高中数学必修5人教A：全册〖精品〗教案+导学案（30份）

1.1.2余弦定理
（一）教学目标
1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
（二）教学重、难点
重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
（三）学法与教学用具
学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角
教学用具：直尺、投影仪、计算器
（四）教学设想
[创设情景] C
如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求边c b a
A c B
(图1．1-4)
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1．1-5，设，，，那么，则
C B
从而 (图1．1-5)
同理可证
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]
例1．在ABC中，已知，，，求b及A
⑴解：∵
=cos
=
=
∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos
∴
解法二：∵sin
又∵＞
＜
∴＜，即＜＜
∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
例2．在ABC中，已知，，，解三角形
（可由学生通过阅读进行理解）
解：由余弦定理的推论得：
cos
；
cos
；
[随堂练习]第8页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]在ABC中，若，求角A（答案：A=120）
[课堂小结]
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
（五）评价设计
①课后阅读：课本 [探究与发现]
②课时作业： [习题1.1]A组第3（1），4（1）题。
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92．2 等差数列的前n项和
（一）教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
2. 过程与方法:通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
3．情态与价值：培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。
（二）教学重、难点
重点：探索并掌握等差数列的前n项和公式；学会用公式解决一些实际问题，体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系。
难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题
（三）学法与教学用具
学法：讲练结合
教学用具：投影仪
（四）教学设想
[创设情景]
等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的问题。在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+……+100=？当时，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050
高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n，…前100项的和的问题。
今天我们就来学习如何去求等差数列的前n项的和。
[探索研究]
我们先来看看人们由高斯求前100个正整数的方法得到了哪些启发。人们从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：
由 1 + 2 + … + n-1 + n
n + n-1 + … + 2 + 1
（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）
可知
上面这种加法叫“倒序相加法”
请同学们观察思考一下：高斯的算法妙在哪里？
高斯的算法很巧妙，他发现了整个数列的第k项与倒数第k项的和与首项与尾项的和是相等的这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推广到求一般等差数列的前n项和的。
[等差数列求和公式的教学]
一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即
思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？
思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示：
①
②
由①+②，得
由此得到等差数列的前n项和的公式
对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。
除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）
当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：
=
=
=
=
这两个公式是可以相互转化的。把代入中，就可以得到
引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
[公式运用]
（课本52页练习1、2）
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和S.
⑴
⑵
[例题分析]
例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
先阅读题目；
引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型；
写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项和公式进行求解。
解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列，表示从2001年起各年投入的资金，其中
， d=50.
那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为
（万元）
答：从2001~2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.
例2．已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
引导学生分析得到：等差数列前n项和公式就是一个关于的方程。若要确定其前n项求和公式，则要确定的关系式，从而求得。
分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于与d的二元一次方程，由此可以求得与d，从而得到所求前n项和的公式.
解：由题意知 ，
将它们代入公式
得到
解这个关于与d的方程组，得到=4，d=6，
所以
另解：
得
所以 ②
②-①，得，
所以
代入①得：
所以有
例题评述：此例题目的是建立等差数列前n项和与解方程之间的联系.已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.
例3 已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解：根据
与
可知，当n＞1时， ①
当n=1时， 也满足①式.
所以数列的通项公式为.
由此可知，数列是一个首项为，公差为2的等差数列。
这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前n项和，可求出通项
用这种数列的来确定的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意不一定满足由求出的通项表达式，所以最后要验证首项是否满足已求出的.
思考：结合例3，思考课本51页“探究”：一般地，如果一个数列的前n项和为其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
引导分析得出：观察等差数列两个前n项和公式，和，公式本身就不含常数项。
所以得到：如果一个数列前n项和公式是常数项为0，且关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列.
例4 已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值.
分析：等差数列的前n项和公式可以写成，所以可以看成函数当x=n时的函数值.另一方面，容易知道关于n的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数来求n的值.
解：由题意知，等差数列的公差为，所以
=
于是，当n取与最接近的整数即7或8时，取最大值.
[随堂练习]课本52页“练习”第1、2、3、4题
[补充练习]
1、已知数列是等差数列，Sn是其前n项和，且S6，S12-S6，S18-S12成等差数列，设成等差数列吗？
生：分析题意，解决问题.
解：设首项是，公差为d
则：
同理可得成等差数列.
2、求集合的元素个数，并求这些元素的和。
解由m=100，得
满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个，从小到大可列为：
7，7×2，7×3，7×4，…7×14
即：7，14，21，28，…98
这个数列是等差数列，记为其中
解由m=100，得
满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个，从小到大可列为：
7，7×2，7×3，7×4，…7×14 即：7，14，21，28，…98
这个数列是等差数列，记为 其中
答：集合m中共有14个元素，它们和等于735
[课堂小结] 等差数列的前n项和的公式和
也成等差数列.
（五）评价设计
课本52页A组第1、3、6
思考：课本53页B组第4题
＞
（n＞1）
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3第二章数列
课题 §2.1.1数列的概念与简单表示法
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣
●教学重点
数列及其有关概念，通项公式及其应用
●教学难点
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
●教学过程
Ⅰ.课题导入
4，5，6，7，8，9，10． ①1，，，，，…. ②1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…. ③1，1.4，1.41，1.414，…. ④-1，1，-1，1，-1，1，…. ⑤2，2，2，2，2，…. ⑥
观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义）
上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序.
从而引出数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.
⒊数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
项
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系
⒋ 数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是.
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．
5.数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…
6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
[范例讲解] 例1 根据下面数列的通项公式，写出前5项：
（1）
分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项
解：（1）
(2)
例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7； （2）
（3）-，，-，.
解：
（1）项1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1
↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4
即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1，
∴它的一个通项公式是： ；
（2）序号：1 2 3 4
↓ ↓ ↓ ↓
项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1
↓ ↓ ↓ ↓
项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1
即这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，∴它的一个通项公式是： ；
（3）序号
‖ ‖ ‖ ‖
这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是：
Ⅲ.课堂练习
课本[练习]3、4、5
[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) , , , , , ……；
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
解：(1) ＝2n＋1； (2) ＝； (3) ＝；
(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,
∴＝n＋；
(5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……，
∴ ＝(－1)n(n＋1)
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。
Ⅴ.课后作业
课本习题2.1A组的第1题
§2.1.1数列的概念与简单表示法
【课前预习】
1、在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x的值是　
A、19 　　 B、 20 　 C、 21 D 、22
2、观察下面数列的特点，用适当的数填空
（1） ，，，， ；
（2），， ，，， 。
3 .已知数列，，则 .
4 根据下列数列的前几项的值，写出它的一个通项公式。
（1）数列0.7,0.77,0.777,0.7777,…的一个通项公式为 .
（2）数列4,0,4,0,4,0,…的一个通项公式为 .
（3）数列的一个通项公式为 .
5.已知数列满足，，则 .
1 C 2 （1）1， （2） 3.29
4. （1）an=;（2）an=2+2·(-1)n+1 （3） 5.
【课内探究】
1 展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？
（1）概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
（2）辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？给出首项与第n 项的定义及数列的记法：{an}
（3）数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。
3 数列的表示方法
（1）函数y=7x+9 与y=3 x ，当依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列各有什么特点？
（2）定义数列{an}的通项公式
（3）数列{an}的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列的哪些方面的性质？
（4）用列表和图象等方法表示数列，数列的图象是一系列孤立的点。
4、例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，-1/2，1/3，-1/4；
（2）2，0，2，0．
【课后提高】
1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…的第100项是 .
2.数列{an}中，a1=1,对于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5= .
3.数列-1,，-，，…的一个通项公式是 .
4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖 块.（用含n的代数式表示）
5.若数列{an}的通项公式an=，记f（n）=2(1-a1)(1-a2)…(1-an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)= (用含n的代数式表示）.
6.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1），，，，，…
（2），2，，8，，…
（3）5，55，555，5 555，55 555，…
（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，…
（5）1，3，7，15，31，…
（3）联想=10n-1,
则an===(10n-1),
即an= (10n-1).
（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，…，
则an=5sin.
（5）∵1=2-1，3=22-1，7=23-1，…
∴an=2n-1
故所求数列的通项公式为an=2n-1.
学校：二中 学科：数学 编写人：赵云雨 一审：李其智 二审：马英济
课题
§2.1.2数列的概念与简单表示法
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与的关系
过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
●教学重点
根据数列的递推公式写出数列的前几项
●教学难点
理解递推公式与通项公式的关系
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[复习引入]
数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
数列的表示方法
通项公式法
如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如数列 的通项公式为 ；
的通项公式为 ；
　　 的通项公式为 ；
图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：14＝1+3
第2层钢管数为5；即：25＝2+3
第3层钢管数为6；即：36＝3+3
第4层钢管数为7；即：47＝4+3
第5层钢管数为8；即：58＝5+3
第6层钢管数为9；即：69＝6+3
第7层钢管数为10；即：710＝7+3
若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即；；
依此类推：（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
定义：
递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为
4、列表法
．简记为 ．
[范例讲解]
例1 设数列满足写出这个数列的前五项。
解：分析：题中已给出的第1项即，递推公式：
解：据题意可知：，
[补充例题]
例2已知， 写出前5项，并猜想．
法一： ，观察可得
法二：由 ∴ 即
∴
5．数列的前n项和：
数列中，称为数列的前n项和，记为.
表示前1项之和：=
表示前2项之和：=
……
表示前n-1项之和：=
表示前n项之和：=.
∴当n≥1时才有意义；当n-1≥1即n≥2时才有意义.
3．与之间的关系：
由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，
即=.
说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.
三、例题讲解
例3已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项
分析：题中已给出的第1项即，递推公式：
解：据题意可知：
例4已知数列中，≥3），试写出数列的前4项
解：由已知得
例5已知， 写出前5项，并猜想．
法一： ，观察可得
法二：由 ∴ 即
∴
∴
例6 已知数列的前n项和，求数列的通项公式：
⑴ =n+2n； ⑵ =n-2n-1.
解：⑴①当n≥2时，=-=(n+2n)-[(n-1)+2(n-1)]=2n+1；
②当n=1时，==1+2×1=3；
③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，
∴=2n+1为所求.
⑵①当n≥2时，=-=(n-2n-1)-[(n-1)+2(n-1)-1]=2n-3；
②当n=1时，==1-2×1-1=-2；
③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，
∴=为所求.
Ⅲ.课堂练习
课本P36练习2
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.
Ⅴ.课后作业
习题2。1A组的第4、6题
§2.1.2数列的概念与简单表示法
课前预习
1.数列的一个通项公式是 （ ）
A. B. C. D.
2.已知，则数列是 （ ）
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列
3.数列的通项公式为，则数列各项中最小项是 （ ）
A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项
4.已知数列的通项公式为，则3 （ ）
A. 不是数列中的项 B. 只是数列中的第2项
C. 只是数列中的第6项 D. 是数列中的第2项或第6项
5.数列中，由给出的数之间的关系可知的值是（ ）
A. 12 B. 15 C. 17 D. 18
6.下列说法正确的是 （ ）
数列1，3，5，7可表示为
数列1，0，与数列是相同的数列
数列的第项是
D. 数列可以看做是一个定义域为正整数集的函数
7.数列的前n项和，则 。
1.B2.A3.B4.D5.B6.C7
课内探究
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)；
(2) ＝1, ＝ (n∈N)；
(3) ＝3, ＝3－2 (n∈N).
解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ＝(n－1);
(2) ＝1,＝,＝, ＝, ＝, ∴ ＝;
(3) ＝3＝1+2, ＝7＝1+2, ＝19＝1+2,
＝55＝1+2, ＝163＝1+2, ∴ ＝1＋2·3;
2． ．已知下列各数列的前n项和的公式，求的通项公式
(1) ＝2n－3n; (2) ＝－2.
解：(1) ＝－1,
=-＝2n－3n－[2(n－1)－3(n－1)]＝4n－5,
又符合＝4·1－5, ∴ ＝4n－5;
(2) ＝1, =-＝－2－(－2)＝2·,
∴＝
∴
课后提高
1. 设数列则是这个数列的
A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项
2. 数列的前n项积为，那么当时，的通项公式为
A. B. C. D.
3、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ ）。
（A）an= 1－(－1)n （B）an=1＋(－1)n＋1
（C）an=2sin2 （D）an=(1－cosnπ)＋(n－1)(n－2)
4. 在数列中，，，则的值是
A. B. C. D.
5. 数列的一个通项公式是 。
6. 数列的前n项和，则 。
7. 数列满足，则 。
8. 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第个图中有___________个点.
（1） （2） 　（3） 　　 （4） 　　　　　　　（5）
9. 已知数列的前n项和，数列的前n项和，
（1）若，求的值； （2）取数列中的第1项, 第3项, 第5项, 构成一个新数列, 求数列的通项公式.
