故直线的方程为：即.
若过的直线过的中点，因为的中点为，此时，
故直线的方程为：即.
故选：D.
7．C
【分析】根据点到直线的距离公式直接计算即可得答案.
【详解】解：根据点到直线的距离公式得点到直线距离为
故选：C
8．B
【分析】由平行直线间的距离公式建立关系即可求解.
【详解】两条平行直线与间的距离为3，
则两平行直线间的距离为，解得或.
故选：B.
9．A
【分析】根据圆心为直径两端点的中点，得到圆心坐标；再利用两点间距离公式求得半径，从而得到圆的标准方程．
【详解】直径两端点为 圆心坐标为
圆的半径，
圆的方程为：.
故选：A.
【点睛】求解圆的标准方程，关键是确定圆心和半径，属于基础题．
10．A
【解析】由于直线与切线垂直，得求得切线斜率故可求切线方程.
【详解】圆的圆心为，则直线的斜率，
故切线的斜率，所以切线方程为
化简得：
故选：A
11．D
【分析】由已知条件，设，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【详解】解：直线过点且斜率为1，
设，
圆上恰有3个点到的距离为1，
圆心到直线的距离等于半径减去1，
圆心到直线的距离为，解得．
故选：D．
12．B
【分析】根据圆的标准方程，得到两圆的圆心和半径，求出圆心距，与半径比较，即可得出结果.
【详解】因为圆的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为，
因此圆心距为，
所以两圆外切.
故选：B.
【点睛】本题主要考查判断两圆位置关系，属于基础题型.
13．或或或．
【分析】法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
【整体点评】法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
14．
【分析】根据两个圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】圆的圆心为，半径，所以圆心距，因为两圆内含，所以，所以或．所以r的取值范围为．
故答案为：
15．
【分析】由圆的一般方程可确定圆心和半径，由此可得圆心到点的距离，根据切线长为可求得结果.
【详解】由圆的方程知其圆心为，半径；
圆心到点的距离，切线长为.
故答案为：.
16．或5
【分析】根据斜率相等可求出结果.
【详解】因为，所以该直线斜率存在，
又，
根据题意得，解得或.
故答案为：或.
17．
【分析】作出图形，利用斜率公式分别求得，，根据题意得到或，即可求解.
【详解】如图所示，因为，，，
可得，，
要使得直线与以、为端点的线段有交点，
设直线的倾斜角为，其中，则满足或，
解得或，即直线的倾斜角的取值范围.
18．（1）；（2）.
【分析】（1）设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程；
（2）设圆心的坐标为，根据已知条件可得出关于实数的等式，求出的值，可得出圆心坐标以及圆的半径，进而可得出所求圆的方程.
【详解】（1）因为直线与直线垂直，则直线的方程可设为，
又因为直线过点，所以，即，
所以直线的方程为；
（2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，
又因为该圆过点、，
所以有，解得，
所以圆心坐标为，半径，
故圆的方程为.
19．(1)
(2)
【分析】(1)根据给定条件设圆心，再借助切线性质求出a值，进而求出半径即可得解.
(2)求出圆与圆半径，利用两圆相交列式求解即得.
(1)
因圆心在直线上，则设圆心，半径是，
于是得圆方程是，而圆与直线相切于点，
即与直线垂直，则有直线CA斜率，解得，
因此，圆心，，
所以圆的方程是：.
(2)
圆：化为，圆心，半径，
而圆的圆心，半径，则，
因圆与圆相交，于是有，即，
解得，即，
所以实数的取值范围是.
20．(1)
(2)
【分析】（1）设圆的方程为，列出方程组，求得的值，即可求得圆的方程；
（2）根据题意得到，得出在以为直径的圆上，得到以为直径的圆的方程，再联立两圆的方程组，求得交点坐标，即可得到点的轨迹方程.
（1）
解：设圆的方程为，
因为圆过三个点，
可得，解得，
所以圆的方程为，即.
（2）
解：因为为线段的中点，且，所以在以为直径的圆上，
以为直径的圆的方程为，
联立方程组，解得或，
所以点的轨迹方程为.
21．（1）；（2）.
