高中数学选修2-1人教A：全册〖精品〗教案+导学案（48份）

曲线与方程
课前预习学案
一、预习目标
在理解和掌握两种圆锥曲线（双曲线只要求理解）的定义和标准方程的基础上，能熟练的解决直线和圆锥曲线的位置关系的一些问题。
二、预习内容
１.过点（２，４）作直线与抛物线＝８ｘ只有一个公共点，这样的直线有（　　）
Ａ．一条　Ｂ．两条　Ｃ．三条　Ｄ．四条
２.双曲线＝１的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点）则直线ＰＦ的斜率的变化范围是 ( )
Ａ．(∞，0) B. （1，＋∞）
C.（－∞，0）∪（1，＋∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
3.直线y=kx+1与焦点在ｘ轴上的椭圆＝1恒有公共点，则m的取值范围是
A. （０，１） B.　（０，５） C. ［１，＋∞） D. ［１，５）
答案：BCA
课堂探究学案
【学习目标】
1.根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤.
2.会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程.
3.会判断曲线和方程的关系.
【学习重难点】
学习重点：求曲线方程的步骤：
（1）依据题目特点，恰当选择坐标系；
（2）用M（x,y)表示所求曲线上任意一点的坐标；
（3）用坐标表示条件，列出方程F(x,y)=0；
（4）化方程F(x,y)=0为最简形式；
（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
学习难点：依据题目特点，恰当选择坐标系及考查曲线方程的点的纯粹性、完备性.
【学习过程】
复习回顾
我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.
新课学习
1．解析几何与坐标法：
我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.
2. 平面解析几何研究的主要问题：
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
（2）通过方程，研究平面曲线的性质.
说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.
3. 典型例题
例1．设两点的坐标是A（-1，2）、B（3，-4），求线段AB的垂直平分线的方程．
变式训练：
证明到两定点A、B的距离是8，求到两定点距离平方和是50的动点的轨迹方程。
注：
用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x，y)=0．证明中分两个步骤：第一步，设M(x0，y0)是曲线C上任一点，证明(x0，y0)是f(x，y)=0的解；第二步，设(x0，y0)是f(x，y)=0的解，证明点M(x0，y0)在曲线C上．
小结
曲线C和二元方程f(x，y)=0应具备以下两个条件：1．若P(x0，y0)∈C，
则f(x0，0)=0成立；2．若f(x0，y0)=0，则P(x0，y0)∈C
用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x，y)=0．证明中分两个步骤：第一步，设M(x0，y0)是曲线C上任一点，证明(x0，y0)是f(x，y)=0的解；第二步，设(x0，y0)是f(x，y)=0的解，证明点M(x0，y0)在曲线C
课后练习与提高
1．已知点、，动点，则点P的轨迹是（ ）
圆 椭圆 双曲线 抛物线
2．已知椭圆的两个焦点分别是F1，F2，P是这个椭圆上的一个动点，延长F1P到Q，使得｜PQ｜＝｜F2P｜，求Q的轨迹方程是 .
答案：1. D 2.
⒊在△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=－2，且△PMN的面积为1，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点，且过点P的椭圆的方程. (方程为+=1)
4、如下图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程.( PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1（x≠0）)
曲线与方程
【教学目标】
1.根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤.
2.会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程.
3.会判断曲线和方程的关系.
【教学重难点】
教学重点：求曲线方程的步骤：
（1）依据题目特点，恰当选择坐标系；
（2）用M（x,y)表示所求曲线上任意一点的坐标；
（3）用坐标表示条件，列出方程F(x,y)=0；
（4）化方程F(x,y)=0为最简形式；
（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
教学难点：依据题目特点，恰当选择坐标系及考查曲线方程的点的纯粹性、完备性.
【教学过程】
复习回顾：
师：上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法.
讲授新课
1．解析几何与坐标法：
我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.
2．平面解析几何研究的主要问题：
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
（2）通过方程，研究平面曲线的性质.
说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.