10.（1）已知数列的前n项和公式，求的通项公式　
①；　　　　
②
1—4、BDDA 　　5、　　6、　　7、161　 8、8、　　
9、（1）36　　（2）　　　　　10 (1) (2)
等差数列教案
教学目标：
知识与能力：理解等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式；培养学生的观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程思想
过程与方法：经历等差数列的产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析能力，体验从特殊到一般认知规律，培养学生积极思维，追求新知的创新意识。
教学重点：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数之间的联系。
教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
教学准备：根据本节知识的特点，为突出重点、突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学的知识，我利用计算机辅助教学。
教学过程：
创设情境，课题导入
复习上节课学习的数列的定义及数列的表示法。这些方法从不同的角度反映了数列的特点，下面我们来看这样的一些数列：（大屏幕显示课本41页的四个例子）
⑴、0 5 10 15 20 … …
⑵、48 53 58 63
⑶、18 15.5 13 10.5 8 5.5
⑷、10072 10144 10216 10288 10360
提出问题：以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论。
（二）设置问题，形成概念
等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母d表示。
提出问题：等差数列的概念中的几个关键点是什么？
数学语言： 或 ≥1)
理解等差数列的概念是本节课的重点，为了加深对概念的理解，让学生讨论课本45页练习第4题，教师总结。
（三）等差数列的通项公式
提出问题：如同我们在前一节看到的，能否确定一个数列的通项公式对研究这个数列具有重要的意义。数列⑴、⑵、⑶、⑷的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
再问：若一个无穷等差数列｛｝，首项是，公差为d，怎样得到等差数列的通项公式？（引导学生根据等差数列的定义进行归纳）
即：
即：
即：
… …
至此，让学生自己猜想通项公式是什么，使学生体会归纳、猜想在得出新结论中的作用。
此处由归纳得出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用数学归纳法的知识，在这里，我们暂且先承认它，我们能否再探索一下其他的推导方法？
　（然后学生在教师的引导下一起探索另外的推导方法）
叠加法：｛｝是等差数列，所以：
… …
两边分别相加得： 所以：
迭代法：｛｝是等差数列，则：
= … …=
所以：
　　由以上关系还可得： 即：
则：
=
即得等差数列的第二通项公式：
（四）通项公式的应用：
观察通项公式并提出问题：要求等差数列的通项公式只需要求谁？
再追问：通项公式中有几个未知量？
再追问：要求其中的一个，需要知道其余的几个？
例1、等差数列｛｝中，
⑴已知： 求
⑵已知： 求
⑶已知： 求
⑷已知： 求
（题目比较简单，照顾到全体学生，使学生深刻掌握等差数列的通项公式，从而打好基础。）
例2、1、求等差数列8、5、2… …的第20项
解：由 得：
2、是不是等差数列、、… …的项？如果是，是第几项？
解：由 得
由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得：
成立
解得：即是这个数列的第100项。
例3、某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
分析：可以抽象为等差数列的数学模型。4km处的车费记为： 公差
当出租车行至目的地即14km处时，n=11 求
所以：
例4：数列是等差数列吗？
（引导学生根据等差数列的定义求解，就是看 是不是一个与n无关的常数。）
所以：｛｝是等差数列
引申：已知数列｛｝的通项公式，其中、为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
　　（指定学生求解）
解：取数列｛｝中任意两项和
它是一个与n无关的常数，所以｛｝是等差数列？
并且：
小结：上节课我们已学习过数列是一种特殊的函数，那么由此题启示，等差数列是哪一类函数？等差数列是关于正整数ｎ的一次函数，还可以是常数函数，当ｄ＝０的时候。
通过例三，我们能否总结一下，到目前为至我们有哪些方法来判断一个数列是等差数列？
　（学生讨论、回答，教师补充）
一是利用定义： 或 ≥1)
二是利用通项公式：　　是关于ｎ的一次函数或常数函数。
课堂检测反馈：
求等差数列10、８、６… 的第２０项。
－20是不是等差数列０、3.5、－7… 的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。
等差数列｛｝中，已知： 求和
等差数列｛｝中，已知： 求
等差数列｛｝中，已知： 求、
（五）课时小结：
（学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结）
等差数列的定义： 或 ≥1)
等差数列的通项公式：或
（六）课后作业：
课本45页习题2．2（A组）3、4
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193．4．1基本不等式（1）
【教学目标】
1学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；
【教学难点】
基本不等式等号成立条件
【教学过程】
1.课题导入
基本不等式的几何背景：
探究：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色
的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
2 合作探究
（1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。
系）
提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？
生答：，
提问3：那4个直角三角形的面积和呢？
生答：
提问4：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，。什么时候这两部分面积相等呢？
生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有
结论：（板书）一般地，对于任意实数 、，我们有，当且仅当时，等号成立。
提问5：你能给出它的证明吗？
(学生尝试证明后口答,老师板书)
证明:
所以
注意强调 当且仅当时,
(2)特别地,如果,也可写成
,引导学生利用不等式的性质推导
(板书,请学生上台板演):
要证: ①
即证 ②
要证②,只要证 ③
要证③,只要证 ( - ) ④
显然, ④是成立的,当且仅当时, ④的等号成立
(3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
探究：课本中的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB
即ＣD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
即学即练:
1若且，则下列四个数中最大的是 　　　　　（ ）
Ａ．　　　　　 Ｂ．　　　　　Ｃ．2ab　　　　　　Ｄ．a
2 a,b是正数，则三个数的大小顺序是　（　 　）
Ａ．　　 Ｂ．　　
Ｃ．　　 Ｄ．
答案 B C
例题分析：
(1)＝2即≥2.
(2)x＋y≥2＞0 x2＋y2≥2＞0 x3＋y3≥2＞0
∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3
即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
变式训练：
Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+有最小值，最小值是多少
解析：因为Ｘ＞0，
Ｘ+ ≥2=2
当且仅当Ｘ=时即x=1时有最小值2
点评：此题恰好符合基本不等式的用法，1正2定3相等 可以具体解释每一项的意思。
当堂检测：
1.下列叙述中正确的是（ ）.
（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数
（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数
（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值
（D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值
12下面给出的解答中，正确的是（ ）.
（A）y＝x＋≥2 eq \r(x·)＝2，∴y有最小值2
（B）y＝|sinx|＋≥2 eq \r(|sinx|·)＝4，∴y有最小值4
（C）y＝x（－2x＋3）≤ eq （）\s\up8(2)＝ eq （）\s\up8(2)，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值 eq （）\s\up8(2)＝1
（D）y＝3－－ eq \f(9,)≤3－2 eq \r(· eq \f(9,))＝－3，y有最大值－3
3.已知x＞0，则x＋＋3的最小值为（ ）.
（A）4 （B）7 （C）8 （D）11
4.设函数f（x）＝2x＋－1（x＜0），则f（x）（ ）.
（A）有最大值 （B）有最小值 （C）是增函数 （D）是减函数
1 B 2.D 3 B 4 .A
基本不等式
第一课时
课前预习学案
一、预习目标
不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理。
二、预习内容
一般地，对于任意实数 、，我们有，当 ，等号成立。
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，字母表示： 。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
教学目标 ，不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义
教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；
【教学难点】
基本不等式等号成立条件
合作探究 1 证;
强调：当且仅当时,
特别地,如果,也可写成
,引导学生利用不等式的性质推导
证明:
结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
探究2：课本中的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释
练习
1若且，则下列四个数中最大的是 　　　　　（ ）
Ａ．　　　　　 Ｂ．　　　　　Ｃ．2ab　　　　　　Ｄ．a
2 a,b是正数，则三个数的大小顺序是　（　 　）
Ａ．　　 Ｂ．　　
Ｃ．　　 Ｄ．
答案 B C
例题分析：
已知x、y都是正数，求证：
(1)≥2；
( 2） Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+有最小值，最小值是多少
分析：，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形. 1正2定3相等
变式训练：1已知x＜，则函数f（x）＝4x＋的最大值是多少？
2 证明：（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
分析：注意凑位法的使用。
注意基本不等式的用法。
当堂检测：
1.下列叙述中正确的是（ ）.
（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数
（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数
（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值
（D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值
2下面给出的解答中，正确的是（ ）.
（A）y＝x＋≥2 eq \r(x·)＝2，∴y有最小值2
（B）y＝|sinx|＋≥2 eq \r(|sinx|·)＝4，∴y有最小值4
（C）y＝x（－2x＋3）≤ eq （）\s\up8(2)＝ eq （）\s\up8(2)，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值 eq （）\s\up8(2)＝1
（D）y＝3－－ eq \f(9,)≤3－2 eq \r(· eq \f(9,))＝－3，y有最大值－3
3.已知x＞0，则x＋＋3的最小值为（ ）.
（A）4 （B）7 （C）8 （D）11
4.设函数f（x）＝2x＋－1（x＜0），则f（x）（ ）.
（A）有最大值 （B）有最小值 （C）是增函数 （D）是减函数
答案 1 B 2.D 3 B 4.A
课后练习与提高
1 已知
如果积
如果和
[拓展探究]
2. 设a, b, c且a+b+c=1，求证：
答案：1略 2 提示可用a+b+c换里面的1 ，然后化简利用基本不等式。
§3.4.2 基本不等式的应用
【教学目标】
1 会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
2 本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。
3 能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．
教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题
教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件
教学过程：
一、创设情景，引入课题
提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把叫做正数的算术平均数，把叫做正数的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。
讲解：已知都是正数，①如果是定值，那么当时，和有最小值；
②如果和是定值，那么当时，积有最大值
二、探求新知，质疑答辩，排难解惑
新课讲授
例1、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？
分析： （1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值
（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大
解：（1）设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则 篱笆的长为2（）
由 ，
可得
2（）
等号当且仅当，因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m
(2)设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2（）=36，=18，矩形菜园的面积为，
由 可得 ,
可得等号当且仅当
点评：此题用到了 如果是定值，那么当时，和有最小值；
如果和是定值，那么当时，积有最大值
变式训练： 用长为的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？
解：设矩形的长为，则宽为，矩形面，且．
由．（当且近当，即时取等号），
由此可知，当时，有最大值．答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积．
例2（教材例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
解：设水池底面一边的长度为，水池的总造价为元，根据题意，得
当
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元
评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。
变题：某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶，它的容积是立方分米，用来做底的金属每平方分米价值3元，做侧面的金属每平方米价值2元，按着怎样的尺寸制造，才能使圆桶的成本最低。
解：设圆桶的底半径为分米，高为分米，圆桶的成本为元，则3
求桶成本最低，即是求在、取什么值时最小。将代入的解析式，得
=
当且仅当时，取“=”号。
∴当1（分米），（分米）时，圆桶的成本最低为9（元）。
点评：分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解，
归纳整理，整体认识
1．求最值常用的不等式：，，．
2．注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小．
3.建立不等式模型解决实际问题
当堂检测：
1 下列函数中，最小值为4的是： （　 　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ．　　　　 Ｄ．
2. 设的最小值是( )
A. 10 B. C. D.
3函数的最大值为 .
4建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.
5某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
答案：1C 2 D 3 4 3600 5 时，有最小值，
基本不等式的应用
课前预习学案
一、预习目标
会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题
二、预习内容
1如果是定值，那么当时，和有最
2如果和是定值，那么当时，积有最
3若，则=_____时,有最小值，最小值为_____.
4.若实数a、b满足a+b＝2,则3a+3b的最小值是_____.
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1 用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题.
2 引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.
教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题
教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件
二、学习过程
例题分析：
例1、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？
分析： （1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值
（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大
解：
变式训练：1用长为的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？
2一份印刷品的排版面积（矩形）为它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使用纸量最少？
变式训练 答案 1 时面积最大。 2此时纸张长和宽分别是和．
例2：）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
答案：底面一边长为40时，总造价最低2976000。
变式训练：建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.
答案：3600
当堂检测：1若x, y是正数，且，则xy有　　　　　　　　　（3　 　）
Ａ．最大值16　 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16　　Ｄ．最大值
2已知且满足,求的最小值.4
Ａ．16　 Ｂ20． Ｃ．14　　Ｄ．18
3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
答案:1 C 2 D 3 时，有最小值，
课后复习学案
1已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值．
2广东省潮州金中08-09学年高三上学期期中考试）某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？
3某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少公里处
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122. 4等比数列教案（一）
授课类型：新授
教学目标
知识与技能目标
1.等比数列的定义；
2.等比数列的通项公式．
过程与能力目标
1.明确等比数列的定义；
2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道，，，n中的三个，求另一个的问题．
教学重点
1.等比数列概念的理解与掌握；
2.等比数列的通项公式的推导及应用．
教学难点
等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．
教学过程
一、情境导入：
下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点 （教材上的P48面）
1，2，4，8，16，…，263; ① 1，，，，…； ②
1，，…； ③ ④
对于数列①，= ; =2（n≥2）．对于数列②， =；（n≥2）．
对于数列③，= ; =20（n≥2）．
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．
二、检查预习
1．等比数列的定义．
2.　等比数列的通项公式:
， ，
3．｛an｝成等比数列
4．求下面等比数列的第4项与第5项：
（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），…….
三、合作探究
（1）等比数列中有为0的项吗？
（2）公比为1的数列是什么数列？
（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？
（4）常数列都是等比数列吗？
四交流展示
等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）
注：(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； ｛｝成等比数列=q（，q≠0．）
(2) 隐含：任一项
(3) q=1时，{an}为常数数列． （4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
2.等比数列的通项公式1:
观察法：由等比数列的定义，有：；
； ；… … … … … … …
．
　　迭乘法：由等比数列的定义，有：；；；…；
　　　　　　所以，即
等比数列的通项公式2:
五精讲精练
例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
解：
点评：考察等比数列项和通项公式的理解
变式训练一：教材第52页第1
例2．求下列各等比数列的通项公式：
解：(1)
(2)
点评：求通项时，求首项和公比
变式训练二 ：教材第52页第2
例3．教材P50面的例1。
例4． 已知无穷数列，
求证：（1）这个数列成等比数列；
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的；
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．
证：（1）（常数）∴该数列成等比数列．
（2），即：．
（3），∵，∴．
∴且，
∴，（第项）．
变式训练三：教材第53页第3、4题．
六、课堂小结：
1.等比数列的定义；
2.等比数列的通项公式及变形式
七、板书设计
八、课后作业
阅读教材第48～50页；
2.4等比数列教案（二）
授课类型：新授
教学目标
知识与技能目标
进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；
过程与能力目标
利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质
方法与价值观
培养学生应用意识．
教学重点，难点
（1）等比数列定义及通项公式的应用；
（2）灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题．
教学过程
二．问题情境
1．情境：在等比数列中，（1）是否成立？是否成立？
（2）是否成立？
2．问题：由情境你能得到等比数列更一般的结论吗？
三．学生活动
对于（1）∵，，∴，成立．
同理 ：成立．
对于（2），，，
∴，成立．
一般地：若，则．
四．建构数学
1．若为等比数列，，则．
由等比数列通项公式得：，，
故且，
∵，∴．
2．若为等比数列，则．
由等比数列的通项公式知：，则 ．
五．数学运用
1．例题：
例1．（1）在等比数列中，是否有（）？
（2）在数列中，对于任意的正整数（），都有，
那么数列一定是等比数列．
解：（1）∵等比数列的定义和等比数列的通项公式数列是等比数列，∴，即（）成立．
（2）不一定．例如对于数列，总有，但这个数列不是等比数列．
例2． 已知为，且，该数列的各项都为正数，求的通项公式。
解：设该数列的公比为，由得，又数列的各项都是正数，故，
则 ．
例3．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。
解：由题意可以设这三个数分别为，得：
∴，即得或，
∴或，
故该三数为：1，3，9或，3，或9，3，1或，3，．
说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为．
例4． 如图是一个边长为的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图形（2），如此继续下去，得图形（3）……求第个图形的边长和周长．
解：设第个图形的边长为，周长为．
由题知，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形的边长的，∴数列是等比数列，首项为，公比为．
∴．
要计算第个图形的周长，只要计算第个图形的边数．
第一个图形的边数为，从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形的边数的倍，
∴第个图形的边数为．
．
2．练习：
1．已知是等比数列且，，
则 ．
2．已知是等比数列，，，且公比为整数，则 ．
3．已知在等比数列中，，，则 ．
五．回顾小结：
1．等比数列的性质（要和等差数列的性质进行类比记忆）．
六．课外作业：书练习第1，2题，习题第6，8，9，10题．
七板书设计
课内探究学案
（一 ）学习目标
1.明确等比数列的定义；
2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道，，，n中的三个，求另一个的问题．
教学重点
1.等比数列概念的理解与掌握；
2.等比数列的通项公式的推导及应用．
教学难点
等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．
（二）学习过程
1、自主学习、合作探究
1.等差数列的证明：①（）；②（、），；③证明为常数（对于适用）；④证明。
2.当引入公比辅助解题或作为参数时，注意考虑是否需要对和进行分类讨论。
3.证明数列是等比数列、不是等比数列，讨论数列是否等比数列，求解含参等比数列中的参数这四类问题同源。
4.注意巧用等比数列的主要性质，特别是（）和（）。
5. 三数成等比数列，一般可设为、、；四数成等比数列，一般可设为、、、；五数成等比数列，一般可设为、、、、。
2、精讲点拨
三、典型例题
例1 数列为各项均为正数的等比数列，它的前项和为80，且前项中数值最大的项为54，它的前项和为6560，求首项和公比。
解：若，则应有，与题意不符合，故。依题意有：
得即
得或（舍去），。
由知，数列的前项中最大，得。
将代入（1）得 （3），
由得，即 （4），
联立（3）（4）解方程组得。
例2 （1）已知为等比数列，，，求的通项公式。
（2）记等比数列的前项和为，已知，，，求和公比的值。
解：（1）设等比数列的公比为（），，则，
即也即，解此关于的一元方程得或。
，或。
（2）在等比数列中，有，又，联立解得
或，
由此知，而，从而解得
或。
例3 已知数列，其中，且数列（为常数）为等比数列，求常数。
解：为等比数列，那么，将代入并整理得，解之得或。
例4 设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列。
解：设、分别是公比为、（）的两个等比数列，要证明不是等比数列，我们只需证即可。事实上
，，，又、，，数列不是等比数列。
3、反思总结
4当堂检测
1.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( )
　　　　　 　
　　　　　
2.已知是等比数列，，则
3.若实数、、成等比数列，则函数与轴的交点的个数为（ ）
无法确定
4. 在数列中，，且是公比为（）的等比数列，该数列满足（），则公比的取值范围是（ ）
5.设数列满足（，，），且
，则__________。
6.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则__________。
7.设是由正数组成的等比数列，公比，且，则__________。
8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列，则________。
9.设数列为等比数列，，已知，。
（1）求等比数列的首项和公比；
（2）求数列的通项公式。
10.设数列的前项和为，已知
（1）证明：当时，是等比数列；
（2）求的通项公式。
11.已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数。
（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）设,为数列的前项和。是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。
【当堂检测】
1. 解析：设数列的公比为，那么，函数（）的值域为，从而求得的取值范围。
2. 解析：等比数列的公比，显然数列也是等比数列，其首项为，公比，。
3. 解析：、、成等比数列，，二次函数的判别式，从而函数与轴无交点。
4. ，，而，
，即，解得，而，故公比的取值范围为。
5.
