2023届高三数学一轮复习离散型随机变量及其分布列 讲义（含答案）

2023届一轮复习离散型随机变量及其分布列
知识梳理
1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的概率分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：
若随机变量X服从两点分布，则其分布列为
X 0 1
P 1－p p
其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列.
X 0 1 … m
P …
典例剖析
题型一 离散型随机变量分布列的性质
解题要点 抓住分布列两个性质：①p1＋p2＋…＋pn＝1；②pi≥0(i＝1，2，…，n)是解题的关键．
例1　设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X －1 0 1
P 1－2q q2
则q等于________．
变式训练 随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则a＋c＝________.
题型二 利用性质求离散型随机变量的分布列
解题要点 若X为随机变量，则2X＋1，| X－1|等仍然为随机变量，求它们的分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．
例2　设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求2X＋1的分布列。
变式训练 若上例条件不变，求|X－1|的分布列
题型三 离散型随机变量的分布列求法
解题要点 1．求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率，要注意避免分类不全面或计算错误．
2. 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
例3　端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
变式训练 若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；
(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．
当堂练习
1．已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a值为________．
ξ 4 a 9
p 0.5 0.1 b
2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，则P＝________.
3. 设随机变量Y的分布列为
Y －1 2 3
P m
则“≤Y≤”的概率为________．
4．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为________．
5．若随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P m
则m＝________．
课后作业
填空题
1．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是________．
①第一枚6点，第二枚2点 ②第一枚5点，第二枚1点
③第一枚1点，第二枚6点 ④第一枚6点，第二枚1点
2．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)的值为________．
3．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是________．
4．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是_____．
5．某一离散型随机变量ξ的概率分布列如下表，且Eξ＝1.5，则a－b的值为________．
ξ 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
6．已知ξ的分布列ξ＝－1,0,1，对应P＝，，，且设η＝2ξ＋1，则η的期望是________．
7．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是________．
8．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，则a的值是________．
9．已知某篮球运动员比赛中罚球的命中率为0.8，每次罚球命中得1分，罚不中得0分，则他罚球一次得分ξ的期望为________．
10．某射手射击一次所得环数X的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.1 0.4 0.3 0.2
则P(X>7)＝________.
11．10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．
二、解答题
12． 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
13．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．
2023届一轮复习离散型随机变量及其分布列解析
知识梳理
1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的概率分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：
若随机变量X服从两点分布，则其分布列为
X 0 1
P 1－p p
其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列.
X 0 1 … m
P …
典例剖析
题型一 离散型随机变量分布列的性质
解题要点 抓住分布列两个性质：①p1＋p2＋…＋pn＝1；②pi≥0(i＝1，2，…，n)是解题的关键．
例1　设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X －1 0 1
P 1－2q q2
则q等于________．
答案 1－
解析 由分布列的性质知∴q＝1－．
变式训练 随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则a＋c＝________.
答案　
解析　由题意知则2b＝1－b，则b＝，a＋c＝
题型二 利用性质求离散型随机变量的分布列
解题要点 若X为随机变量，则2X＋1，| X－1|等仍然为随机变量，求它们的分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．
例2　设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求2X＋1的分布列。
解析　由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.
首先列表为：
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
从而由上表得2X＋1的分布列为：
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
变式训练 若上例条件不变，求|X－1|的分布列
解析　由上知，m＝0.3.
列表为：
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
从而由上表得|X－1|的分布列为：
|X－1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
题型三 离散型随机变量的分布列求法
解题要点 1．求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率，要注意避免分类不全面或计算错误．
2. 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
例3　端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
解析　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有
P(A)＝＝.
(2)X的所有可能值为0,1,2，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．
变式训练 若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；
(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．
解析　(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345；
(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，
随机变量X的取值为：0，－1,1，
因此P(X＝0)＝＝，P(X＝－1)＝＝，P(X＝1)＝1－－＝，
所以X的分布列为
X 0 －1 1
P
则E(X)＝0×＋(－1)×＋1×＝.
当堂练习
1．已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a值为________．
ξ 4 a 9
p 0.5 0.1 b
答案 7
解析 由分布列的性质可得0.5＋0.1＋b＝1，解得b＝0.4.
由E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，解得a＝7．
2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，则P＝________.
答案
解析 P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
3. 设随机变量Y的分布列为
Y －1 2 3
P m
则“≤Y≤”的概率为________．
答案
解析 依题意知，＋m＋＝1，则m＝.
故P＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝＋＝.
4．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为________．
答案
解析 由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝＝.
5．若随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P m
则m＝________．
答案
解析 根据随机变量概率的性质有＋m＋＋＝1，解得m＝.
课后作业
填空题
1．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是________．
①第一枚6点，第二枚2点 ②第一枚5点，第二枚1点
③第一枚1点，第二枚6点 ④第一枚6点，第二枚1点
答案　④
解析 第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5，故选④．
2．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)的值为________．
答案　
解析　设X的分布列为：
X 0 1
P p 2p
即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败的概率为p，成功的概率为2p.由p＋2p＝1，则p＝．
3．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是________．
答案
解析 设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，i＝3，它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P(X＝1)＝＝.
4．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是_____．
答案 9
解析 X的所有可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．
5．某一离散型随机变量ξ的概率分布列如下表，且Eξ＝1.5，则a－b的值为________．
ξ 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
答案 0
解析 故a－b＝0.
6．已知ξ的分布列ξ＝－1,0,1，对应P＝，，，且设η＝2ξ＋1，则η的期望是________．
答案
解析 Eξ＝(－1)×＋0×＋1×＝－，∵η＝2ξ＋1，∴Eη＝2Eξ＋1＝2×＋1＝.
7．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是________．
答案
解析 记“同时取出的两个球中含红球的个数”为X，
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝，
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
8．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，则a的值是________．
答案　
解析　1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝a[＋()2＋()3]，解得a＝.
9．已知某篮球运动员比赛中罚球的命中率为0.8，每次罚球命中得1分，罚不中得0分，则他罚球一次得分ξ的期望为________．
答案 0.8
解析 由题意，他得分的分布列为
ξ 1 0
P 0.8 0.2
∴E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.
10．某射手射击一次所得环数X的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.1 0.4 0.3 0.2
则P(X>7)＝________.
答案 0.9
11．10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．
答案
解析 由超几何分布的概率公式可得P(恰好取到一件次品)＝＝.
二、解答题
12． 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
解析 (1)由已知，有P(A)＝＝.所以，事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
13．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．
解析 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，
则PA．＝××＝.
(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3.
又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.