3. 典型例题
例1．设两点的坐标是A（-1，2）、B（3，-4），求线段AB的垂直平分线的方程．
首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．
解：(1)易求线段AB的中点坐标为（1，-1），由斜率关系可求得l的斜率为,所以直线的方程为 这说明点的坐标是方程的解．
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．设点M (m,n)的坐标是方程①的任意一解，M到A、B的距离分别为
，综合（1）、（2），①是所求直线的方程．
变式训练： 证明到两定点A、B的距离是8，求到两定点距离平方和是50的动点的轨迹方程。
证明：1．建立合适的坐标系以AB所在的线段为X轴，中点为原点做y轴，则A的坐标为（-4，0）；B的坐标为（4，0）
设M(x,y)是圆上任意一点．由题意得：
2．设(x0，y0)是方程x2+y2=9的解，那么x02+y02=9．若M为(x0，y0)对应的点，
这说明点M在曲线上，即方程的解为坐标的点在曲线上。　由1、2可知，x2+y2=9是以坐标原点为圆心，半径等于3的圆的方程．
注：
用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x，y)=0．证明中分两个步骤：第一步，设M(x0，y0)是曲线C上任一点，证明(x0，y0)是f(x，y)=0的解；第二步，设(x0，y0)是f(x，y)=0的解，证明点M(x0，y0)在曲线C上．
三．小结：曲线C和二元方程f(x，y)=0应具备以下两个条件：1．若P(x0，y0)∈C，则f(x0，y0)=0成立；2．若f(x0，y0)=0，则P(x0，y0)∈C
用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x，y)=0．证明中分两个步骤：第一步，设M(x0，y0)是曲线C上任一点，证明(x0，y0)是f(x，y)=0的解；第二步，设(x0，y0)是f(x，y)=0的解，证明点M(x0，y0)在曲线C
四.作业：课后习题1. 4.2含有一个量词的命题的否定
课前预习学案
一、预习目标
归纳总结出含有一个量词的命题的含义与它们的否定在形式上的变化规律。
（2）根据全称量词和存在量词的含义，用简洁、自然的语言表叙含有一个量词的命题的否定
二、预习内容
1、明确命题的构成
我们现在所涉及的命题一般由四部分组成：一是被判断对象；二是被判断对象的结果(或性质)；三是修饰被判断对象的量词，分为两类：一类是————，一般常用“一切”、“所有”、“每一个”、“任意一个”等词语表达，另一类是————，一般常用“有些”、“存在”、“至少有一个”等词语表达；四是“判断词”，是联系被判断对象与结果(或性质)的肯定词或否定词，肯定词常用“是”、“有”等表示，否定词常用“不是”、“没有”等表示．如命题“至少有一个质数不是奇数”中，“质数”为被判断对象，“奇数”为结果(或性质)，“至少有一个”为量词，“不是”为否定词．
2﹑掌握常见的关键词(量词与判断词)的否定形式
正面词语 等于 大于 小于 是 都是 能
否定词语
正面词语 任意的 所有的 至多一个 至少一个 至多有n个 至少有n个
否定词语
说明：写命题p的否定形式，不能一概在关键词前加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”等即可.如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改在“不是”， 将“不是”改成“是”等，而是要分清命题是全称命题，还是特称命题.
注：全称命题“”的否定为特称命题“”
特称命题“”的否定为全称命题“”
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容




课内探究学案
一、学习目标
1．通过生活和数学中的实例，理解对含有一个量词的命题的否定的意义；
　　2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定；
　　3．进一步提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力；
　　4．培养对立统一的辩证思想
二、学习过程
探究一：1、全称命题的否定
1．(2007年山东高考文理科)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1＞0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0
探究二：特称命题的否定
3．(2007年海南省调研文理科)已知特称命题p：x∈R，2x＋1≤0，则命题P的否定是 （ ）
A．x∈R，2x＋1＞0 B．x∈R，2x＋1＞0
C．x∈R，2x＋1≥0 D．x∈R，2x＋1≥0
（三）反思总结
1、书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手，书写命题的否定
2．书写命题的否定时，一定要注重理解数学符号的意义
3．由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．
(四)当堂检测
写出下列全称命题与特称的否定
　　⑴p：所有能被3整除的整数都是奇数；
　　⑵p：每一个四边形的四个顶点共圆；
　　⑶p：对任意 ， 的个位数字不等于3。
（4）p：有的三角形是等边三角形；
　（5）p：有一个素数含有三个正因子
（五）课后练习与提高
1．命题p：“有一个二次函数的图象与y轴不相交”的否定是（ ）
A．有一个二次函数的图象与y轴相交 B．任意一个二次函数的图象与y轴相交
C．任意一个二次函数的图象与y轴不相交 D．存在一个二次函数的图象与y轴
2．命题“原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称”的否定是( )
A.原函数与反函数的图象关于直线y＝－x对称
B.原函数不与反函数的图象关于直线y＝x对称
C.存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y＝x对称
D.存在原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称
1.4.2含有一个量词的命题的否定教案
一、教材分析
《简易逻辑》列入高中学习内容以后，不少学生对逻辑联结词非p，即命题p的否定的理解存在一些误区．而对含有一个量词的命题的否定又是全称量词与存在量词的重点内容，也是新课标高考的一个亮点.下面就含有一个量词的命题的否定进行精析.
二、教学目标
1．通过生活和数学中的实例，理解对含有一个量词的命题的否定的意义；
　　2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定；
　　3．进一步提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力；
　　4．培养对立统一的辩证思想
三、教学重点难点
教学重点：
通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定。
教学难点：
正确地对含有一个量词的命题进行否定。
四、学情分析
学生已学过初中和高中必修①～⑤的全部内容，已拥有了基本的模块知识和数学框架，对用数学符号表示数学命题并不陌生，课本中许多数学也来自生活，对纯数学命题和生活中数学命题有一定的经验，这些都是学生进一步学习的基础，一些常见的数学思想如转化，形式化思想在各个模块中也有所渗透，这些都为学习全称量词与特称量词提供了有利的保障和支撑.
概念的形成过程应该是一个归纳、概括的过程，是一个由特殊到一般，由具体到抽象的过程．教师应该充分认识到，学生知识结构的改变不仅是要教师讲、教师引导，还需要学生的亲身体验，亲自参与，与同伴交流.
学生在学习数学符号的过程中会存在一定的困难,这些困难的客观因素在于数学符号的高度抽象性、概括性和复杂行，要把具体的数学命题、生活中的数学命题的共性特征抽象出来，用数学的符号语言统一的概括描述它们的共性特征,对学生比较困难.主观因素在于三个方面：①思维定势的影响，全称命题“”中，变量和含有变量的命题受函数概念的影响而不能正确理解全称命题；②理解数学符号表述含义的困难，这些困难不仅是对量词概念的理解，还包括命题中所含的其他数学符号的含义。教师引导学生辨析很有必要．教师引导学生获得对问题本质的认识是一个具有挑战性的教学活动．所以企图在一节课中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的.只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用活动逐步深刻理解并运用它们. 教学中，教师要采取适当的方法，注意启发引导，不要以自己的想法代替学生的想法，把全称命题特称命题的定义告诉学生．注意引导学生积极参与概念形成的关节点处的讨论、交流等活动,引导学生总结判断全称命题与特称命题的思想方法.不要简化概念发生过程的教学，而把中心放在练习强化上．要防止练习中知识的面太大而产生负迁移而影响理解概念的本质.