解析：，即，也即，从而数列是公比为的等比数列。。
6.
解析：的两根分别为和，，从而、，。。
7.
解析：，，
。
8.
解析：设该等比数列为、、、， ，
，从而、、，
。
9.解：（1）对于等式，令得；令得，，。
（2），则 ①
①得 ②
②①得：
。
10.解：（1）证明：由题意知，且，
两式相减得，即 ①
当时，由①知，于是
又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。
（2）当时，由（1）知，即；
当时，由①得
11.解：（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即
，矛盾。
所以不是等比数列.
（2）解：
。又，所以
当时，，这时不是等比数列；
当时，由上可知，。
故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。
（3）由（2）知，当时，，，不满足题目要求。
，故知，可得
，
要使对任意正整数成立，即
，
得 ①
令，则
当为正奇数时，；当为正偶数时，。
所以的最大值为，最小值为。
于是，由①式得。
当时，由知，不存在实数满足题目要求；
当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。
等比数列学案
一、课前预习
（一）预习目标
1.理解等比数列的定义；
2.了解等比数列的通项公式
（二）自我探究
下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点 （教材上的P48面）
1，2，4，8，16，…，263; ① 1，，，，…； ②
1，，…； ③ ④
对于数列①，= ; =2（n≥2）．对于数列②， =；（n≥2）．
对于数列③，= ; =20（n≥2）．
共同特点：
(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； ｛｝成等比数列=q（，q≠0．）
(2) 隐含：任一项
(3) q=1时，{an}为常数数列．
（4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
（四）提出疑惑
（五）预习内容
1、等比数列的定义
2、等比数列的通项公式
1. 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做该等比数列的公比，我们通常用字母（）表示。数学语言描述：对于数列，如果满足（、，为常数，），那么为等比数列。
2.当等比数列的公比时。该等比数列为常数列。
3.等比数列的通项公式：，对于等比数列的通项公式，我们有以下结论：
①；②（，此结论对于有意义时适用）。
4. 等比数列的增减性：若，当时，等比数列为递增数列；当时，等比数列为递减数列；当时，等比数列的增减性无法确定（摆动数列）。若，当时，等比数列为递减数列；当时，等比数列为递增数列；当时，等比数列的增减性无法确定（摆动数列）。
5. 如果在数和中间插入一个数，使得、、三数成等比数列，那么我们就称数为数和的等比中项，且。
6.等比数列的前项和公式
设数列是公比为的等比数列，那么该数列的前项和
。
7.等比数列的主要性质：
（1）在等比数列中，若，则；
（2）在等比数列中，若，则；
（3）对于等比数列，若数列是等差数列，则数列也是等比数列；
（4）若数列是等比数列，则对于任意实数，数列、也是等比数列；
（5）若数列是等比数列且，则数列也是等比数列；
（6）若数列是等比数列且，则数列为等差数列；
（7）若数列和都是等比数列，则数列也是等比数列；
（8）若是等比数列的前项和，则、、、…成等比数列，其公比为；
四、课堂同步训练
1.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( )
　　　　　 　
　　　　　
2.已知是等比数列，，则
3.若实数、、成等比数列，则函数与轴的交点的个数为（ ）
无法确定
4. 在数列中，，且是公比为（）的等比数列，该数列满足（），则公比的取值范围是（ ）
5.设数列满足（，，），且
，则__________。
6.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则__________。
7.设是由正数组成的等比数列，公比，且，则__________。
8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列，则________。
9.设数列为等比数列，，已知，。
（1）求等比数列的首项和公比；
（2）求数列的通项公式。
10.设数列的前项和为，已知
（1）证明：当时，是等比数列；
（2）求的通项公式。
11.已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数。
（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）设,为数列的前项和。是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。
【同步训练参考答案】
1. 解析：设数列的公比为，那么，函数（）的值域为，从而求得的取值范围。
2. 解析：等比数列的公比，显然数列也是等比数列，其首项为，公比，。
3. 解析：、、成等比数列，，二次函数的判别式，从而函数与轴无交点。
4. ，，而，
，即，解得，而，故公比的取值范围为。
5.
解析：，即，也即，从而数列是公比为的等比数列。。
6.
解析：的两根分别为和，，从而、，。。
7.
解析：，，
。
8.
解析：设该等比数列为、、、， ，
，从而、、，
。
9.解：（1）对于等式，令得；令得，，。
（2），则 ①
①得 ②
②①得：
。
10.解：（1）证明：由题意知，且，
两式相减得，即 ①
当时，由①知，于是
又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。
（2）当时，由（1）知，即；
当时，由①得
故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。
（3）由（2）知，当时，，，不满足题目要求。
，故知，可得
，
要使对任意正整数成立，即
，
得 ①
令，则
当为正奇数时，；当为正偶数时，。
所以的最大值为，最小值为。
于是，由①式得。
当时，由知，不存在实数满足题目要求；
当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。
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203.2一元二次不等式及其解法（3课时）
（一）教学目标
1.知识与技能:从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式；应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题；能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来；
2.过程与方法:通过学生感兴趣的上网问题引入一元二次不等式的有关概念，通过让学生比较两种不同的收费方式，抽象出不等关系；利用计算机将数学知识用程序表示出来；
3.情态与价值：培养学生通过日常生活中的例子，找到数学知识规率，从而在实际生活问题中数形结合的应用以及计算机在数学中的应用。
（二）教学重、难点
重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想；
难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
（四）教学设想
[创设情景]
通过让学生阅读第84页的上网问题，得出一个关于x的一元二次不等式，
即
[探索研究]
首先考察不等式与二次函数以及一元二次方程的
关系。
容易知道，方程有两个实根：
由二次函数的零点与相应的一元二次方程根的关系，知是二次函数的两个零点。通过学生画出的二次函数的图象，观察而知，
当时，函数图象位于x轴上方，此时，即；
当时，函数图象位于x轴下方，此时，即。
所以，一元二次不等式的解集是
从而解决了以上的上网问题。
[总结归纳]
上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式或的解集：可分三种情况来讨论。
引导学生将第86页的表格填充完整。
[例题分析]：
一.分析、讲解例2和例3，
练习：第89页1.（1）、（3）、（5）；2.（1）、（3）
二.分析、讲解例1和例4
练习：第90页（A组）第5题，（B组）第4题。
[知识拓展]：
下面利用计算器，用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来：
下面是具有一般形式对应的一元二次方程的求根程序：
input “a,b,c=”;a,b,c
d=b*b-4*a*c
p=-b/(2*a)
q=sqr(abs(d))/(2*a)
if d<0 then
print “the result is R”
else
x1=p-q
x2=p+q
if x1=x2 then
print “the result is {x/x<> “;p,”}”
else
print “the result is {x/x> “;x2, “or x<”;x1,”}”
endif
endif
end
练习：（B组）第3题。
[新知小结]：
1. 从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式；
2. 应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题；
3.能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来：
[课后作业]：习题3.2（A组）第1、2、6题；（B组）第1、2题。
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23.1不等关系和不等式
（一）教学目标
1．知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。
2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；
3．情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。
（二）教学重、难点
重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
（三）教学设想
[创设问题情境]
问题1：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则d≤。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为万元。那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式≥20
问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..
根据题意，应有如下的不等关系：
（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系，可得不等式组：
[练习]：第82页，第1、2题。
[知识拓展]
设问：等式性质中：等式两边加（减）同一个数（或式子），结果仍相等。不等式是否也有类似的性质呢？
从实数的基本性质出发，可以证明下列常用的不等式的基本性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
证明：
例1讲解
[练习]：第3题。
[思考]：利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：
[小结]：1.现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；
2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系；
[作业]：习题3.1：（A组）4、5；（B组）2.
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2二元一次不等式（组）与平面区域
第一课时
（1）教学目标
（a）知识与技能：了解二元一次不等式组的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域
（b）过程与方法：本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来表示的平面区域。始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确。教学中也特别提醒学生注意表示区域时不包括边界，而则包括边界
（c）情感与价值：培养学生数形结合、化归、集合的数学思想
（2）教学重点、教学难点
教学重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域
教学难点：如何确定不等式表示的哪一侧区域
（3）学法与教学用具
启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念。以学生探究为主，老师点拨为辅。学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞。同时可借助计算机等媒体工具来进行演示。
直角板、投影仪（多媒体教室）
（4）教学设想
设置情境
提问：根据课本给出的实例,试用不等式来刻画资金分配的问题.
答:分析题意,我们可得到以下式子
引出:满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是, 二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.
新课讲授
(1)问题: 二元一次不等式所表示的图形
(2)尝试
在直角坐标系中,所有点被直线分成三类:
一类是在直线上;
二类是在直线左上方的区域内的点;
三类是在直线右上方的区域内的点.
设点P是直线上的点,任取点A,使它的坐标满足不等式,在图3.3-2中标出点P和点A.
(3)观察并讨论
我们发现,在直角坐标系中,以二元一次不等式的解为坐标的点都在直线的左上方;反之,直线左上方点的坐标也满足不等式.因此,在直角坐标系中,不等式表示直线左上方的平面区域.类似地, 不等式表示直线右上方的平面区域.我们称直线为这两个区域的边界.将直线画成虚线,表示区域不包括边界.
(4)结论
一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式表示某侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.
而不等式表示区域时则包括边界,把边界画成实线.
(4)例1、画出表示的平面区域（见教材第94页例1）
分析：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方。特别是，当时，常把原点（0，0）作为测试点。
变式1：
例2：用平面区域表示不等式组（见教材第94页例2）
的解集
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
变式1：
变式2、画出不等式表示的平面区域
课堂练习
课本练习1、2、3
4、归纳总结
懂得画出二元一次不等式在平面区域中表示的图形
注意如何表示边界
（5）评价设计
1、课本习题3.3第1、2题
2、由直线围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为
PAGE
3二元一次不等式(组)与平面区域
第二课时
（1）教学目标
（a）知识与技能：懂得将实际问题转化为线性规划问题
（b）过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第二节课，学生已经学会了如何画出一元二次不等式(组)所表示的平面区域.这节课主要是通过实际生活中的例子提供给学生应用数学的实践机会。教师要善于引导学生思维,调动学习兴趣,让他们乐学并巧学,真切体会到数学在生活中的妙用.针对本堂课的特点,采用多媒体教学可更好地促进教学双赢
（c）情感与价值：培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力，加强学生之间的合作互助精神,并从数形结合中得到辨证唯物主义的思想教育
（2）教学重点、教学难点
教学重点：探讨如何将实际问题转化为线性规划问题
教学难点：如何将实际问题转化为线性规划问题
（3）学法与教学用具
通过分组讨论,让学生在活动中学会沟通和合作,提高分析和处理信息的能力.充分尊重学生的自主性,以学生探究为主,教师点拨为辅,重在培养创新
直角板、投影仪（多媒体教室）
（4）教学设想
设置情境
提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。
新课讲授
例1、（幻灯片放映）某人准备投资1200万元兴办一所完全学校，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）
分别用数学关系式来表示上述限制条件
学段 班级学生数 配备教师数 硬件建设(万元) 教师年薪(万元)
初中 45 2 26/班 2/人
高中 40 3 54/班 2/人
请学生分组讨论, 寻找共同点,汇总结论,互相补充，得到正确解答
解：设开设初中班x个，高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20到30之间，所以有
考虑到所投资金的限制，得到
即
另外，开设的班数不能为负，则
把上面四个不等式合在一起，得到
（学生口答）
根据限制条件画出图形
例2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 、硝酸盐18 t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 、硝酸盐15 t。现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66 t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：
在直角坐标系中画出平面区域。
总结：学生分组讨论后，对结果进行汇总时，老师要对学生展示的成果进行点评，针对学习过程中出现的常见错误给予指正。
课堂练习
课本第97页练习4
4、归纳总结
解线性规划的应用题时，主要是认真分清题意，将题目条件准确地转化为一元二次方程组，并根据约束条件画出平面区域
（5）评价设计
1、课本练习第9、10、11题
2、课本复习参考题B组第5题
PAGE
23． 3．1二元一次不等式（组）与平面区域．
【教学目标】
了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。
理解二元一次不等式的几何意义
会判定或正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合
【教学重难点】
教学重点：1. 理解二元一次不等式（组）的几何意义；
2. 掌握不等式（组）确定平面区域的 一般方法
教学难点：1 把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。
2 掌握不等式（组）确定平面区域的一般方法
【教学过程】
设置情境，引入新课
一家银行信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么信贷部如何分配资金呢？
问题1.那么信贷部如何分配资金呢？
问题2.用什么不等式模型来刻画它们呢？
合作探究，得出概念
（1）设用于企业资金贷款的资金为元，用于个人贷款的资金元，由于资金总数为25000000元，得到
①
由于预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30000元以上，所以即。 ②
最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负值，于是 ③
将①②③合在一起，得到分配资金应该满足的条件：
二元一次不等式组：
二元一次不等式（组）的解集的意义：
（2）二元一次不等式（组）的几何意义
研究：二元一次不等式 表示的图形
①边界的概念
②二元一次不等式（组）的几何意义，画法要求
③判定方法（1）特殊点法（2）公式法
典型例题
例题1画出不等式2+y－6＜0表示的平面区域。
解：先画直线2+y－6＝0（画成虚线）。
取原点（0，0），代入2+y－6，∵2×0+0－6＝－6＜0，
∴原点在2+y－6＜0表示的平面区域内，不等式2+y－6＜0表示的区域如图：

例题2 用平面区域表示不等式组的解集
解：
不等式－y+5≥0表示直线－y+5＝0上及右下方的点的集合，+y≥0表示直线x+y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合。不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域：

例题3：要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数量少？
答案:：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则
且x，y都是整数．
例题4
某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：
产品品种 劳动力（个） 煤（吨） 电（千瓦）
A产品 3 9 4
B产品 10 4 5
已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，列出满足生产条件的关系式，并画出平面区域。
答案：设生产A、B两种产品各为x、y吨，利润为z万元，则
平面区域如图（阴影部分）
反馈测评
不等式表示的区域在直线的（ ）
A 右上方 B 右下方 C 左上方 D 左下方
2．下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
3 画出二元一次不等式组所表示的平面区域
4 一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B.每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序。桌子A需要10min打磨，6min着色，6min上漆；桌子B需要5min打磨，12min着色，9min上漆。如果一个工人每天和上漆分别至多工作450min，着色每天至多工作480min，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中划出相应的平面区域。
答案：1.(1)D；(2) Ａ；
五 课堂小结
1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生实际背景
2理解二元一次不等式（组）的意义，掌握不等式（组）确定平面区域的 一般方法
六 作业
课本P93 习题3.3 A组 1、2题
3．3．1二元一次不等式（组）与平面区域
课前预习学案
预习目标
1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。
2理解二元一次不等式的几何意义
3能正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合
二、预习内容
1.阅读课本引例，回答下列问题
①设用于企业资金贷款的资金为元，用于个人贷款的资金元，如何用这两个变量表示引例中的三个数字条件
②
③二元一次不等式，二元一次不等式组
④二元一次不等式（组）的解集及几何意义
2．思考：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，那么在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？
3.通过研究二元一次不等式 表示的图形，你能得到什么结论？
三、总结结论和提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还那些收获和疑惑，请把它填在下面的表格中
收获 疑惑
课内探究学案
一、 学习目标
1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。
2理解二元一次不等式的几何意义
3能正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合
二、学习重难点
学习重点：1. 理解二元一次不等式（组）的几何意义；
2. 掌握不等式（组）确定平面区域的 一般方法
学习难点：1 把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。
2 掌握不等式（组）确定平面区域的一般方法
三、学习过程
（一）自主学习
大家预习课本P82页，并回答以下几个问题：
问题1.那么信贷部如何分配资金呢？
问题2 .用什么不等式模型来刻画它们呢？
(二) 合作探究，得出概念
二元一次不等式（组）的几何意义
研究：二元一次不等式 表示的图形
通过探究上述问题，你能回答下面的问题吗？
边界的概念
二元一次不等式（组）的几何意义，画法的要求？
判定方法（1）特殊点法：一般选择哪一个点
（2）公式法
典型例题
例1、画出下列不等式表示的区域
(1) ；
解析：原不等式可化为
例2某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：
学段 班级学生人数 配备教师数 硬件建设/万元 教师年薪/万元
初中 45 2 26/班 2/人
高中 40 3 54/班 2/人
分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。
分析：设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，根据题意可列出：
变式训练. 画出下列不等式表示的区域
(1) ；
（2）（1）； （2）．； （3）．
答案：
反馈测评（1）画出不等式表示的平面区域
①；②
③
课堂小结
1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。
2理解二元一次不等式的几何意义
3会判定或正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合
课后练习与提高
（1）不等式表示的区域在直线的 .