【分析】（1）根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离公式，即可求解；
（2）直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，求得，再利用弦长求的面积．
【详解】（1）设直线的方程为．
因为直线与圆交于两点，所以，
解得．
所以的取值范围为．
（2）设，．
将代入方程，
整理得，
所以，，
所以．
由题设得，解得，
所以直线的方程为，
所以圆心在直线上，所以．
又原点到直线的距离，
所以的面积．
22．（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.
【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；
（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；
（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.
【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a，
又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：.
（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，
所以，即k的取值范围是.
（ⅱ）设，由根与系数的关系：，
所以.
即直线OA,OB斜率之和为定值.
章节练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（共12题，每题5分，总分60分）
1．已知点，则直线的斜率是（ ）
A． B． C．3 D．
2．将直线绕着原点顺时针旋转，得到新直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
3．设直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，则“是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．如果且，那么直线不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．点到直线距离为（ ）
A． B．2 C． D．
8．已知两条平行直线与间的距离为3，则（ ）
A．9或21 B．或21
C．9或 D．9或3
9．已知圆的一条直径的端点分别是，，则此圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知圆，则过圆上一点的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知直线过点且斜率为1，若圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知圆与圆，则两圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
第II卷（非选择题）
二、填空题（共4题，每题5分，总分20分）
13．过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
14．以为圆心，以r为半径的圆A与圆B：内含，则r的取值范围为______．
15．过点引圆的切线，则该切线长为_________.
16．已知三个不同的点 在同一条直线上，则实数a的值为___________.
三、解答题（共6题，总分70分）
17．过点的直线与以、为端点的线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围．（8分）
18．直线过点且与直线垂直.
（1）求直线的方程；（4分）
（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.（6分）
19．
(1)在平面直角坐标系中，直线与圆相切于点，圆心在直线上. 求圆的方程；（6分）
(2)已知圆与圆：相交，求实数的取值范围.（8分）
20．已知圆过三个点.
(1)求圆的方程；（4分）
(2)过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹.（6分）
21．已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点．
（1）求的取值范围；（4分）
（2）若，其中为坐标原点，求的面积．（8分）
22．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．
（1）求圆C的标准方程；（6分）
（2）直线与圆C交于A，B两点．（10分）
①求k的取值范围；
②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】直接根据斜率公式即可求出答案.
【详解】因为点，所以.
故选：D.
2．A
【分析】依据两直线垂直充要条件即可求得新直线的斜率.
【详解】直线的斜率为
由题意可知新直线与直线互相垂直，
则新直线的斜率为
故选：A
3．D
【解析】对直线的倾斜角分锐角和钝角进行讨论，再结合正切函数的性质，即可得答案；
【详解】解：∵直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，
当倾斜角均为锐角时，和均为钝角时，若“”，则“”，
若“”，则“”，
当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“”，则“与”的大小不能确定，
若“”，则“与”的大小也不能确定，
故则“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【点睛】直线的斜率，将斜率视为倾斜角的函数，再利用正切函数的性质进行求解.
4．B
【分析】设直线方程为，，将点代入即可求解.
【详解】设直线方程为，，
直线过点，
代入直线方程的，得，
则所求直线方程为，
故选：B．
5．C
【分析】根据且，得，则直线方程可化为斜截式，再根据的符号，即可得出结论.
【详解】因为，所以，所以直线方程可化为．
因为且，所以同号，异号，从而有，
所以直线的斜率为负，且在y轴上的截距为正，所以直线不经过第三象限．
故选：C．
6．D
【分析】就直线与平行或过的中点可求直线的方程.
【详解】若过的直线与平行，因为，
故直线的方程为：即.
若过的直线过的中点，因为的中点为，此时，
故直线的方程为：即.
故选：D.
7．C
【分析】根据点到直线的距离公式直接计算即可得答案.
【详解】解：根据点到直线的距离公式得点到直线距离为
故选：C
8．B
【分析】由平行直线间的距离公式建立关系即可求解.
【详解】两条平行直线与间的距离为3，
则两平行直线间的距离为，解得或.
故选：B.
9．A
【分析】根据圆心为直径两端点的中点，得到圆心坐标；再利用两点间距离公式求得半径，从而得到圆的标准方程．
【详解】直径两端点为 圆心坐标为
圆的半径，
圆的方程为：.