五、教学方法
探究法，学案导学
六、课前准备
（1）学生的学习准备；预习课本。
（2）教师的教学准备；教学设计，课件制作，学生的学习行为分析等；
（3）教学环境的设计与布置；多媒体教室；
（4）教学用具的设计和准备： 投影仪，黑板，及其相关教学软件.
七、课时安排：1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标。
（ⅰ）．课题引入（采用多媒体）
一、明确命题的构成
我们现在所涉及的命题一般由四部分组成：一是被判断对象；二是被判断对象的结果(或性质)；三是修饰被判断对象的量词，分为两类：一类是全称量词，一般常用“一切”、“所有”、“每一个”、“任意一个”等词语表达，另一类是特称量词，一般常用“有些”、“存在”、“至少有一个”等词语表达；四是“判断词”，是联系被判断对象与结果(或性质)的肯定词或否定词，肯定词常用“是”、“有”等表示，否定词常用“不是”、“没有”等表示．如命题“至少有一个质数不是奇数”中，“质数”为被判断对象，“奇数”为结果(或性质)，“至少有一个”为量词，“不是”为否定词．
二﹑掌握常见的关键词(量词与判断词)的否定形式
正面词语 等于 大于 小于 是 都是 能
否定词语 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 不能
正面词语 任意的 所有的 至多一个 至少一个 至多有n个 至少有n个
否定词语 某个 某些 至少有两个 一个也没有 至少有n＋1个 至多有n＋1个
说明：写命题p的否定形式，不能一概在关键词前加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”等即可.如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改在“不是”， 将“不是”改成“是”等，而是要分清命题是全称命题，还是特称命题.
注：全称命题“”的否定为特称命题“”
特称命题“”的否定为全称命题“
（三）合作探究、精讲点拨。
掌握两种基本题型
对全称命题和特称命题的否定，一般要对“量词”和“判断词”同时进行否定，全称与特称互为否定，肯定与否定互为否定．下面就全称命题与特称命题的否定以例作分析
探究一：1、全称命题的否定
例1命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1＞0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0
分析：本题是一道对全称命题的否定，因此否定时既要对全称量词“任意”否定，又为对判断词“≤”进行否定，全称量词“任意”的否定为存在量词“存在”等，判断词“≤”的否定为“＞”，所以命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1＞0”，故选C.
点拨：从本题的解答可以看出，对全称命题的否定，在否定判断词时，还要否定全称量词，变为特称命题.特别要注意的是，由于有的命题的全称量词往往可以省略不写，从而在作命题否定时易将全称命题只否定判断词，而不否定省略了的全称量词，如将命题p“实数的绝对值是正数”否定p 写成“实数的绝对值不是正数”这就错了．很显然，这里的“p”与“p ”都是假命题，与命题“p”和命题“p”之间的真值关系相矛盾．究其原因，命题p为全称命题，省略了量词“所有”，正确的否定形式是“存在一个实数的绝对值不是正数”．事实上由于实数是一个全称概念，命题p应为“实数的绝对值（都）是正数”故其否定形式亦可写成“实数的绝对值不都是正数”．
探究二：．特称命题的否定
例3(已知特称命题p：x∈R，2x＋1≤0，则命题P的否定是 （ ）
A．x∈R，2x＋1＞0 B．x∈R，2x＋1＞0
C．x∈R，2x＋1≥0 D．x∈R，2x＋1≥0
分析：本题是一道对特称命题的否定，因此否定时既要对存在量词“”否定，又为对判断词“≤”进行否定，存在量词“”的否定为全称量词“”等，判断词“≤”的否定为“＞”，所以命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“x∈R，2x＋1＞0”，故选B.
点拨：从本题的解答可以看出，对特称命题的否定，在否定判断词时，也要否定存在量词.如分析特称命题“有的三角形是直角三角形”的否定，是把判断词“是”，否定为“不是”，再把存在量词“有的”，否定为“所有的”，即为“所有的三角形是直角三角形”.