（2）画出不等式组表示的平面区域.
（3）用平面区域表示不等式组的解集
（4）某厂使用两种零件A，B装配两种产品X，Y. 该厂月生产能力X最多2500个，Y最多1200个. A最多为14000个，B最多为12000个. 组装X需要4个A，2个B，组装Y需要6个A，8个B. 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.
（5）某工厂用A，B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件并耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件并耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，工厂每天工作不超过8h. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.
学校：二中 学科：数学 编写人：郝福强 一审：丁良之 二审：马英济
3．3．2简单的线性规划问题
【教学目标】
了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题
【教学重难点】
教学重点： 用图解法解决简单的线性规划问题
教学难点：准确求得线性规划问题的最优解
【教学过程】
一 复习提问
1、二元一次不等式在平面直角坐标系中表示什么图形？
2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？
3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
二 设置情境，引入新课
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。
1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：
……………………………………………………………….（1）
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
（4）尝试解答：
设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：
当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？
把z=2x+3y变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（），这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直线与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距最大。
（5）获得结果：
由上图可以看出，当实现金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。
2、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解
变换条件，加深理解
探究：课本第100页的探究活动
在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。
有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？
典型分析
例题1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
分析:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.
解：设每天食用
（1），目标函数为
二元一次不等式组（1）等价于（2）
做出二元一次不等式组（2）所表示的平面区域，即可行域
考虑考虑z=28x+21y,将它变形为 ,这是斜率为 、随z变化的一族平行直线. 是直线在y轴上的截距，当取得最小值时，z的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y取得最小值.?
由图可见，当直线z=28x+21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小.?
解方程组 得点M( , )，因此，当 , 时，z=28x+21y取最小值，最小值为16.?
由此可知每天食用食物A约143克，食物B约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.?
例题2：在上一节例题3中，各截这两种钢板多少张可得所需A 、B、C三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则
且x，y都是整数．
做出不等式组表示的平面区域，即可行域，由图可知，当直线经过可行域上的点M时，即z最小。解方程组
得M的坐标为。由于都不是整数，此问题中最优解中横纵坐标都必须是整数，所以点不是最优解。经过可行域内整点且使截距z最小的直线是，经过的整点是B它们是最优解。所以Zmin =
答：略
反馈测评
求
2．求
五 课堂小结
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题
六 作业
课本P93 习题3.3 A组 3、4题
学校：二中 学科：数学 编写人：郝福强 一审：王梦炬 二审：马英济
3．3．2二元一次不等式（组）与平面区域
课前预习学案
预习目标
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题
二、预习内容
1.阅读课本引例，回答下列问题
线性规划的有关概念：
①线性约束条件
②线性目标函数：
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解
2．.通过研究引例及例题5、6，你能总结出求线性规划问题的最值或最优解的步骤吗？那些问题较难解决？
课内探究学案
一、 学习目标
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题
二、学习重难点
学习重点：教学重点： 用图解法解决简单的线性规划问题
教学难点：准确求得线性规划问题的最优解
三、学习过程
（一）自主学习
大家预习课本P87页，并回答以下几个问题：
问题1. ①线性约束条件
②线性目标函数：
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
(二) 合作探究，得出解决线性规划问题的一般步骤
（三）典型例题
例1、①求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件
解析：注意可行域的准确画出
②求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解析：注意可行域的准确性
不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（）的直线所对应的t最大.
所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.
zmax=3×+5×=14
例2. 有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表．
轮船运输量／ 飞机运输量／
粮食
石油
现在要在一天内运输至少粮食和石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？
答案：解：设需安排艘轮船和架飞机，则
　　即
目标函数为．
作出可行域，如图所示．
作出在一组平行直线（为参数）中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线，此直线经过直线和的交点，直线方程为：．
由于不是整数，而最优解中必须都是整数，所以，可行域内点不是最优解．
经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是，
即为最优解．则至少要安排艘轮船和架飞机．
变式训练. 1、求的最大值、最小值，使、满足条件
2、设，式中变量、满足
反馈测评 给出下面的线性规划问题：求的最大值和最小值，使，满足约束条件要使题目中目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中一个不等式，那么新的约束条件是　　　　　　　　　　．
答案：
课堂小结
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题
四 课后练习与提高
某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少支援物资的任务．该公司有辆载重的型卡车与辆载重为的型卡车，有名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为型卡车次，型卡车次；每辆卡车每天往返的成本费型为元，型为元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排型或型卡车，所花的成本费分别是多少？
解：设需型、型卡车分别为辆和辆．列表分析数据．
型车 型车 限量
车辆数
运物吨数
费用
由表可知，满足的线性条件：
，且．
作出线性区域，如图所示，可知当直线过时，最小，但不是整点，继续向上平移直线可知，是最优解．这时（元），即用辆型车，辆型车，成本费最低．
若只用型车，成本费为（元），只用型车，成本费为（元）．
方式
效果
种类
PAGE
131．1．1正弦定理
（一）教学目标
1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
（二）教学重、难点
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
（三）学法与教学用具
学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。
教学用具：直尺、投影仪、计算器
（四）教学设想
[创设情景]
如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又, A
则 b c
从而在直角三角形ABC中， C a B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C
同理可得， b a
从而 A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作， C
由向量的加法可得
则 A B
∴
∴，即
同理，过点C作，可得
从而
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，
；
根据正弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
因为＜＜，所以，或
⑴ 当时，
，
⑵ 当时，
，
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
[随堂练习]第5页练习第1（1）、2（1）题。
例3．已知ABC中，A，,求
分析：可通过设一参数k(k>0)使,
证明出
解：设
则有，，
从而==
又，所以=2
评述：在ABC中，等式
恒成立。
[补充练习]已知ABC中，，求
（答案：1：2：3）
[课堂小结]（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：；
或，，
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
（五）评价设计
①课后思考题：（见例3）在ABC中，，这个k与ABC有什么关系？
②课时作业：第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。
PAGE
3解三角形应用举例
第四课时
（1）教学目标
(a)知识和技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
(b)过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点，。
(c)情感与价值：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
（2）教学重点、教学难点
教学重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
（3）学法与教学用具
正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式。同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯。
直角板、投影仪
（4）教学设想
设置情境
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在
ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？
生：h=bsinC=csinB
h=csinA=asinC
h=asinB=bsinaA
师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？
生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB
师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
新课讲授
例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;
（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解：（1）应用S=acsinB，得
S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm)
(2)根据正弦定理，
=
c =
S = bcsinA = b
A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5
S = 3.16≈4.0(cm)
(3)根据余弦定理的推论，得
cosB =
=
≈0.7697
sinB = ≈≈0.6384
应用S=acsinB，得
S ≈41.438.70.6384≈511.4(cm)
例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
cosB=
=≈0.7532
sinB=0.6578
应用S=acsinB
S ≈681270.6578≈2840.38(m)
答：这个区域的面积是2840.38m。
例3、在ABC中，求证：
（1）
（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设
= = = k
显然 k0，所以
左边=
==右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2(bc+ca+ab)
=(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)
=a+b+c=左边
变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：a=6,S=9;a=12,S=18
变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，
acosA = bcosB
sinC =
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”
师：大家尝试分别用两个定理进行证明。
生1：（余弦定理）得
a=b
c=
根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生2：（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB,
sin2A=sin2B,
2A=2B,
A=B
根据边的关系易得是等腰三角形
师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？
生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180，A+B=90
(2)（解略）直角三角形
课堂练习
课本第21页练习第1、2题
4、归纳总结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。
（5）评价设计
1、课本第23页练习第12、14、15题
2、如图，在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：
AB的长
四边形ABCD的面积
略解（1）因为BCD=75，ACB=45，所以
ACD=30 ，又因为BDC=45，所以
DAC=180-（75+ 45+ 30）=30，
所以 AD=DC=
在BCD中，CBD=180-（75+ 45）=60，所以
= ，BD = =
在ABD中，AB=AD+ BD-2ADBDcos75= 5,
所以得 AB=
S= ADBDsin75=
同理， S=
所以四边形ABCD的面积S=
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18课题: §2.5.1等比数列的前n项和（1）教案
教材分析：
本节知识是必修5第二章第5节的学习内容，是在学习完等差数列前n项和的基础上再次学习的一种求和的思想与方法。再者本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
●教学重点
等比数列的前n项和公式推导
●教学难点
灵活应用公式解决有关问题
学情分析：针对学生学习等差数列前n项和时的情况，一定在本节课的教学中加大思想方法的教学力度，突破错位相减思想理解困难。引导学生完成基本技能的训练。
●教学过程
一.课题导入
[创设情境]
[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”
二.讲授新课
[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。
等比数列的前n项和公式：
当时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列它的前n项和是
由
得
论同上）∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即 （结
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：
＝
＝＝
（结论同上）
[解决问题]
有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
由可得
==。
这个数很大，超过了。国王不能实现他的诺言。
三 例题讲解
例1．求下列等比数列的各项的和：
（1）； （2）
选题目的：直接应用公式，选择公式，熟练公式．
答案：（1）；（2）
例2．已知公比为的等比数列的前5项和为，求这个数列的及
选题目的：逆向应用公式．
答案：，
例3．已知等比数列，求使得大于100的最小的n的值.
选题目的：综合应用公式．
答案：使得大于100的最小的n的值为7.
例4．设数列的前n项和为．当常数满足什么条件时，才是等比数列？
选题目的：沟通与的关系，灵活应用公式．
答案：
四． 反思总结，当堂检测。：课本66页练习
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
五．课后小结
等比数列求和公式：当q=1时， 当时， 或
六． 教学反思
本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。
●板书设计：略
2.5.1等比数列的前n项和（1）学案
课前预习学案
一．预习目标：了解等比数列的前n项和公式及公式证明思路
二 预习内容:等比数列前n项和公式的推导方法。. 三、 提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
一．学习目标: 1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；
2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列前n项和的一些简单问题．；
学习重、难点：1．等比数列的前n项和公式；等比数列的前n项和公式推导；
2．灵活应用公式解决有关问题。
二．学习过程：1.首先来回忆等比数列定义，通项公式以及性质． 　　　　　　　　　　　　
（
2.探究：已知等比数列的首项a1，公比q，项数n(或n项an)，求它的前n项和Sn的计算公式．
一种推导思想:错位相减，Sn=a1＋a2＋…＋an-1＋an=a1＋a1q＋…＋a1qn-2＋a1qn-1．
在　等号两边乘以q，得
　　 qSn=a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn．　将两式的两端分别相减，就可消去这些共同项，
． 得(1－q)Sn=a1－a1qn．
∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
还有没有其他都推导方法？
三． 反思总结：
四 当堂检测：（1）求等比数列，，，…的前8项的和；
（2）求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和。
课后练习与提高：
选择题：
1. 在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=( )
A 33 B 72 C 84 D 189
2． 等比数列中, 则的前项和为（ ）
A. B. C. D.
3．在公比为整数的等比数列中，如果那么该数列的前项之和为（ ）
A. B. C. D.
二．填空题：
1. 已知：a1=2，S3=26．则q=----------
2．已知三数成等比数列，若三数的积为125，三数的和为31，则三数为------
三解答题：
设数列，求这个数列的前项和。
参考答案: 当堂检测
2.5.2等比数列的前n项和(2)教案
教材分析：本节知识是必修5第二章第5节的学习内容，是在学习完等差数列前n项和的基础上再次学习的一种求和的思想与方法。本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思
教学目标：
知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力
过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.
●教学重点
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
●教学难点
灵活使用公式解决问题
学情分析：在学生学习完等比数列的前n项和公式的基础上，进一步加强前n项和的应用.在实际问题的应用中需要教师的指导。特别是分类讨论思想的进一步应用。
●教学过程
一.课题导入
首先回忆一下前一节课所学主要内容：等比数列的前n项和公式：
当时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②
二.讲授新课
1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，
求证：
2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和；
（
三．例题讲解
例1已知等比数列中, ,求.
设问1:能否根据条件求和q ？ 如何求？ 一定要求q吗？(基本量的确定)
设问2:等比数列中每隔4项的和组成什么数列？ (探究等比数列内在的联系)
设问3:若题变: 数列是等比数列,且求
引导学生归纳:若是等比数列,公比为q,则每隔n项的和组成一个首项为,公比为的等比数列.(学生类比等差数列相关结论)
[说明]解题首先考虑的是通法,先确定基本量然后再求和，其次分析题目的特点、内在结构,探索规律,并从特殊向一般推广，注意培养学生思维的严谨性.
例2．某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为6000电的脑.商规店定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5%
到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？
假设货主每月还商店元，写出在第i(i=1,2,36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式.