故选：A.
【点睛】求解圆的标准方程，关键是确定圆心和半径，属于基础题．
10．A
【解析】由于直线与切线垂直，得求得切线斜率故可求切线方程.
【详解】圆的圆心为，则直线的斜率，
故切线的斜率，所以切线方程为
化简得：
故选：A
11．D
【分析】由已知条件，设，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【详解】解：直线过点且斜率为1，
设，
圆上恰有3个点到的距离为1，
圆心到直线的距离等于半径减去1，
圆心到直线的距离为，解得．
故选：D．
12．B
【分析】根据圆的标准方程，得到两圆的圆心和半径，求出圆心距，与半径比较，即可得出结果.
【详解】因为圆的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为，
因此圆心距为，
所以两圆外切.
故选：B.
【点睛】本题主要考查判断两圆位置关系，属于基础题型.
13．或或或．
【分析】法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
【整体点评】法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
14．
【分析】根据两个圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】圆的圆心为，半径，所以圆心距，因为两圆内含，所以，所以或．所以r的取值范围为．
故答案为：
15．
【分析】由圆的一般方程可确定圆心和半径，由此可得圆心到点的距离，根据切线长为可求得结果.
【详解】由圆的方程知其圆心为，半径；
圆心到点的距离，切线长为.
故答案为：.
16．或5
【分析】根据斜率相等可求出结果.
【详解】因为，所以该直线斜率存在，
又，
根据题意得，解得或.
故答案为：或.
17．
【分析】作出图形，利用斜率公式分别求得，，根据题意得到或，即可求解.
【详解】如图所示，因为，，，
可得，，
要使得直线与以、为端点的线段有交点，
设直线的倾斜角为，其中，则满足或，
解得或，即直线的倾斜角的取值范围.
18．（1）；（2）.
【分析】（1）设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程；
（2）设圆心的坐标为，根据已知条件可得出关于实数的等式，求出的值，可得出圆心坐标以及圆的半径，进而可得出所求圆的方程.
【详解】（1）因为直线与直线垂直，则直线的方程可设为，
又因为直线过点，所以，即，
所以直线的方程为；
（2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，
又因为该圆过点、，
所以有，解得，
所以圆心坐标为，半径，
故圆的方程为.
19．(1)
(2)
【分析】(1)根据给定条件设圆心，再借助切线性质求出a值，进而求出半径即可得解.
(2)求出圆与圆半径，利用两圆相交列式求解即得.
(1)
因圆心在直线上，则设圆心，半径是，
于是得圆方程是，而圆与直线相切于点，
即与直线垂直，则有直线CA斜率，解得，
因此，圆心，，
所以圆的方程是：.
(2)
圆：化为，圆心，半径，
而圆的圆心，半径，则，
因圆与圆相交，于是有，即，
解得，即，
所以实数的取值范围是.
20．(1)
(2)
【分析】（1）设圆的方程为，列出方程组，求得的值，即可求得圆的方程；
（2）根据题意得到，得出在以为直径的圆上，得到以为直径的圆的方程，再联立两圆的方程组，求得交点坐标，即可得到点的轨迹方程.
（1）
解：设圆的方程为，
因为圆过三个点，
可得，解得，
所以圆的方程为，即.
（2）
解：因为为线段的中点，且，所以在以为直径的圆上，
以为直径的圆的方程为，
联立方程组，解得或，
所以点的轨迹方程为.
21．（1）；（2）.
【分析】（1）根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离公式，即可求解；
（2）直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，求得，再利用弦长求的面积．
【详解】（1）设直线的方程为．
因为直线与圆交于两点，所以，
解得．
所以的取值范围为．
（2）设，．
将代入方程，
整理得，
所以，，
所以．
由题设得，解得，
所以直线的方程为，
所以圆心在直线上，所以．
又原点到直线的距离，
所以的面积．
22．（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.
【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；
（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；
（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.
【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a，
又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：.
（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，
所以，即k的取值范围是.
（ⅱ）设，由根与系数的关系：，
所以.
即直线OA,OB斜率之和为定值.