（四）反思总结，当堂检测。
写出下列全称命题与特称的否定
　　⑴p：所有能被3整除的整数都是奇数；
　　⑵p：每一个四边形的四个顶点共圆；
　　⑶p：对任意 ， 的个位数字不等于3。
（4）p：有的三角形是等边三角形；
　（5）p：有一个素数含有三个正因子
九：板书设计：
一、明确命题的构成
二﹑掌握常见的关键词(量词与判断词)的否定形式
三﹑掌握两种基本题型
十、教学反思
1．引导学生进行归纳总结，反思本节的知识要点：全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题。
2．帮助学生将所学新知尽快融入知识系统，帮助主动进行知识建构。，
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63. 1.3．空间向量的数量积
教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
教学过程
学生探究过程：
（一）复习：空间向量基本定理及其推论；
（二）新课讲解：
1．空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；
若，则称与互相垂直，记作：；
2．向量的模：
设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：；
3．向量的数量积：
已知向量，则叫做的数量积，记作，即．
已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影；可以证明的长度．
4．空间向量数量积的性质：
（1）．
（2）．
（3）．
5．空间向量数量积运算律：
（1）．
（2）（交换律）．
（3）（分配律）．
（三）例题分析：
例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。
已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且
求证：．
证明：在内作不与重合的任一直线，
在上取非零向量，∵相交，
∴向量不平行，由共面定理可知，存在
唯一有序实数对，使，
∴，又∵，
∴，∴，∴，
所以，直线垂直于平面内的任意一条直线，即得．
例2．已知空间四边形中，，，求证：．
证明：（法一）
．
（法二）选取一组基底，设，
∵，∴，即，
同理：，，
∴，
∴，∴，即．
说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。
例3．如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值。
解：∵，
∴
∴，
所以，与的夹角的余弦值为．
说明：由图形知向量的夹角时易出错，如易错写成，切记！
巩固练习
1、已知，，且与的夹角为，，，求当m为何值时
2、已知，，，则 。
3、已知和是非零向量，且==，求与的夹角
4、已知，，且和不共线，求使与的夹角是锐角时的取值范围
5、已知向量，向量与的夹角都是，且，
试求：（1）；（2）；（3）．
教学反思：空间向量数量积的概念和性质。
作业布置：课本第3、4题
3.1.3．空间向量的数量积
课前预习学案
预习目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
预习内容：1．空间向量的夹角及其表示----------------------------------------------------------------
2．向量的模----------------------------------------------------------------------------------
3. 向量的数量积：--------------------------------------------------------------------
4．空间向量数量积的性质
5．空间向量数量积运算律：
提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
学习目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
学习重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
学习过程：
例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。
例2．已知空间四边形中，，，求证：．
例3．如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值。
当堂检测
1、已知，，且与的夹角为，，，求当m为何值时
2、已知，，，则 。
课后练习与提高：
1、已知和是非零向量，且==，求与的夹角
2、已知，，且和不共线，求使与的夹角是锐角时的取值范围
3、已知向量，向量与的夹角都是，且，
试求：（1）；（2）；（3）．
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3§3.2　立体几何中的向量方法 (一)
——　平行与垂直关系的向量证法
知识点一　求平面的法向量
　已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．
解　∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
＝(1，－2，－4)，＝(1，－2，－4)，
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)．
依题意，应有n·= 0， n·? = 0.
即，解得.令y＝1，则x＝2.
∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．
【反思感悟】　用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：??是平面A1D1F的法向量.
证明 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 是平面A1D1F的法向量．
证明　
设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(1,0,0)，E，
＝. .D1＝(0,0,1)，
F，A1(1,0,1)．
＝，＝(－1,0,0)．
∵·＝·＝－＝0，
·＝0，∴⊥.又A1D1∩D1F＝D1，
∴AE⊥平面A1D1F，∴ 是平面A1D1F的法向量．
知识点二　利用向量方法证平行关系
　在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.
证明 方法一 ∵?=?，
∴ B
∴B1C∥A1D，又A1D?面ODC1，
∴B?1C∥面ODC1.
方法二 ∵? =? +?
=? +? +? +? =? +?.
∴?，?，?共面.
又B1C ?面ODC1，∴B1C∥面ODC1.
方法三　
建系如图，设正方体的棱长为1，则可得
B1(1,1,1)，C(0,1,0)，
O，C1(0,1,1)，
＝(－1,0，－1)，
＝，
＝.
设平面ODC1的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则　得
令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1,1，－1)．
又 ·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，
∴⊥n，∴B1C∥平面ODC1.
【反思感悟】　证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC1内找一向量与共线；二是说明能利用平面ODC1内的两不共线向量线性表示，三是证明与平面的法向量垂直．
　
如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝，EF＝2.
求证：AE∥平面DCF.
证明　如图所示，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C—xyz.
设AB＝a，BE＝b，CF＝c，
则C(0,0,0)，A(，0，a)，
B(，0,0)，E(，b,0)，F(0，c,0)．
＝(0，b，－a)， ＝(，0,0)，
＝(0，b,0)，
所以?·? = 0，?·? = 0，从而CB⊥AE，CB⊥BE.
所以CB⊥平面ABE.因为CB⊥平面DCF，
所以平面ABE∥平面DCF.故AE∥平面DCF.
知识点三　利用向量方法证明垂直关系
　在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.
解　
建立空间直角坐标系D—xyz，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，F(1,2,0)，D1(0,0,2)，B1(2,2,2)．
设M（2，2，m），则? =（1，1，0），?=（0， 1， 2），
? =（2，2，m2）.
∵ ⊥平面EFB1，
∴ ⊥EF，⊥B1E，
∴?·? = 0且?·? = 0，
于是
∴m＝1，
故取B1B的中点为M就能满足D1M⊥平面EFB1.
【反思感悟】　证明直线与平面垂直有两种方法：(1)用直线与平面垂直的判定定理；(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行．
　在正三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C⊥A1B.
求证：AC1⊥A1B.
证明　建立空间直角坐标系C1—xyz，
设AB＝a，CC1＝b.
则A1，B(0，a，b)，B1(0，a,0)，C(0,0，b)，A，
C1(0,0,0)．
于是? =? =（0， a，b），
＝.
∵B1C⊥A1B，∴ ·＝ －＋b2＝0,
而·＝a2－a2－b2＝－b2＝0
∴ ⊥
即AC1⊥A1B.
课堂小结：
1．用待定系数法求平面法向量的步骤：
(1)建立适当的坐标系．
(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)．
(3)求出平面内两个不共线向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．
(4)根据法向量定义建立方程组.