每月的还款额为多少元（精确到0.01）？
引导学生,认真阅读题目,理解题意,
月底等额还款,即每月末还款数一样，
月底还款后的欠款数与第i-1个月底还款后的欠款数的关系是第,(学生分析)
三年内还清转化为数学语言是:
解(1)因为购买电脑时,货主欠商店的货款,即6000=4000(元),又按月利率0.5%到第一个月底的欠款数应为4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为4020元.
(2)设第i个月底还款后的欠款数为y,则有
y=4000(1+0.5%)-
y=y(1+0.5%)-
=4000(1+0.5%)-(1+0.5%)-
y=y(1+0.5%)-
y=y(1+0.5%)-
=4000(1+0.5%)-(1+0.5%)-(1+0.5%)-
y=y(1+0.5%)-=4000(1+0.5%)-(1+0.5%)
-(1+0.5%)- -,
整理得
y =4000(1+0.5%)-.(=1,2,36)
(3)因为y=0,所以
4000(1+0.5%)-=0
即每月还款数
=(元)
所以每月的款额为121.69元.
[说明] 解应用题先要认真阅读题目,一般分为粗读,细读,精读,准确理解题意,尤其是一些关键词:”等额还款”,”月利率”,”第i个月末还款后欠款表达式”等;
理解题意后,引导学生将文字语言向数字语言转化,建立数学模型,再用数学知识解决问题,并使原问题得到尽可能圆满的解答.
例3.求Sn=(x+)+(x2+)+…+(xn+)(y)。
解：当x1,y1时，
Sn=(x+x2+…+xn)+(+)=
当x=1,y1时 Sn=n+
当x1,y=1时 Sn=
当x=y=1时 Sn=2n
四 反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测：
1.如果将例4的还款期限从三年改为一年,其他条件不变,那么每次付款额将是多少
2.一套住房的建筑面积为100平方米,房价为9000元/平方米.买房者若先付房价的,其余款进行商业贷款,次月开始还贷款,按每月等额还款的方式十年还清欠款,贷款十年的月利率是0.54%.按月结息,买房者每月应还款多少元 (精确到元)
数学建模的方法；
关注学生解题的规范性,准确度及速度.
五.课后小结 (引导学生归纳,教师提炼)
(1)主要内容:公式的灵活运用,求和公式解决应用问题;
(2)数学思想方法:分类讨论、方程、转化与化归等.
六．教学反思 ：
本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。
板书：略
2.5.2等比数列的前n项和（2）学案
课前预习学案
一．预习目标：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力
二．预习内容：课本64——65的例2，例3
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
学习目标：1.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
2.通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.
重点:进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
难点:灵活使用公式解决问题
学习过程：自主学习：首先回忆一下前一节课所学主要内容：等比数列的前n项和公式：
合作探究：1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，
求证：
2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和；
反思：
当堂检测:
1．设{an}为等比数列，Sn=a1+…an,则在数列{Sn} 中 （ ）
（A）任何一项均不为零 （B）必有一项为零
（C）至多有一项为零 （D）或有一项为零，或有无穷多项为零
2.数列{an}是正项等比数列，它的前n项和为80，其中数值最大的项为54，前2n项的和为6560，求它的前100项的和。
课后练习与提高：
选择题：
1. 已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．
[ ]
A．是等比数列
B．当p≠0时是等比数列
C．当p≠0，p≠1时是等比数列
D．不是等比数列
2.设等比数列的前n项和为,若：=1：2，则:
= ( )
A. 3:4 B. 2:3 C. 1:2 D. 1:3
3.设数列{an}是公比为a，首项为的等比数列，是其前项和，对任意的自然数n，点（）所在直线方程是
A. y=ax-b B. y=ax+b C. y=bx+a D.y=bx-a
二。填空题：
4 . 三个正数a,b,c成等比数列，且a+b+c=62,,lga+lgb+lgc=3,则这三个正数为
5.. 设等比数列的公比为q，前n项和为S n，若Sn+1,S n，Sn+2成等差数列，则q的值为——
三．解答题：
已知数列{an}满足a1=1,a2=-,从第二项起，{an}是以为公比的等比数列，{an}的前n项和为Sn，试问：S1,S2,S3…,Sn,…能否构成等比数列？为什么？
参考答案：
当堂检测: 1.D
2. S2n>Sn, ∴q1 ②/①,得qn=81 ③∴q>1,故前n项中an最大。③代入①，得a1=q-1
又由an=a1qn-1=54,得81a1=54q ∴a1=2,q=3 ∴S100=
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12课题: §3.2 一元二次不等式及其解法（1）
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能: 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
2．过程与方法: 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想．
【教学重、难点】
重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法．
难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系．
【教学过程】
1．课题导入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：
课本P76互联网的收费问题
教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：．
2．讲授新课
（1）一元二次不等式的定义
象这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
（2）探究一元二次不等式的解集
怎样求不等式的解集呢？
探究：
①二次方程的根与二次函数的零点的关系
容易知道：二次方程的有两个实数根：
二次函数有两个零点：
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点．
②观察图象，获得解集
画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：
当，或时，函数图象位于轴上方，此时，，即；
当时，函数图象位于轴下方，此时，，即；
所以，不等式的解集是，从而解决了本节开始时提出的问题．
（3）探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：，或．
一般地，怎样确定一元二次不等式与的解集呢？
组织学生讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
①抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程的根的情况；
②抛物线的开口方向，也就是的符号．
总结讨论结果：
①抛物线 与轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程的判别式三种取值情况(，，）来确定．因此，要分二种情况讨论．
②可以转化为
分，，三种情况，得到一元二次不等式与的解集．
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第77页的表格)
二次函数的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
的解集 R
的解集
3．范例讲解
例1 (课本第78页)求不等式的解集.
解：因为，方程的解是．
所以，原不等式的解集是．
评述：本题主要熟悉最简单一元二次不等式的解法，一定要保证步骤正确，计算准确．
变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)．
例2 (课本第78页)解不等式．
解：整理，得.
因为，方程无实数解，
所以不等式的解集是.
从而，原不等式的解集是.
评述：将转化为的过程注意符号的变化，这是解题关键之处，讲课要放慢速度．
变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5) (7)．
4．课时小结
解一元二次不等式的步骤：
①将二次项系数化为“”：(或)．
②计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ．时，求根，
ⅱ．时，求根，
ⅲ．时，方程无解，
③写出解集．
【作业布置】
课本第80页习题3.2[A]组第1题
【板书设计】
一元二次不等式的定义探究一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解的各种情况列表 范例讲解例1练习例2练习
【教学后记】
课题: §3.2 一元二次不等式及其解法（1）
课前预习学案
【知识准备】
1．我们把 ，并且 不等式，称为一元二次不等式．
2．不等式的解集是 ．
3．若将不等式的二次项系数化为正数，则不等式化为 ．
【预习内容】
课本第76-78页．
1．尝试写出课本P76三个实例对应的不等式．
2．探究方程的根与二次函数的零点的关系．
3．探究不等式的解集．
【提出疑惑】
1．不等式与的解集之间有什么关系？规律是什么？
2．如何将不等式与二次函数的零点的关系？以不等式与二次函数的零点为例进行探究．
3．如何将不等式进行转化？
课内探究学案
【学习目标】
1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；
2．熟练准确地解节简单的一元二次不等式．
【提出问题】
1．如何解一般的一元二次不等式与？
2．如何解一般的一元二次不等式？
【合作探究】
1．探究不等式与二次函数的零点之间的关系．
2．总结其中的规律，并尝试完成课本第77页的表格
二次函数的图象
一元二次方程 无实根
的解集
的解集
2．尝试用框图将求解一般一元二次方程的过程表示出来．
3．试运用上面的规律解答例题，修正已有的观念，并做对应练习进行巩固．
例1 (课本第78页)求不等式的解集．
变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)．
例2 (课本第78页)解不等式．
变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5) (7)．
【反思总结】
解一元二次不等式的步骤：
①将二次项系数化为“”：(或)．
②计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ．时，求根，
ⅱ．时，求根，
ⅲ．时，方程无解，
③写出解集．
【完成作业】
课本第80页习题3.2[A]组第1题
课后练习与提高
1．与不等式的解集相同的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知集合，，则 ．
5．不等式的正整数解集为 ．
6．解下列不等式
① ；
② 2)；
③
答案：
1．A 2．C 3．A 4． 5．
6．① ；② ；③
课题: §3.2 一元二次不等式及其解法（2）
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；
2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想．
【教学重、难点】
重点：熟练掌握一元二次不等式的解法
难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
【教学过程】
1．课题导入
（1）一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
（2）一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格
2．范例讲解
例3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：．
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）
解：设这辆汽车刹车前的速度至少为 km/h，根据题意，我们得到
移项整理得：
显然，方程有两个实数根，即．
所以不等式的解集为．
在这个实际问题中，，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.
评述：注意体会三个“二次”之间的关系．
变式训练：课本第80页练习2
例4 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到
移项整理，得
因为，所以方程有两个实数根．
由二次函数的图象，得不等式的解为：．
因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51-59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益．
评述：教师板书图象的绘制过程，以起到示范作用．
变式训练：课本第80页习题3.2 A组第5题．
3．补充例题
例5 设，，且，求的取值范围．
解：令由，及二次函数图象的性质可得
，即，解之得．
因此的取值范围是．
评述：留足思考时间，弄清楚两个集合对应二次函数图象之间的关系．
变式训练：课本第80页习题3.2 A组第3题．
4．课时小结
进一步熟练掌握一元二次不等式的解法；
一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．
【板书设计】
一元二次不等式的解法步骤一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 范例讲解例3练习例4练习 补充例题例5练习
【作业布置】
课本第80页习题3.2[A]组第4，6题
【教学后记】
课题: §3.2 一元二次不等式及其解法（2）
课前预习学案
【知识准备】
1．回顾一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．
2．重新复述一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格．
3．如何将不等式进行转化？
【预习内容】
课本第78-79页．
1．尝试解答课本P78-79两个例题．
2．进一步巩固一元二次不等式的解法步骤．
3．探究下面题目的解法
例5 设，，且，求的取值范围．不等式的解集．
【提出疑惑】
1．为什么遇到有关应用的题目就“头疼”，如何审题？
2．解答应用题需要注意些什么？
课内探究学案
【学习目标】
1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；
2．激发自己学习数学的热情，培养不怕困难、勇于探索的精神．
【提出问题】
1．有关应用的题目如何审题？怎样才能顺利入手解题？需要注意点有哪些问题？
2．一元二次不等式与的解集具有什么关系？
【合作探究】
1．例3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：．
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）
探究不等式与二次函数的零点之间的关系．
变式训练：课本第80页练习2
2．例4 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
变式训练：课本第80页习题3.2 A组第5题．
3．补充例5 设，，且，求的取值范围．
变式训练：课本第80页习题3.2 A组第3题．
【反思总结】
1．熟练掌握一元二次不等式的解法；
2．一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．
【完成作业】
课本第80页习题3.2[A]组第4，6题
课后练习与提高
1．若不等式（）无解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．(1998年上海高考题)设全集，， (是常数)，且11∈B，则（ ）
A． B．
C． D．
4．若恒成立，则实数的取值范围是 ．
5．若的解集为，则________，________．
6．已知在区间上的最小值是3，求的值．
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122．1数列的概念与简单表示法
（一）教学目标
1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；
2、过程与方法：通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；
3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
教学重、难点
重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）；
难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。
学法与教学用具
学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。
教学用具：多媒体、投影仪、尺等
教学设想
多媒体展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？
（1）概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
（2）辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？给出首项与第n 项的定义及数列的记法：{an}
（3）数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。
数列的表示方法
（1）函数y=7x+9 与y=3 x ，当依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列各有什么特点？
（2）定义数列{an}的通项公式
（3）数列{an}的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列的哪些方面的性质？
（4）用列表和图象等方法表示数列，数列的图象是一系列孤立的点。
4、例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，-1/2，1/3，-1/4；
（2）2，0，2，0．
引导学生观察数列的前4项的特点，寻找规律写出通项公式。再思考：根据数列的前若干项写出的数列通项公式的形式唯一吗？举例说明。
5、例2、图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski）三角形，在下图4个三角形
2．1数列的概念与简单表示法 海口一中 陆健青
中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。
通过多媒体展示希尔宾斯基（Sierpinski）三角形，引导学生观察着色三角形的个数的变化，寻找规律写出数列的一个通项公式，并用图象表示数列。体会数列的图象是一系列孤立的点。
问题：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一想的前一项的2倍再加1，即 an = 2 an-1 + 1（n∈N，n>1），（※）
你能写出这个数列的前三项吗？
像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，（※）式称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。
例3 设数列{an}满足
写出这个数列的前五项。
此题与例1的学习是互为相反的关系，也是为了引入下文的等差数列，等差数列是最简单的递推数列。
课堂练习：P36 1~5， 课后作业：P38 习题2.1 A组 1，2，4，6。
课堂小结：
数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型；
了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列；能发现数列规律找出可能的通项公式。
（3）了解数列是一种特殊的函数。
评价设计
1、重视对学生学习数列的概念及表示法的过程的评价
关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是否充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式，或递推公式。
正确评价学生的数学基础知识和基础技能
能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，正确使用通项公式、列表、图象等方法表示数列，了解数列是一种特殊的函数。了解递推公式也是数列的一种表示方法。
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1基本不等式
第二课时
（1）教学目标
（a）知识与技能：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题
（b）过程与方法：本节课是基本不等式应用举例的延伸。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。3道例题的安排从易到难、从简单到复杂，适应学生的认知水平。教师要根据课堂情况及时提出针对性问题，同时通过学生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞，纠正数学表达中的错误
（c）情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性
（2）教学重点、教学难点
教学重点：正确运用基本不等式
教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件
（3）学法与教学用具
列出函数关系式是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一。对例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。
直尺和投影仪
（4）教学设想
设置情境
提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把叫做正数的算术平均数，把叫做正数的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。
新课讲授
例1、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？
分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值
（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大
解：（1）设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则 篱笆的长为2（）m
由 ，
可得
2（）
等号当且仅当，因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m
(2)设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2（）=36，=18，矩形菜园的面积为，
由 可得 ,
可得等号当且仅当
因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81
例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800深为3 m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？
分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。
解：设底面的长为 m,宽为 m, 水池总造价为 元，根据题意，有
由容积为4800可得
因此
由基本不等式与不等式性质，可得
即
可得等号当且仅当
所以,将水池的地面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低,最低造价为297600元
课堂练习
课本练习第2、3、4题
4、归纳总结
利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式来求最大（小）值
（5）评价设计
课本习题3.4第2、3、4题
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3第三章不等式
§3.1不等式与不等关系
第1课时
【授课类型】新授课
【教学目标】
1．理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；
2．能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
3．能用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学重点】同目标2
【教学难点】同目标3
【教学过程】
1、情境导入
在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
2、展示目标
下面我们首先来看在本课时应掌握哪些东西，掌握到什么程度
（1）理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；
（2）能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
（3）能用不等式（组）正确表示出不等关系。
3、检查预习
（1）用不等式表示不等关系
限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：
4、合作探究
（2）用不等式表示不等关系
某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示
5、交流展示
引例：b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式 。
6、精讲精练
例题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点，则。
例题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
例题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
7、反馈测评
(1)试举几个现实生活中与不等式有关的例子。
(2)课本P82的练习1、2
8、课时小结
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
9、评价设计
课本P83习题3.1[A组]第4、5题
【板书设计】
【授后记】
第三章不等式
§3.1不等式与不等关系学案
第1课时
【教学目标】
1．理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；
2．能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
3．能用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学重点】同目标2
【教学难点】同目标3
请同学们阅读课本内容，完成下列题目：
用不等式表示不等关系
1、限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：
2、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示
3、b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式 。
精讲精练
例题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点，则————
例题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
例题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
反馈测评
(1)试举几个现实生活中与不等式有关的例子。
(2)课本P82的练习1、2
课时小结
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
评价设计
课本P83习题3.1[A组]第4、5题
答案：
精讲精练
例题1：
例题2：
解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
例题3：
解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
第三章不等式
§3.1不等式与不等关系
第2课时
【授课类型】新授课
【教学目标】
1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
【教学重点】
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
【教学难点】
利用不等式的性质证明简单的不等式。
【教学过程】
1.课题导入
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；
即若
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；
即若
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
