2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册选择性必修一第一、二章 测试卷（含解析）

选择性必修一第一、二章测试(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设直线l的方向向量v＝，平面α的法向量n＝，若l⊥α，则x＝(　　)
A．－1 B．0 C．5 D．4
2．若直线x＋y＋a＝0是圆x2＋y2－2y＝0的一条对称轴，则a的值为(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
3．已知正方体ABCD A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m，n的值分别为(　　)
A．，－ B．－，－ C．－， D．，
4．点P与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝4
C．＋＝4 D．＋＝1
5．已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则(　　)
A．与是共线向量 B．的单位向量是
C．与夹角的余弦值是D．平面ABC的一个法向量是
6．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A作圆C的一条切线，切点为B，则＝(　　)
A．2 B．4 C．6 D．2
7．在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC∥ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1所成角为.正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知P是直线kx＋4y－10＝0(k>0)上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为(　　)
A． B． C．2 D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是(　　)
A．＋＋ B．＋＋
C．－＋ D．＋＋
10．若圆2＋2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值可以是(　　)
A．4 B．5 C． D．6
11.在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝2，P，Q，R分别是AB，BB1，A1C上的动点，下列结论正确的是(　　)
A．对于任意给定的点P，存在点Q使得D1P⊥CQ
B．对于任意给定的点Q，存在点R使得D1R⊥CQ
C．当AR⊥A1C时，AR⊥D1R
D．当A1C＝3A1R时，D1R∥平面BDC1
12．如图A(2，0)，B(1，1)，C(－1，1)，D(－2，0)，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W.则下述正确的是(　　)
A.曲线W与x轴围成的面积等于2π
B．曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)
C．所在圆的方程为：x2＋(y－1)2＝1
D．与的公切线方程为：x＋y＝＋1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．在空间直角坐标系中，点P(0，0，1)为平面ABC外一点，其中A(1，1，0)，B(0，2，3)，若平面ABC的一个法向量为(1，m，1)，则点P到平面ABC的距离为________．
14．平面内动点P到两点A，B距离之比为常数λ(λ＞0，且λ≠1)，则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A(－2，0)，B(2，0)，λ＝，则此阿波罗尼斯圆的方程为________．
15．如图，在四面体D ABC中，AD＝BD＝AC＝BC＝5，AB＝DC＝6.若M为线段AB上的动点(不包含端点)，则二面角D MC B的余弦值的取值范围是________．
16．已知直线y＝kx＋b与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝________；b＝________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，m，－4).
(1)若a∥b，求实数m的值；(2)若a⊥b，求实数m的值．
18．(本小题满分12分)
已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)求圆心C的坐标及半径r的大小；
(2)已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．
19．(本小题满分12分)
如图所示，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE；
(2)若点F为BE的中点，求直线AF与平面ADE所成角的正弦值．
20．(本小题满分12分)
已知△ABC的三个顶点A(－1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圆圆心为H.
(1)求圆H的方程；
(2)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；
(3)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．
21.(本小题满分12分)
如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2，D是棱A1B1的中点，侧棱CC1⊥底面ABC.
(1)求异面直线CB1与AC1所成的角；
(2)求平面ADC1与平面ABC所成二面角的正弦值．
22．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)试求圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1：解析选A.由l⊥α，则v∥n，则存在非零常数λ，使得v＝λn，
即解得x＝－1.
2：解析选B.圆x2＋y2－2y＝0化为x2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(0，1)，
因为直线x＋y＋a＝0是圆x2＋y2－2y＝0的一条对称轴，所以0＋1＋a＝0，即a＝－1.
3：解析选A.由于＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以m＝，n＝－.
4：解析选A.设圆上任一点为Q，PQ中点为M，根据中点坐标公式，得
因为Q在圆x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4，即＋＝4，化为＋＝1.
5：解析选D.由题意，对于A，＝，＝，所以≠λ，
则与不是共线向量，所以A项是错误的；
对于B，因为＝，所以的单位向量为或，
所以B项是错误的；
对于C，向量＝，＝，
所以cos 〈，〉＝＝－，
所以C项是错误的；
对于D，设平面ABC的一个法向量是n＝，
因为＝，＝，所以
即令x＝1，得n＝(1，－2，5)，
所以平面ABC的一个法向量为n＝，所以D项是正确的．
6：解析选C.圆C标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2，1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，＝＝＝6.