(5)解方程组，取其中一解，即得平面的法向量.
2．平行关系的常用证法
＝λ.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行．
3．垂直关系的常用证法
要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．
要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．
要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1. 已知A（3，5，2），B（-1，2，1），把按向量a＝(2,1,1)平移后所得的向量是(　　)
A．(－4，－3,0) B．(－4，－3，－1)
C．(－2，－1,0) D．(－2，－2,0)
答案　B
＝(－4，－3，－1)．平移后向量的模和方向是不改变的．
2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不能确定
答案　C
解析　∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，
∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．
3．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为(　　)
A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17)
C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)
答案　B
解析 ，设B（x，y，z），?=（x2，y+1，z7）
=λ（8，9， 12），λ>0.
故x2=8λ,y+1=9λ,z7=12λ，
又（x22+（y+12+（z72 = 342，
得（17λ）2 = 342，∵λ>0,∴λ=2.
∴x = 18,y = 17,z =17,
即B（18，17， 17）.
4．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　)
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
答案　D
解析　∵l1∥l2，∴a∥b，
则有＝＝，
解方程得x＝6，y＝.
5．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则(　　)
A．l∥α B．l⊥α
C．l?α D．l与α斜交
答案　B
解析　∵u＝－2a，
∴a∥u，∴l⊥α.
二、填空题
6．已知A(1,1，－1)，B(2,3,1)，则直线AB的模为1的方向向量是________________．
答案　或
解析，? =（1，2，2），| | = 3 .
模为1的方向向量是±,
7．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,1,1)是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________．
答案　x＋y＋z＝0
解析 ·e=（x，y，z）·（1，1，1）= x+y+z = 0.
8．若直线a和b是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2，－3，－2)，则直线a和b的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________．
答案　(1,4，－5)(答案不唯一)
解析　设直线a和b的公垂线的一个方向向量为n＝(x，y，z)，a与b的方向向量分别为n1，n2，由题意得即：
解之得：y＝4x，z＝－5x，令x＝1，
则有n＝(1,4，－5)．
三、解答题
9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
证明　如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，
则有D(0,0,0)、A(2,0,0)，
C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，
F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以? =（0，2，1），
? =（2，0，0），? =（0，2，1）.
（1）设n1=（x1 , y1 , z1）是平面ADE的法向量,
则n1 ⊥ ?， n1⊥?，
即 得
令z1＝2，则y1＝－1，
所以n1＝(0，－1,2)．
因为 ·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.
又因为FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
（2）∵? =（2，0，0），
设n2 = (x2 , y2 , z 2)是平面B1C1F的一个法向量.
由n2⊥?,n2⊥,得
得
得
令z2＝2得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
10.
如图所示，在棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′中，AP＝BQ＝b (0(1)证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
(2)证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；
(3)若b＝，求D′E与平面PQEF所成角的正弦值．
解　以D为原点，射线DA、DC、DD′分别为x、y、z轴的正半轴建立如图(2)所示的空间直角坐标系D—xyz，由已知得DF＝1－b，故A(1,0,0)，A′(1,0,1)，D(0,0,0)，
D′(0,0,1)，P(1,0，b)，Q(1,1，b)，E(1－b,1,0)，F(1－b,0,0)，G(b,1,1)，H(b,0,1)．
(1)，证明 在所建立的坐标系中,可得? = (0,1,0),
? = ( b , 0, b),? = (b 1,0,1 b),
? = ( 1,0,1),? = ( 1,0, 1),
因为?· = 0，?·?= 0，
所以?是平面PQEF的法向量.
因为?·? = 0，?· =0，
所以?是平面PQGH的法向量.
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.
(2)证明，因为= (0, 1,0),
所以?∥, | | = ||,
又⊥,所以四边形PQEF为矩形,
同理四边形PQGH为矩形.
在所建立的坐标系中可求得|| = (1-b), || = b, 所以|| + || =,又|| = 1,
所以截面PQEF和截面PQGH的面积之和为,是定值.
(3)解　由(1)知＝(－1,0,1)是平面PQEF的法向量．
由P为AA′的中点可知，Q、E、F分别为BB′、BC、AD的中点．
所以E（ ，1，0,），＝，因此D′E与平面PQEF所成角的正弦值等于|cos〈,> ＝.
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1§3．1.5 空间向量运算的坐标表示
知识点一 空间向量的坐标运算
设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
解 (1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以＝＝，解得k＝－.
(2)因为(ka＋b)⊥(a－3b)，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.
【反思感悟】 以下两个充要条件在解题中经常使用，要熟练掌握．若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a∥b x1＝λx2且y1＝λy2，且z1＝λz2(λ∈R)；a⊥b x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：
(1)线段AB的中点坐标和长度；
(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．
解 （1）设M是线段AB的中点，则＝(＝(＋)＝(2，，3)，所以线段AB的中点坐标是(2，，3)．
|AB|＝＝.
(2)点P(x，y，z)到A，B两点距离相等，则
＝，
化简，得4x＋6y－8z＋7＝0.即到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件是4x＋6y－8z＋7＝0.
知识点二证明线面的平行、垂直
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，
求证：D1F⊥平面ADE.
证明, 不妨设已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D（0，0，0），A（2，0，0），E（2，2，1），?F（0，1，0），?D?1（0，0，2），所以? ＝(－2,0,0)，＝(0,1，－2)，·＝0＋0＋0＝0，所以D1F⊥AD.又＝(0,2,1)，所以、＝0＋2－2＝0，所以D1F⊥AE.又AD∩AE＝A，所以D1F⊥平面ADE.