即若
2.讲授新课
1、不等式的基本性质：
师：同学们能证明不等式的基本性质吗？
证明：
，
∴．
实际上，我们还有，
证明：∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0．
根据两个正数的和仍是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，即a－c＞0，∴a＞c．
于是，我们就得到了不等式的基本性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
（1）；
（2）；
（3）。
证明：
1）∵a＞b， ∴a+c＞b+c　　　　　　　　　　　　 ①
∵c＞d， ∴b+c＞b+d　　　　　　　　　　　　　②
由①、②得　 a＋c＞b＋d．
2）
3）反证法）假设，
则：若这都与矛盾，
∴．
[范例讲解]：
例1、已知求证。
证明：以为，所以ab>0,。
于是 ，即
由c<0 ，得
3.随堂练习1
1、课本P82的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（＋）2 ６＋2；
（2）（－）2 （－1）2；
（3） ；
(4)当a＞b＞0时，loga logb
答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜
[补充例题]
例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。
解：由题意可知：
（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）
＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）
＝－７＜0
∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）
随堂练习2
比较大小：(x+5)(x+7)与(x+6)2
解：(x+5)(x+7)-(x+6)2
=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0
所以：(x+5)(x+7)<(x+6)2
4.课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题
【板书设计】
【教学后记】
第三章不等式
§3.1不等式与不等关系
第2课时
【授课类型】新授课
【教学目标】
1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
【教学重点】
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
【教学难点】
利用不等式的性质证明简单的不等式。
【教学过程】
1.课题导入
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；
即______________
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；
即______________
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
即______________
2.讲授新课
1、不等式的基本性质
请同学们证明下列不等式
(1)
(2)
于是，我们就得到了不等式的基本性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
（1）；
（2）；
（3）。
证明：（1）
（2）
（3）
[范例讲解]：
例1、已知求证 。
3.随堂练习1
1、课本P82的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（＋）2 ６＋2；
（2）（－）2 （－1）2；
（3） ；
(4)当a＞b＞0时，loga logb
[补充例题]
例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。
随堂练习2
比较大小：(x+5)(x+7)与(x+6)2
4.课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题
答案：
课题导入：
1、
2、
3、
（2）；
证明：
（3）。
反证法：假设，
则：若这都与矛盾，
∴．
[范例讲解]：
例1、证明：以为，所以ab>0,。
于是 ，即
由c<0 ，得
随堂练习1
答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜
[补充例题]
例2、解：由题意可知：
（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）
＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）
＝－７＜0
∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）
随堂练习2
解：(x+5)(x+7)-(x+6)2
=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0
所以：(x+5)(x+7)<(x+6)2
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122．2 等差数列
（一）教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。
（二）教学重、难点
重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
（三）学法与教学用具
学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
教学用具：投影仪
（四）教学设想
[创设情景]
上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。
[探索研究]
由学生观察分析并得出答案：
（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……
2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举重项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5
我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：
时间 年初本金（元） 年末本利和（元）
第1年 10 000 10 072
第2年 10 000 10 144
第3年 10 000 10 216
第4年 10 000 10 288
第5年 10 000 10 360
各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。
思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，…… ①
48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③
10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④
看这些数列有什么共同特点呢？
（由学生讨论、分析）
引导学生观察相邻两项间的关系，得到：
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ；
对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；
由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。
[等差数列的概念]
对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。
提问：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：
A-a=b-A
所以就有
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中
5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。
看来，
从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q
则
[等差数列的通项公式]
对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。
⑴、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。
由学生经过分析写出通项公式：
这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
② 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
④ 这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项和公差d，它的通项公式是什么呢？
引导学生根据等差数列的定义进行归纳：
…
所以
……
思考：那么通项公式到底如何表达呢？
……
得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为：
也就是说，只要我们知道了等差数列的首项和公差d，那么这个等差数列的通项就可以表示出来了。
选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：
（迭加法）： 是等差数列，所以
……
两边分别相加得
所以
（迭代法）：是等差数列，则有
……
所以
[例题分析]
例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.
⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
分析：⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；
⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。
解：⑴由=8，d=5-8=-3，n=20，得
⑵由=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。
解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。
例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d、n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。
（放投影片）例2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费.
令=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费
答：需要支付车费23.2元。
例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。
（放投影片）思考例题：例3 已知数列的通项公式为其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判定是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看（n＞1）是不是一个与n无关的常数。
解：取数列中的任意相邻两项（n＞1），
求差得
它是一个与n无关的数.
所以是等差数列。
课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？
这个数列的首项。由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.
例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。
[探究]
引导学生动手画图研究完成以下探究：
⑴在直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点？
⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。
分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，……时，对应的可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；
⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。
该处还可以引导学生从等差数列中的p的几何意义去探究。
[随堂练习]
例1之后： “练习”第1题；
例2之后： “练习”第2题；
[课堂小结]
本节主要内容为：
①等差数列定义：即(n≥2)
②等差数列通项公式：(n≥1)
推导出公式：
(五）评价设计
1、已知是等差数列.
⑴ 是否成立？呢？为什么？
⑵ 是否成立？据此你能得出什么结论？
是否成立？据此你又能得出什么结论？
2、已知等差数列的公差为d.求证：
（n-1）个等式
PAGE
4解三角形应用举例
第一课时
（1）教学目标
(a)知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
(b)过程与方法 ：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正
(c)情感与价值：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
（2）教学重点、难点
教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图
（3）学法与教学用具
让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。
直角板、投影仪（多媒体教室）
（4）教学设想
1、复习旧知
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、设置情境
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
新课讲授
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m)
启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。
解：根据正弦定理，得
=
AB =
=
=
=
≈ 65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：a km
例2、（动画演示辅助点和辅助线）如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，
ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得
AC = =
BC = =
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB =
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60
略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
学生阅读课本，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
课堂练习
课本练习第1、2题
归纳总结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
（5）评价设计
课本第1、2、3题
思考题：某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
cosC==,
则sinC =1- cosC =,
sinC =,
所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sinC =
在MAC中，由正弦定理得
MC ===35
从而有MB= MC-BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。
PAGE
22. 2.1等差数列导学案
一、课前预习：
1、预习目标：
①通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；
②能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；
③体会等差数列与一次函数的关系。
2、预习内容：
（1）、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于同一个 ，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ， 通常用字母表示。
（2）、等差中项：若三个数组成等差数列，那么A叫做与的 ，
即 或 。
（3）、等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列； 时，数列为递减数列； 时，数列为常数列；等差数列不可能是 。
（4）、等差数列的通项公式： 。
二、课内探究学案
例1、1、求等差数列8、5、2… …的第20项
解：由 得：
2、是不是等差数列、、… …的项？如果是，是第几项？
解：由 得
由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得：
成立
解得：即是这个数列的第100项。
例2、某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
分析：可以抽象为等差数列的数学模型。4km处的车费记为： 公差
当出租车行至目的地即14km处时，n=11 求
所以：
例3：数列是等差数列吗？
变式练习：已知数列｛｝的通项公式，其中、为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
　　（指定学生求解）
解：取数列｛｝中任意两项和
它是一个与n无关的常数，所以｛｝是等差数列？
并且：
三、课后练习与提高
在等差数列中，
已知求=
已知求
已知求
已知求
2、已知，则的等差中项为（ ）
A B C D
3、2000是等差数列4，6，8…的（ ）
A第998项 B第999项 C第1001项 D第1000项
4、在等差数列40，37，34，…中第一个负数项是（ ）
A第13项 B第14项 C第15项 D第16项
5、在等差数列中，已知则等于（ ）
A 10 B 42 C43 D45
6、等差数列-3，1， 5…的第15项的值为
7、等差数列中，且从第10项开始每项都大于1，则此等差数列公差d的取值范围是
8、在等差数列中，已知，求首项与公差d
9、在公差不为零的等差数列中，为方程的跟，求的通项公式。
10、数列满足，设
判断数列是等差数列吗？试证明。
求数列的通项公式
11、数列满足，问是否存在适当的 ，使是等差数列？
（2），
注：有学生在解本题第二问的时候，通过已知条件写出数列的前几项，然后猜想通项公式，由于猜想的公式需要证明，所以这种解法在现阶段是有问题的。
11、解：假设存在这样的满足题目条件。
由已知 可得
即
，满足等差数列的定义，故假设是正确的。即存在适当的的值使数列为公差为的等差数列。
由已知条件，令
即，解得。
2.2.2等差数列的性质教案
市第二中学 数学 编写人：李其智 审稿人：马英济
一、教学目标：
知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。
情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
二、教学重点、难点：
重点：等差数列的性质及推导。
难点：等差数列的性质及应用。
三、新课讲解：
等差数列的常见性质：若数列为等差数列，且公差为，则此数列具有以下性质：
①；
②；
③若（），则；
④。
证明：
①左边=，右边=左边
②由可得；由可得
③左边
右边
又因为，所以左边=右边，故得证。
④左边
右边=左边
等差数列的其它性质：
①为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，
即。
②下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列。
③若数列和均为等差数列，则（为非零常数）也为等差数列。
④个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来个等差数列的公差之和。
四、例题讲解：
例1、已知是等差数列，,求数列的公差及通项公式。
Key ：d=2，an=2n+1
【变式】已知是等差数列，
（1）已知：,求
（2）已知： ,求。
Key（1）=24（2）=185
例2、已知是等差数列，若,求。
Key：=180
【变式1】在等差数列中，已知则等于 （ ）
A. 40　　　　B. 42　　　　C. 43　　　　D. 45
Key ：B
【变式2】等差数列中，已知为（ ）
A. 48 B. 49 C. 50 D. 51
Key ：C
【变式3】已知等差数列中，，则的值为 （ ）
A．15 B．30　　C．31 　 D．64
Key ：A
五、小结：
本节课的主要内容是等差数列的性质，对这些性质我们应当熟练掌握，并能够在解题过程中灵活的运用，以便简化解题过程。
2.2.2等差数列的性质导学案
市第二中学 数学 编写人：李其智 审稿人：马英济
一、课前预习：
等差数列的常见性质：若数列为等差数列，且公差为，则此数列具有以下性质：
①；
②；
③若（），则；
④
用等差数列的定义证明：
二 、课内探究：
1、等差数列的其它性质：
①为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，
即。
②下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列。
③若数列和均为等差数列，则（为非零常数）也为等差数列。
④个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来个等差数列的公差之和。
2、典例分析：
例1、已知是等差数列，,求数列的公差及通项公式。
Key ：d=2，an=2n+1
【变式】已知是等差数列，
（1）已知：,求
（2）已知： ,求。
Key（1）=24（2）=185
例2、已知是等差数列，若,求。
Key：=180
【变式1】在等差数列中，已知则等于 （ ）
A. 40　　　　B. 42　　　　C. 43　　　　D. 45
Key ：B
【变式2】等差数列中，已知为（ ）
A. 48 B. 49 C. 50 D. 51
Key ：C
【变式3】已知等差数列中，，则的值为 （ ）
A．15 B．30　　C．31 　 D．64
Key ：A
三、课后提高：
1、已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（ ）
A．30 B．45 C．90 D．186
2、已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____________
3、三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．
．
4、已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．
答案
1、【解析】由,
所以【答案】 C
2、【标准答案】：１５
【试题解析】：由于为等差数列，故∴
3、解 设三个数分别为x－d，x，x＋d．
解得x＝5，d＝±2
∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3
说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法
4、证 ∵a、b、c成等差数列
∴2b=a＋c
∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c
＝a＋(a＋c)＋c
＝2(a＋c)
∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．
说明 如果a、b、c成等差数列，常化成2b＝a＋c的形式去运用；反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a＋c．
PAGE
82. 3 .1等差数列的前n项和（一）
教学目标：
1．掌握等差数列前n项和公式及其推导过程和思想方法．
2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
3.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思
教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应
教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题
授课类型：新授课
课时安排：1课时
内容分析：
本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和解决数列和的最值问题等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法
教学过程：
一、复习引入：
首先回忆一下前几节课所学主要内容：
1．等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）
2．等差数列的通项公式：
(或=pn+q (p、q是常数))
3．几种计算公差d的方法：
① d=－ ② d= ③ d=
4．等差中项：成等差数列
5．等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
6．数列的前n项和：
数列中，称为数列的前n项和，记.
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:
1+2+…100= ”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
“1+2+3+…+100=5050
教师问：“你是如何算出答案的？
高斯回答说：因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以
101×50=5050”
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西
（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法
二、讲解新课：
如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔
这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？
这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的“小故事”问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前120项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.
1．等差数列的前项和公式1：
证明： ①
②
①+②：
∵
∴ 由此得：
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2． 等差数列的前项和公式2：
用上述公式要求必须具备三个条件：
但 代入公式1即得：
此公式要求必须已知三个条件： （有时比较有用）
总之：两个公式都表明要求必须已知中三个
公式二又可化成式子：
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
三、例题讲解
例1 一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？
解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为，其中，根据等差数列前n项和的公式，得
答：V形架上共放着7260支铅笔
例2 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？
解：设题中的等差数列为，前n项为
则
由公式可得
解之得：（舍去）
∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.
例3一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.
解：由(n－2)·180＝100n＋×10，
求得n－17n＋72＝0, n＝8或n＝9,
当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8.
例4在等差数列中，已知，求前20项之和．
分析：本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求，求解；也可以用等差数列的性质求解．
解：法一 由.由
法二 由，而，所以，所以
小结：在解决等差数列有关问题时，要熟练运用等差数列的一些性质．在本题的第二种解法中，利用这一性质，简化了计算，是解决这类问题的常用方法．
四．巩固练习
1．求集合的元素个数，并求这些元素的和
3．等差数列{an}的首项为，公差为d，项数为n，第n项为，前n项和为，请填写下表：
5 10 10
-2 8 104
-38 -10 -360
4.在等差数列中，，，求.
五、小结 本节课学习了以下内容：
1.等差数列的前项和公式1：
2.等差数列的前项和公式2：
3.，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
六、课后作业：
P46 . 4题, 6题
七、板书设计（略）
八、课后记：
2.3.1 等差数列的前n项和（一）（学案）
一、【学习目标】
1、知识与技能: 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
2、经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，
学会观察、归纳、反思
二、【本节重点】 等差数列前项和公式的理解、推导及应用.