7：解析选C.设正方体棱长为2，建立空间直角坐标系如图所示，
A，C1，G，C，
E，D，B1，F，
B.
①＝，＝，·＝
－2＋2＋0＝0，所以AC1⊥EG，故①正确．
②＝，＝，不存在实数λ使＝λ，故GC∥ED不成立，故②错误．
③＝，＝，＝，·＝0，·＝2≠0，故B1F⊥平面BGC1不成立，故③错误．
④＝，＝，设EF和BB1所成角为θ，则cos θ＝＝＝，由于θ∈，所以θ＝，故④正确．
综上所述，正确的命题有2个．
8：解析选D.圆的标准方程为2＋2＝1，
则圆心为C，半径为1，则直线与圆相离，如图：
S四边形PACB＝S△PAC＋S△PBC，而S△PAC＝·＝，
S△PBC＝·＝，又＝＝，
所以当取最小值时＝取最小值，即S△PAC＝S△PBC取最小值，此时，CP⊥l，四边形PACB面积的最小值为2，
S△PAC＝S△PBC＝，所以＝2，所以＝3，
所以＝3，因为k>0，所以k＝3.
9：解析选ABCD.如图所示：
对于A：＋＋＝＋＝，
对于B：＋＋＝＋＝，
对于C：－＋＝＋＝，
对于D：＋＋＝＋＝．
10：解析选BC.易求圆心(3，－5)，到直线4x－3y－2＝0的距离d＝5，由已知得d－111：解析选ABD.如图所示，建立空间直角坐标系，
设P，a∈，Q，
b∈，
设＝λ，得到R，λ∈.
＝，＝，·＝4－2b，
当b＝2时，D1P⊥CQ，A正确；
＝，·＝2－2λb，取λ＝时，D1R⊥CQ，B正确；由AR⊥A1C，得·＝·
＝4λ＋12λ－4＋4λ＝0，λ＝，此时·＝·＝－≠0，C错误；A1C＝3A1R，则R，＝，设平面BDC1的法向量为n＝，则解得n＝，故·n＝0，故D1R∥平面BDC1，D正确．
12：解析选BCD.曲线W与x轴构成的图形为以(0，1)圆心、1为半径的半圆加上以(1，0)为圆心，1为半径的圆，加上以(－1，0)为圆心，1为半径的圆，加上长为2，宽为1的矩形构成，
可得其面积为π＋π＋2＝2＋π≠2π，故A错误；
曲线W上有(－2，0)，(－1，1)，(0，2)，(1，1)，(2，0)共5个整点，故B正确；
是以(0，1)为圆心，1为半径的圆，其所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，故C正确；
设与的公切线方程为y＝kx＋t(k＜0，t＞0)，
由直线和圆相切的条件可得＝1＝，解得k＝－1，t＝1＋(1－舍去)，则其公切线方程为y＝－x＋1＋，即x＋y＝1＋，故D正确．
13：解析在空间直角坐标系中，A(1，1，0)，B(0，2，3)，
所以＝，而平面ABC的一个法向量为n＝(1，m，1)，
所以·n＝0，
即－1＋m＋3＝0，解得m＝－2，
所以n＝(1，－2，1)，点P(0，0，1)，
则＝，
则由点到平面的距离公式可得d＝＝＝.
答案：
14：解析由题意，设P(x，y)，则＝，
化简可得x2＋y2＋x＋4＝0.
答案：x2＋y2＋x＋4＝0
15：解析以AB的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
计算得D，C(0，4，0)，M(a，0，0)(－3平面MBC的一个法向量为n1＝(0，0，1)，
设平面DMC的一个法向量为n2＝(x，y，z)，
则＝，＝(－a，4，0)，
则即
令z＝9，x＝，y＝，所以平面DMC的一个法向量为n2＝，
所以＝＝，
因为－3所以＋144>＋144＝256，
所以<，
即二面角的余弦值的取值范围是.