【反思感悟】本例中坐标系的选取具有一般性，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负数，且易确定，在今后会常用到．
已知A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(8,1,8)，D(4,9,6)，求证：四边形ABCD为平行四边形．
证明 设O为坐标原点，依题意 =（-2，3，1），?=（2，-5，3），
∴?=? = (2, 5,3) (2,3,1) = (4, 8 , 2).
同理可得?= (4,8,2),? = (6,6,5),?= (6,6,5).
由? =?，? =?，可知?∥，?∥?，
所以四边形ABCD是平行四边形.
知识点三 向量坐标的应用
棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O1、O2、O3分别是平面A1B1C1D1、平面BB1C1C、平面ABCD的中心．
(1)求证：B1O3⊥PA；
(2)求异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值；
(3)求PO2的长．
(1)证明 以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
则B1(1,1,1)，O3( ， ,0)，P(0,0，)，A(1,0,0)，
＝(－，－，－1)，＝(－，－，－1)，＝(1,0，－)，
∴·＝－＋0＋＝0，
即 ⊥
∴B1O3⊥PA.
(2)解 ∵O1(，，1)，O2(，1，)，
则? =（0，，）.
又∵? =（ ，，），
∴?cos〈，?〉=
＝
＝，
∴异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值为.
(3)∵P(0,0，)，O2(，1，)，
＝(，1,0)．
∴||＝＝.
【反思感悟】　在特殊的几何体中建立空间直角坐标系，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
　直三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，N是AA1的中点．
(1)求BN的长；
(2)求BA1，B1C所成角的余弦值．
解　以C为原点建立空间直角坐标系，则
(1)B(0,1,0)，N(1,0,1)，
∴BN＝
＝.
(2)A1(1,0,2)，C(0,0,0)，
B1(0,1,2)．
∴＝(1，－1,2)，＝(1，－1,2)，＝(0，－1，－2)，
·＝1－4＝－3，||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝
＝＝－.∴BA1，B1C所成角的余弦值为.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．已知点A(x1，y1，z1)，则点A关于xOz平面的对称点A′的坐标为(　　)
A．(－x1，－y1，－z1) B．(－x1，y1，z1)
C．(x1，－y1，z1) D．(x1，y1，－z1)
答案　C
解析　点A与A′关于xOz平面对称，即AA′⊥平面xOz.且A、A′到面xOz的距离相等，所以A与A′的x，z的值相同，y的值互为相反数．
2．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　)
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
答案　B
解析　∵b＝x－2a，∴x＝4a＋2b＝(0,6，－20)．
3．已知a＝(sinθ，cosθ，tanθ)，b＝(cosθ，sinθ，)，有a⊥b，则θ等于(　　)
A．－ B.
C．2kπ－ (k∈Z) D．kπ－ (k∈Z)
答案　D
解析　a·b＝2sinθcosθ＋1＝sin2θ＋1＝0，
2θ＝2kπ－，θ＝kπ－.
4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，cos〈a，b〉＝，则λ为(　　)
A．2 B．－2
C．－2或 D．2或－
答案　C
解析　由cos〈a，b〉＝＝＝，
化得55λ2＋108λ－4＝0，由此可解得λ＝－2或λ＝.
5．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　)
A．90° B．60° C．30° D．0°
答案　A
解析　∵|a|＝|b|＝，
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
二、填空题
6．模等于2且方向与向量a＝(1,2,3)相同的向量为________________．
答案　(，2，3)
解析　设b＝λa (λ>0)．
则λ2＋4λ2＋9λ2＝28，λ2＝2，故λ＝.
7．已知三个力f1＝(1,2,3)，f2＝(－1,3，－1)，f3＝(3，－4,5)，若f1，f2，f3共同作用于一物体上，使物体从点M1(1，－2，1)移动到点M2(3,1,2)，则合力所做的功是________．
答案　16
解析　合力f＝f1＋f2＋f3＝(3,1,7)，
位移s＝(2,3,1)，
∴功w＝f·s＝(3,1,7)·(2,3,1)＝6＋3＋7＝16.
8．已知点A(2，－5，－1)，B(－1，－4，－2)，C(λ＋3，－3，μ)在同一直线上，则λ＝________，μ＝________.
答案　－7　－3
解析　＝(－3,1，－1)，＝(λ＋1,2，μ＋1)，
则∥，所以＝＝，
故λ＋1＝－6，μ＋1＝－2.即λ＝－7，μ＝－3.
三、解答题
9．E，F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中线段A1D，AC上的点，且DE＝AF＝AC.
求证：(1)EF∥BD1；(2)EF⊥A1D.
证明　(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=1，则A(1,0,0)，
B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，
A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，
E，
F.
＝，
＝(－1，－1,1)＝－3.
∴∥，又F BD1，
∴EF∥BD1.
（2）＝(－1,0，－1)，
·＝·(－1,0，－1)
＝－＋＝0，
∴⊥，即EF⊥A1D.
10.,,如图所示，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC.
证明：A1C⊥平面BED.
证明　以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，射线DC为y轴的正半轴，射线DD1为z轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D—xyz.
依题设B(2,2,0)，C(0,2,0)，
E(0,2,1)，A1(2,0,4).
＝(0,2,1)，＝(2,2,0)，
＝(－2,2，－4)，
＝(2,0,4)．
因为·＝0，·＝(－2,2，－4)，
故A1C⊥BD，A1C⊥DE.