三、【本节难点】 灵活运用等差数列前项公式解决一些简单的有关问题
四、【知识储备】
1、 复习：等差数列的概念、通项公式、等差中项，等差数列的性质
2、 (1)一般形式：
(2)通项公式：
(3)前n项和：
3、等差数列
(1)定义：
(2)通项公式：
推广：
(3)性质：
①
②
特别地：
③ 奇数项
偶数项
五、【自主学习】
1、学习等差数列前项和公式推导过程。
2、等差数列的公差为，首项为，前项和
公式（1） ，
公式（2） 。
3、 前n项和公式与n的关系:式变形:
六、 [小试身手]
1 等差数列中，
(1)已知 则=__________________
(2)已知， 则=___________________
2等差数列中，已知，， 则=______及n=_____________
3、等差数列中，若，则公差 .
七、[典型例析]
例1 在等差数列{an}中，
(1)已知a15＝10，a45＝90，求
(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；
(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．
例2 在等差数列{}中，已知a6+ a9+ a12+ a15 = 34，求前20项之和
八、[当堂检测]
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
2．根据下列各题的条件,求相应等差数列的未知数.
1),, 求
2),求
3. ,,求
4. 在等差数列{}中，a2+a5=19 S5 =40 则a10为
(A)27 (B)28 (C)29 (D)30
5. 在等差数列{}中，d=2, =11, Sn =35 则a1为
(A)5或7 （B）3或5 （C）7或－1 （D）3或－1
6. 已知数列1,2,3,4，,2n, 则其和为 ，奇数项的和为 。
九、重点概念总结应用
等差数列{an}的首项为，公差为d，项数为n，第n项为，前n项和为，请填写下表：
5 10 10
-2 8 104
-38 -10 -360
检测答案：
1. =2n+1. 2. d=2 ,n=13 3.
4. C 5.A 6. ,
2.3.2 等差数列的前n项和（二）
教学目标
1.知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值；
2.过程与方法：经历公式应用的过程；
3.情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。
教学重点
熟练掌握等差数列的求和公式
教学难点
灵活应用求和公式解决问题
授课类型：新授课
教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1.等差数列的前项和公式1：
2.等差数列的前项和公式2：
Ⅱ.讲授新课
例1.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，
求其前项和的公式.
解：由题设：
得： ：
易得：
探究 1. 之间的关系
例2. 已知数列是等差数列，是其前n项和，
求证：⑴，-，-成等差数列；
⑵ （）成等差数列
证明：设首项是，公差为d
则
∵
∵∴
∴是以36d为公差的等差数列
同理可得是以d为公差的等差数列.
例3. 已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式.
解：根据 与
, (n>1) 得：
当n>1时，
⑴
当n=1 时，
也满足⑴式
所以数列的通项公式为：
探究2. 课本P51的探究活动
一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
分析： 由，得
当时==
=2p
结论：通项公式是
探究3. 对等差数列的前项和公式2：可化成式子：
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式，那么它有何作用呢？
例4. 已知等差数列 的前 n项和，求使得最大的序号n的值.
解：由题意得，等差数列的公差为，所以
于是，当n取与最接近的整数即7或8时，取最大值。
例 5. 在数列{}中，已知， (nN*)，那么使其前n项和Sn取得最大值的n值等于 .
解：依题意知，>0 ...>0,<0,
易知最大，即n取12时和最大.
小结：
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
利用:
当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值
当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值
利用：
由利用二次函数配方法求得最值时n的值
Ⅲ.课堂练习
已知等差数列的前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项和。
2.已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式.
3. 等差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值.
4. 等差数列{}的第10项为23，第25项为－22，求此数列
(1)第几项开始为负？
(2)前10项的和？
(3)从首项到第几项之和开始为负？
5. 在等差数列{}中，已知a1=25, S9= S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值。
Ⅳ.课时小结
1. 表示,
2．差数列前项和的最值问题有两种方法:
(1)当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值。
当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值。
(2)由利用二次函数配方法求得最值时n的值
3. 是以d为公差的等差数列.
Ⅴ.课后作业
课本P46 3题
2.3.2 等差数列的前n项和（二）
一．【学习目标】
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决求通项公式，求前n项和的最值等问题..
二．【学习重点】熟练掌握等差数列的求和公式
三．【本节难点】灵活应用求和公式解决相关问题
四． 【知识储备】
1、 ＝
2、 前n项和公式与n的关系:式变形:
五．【自主学习】
阅读并完成课本例2——例4
探究下列问题：
1.是等差数列，是其前n项和，参考课本46页B组2题，探究的关系（ （）仍成等差数列）
2. 完成例3，已知数列{an}的前n项的和为Sn，则Sn与Sn-1之间的递推关系式是 .由此可推得，数列{an}的通项公式an= .
3．等差数列{an}的前n项和与二次函数的关系是 .，如何从中读出公差，求最值.
六．[小试身手]
1 数列前项和，且，则正整数 _____________
2 设等差数列前项和，若，则
3. 等差数列前项和为，若，则当n=___________时，最大
七 [典型例析]
例1在等差数列{an}中，,,求
例2已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式.
例3在等差数列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．
.
八、[当堂检测]
1. 数列{}是等差数列的一个充要条件是
（A）Sn=an2+bn+c （B）Sn=an2+bn
（C）Sn=an2+bn+c (D) Sn=an2+bn
2、等差数列{an}中，d为公差.若前n项的和为Sn= -n2，则（ ）
A.an=2n-1，d= -2 B. an=2n-1，d= 2
C. an= -2n+1，d= -2 D. an= -2n+1，d= 2
3.一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和
4.已知数列{an}的前n项和，判断数列{an}是否为等差数列，并证明你的结论；
5．在等差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值
6．设等差数列{}的前n项和为，已知＝12，>0，<0，
(1) 求公差d的取值范围；
(2) 指出, , , ……, 中哪一个最大，说明理由
九．总结收获：
检测答案; 1.D 2.C 3. ＝－110. 4.是，
5. 当n＝8或n＝9时，＝＝－108最小.
6.（1）－（2）＝13<0, ∴ <0, 由＝6(＋)>0, ∴ ＋>0,
∴>0, 最大.
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14简单的线性规划问题
第四课时
（1）教学目标
(a)知识和技能：能够运用线性规划的图解法解决一些生活中的简单最优问题
(b)过程与方法：将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生而言是一个难点，若要突破这个难点，教师在讲授中要根据学生的认知情况，引导学生建立数学模型；同时，要给学生正确的示范，利用精确的图形并结合推理计算求解
(c)情感与价值：培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的的能力
（2）教学重点、教学难点
教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建立数学模型，并相应给出正确的解答
教学难点：建立数学模型，并利用图解法找最优解
（3）学法与教学用具
学生在建立数学模型中，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组。可采用分组讨论，各组竞争，自主总结，部分同学示范画图等方式，让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞
直角板、投影仪
（4）教学设想
设置情境
前面我们已经学习了线性规划问题的有关概念和解法，现在让我们一起来复习一下
新课讲授
例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg的食物A含有0.105kg的碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg
食物(kg) 碳水化合物(kg) 蛋白质(kg) 脂肪(kg)
A 0.105 0.07 0.14
B 0.105 0.14 0.07
分析:①先将数据整理列表, 请学生回答总成本与A、B食物的含量之间的关系，进一步确立变量和目标函数
②分析约束条件， 请学生回答总成本与A、B食物的含量变化而变化，这两者的含量是否任意变化，受什么因素制约？列出约束条件
③图解法求解
④老师引导，学生分组讨论后，交流心得，总结出解线性规划应用题的一般步骤
例2、在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取1600元，高中每人每年可收取学费2700元。那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？
解：设开设初中班x个，高中班y个，收取的学费总额为z万元。
此时，目标函数为画出可行域。把变形为，得到斜率为，在y 轴上的截距为，随z变化的一组平行直线。由此观察出，当直线经过可行域上的点M时，截距为最大，即z最大。
解方程组 得M的坐标为
由此可知，开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最多，为252万元。
例3、在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元。那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润z万元。目标函数为画出可行域。
把变形为，得到斜率为，在y 轴上的截距为，随z变化的一组平行直线。由此观察出，当直线经过可行域上的点M时，截距为最大，即z最大。
解方程组 得M的坐标为
由此可知，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元。
小结：这两道例题在前面的内容中已经研究过约束条件以及相应的图象，于是在复习原有知识的基础上再列出目标函数，利用直线平移法求出最大（最小）截距，进而求解
课堂练习
课本第2题
4、归纳总结
解线性规划应用题的一般步骤：设出所求的未知数；列出约束条件；建立目标函数；作出可行域；运用平移法求出最优解。
（5）评价设计
1、课本第3、4题
2、某家具厂有方木材90,五合板600，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木材0.1、五合板2，生产每个书橱需要方木料0.2、五合板1,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元,如果只安排生产书桌,可获利润多少 如果只安排生产书橱,可获利润多少 怎样安排生产可使得利润最大
答:24000元,54000元,56000元
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2第一章 解斜三角形
1．1．1正弦定理
（一）教学目标
1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题
2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
（二）教学重、难点
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：正弦定理的推导即理解
（三）学法与教学用具
学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。
教学用具：直尺、投影仪、计算器
（四）教学过程
1[创设情景]
如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B
2[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又, A
则 b c
从而在直角三角形ABC中， C a B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C
同理可得， b a
从而 A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作， C
由向量的加法可得
则 A B
∴
∴，即
同理，过点C作，可得
从而
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
β
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
3[例题分析]
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，
；
根据正弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2　如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：
证明：如图在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，
得，，
两式相除得
五巩固深化反馈研究
1已知ΔABC 已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）　:
Ａ　　３　　　Ｂ ２ Ｃ D
（2）已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）
A 8 B 4 C 4-3 D 8-8
（3）正弦定理的内容是————————————
（4）已知a+b=12 B=450 A=600则则则a=------------------------，b=------------------------
（5）已知在ΔABC中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为--------------------------
（6）．在ΔABC中，利用正弦定理证明
六，课堂小结（有学生自己总结）
七 板书设计略
五 [课堂小结]（由学生归纳总结）
1.1.1 正弦定理 学案
【预习达标】
在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，
1.在RtΔABC中，∠C=900, csinA= ,csinB= ，即 = 。
2. 在锐角ΔABC中，过C做CD⊥AB于D，则|CD|= = ，即 ，同理得 ，故有 。
3. 在钝角ΔABC中，∠B为钝角，过C做CD⊥AB交AB的延长线D，则|CD|= = ，即 ，故有 。
【典例解析】一 新课导入，推导公式
（1）直角三角形中
（2）斜三角形中
正弦定理是
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
例2　如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：
【达标练习】
已知ΔABC 已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）　:
Ａ　　３　　　Ｂ ２ Ｃ D
（2）已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）
A 8 B 4 C 4-3 D 8-8
-（3）正弦定理的内容是————————————
（4）已知a+b=12 B=450 A=600则则则
则a=------------------------，b=------------------------
（5）已知在ΔABC中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为--------------------------
（6）．在ΔABC中，利用正弦定理证明
参考答案
【预习达标】
1．a,b,. 2.bsinA asinB ,, ,=.
3. .bsinA asinB ,, =.
【典例解析】
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C
同理可得， b a
从而 A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作， C
由向量的加法可得
则 A B
∴
∴，即
同理，过点C作，可得
从而
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
例1解：根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，
；
根据正弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2证明：如图在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，
得，，
两式相除得
【双基达标】
1．（1）C（2）D（3）=.（4）36-12
12-24（5）2, 2.5, 3
，
2．证明：设，则
§1.1.2 正弦定理
【三维目标】：
一、知识与技能
1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题
2通过三角函数、正弦定理、等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.
3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．
二、过程与方法
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
三、情感、态度与价值观
1.培养学生处理解三角形问题的运算能力；
【教学重点与难点】：
重点：正弦定理的探索及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
【授课类型】：新授课
四教学过程
一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？
二、例题讲解
例 1试推导在三角形中 ===2R其中R是外接圆半径
证明 如图所示，∠＝∠
∴ 同理，
∴===2R
例2 在
：∵，为锐角，
∴
例3
解
，
五、巩固深化，反馈矫正
1试判断下列三角形解的情况：
已知则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
2已知则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
3.在中，三个内角之比，那么等于____
4.在中，, B=135 C=15 a=5则此三角形的最大边长为_____
5在中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是_____
6.在中，已知，求的度数
六、小结
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数使；
（2）==等价于=，=，=，即可得正弦定理的变形形式：
1）；
2）；
3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：
1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如；
2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如。
一般地，已知角A 边a和边b解斜三角形，有两解或一解或无解（见图示）．
外接圆法）如图所示，∠＝∠
a=bsinA有一解 a>bsinA有两解 a>b 有一解 a>b有一解
七板书设计 略
1.1.2正弦定理学案
— 预习达标
1 正弦定理的内容是——————————————————
2 在三角形ABC中已知c=10 A=450 C=300，则边a=---------，边b=-------，角B=------
3在三角形ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40，则角B=-------------（可借助计算器）
二 典例解析
例 1试推导在三角形中 ===2R其中R是外接圆半径
例2 在
例3
三 达标练习
1试判断下列三角形解的情况：
已知则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
2已知则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
3.在中，三个内角之比，那么等于____
4.在中， B=135 C=15 a=5 ,则此三角形的最大边长为_____
5.在中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是_____
6.在中，已知，求的度数
学案答案
一预习达标1 == 2 10 ， 5+5 3 64 或116
二典例解析
例1证明 如图所示，∠＝∠
∴ 同理，
∴===2R
例2 在
：∵，为锐角，
∴
例3
A
B
C
D
β
α
1800 α
A
B
C
D
β
β
α
1800 α
PAGE
102.5等比数列的前n项和
(一)教学目标
知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式，并用公式解决实际问题
过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式
情态与价值：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力
（二）教学重、难点
重点：使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题
难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式
（三）学法与教学用具
学法：由等比数列的结构特点推导出前n项和公式，从而利用公式解决实际问题
教学用具：投影仪
（四）教学设想
教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和.类似于等差数列，我们有必要探讨等比数列的前n项和公式。
一般地，对于等比数列
a1，a2，a3，．．．, an,．．．
它的前n项和是
Sn= a1+a2+a3+．．．+an
由等比数列的通项公式,上式可以写成
Sn= a1+a1q + a1q2 +．．．+a1qn-1 ①
式两边同乘以公比q 得
qSn= a1q+ a1q2 +．．．+a1qn-1+ a1qn ②
①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得
(1-q)Sn= a1－a1qn
　当ｑ≠１时，
　　　　　　　Sn= （q≠1）
又an =a1qn-1 所以上式也可写成
Sn=（q≠1）
推导出等比数列的前n项和公式，本节开头的问题就可以解决了
[相关问题]
①当q=1时，等比数列的前n项和公式为Sn=na1
公式可变形为Sn==（思考q>1和q<1时分别使用哪个方便）
如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个
[例题分析]
例1 求下列等比数列前8项的和:
(1),,,．．．；
(2) a1=27, a9=,q<0
评注:第(2)题已知a1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得公比q,题设中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q既可以为正数,又可以为负数.