答案：
16：解析方法一：因为直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1，圆(x－4)2＋y2＝1都相切，所以＝＝1，得k＝，b＝－.
方法二：因为直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1，圆(x－4)2＋y2＝1都相切，所以直线y＝kx＋b必过两圆心连线的中点，所以2k＋b＝0.设直线y＝kx＋b的倾斜角为θ，则sin θ＝，又k>0，
所以θ＝，所以k＝tan ＝，b＝－2k＝－.
答案：　－
17：解析(1)a＝(1，－3，2)，b＝(－2，m，－4)，
若a∥b，则(1，－3，2)＝λ(－2，m，－4)，
解得即m＝6.
(2)若a⊥b，则a·b＝－2－3m－8＝0，
解得m＝－.
18：解析(1)圆C的方程变形为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，
所以圆心C的坐标为，半径为.
(2)因为直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零，
所以设直线l的方程为x＋y＋a＝0(a≠0)，
所以a＝1或a＝－3，所以所求直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
19：解析(1)在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos ∠DAB，
即BD2＝4＋16－16×＝12，
所以BD＝2，所以BD2＋AB2＝AD2，
所以△ABD和△EBD均为直角三角形，
所以ED⊥DB.又DB是平面EBD和平面ABD的交线，且平面EBD⊥平面ABD，ED 平面EBD，
所以ED⊥平面ABD.
又AB 平面ABD，所以AB⊥DE.
(2)由(1)知∠EDB＝∠CDB＝90°，以D为坐标原点，射线DB，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)，
A(2，－2，0)，F(，0，1)，
所以＝(2，－2，0)，＝(0，0，2)，＝(－，2，1).
设平面ADE的法向量为n＝(x，y，z)，
则有
即令x＝1，
则y＝，z＝0，所以n＝(1，，0).
设直线AF与平面ADE所成的角为α，
则有sin α＝|cos 〈n，〉|＝＝＝.
所以直线AF与平面ADE所成角的正弦值为.
20：解析(1)设圆H的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝
0，
则有解得
则圆H的方程为x2＋y2－6y－1＝0.
(2)由直线与圆位置关系得：半径，半弦长，圆心到直线距离构成勾股定理，即12＋d2＝10，
因此d＝3，又直线l过点C，故利用直线方程点斜式求解，注意先讨论斜率不存在的情况：若l⊥x轴，直线方程为x＝3，满足题意；若l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－3)＋2，圆心到直线的距离为d＝3＝，解得k＝，直线方程为4x－3y－6＝0，
综上，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0.
(3)结合图象(图略)由题意得：0即r所以
从而≤r<.
21：解析(1)因为侧棱CC1⊥底面ABC，
所以CC1⊥AC，CC1⊥BC.又因为AC⊥BC，
所以可以以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示．
因为AA1，BB1，CC1都是三棱柱ABC A1B1C1的侧棱，且CC1⊥底面ABC，
所以四边形AA1C1C与CC1B1B都是矩形．
因为AC＝BC＝CC1＝2，所以矩形AA1C1C与CC1B1B都是边长为2的正方形．
所以C(0，0，0)，A(0，0，2)，B1(2，2，0)，C1(0，2，0).
所以＝(2，2，0)，＝(0，2，－2).
所以cos 〈，〉＝＝＝，
所以异面直线CB1与AC1所成的角是60°.
(2)因为D是棱A1B1的中点，所以D(1，2，1).
由(1)知，C(0，0，0)，A(0，0，2)，C1(0，2，0).
所以＝(0，2，0)，＝(0，2，－2)，＝(1，2，－1).
因为侧棱CC1⊥底面ABC，所以＝(0，2，0)是平面ABC的法向量.
设平面ADC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即解得 故可取n＝(－1，1，1).
所以cos 〈，n〉＝
＝＝.
所以sin 〈，n〉＝.
故平面ADC1与平面ABC所成二面角的正弦值为.
22：解析(1)设圆C的圆心为C(a，b)，
则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8.
因为直线y＝x与圆C相切于原点O，
所以O点在圆C上，且OC垂直于直线y＝x，
于是有解得或
由于点C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0，
所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，
则有
解得x＝或x＝0(舍去).
所以存在点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长．