又BD∩DE＝D，
所以A1C⊥平面BED.
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1求曲线方程学案
课前预习学案
预习目标
回顾圆锥曲线的定义，并会利用定义和性质求圆锥曲线的方程。
预习内容
1．到顶点和定直线的距离之比为的动点的轨迹方程是
2．直线与椭圆交于P、Q两点，已知过定点（1，0），则弦PQ中点的轨迹方程是
3．已知点P是双曲线上任一点，过P作轴的垂线，垂足为Q，则PQ中点M的轨迹方程是
4．在中，已知，且成等差数列，
则C点轨迹方程为
课堂探究学案
【学习目标】
1．了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题．
2．理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念．
3．通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．
4.通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法.
5.进一步理解数形结合的思想方法．
【学习重难点】
学习重点：熟练掌握求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等，并能灵活应用。
学习难点：曲线方程的概念和求曲线方程的方法．
【学习过程】
新课分析
解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质．求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程．
二、典型例题
例1．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于两点，P是上满足的点，求点P的轨迹方程。
方法点拨：用直接法：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成关于动点的坐标的方程。经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹方程。其一般步骤为：建系——设点——列式——代换——化简——检验。
例2．如图，在中， 平方单位，动点P在曲线E上运动，若曲线E过点C且满足的值为常数。
求曲线E的方程；
设直线的斜率为1，若直线与曲线E有两个不同的交点Q、R，求线段QR的中点M
的轨迹方程。
方法点拨：用圆锥曲线的定义求方程。如果题目中的几何条件能够满足圆、椭圆、双曲线，抛物线的第一、二定义，则直接利用曲线定义写出其轨迹方程。
例3．如图所示，过椭圆E：上任一点P，作右准线的垂线PH，垂足为H。延长PH到Q，使HQ=
（1）当P点在E上运动时，求点Q的轨迹G的方程；
（2）当取何值时，轨迹G是焦点在平行于轴的直线上的椭圆？证明这些焦点都在同一个椭圆上，并写出椭圆的方程；
（3）当取何值时，轨迹G是一个圆？判断这个圆与椭圆的右准线的位置关系。
方法点拨：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时需要对方程中的参数进行讨论，因为参数取值的变化会使方程表示不同的曲线，会使其与其他曲线的位置关系不同，会引起另外某些变量取值范围的变化。
例4．设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足点N的坐标为，当绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值。
方法点拨：本题是运用参数法求的轨迹。当动点P的坐标之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量，并用表示动点P的坐标，从而得到动点轨迹的参数方程，消去参数，便可得到动点P的轨迹普通方程。其中应注意方程的等价性，即由的范围确定出范围。
三、小结: 求曲线方程的两类问题：一是动点变动的根本原因，二是动点变动的约束
条件；求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等。
课后题高与练习
1.若点M（x,y）满足，则点M的轨迹是（　　）
　　A.圆　　　　　B.椭圆　　　　　C.双曲线　　　　　D抛物线.
2.点M为抛物线上的一个动点，连结原点O与动点M，以OM为边作一个正方形MNPO，则动点P的轨迹方程为（　　）
　　A.　　　B. 　　　C. 　　　D.
3.方程化简的结果是（　　）
　　A.　　B. 　　C. D.
4.一动圆M与两定圆均外切，则动圆圆心M的轨迹方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
5.抛物线关于直线对称的曲线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
６.椭圆Ｃ与椭圆关于直线对称，椭圆Ｃ的方程是（　）
　　A.　 　　　　B.　
　C. 　　　　　D. 　
７.下列四个命题：
　⑴圆关于点A(1，2)对称的曲线方程是；
　⑵以点（2，－3）和点（2，1）为焦点的椭圆方程可以是；
　⑶顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点(―4，―3)的抛物线方程只能是；
　⑷双曲线右支上一点P到左准线的距离为18，则P点到右焦点的距离为；
　以上正确的命题是＿＿＿＿＿＿＿.（将正确命题的序号都填上）
8.设曲线C：和直线.
　⑴记与C的两个交点为A、B，求线段AB中点的轨迹方程；
⑵若线段AB上的点Q满足，求点Q的轨迹方程；
⑶在点Q的轨迹上是否存在点Q0，使得经过曲线C的焦点的弦被点Q0平分？证明你的结论.
答案：1、；　　2、；　　3、；
4、解析：应用圆锥曲线的定义，注意只有一支.
5、；　　６、Ａ注意焦点所在位置的变化。
7、②④；　　　
8、
略解：（1）设AB中点M，联立方程组得：，则，消云k得，注意到△＞0，∴，得
∴AB中点的轨迹方程是.
（2）点Q的轨迹方程是，是一条线段（无端点）.
（3）曲线C的焦点F，设过F的直线方程为，与曲线C的方程联立，得弦的中点的横坐标为,解得.
①当时，弦的中点的纵坐标；②当时，弦的中点的纵坐标.综上，存在点 ，使得经过曲线C的焦点的弦被点Q0平分.
求曲线的方程
【教学目标】
1．了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题．
2．理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念．
3．通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．
4.通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法.