某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)
评注:先根据等比数列的前n项和公式列方程,再用对数的知识解方程
[随堂练习]第1.2.3题
[课堂小结]
等比数列的前n项和公式中要求q≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子
如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个
(五)评价设计
(1)课后阅读: [阅读与思考]
(2)课后作业: 1,2,4题
PAGE
2基本不等式
第一课时
（1）教学目标
(a)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释
(b)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质
(c)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力
（2）教学重点、难点
教学重点：两个不等式的证明和区别
教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵
（3）学法与教学用具
先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案
直角板、圆规、投影仪（多媒体教室）
（4）教学设想
1、设置情境
(投影出图3.4-1)同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗
提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？
生答：，
提问2：那4个直角三角形的面积和呢？
生答：
提问3：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，。什么时候这两部分面积相等呢？
生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有
2、新课讲授
（1）（板书）一般地，对于任意实数 、，我们有，当且仅当时，等号成立。
提问4：你能给出它的证明吗？
(学生尝试证明后口答,老师板书)
证明:
所以
注意强调 当且仅当时,
(2)特别地,如果,也可写成
,引导学生利用不等式的性质推导
(板书,请学生上台板演):
要证: ①
即证 ②
要证②,只要证 ③
要证③,只要证 ( - ) ④
显然, ④是成立的,当且仅当时, ④的等号成立
(3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释
(4)变式练习：
已知
如果积
如果和
课堂练习
课本第113页练习第1题
归纳总结
比较两个重要不等式的联系和区别
（5）评价设计
课本习题3.4第1题
思考题：若
PAGE
2简单的线性规划问题
第三课时
（1）教学目标
知识和技能：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、
最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值
(b)过程与方法：本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性
(c)情感与价值：渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣
（2）教学重点、教学难点
教学重点：线性规划的图解法
教学难点：寻求线性规划问题的最优解
（3）学法与教学用具
通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模的思想；学生要学会用“数形结合”的方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系
直角板、投影仪，计算机辅助教材
（4）教学设想
设置情境
师：在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如教材第98页所例（投影）
（板书）设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可的二元一次不等式组：
※ 将上述不等式组表示成平面上的区域，如图3.3-9中阴影部分的整点。
新课讲授
（1）尝试
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
设生产甲产品x乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：
当x、y满足不等式※并且为非负整数时，z的最大值是多少？
变形——把，这是斜率为；当z变化时，可以得到一组互相平行的直线；的平面区域内有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经点P时截距最大
平移——通过平移找到满足上述条件的直线
表述——找到给M（4，2）后，求出对应的截距及z的值
（2）概念引入
（学生阅读并填空）
若，式中变量x、y满足上面不等式组，则不等式组叫做变量x、y的约束条件 ，叫做目标函数；又因为这里的是关于变量x、y的一次解析式，所以又称为线性目标函数。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；其中使目标函数取得最大值的可行解（4，2）叫做最优解，
（3）变式
若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润？
（4）例1、设，式中变量x、y满足下列条件，求z的最大值和最小值
指出线性约束条件和线性目标函数
画出可行域的图形
平移直线，在可行域内找到最优解
（5）提问：由此看出，你能找出最优解和可行域之间的关系吗？
课堂练习
课本第103页练习第1题
4、归纳总结
了解线性规划问题的有关概念，掌握线性规划问题的图解法，懂得寻求实际问题的最优解
（5）评价设计
1、课本第105页习题3.3第1、2题
2、思考题：若将例1中的z的目标函数改为,求z的最大值和最小值
PAGE
21．1．3解三角形的进一步讨论
（一）教学目标
1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
（二）教学重、难点
重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
（三）学法与教学用具
学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。
教学用具：教学多媒体设备
（四）教学设想
[创设情景]
思考：在ABC中，已知，，，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
[探索研究]
例1．在ABC中，已知，讨论三角形解的情况
分析：先由可进一步求出B；
则
从而
1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果≥，那么只有一解；
如果，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若，则有两解；
（2）若，则只有一解；
（3）若，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3））
例2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
（注意：）
解：，即，
∴。
[随堂练习2]
（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。
（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。
（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）
例3．在ABC中，，，面积为，求的值
分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理
解：由得，
则=3，即，
从而
[随堂练习3]
（1）在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角C
（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，求角C
（答案：（1）或；（2））
[课堂小结]
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。
（五）评价设计（课时作业）
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3）在ABC中，，，，判断ABC的形状。
（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，
求这个三角形的面积。
PAGE
102．4等比数列
（一）教学目标
1`．知识与技能：理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式；理解这种数列的模型应用．
２．过程与方法：通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义，通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式．
３．情态与价值：培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力．
（二）教学重、难点
重点：等比数列的定义和通项公式
难点：等比数列与指数函数的关系
（三）学法与教学用具
学法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式。
教学用具：投影仪
（四）教学设想
[创设情景] 分析书上的四个例子，各写出一个数列来表示
[探索研究]
四个数列分别是①1, 2, 4, 8, …
②1,，，，…
③1,20 ,202 ,203 ,…
④10000×1.0198,10000×1.01982,10000×1.01983 10000×1.01984,10000×1.01985
观察四个数列:
对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2
对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的比都等于
对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的比都等于20
对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的比都等于1.0198
可知这些数列的共同特点:从第2项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数.
于是得到等比数列的定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0)
因此,以上四个数列均是等比数列,公比分别是2，,20,1.0198.
与等差中项类似,如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等差中项,这时,a,b一定同号,G2=ab
在归纳等比数列公式时,让学生先回忆等差数列通项公式的归纳,类比这个过程,归纳如下:a2=a1q
a3=a2q=(a1q)q=a1q2
a4=a3q=(a1q2)q=a1q3
… …
可得 an=a1qn-1
上式可整理为an=qn而y= qx（q≠1）是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积,从图象上看,表示数列 {qn }中的各项的点是函数 y= qx 的图象上的孤立点
[注意几点]
不要把an错误地写成an=a1qn
对于公比q,要强调它是“从第2项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的次序颠倒
公比q是任意常数,可正可负
首项和公比均不为0
[例题分析]
某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)
评注:要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出数学模型;通项公式反映了数列的本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式an=a1qn-1
根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗
评注:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,是一个常数就行了
一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.
评注:帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系
已知{a}{bn}是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什么结论 证明你的结论.
评注:两个等比数列的积仍然是等比数列
[随堂练习]第1、2、3题
[课堂小结]
首项和公比都不为0
分别从定义、通项公式、相应图象的角度类比等差数列和等比数列
（五）评价设计
（1）课后思考：课本 [探究]
（2）课后作业：第1、2、6题
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2课题: 1．1．2余弦定理
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重、难点】
重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
【教学过程】
[创设情景] C
如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求边c b a
A c B
(图1．1-4)
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1．1-5，设，，，那么，则
C B
从而 (图1．1-5)
同理可证
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
【典例分析】
例1．在ABC中，已知，，，求b及A
⑴解：∵
=cos
=
=
∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos
∴
解法二：∵sin
又∵＞
＜
∴＜，即＜＜
∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
【变式训练1】
．在△ABC中，若，则
解：
例2．在ABC中，已知，，，解三角形
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）
例3. 例2.在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。
求角C的度数；
求的长；
（3）求△ABC的面积。
解：(1)
（2）因为，是方程的两根，所以
（3）
评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。
【变式训练2】
在△ABC中，，求。
解：
，而
所以
【课堂演练】
1．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
解： 设中间角为，则为所求
答案：B
2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形
解：长为6的边所对角最大，设它为， 则
答案：A
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
解：设顶角为C，因为，
由余弦定理得：
答案：D
4.在中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则角B的值为（ ）
A. B. C.或 D. 或
解：由得即
,又B为△ABC的内角，所以B为或
答案：D
5．在△ABC中，若，则最大角的余弦是（ ）
A． B． C． D．
解： ，为最大角，
答案：C
6. 在中，，则三角形为（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
解：由余弦定理可将原等式化为
答案：C
[课堂小结]
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。
§1．1．2余弦定理
【课前学案】
【预习达标】
在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，
1.在ΔABC中过A做AD垂直BC于D，则AD=b ,DC=b ,BD=a .由勾股定理得c2= = = ；同理得a2= ；b2= 。
2．cosA= ；cosB= ；cosC= 。
【典例解析】
在三角形ABC中，已知a=3,b=2,c=,求此三角形的其他边、角的大小及其面积（精确到0.1）
例2　三角形ABC的顶点为A（6，5），B（-2，8）和C（4，1），求∠A（精确到0.1）
例3已知的周长为，且．
（I）求边的长；
（II）若的面积为，求角的度数．
【双基达标】
1. 已知a,b,c是三边之长，若满足等式(a＋b－c) (a＋b+c)=ab,则角C大小为（ ）
A. 60o B. 90o C. 120o D.150o
2．已知的三边分别为2，3，4，则此三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3．已知，求证：
（1）如果=，则∠C为直角；
（2）如果>，则∠C为锐角；
（3）如果<，则∠C为钝角.
4．已知a:b:c=3:4:5,试判断三角形的形状。
5．在△ABC中，已知，求△ABC的面积
6．在,求
（1）
（2）若点
【典例解析】
例1（见教材）
例2（见教材）
例3解：（I）由题意及正弦定理，得，
，
两式相减，得．
（II）由的面积，得
由余弦定理，得
　　，所以．
【课堂演练】
1．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4.在中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则角B的值为（ ）
A. B. C.或 D. 或
5．在△ABC中，若，则最大角的余弦是（ ）
A． B． C． D．
6. 在中，，则三角形为（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【课后训练题】
1．在△ABC中，若，则其面积等于（ ）
A． B． C． D．
2. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、，则的取值范围是 ．
3．在△ABC中，若，则
4．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能组成（ ）三角形。
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.等腰
5.△ABC中，若a4+b4+c4=2(a2+b2)c2 则∠C的度数（ ）
A、600 B、450或1350 C、1200 D、300
6.设a,a+1,a+2是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 ( )
A. B. C. D.47. △ABC中，a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若<0,则△ABC （ ）
8.在△ABC中，a=1,B=450,,则△ABC的外接圆的直径是 .
9.在△ABC中,,则角A= .
三．解答题
10. 在四边形ABCD中，四个角A、B、C、D的度数的比为3:7:4:10，求AB的长。
11.在△ABC中，bcosA＝acosB，试判断三角形的形状.
12.在中，角所对的边分别为，且满足， ．
（I）求的面积； （II）若，求的值．
课题: §1．1．2余弦定理应用
授课类型：习题课
【教学目标】
掌握余弦定理的推导过程，熟悉余弦定理的变形用法。
较熟练应用余弦定理及其变式，会解三角形，判断三角形的形状。
【教学重、难点】
重点：熟练应用余弦定理。
难点：解三角形，判断三角形的形状。
【教学过程】
【知识梳理】
1．余弦定理：
(1)形式一：，，
形式二：，，，（角到边的转换）
2.解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
3.三角形ABC中
4.解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
【典例应用】
题型一 根据三角形的三边关系求角
例1．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(＋1)∶(－1)∶，求最大角.
解：∵＝＝＝k
∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(+1)∶(－1)∶
设a＝(＋1)k，b＝(－1)k，c＝k (k＞0)
则最大角为C.cosC＝
＝ eq \f((＋1)2＋(－1)2－2,2×(＋1) (－1)) ＝－
∴C＝120°.
评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角C最大。
[变式训练1]
在△ABC中，若则 ( )
A． B． C． D．
解：
答案：B
题型二：题型二 已知三角形的两边及夹角解三角形
例2.在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。
求角C的度数；
求的长；
（3）求△ABC的面积。
评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。
[变式训练]
1在△ABC中，
2. 钝角△ABC的三边长为连续的自然数，求三边的长。
题型三：判断三角形的形状
例3.在中，若，试判断的形状.
解：方法一：
由正弦定理和已知条件得：，
∵，∴，即，
∵B、C为的内角，∴，
故为直角三角形.
方法二：
原等式变形为：，
即：，
由余弦定理得：
故为直角三角形.
评述：判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。
[变式训练2]
1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
解：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.
答案：C
2. 在中，，则三角形为（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
解：由余弦定理可将原等式化为
答案：C
[典例训练]
1．在△ABC中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．若为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，则底边长为（ ）
A． B． C． D．
5．在△中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
7.在△ABC中，若则△ABC的形状是什么？
8．在△ABC中，求证：
9．在△ABC中，设求的值。
10．已知三角形的两边和为4，其夹角60°，求三角形的周长最小值。
[课堂小节]：熟练应用余弦定理解三角形，判断三角形的形状。
[课下作业]：[典例训练]部分的5、7、10
: §1．1．2余弦定理应用
[课前学案]
[课前回顾]
1.∠A=60°，∠B=30°，a=3, 则b= ,c= ,∠C=
2.∠A=45°，∠B=75°，b=8, 则a= ,c= ,∠C= .
3.在ABC中，sin2A+sin2B=sin2C ,则ABC是 。
4．在ABC中，acosA=bcosB ,则ABC是 。
5.在ABC中，s ,则ABC是 。
6. 在ABC中，a2+b2=c2,则ABC是 三角形。
7.在ABC中，a2+b2>c2, a2+c2>b2 c2+b2>a2则ABC是 三角形。
8. 在ABC中，a2+b29. 在ABC中，a∶b∶c=5∶12∶13则ABC是 三角形。
10. 在ABC中，,则∠A= 。
11．a=4,b=3,∠C=60°,则 c= .
12.a=2,b=4,c=3,则∠B= 。
13．在ABC中，b=4,c=3,BC边上的中线, 则∠A= ，a= ,
S＝ 。
[达标演练]
1．在中，，，，则此三角形的最大边的长为__________．
2．在中，，，，则_________，________．
3．在中，已知，，，则___________．
4．在中，，，，则的面积是（　　）
A．　　　　　B．　　　　 C．　　　 　D．
5．在中，若，则的值为（　　）
A．　　 　　B． 　　　　 C．　　　 D．
6．在中，若，则这个三角形中角的值是（　　）
A．或　　　B．或　　　C．或　　　D．或
7．在中，“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件　B．必要不充分条件C．充要条件　D．既不充分也不必要条件
8．在中，角、、所对的边分别为、、，则的值为（　　）
A．　　　　 B． 　 C． D．
9已知两线段，，若以、为边作三角形，则边所对的角的取值范围（）
A． 　　 B． 　 C． D．
10．在中，，若此三角形最大边与最小边之比为，则最大内角（）
A． B． C． D．
11．在中，角、的对边分别为、，且，则的取值范围是（　　）
A． B． 　 C．　　 D．
12．（1）在中，已知，，，求及、的值；
（2）在中，已知，，，解此三角形．
13.(文科做) （07山东文17）在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，且，求．
: §1．1．2余弦定理应用
[课后训练题]
1. 在中，若（a-c cosB）sinB=（b-c cosA）sinA, 则这个三角形是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰或直角三角形
2.设a，a+1，a+2为锐角三角形的三边长，则a的取值范围是（ ）
A. 43. 在ΔABC中，已知 ，则角A为（ ）
A B C D 或
4．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范
围是（ ）
A．（1，2） B．（2，+∞） C．[3，+∞ D．（3，+∞）
5.中，，BC=3，则的周长为 （ ）
A． B．
C． D．
6．在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=,a=,b=1，则c=
(A)1 (B)2 () －1 (D)
7.已知的三边分别为a，b，c，且＝，那么角C＝ .
8.在中，若，AB=5，BC=7，则AC=__________
9。已知ΔABC的顶点为A（2，3），B（3，-2）和C（0，0）。求（1）∠ACB；（2）AB；（3）∠CAB；（4）∠ABC。
10． 在中，已知＝,且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C.
试确定的形状.
11．在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C ，a+c=2b，求此三角形的三边之比。
12． 在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值
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