5.进一步理解数形结合的思想方法．
【教学重难点】
教学重点：熟练掌握求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等，并能灵活应用。
教学难点：曲线方程的概念和求曲线方程的方法．
【教学过程】
一、课前预习
1．到顶点和定直线的距离之比为的动点的轨迹方程是
2．直线与椭圆交于P、Q两点，已知过定点（1，0），则弦PQ中点的轨迹方程是
3．已知点P是双曲线上任一点，过P作轴的垂线，垂足为Q，则PQ中点M的轨迹方程是
4．在中，已知，且成等差数列，则C点轨迹方程为
答案：1．（提示：设动点，则。）；2． ； 3．（提示：设，则将代入双曲线方程得。）； 4．（提示：到AB的距离之和为8。）
二、新课分析
解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质．求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程．
三、典型例题
例1．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于两点，P是上满足的点，求点P的轨迹方程。
方法点拨：用直接法：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成关于动点的坐标的方程。经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹方程。其一般步骤为：建系——设点——列式——代换——化简——检验。
例2．如图，在中， 平方单位，动点P在曲线E上运动，若曲线E过点C且满足的值为常数。
求曲线E的方程；
设直线的斜率为1，若直线与曲线E有两个不同的交点Q、R，求线段QR的中点M的轨迹方程。
方法点拨：用圆锥曲线的定义求方程。如果题目中的几何条件能够满足圆、椭圆、双曲线，抛物线的第一、二定义，则直接利用曲线定义写出其轨迹方程。
例3．如图所示，过椭圆E：上任一点P，作右准线的垂线PH，垂足为H。延长PH到Q，使HQ=
（1）当P点在E上运动时，求点Q的轨迹G的方程；
（2）当取何值时，轨迹G是焦点在平行于轴的直线上的椭圆？证明这些焦点都在同一个椭圆上，并写出椭圆的方程；
（3）当取何值时，轨迹G是一个圆？判断这个圆与椭圆的右准线的位置关系。
方法点拨：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时需要对方程中的参数进行讨论，因为参数取值的变化会使方程表示不同的曲线，会使其与其他曲线的位置关系不同，会引起另外某些变量取值范围的变化。
例4．设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足点N的坐标为，当绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值。
方法点拨：本题是运用参数法求的轨迹。当动点P的坐标之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量，并用表示动点P的坐标，从而得到动点轨迹的参数方程，消去参数，便可得到动点P的轨迹普通方程。其中应注意方程的等价性，即由的范围确定出范围。
四、小结：求曲线方程的两类问题：一是动点变动的根本原因，二是动点变动的约束
条件；求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等。
O
y
x
B
C
A
y
x
O
B
l
A
O
y
x
B
C
A
y
x
O
B
O
x
P
y
H
Q
l§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1）
学习目标
1．掌握抛物线的几何性质；
2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P68~ P70，文P60~ P61找出疑惑之处）
复习1：
准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 ．
复习2：双曲线有哪些几何性质？
二、新课导学
※ 学习探究
探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？
新知：抛物线的几何性质
图形
标准方程
焦点
准线
顶点
对称轴 x轴
离心率
试试：画出抛物线的图形，
顶点坐标（ ）、焦点坐标（ ）、
准线方程 、对称轴 、
离心率 ．
※ 典型例题
例1已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程．
变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出它们的标准方程．
小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解．
例2斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长 ．
变式：过点作斜率为的直线，交抛物线于，两点，求 ．
小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解．
※ 动手试试
练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
⑴顶点在原点，关于轴对称，并且经过点
，；
⑵顶点在原点，焦点是；
⑶焦点是，准线是．
三、总结提升
※ 学习小结
1．抛物线的几何性质 ；
2．求过一点的抛物线方程；
3．求抛物线的弦长．
※ 知识拓展
抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径．
其长为．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．下列抛物线中，开口最大的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．顶点在原点，焦点是的抛物线方程（ ） ．
A． B．
C． D．
3．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为，则等于（ ）．
A． B． C． D．
4．抛物线的准线方程是 ．
5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，则= ．
课后作业
根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出
图形：
⑴顶点在原点，对称轴是轴，并且顶点与焦点的距离等到于；
⑵顶点在原点，对称轴是轴，并且经过点．
2 是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，求．
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1第二章第三节椭圆及其标准方程
课前预习学案
预习目标；预习椭圆的定义和标准方程的推导
二、 预习内容：1．椭圆的定义(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距．注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是 ．②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程(1) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，其中( > >0，且 )(2) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是，其中a，b满足： ．三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：熟练掌握椭圆的定义及标准方程，熟练掌握解析几何的基本思想方法——坐标法，体会数形结合思想和类比思想的应用。
学习重难点：1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．2．难点：椭圆的标准方程的推导
二、学习过程：（一）椭圆的定义
1、[动动手]：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图版的两点处，套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
2、[问题]：①对比两条曲线，分别说出移动的笔尖满足的几何条件。
②能否说，椭圆为平面上一动点到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹呢？为什么？
3、[讨论]： 平面上一动点到两个定点的距离之和等于这两个定点间的距离的点的轨迹是什么？
4、[概括归纳] 椭圆的定义：
（二）椭圆的标准方程
1、[问题]① 你能说出求轨迹方程的一般步骤吗？
② 我们是如何建系求圆的标准方程的？观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？
2、[动动手]：根据椭圆定义完成标准方程的推导过程。
【注意】问题1 怎样化简方程+=2a
同位合作： 相互检查化简的过程、结果是否正确？出现什么问题？如何更正？
分组讨论： 对a －b 该如何处理？它有几何意义吗？画图说明。
问题２ 如果焦点Ｆ1，Ｆ2在ｙ轴上，坐标分别为（０，－Ｃ）（０，Ｃ），a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？它和焦点在轴上的椭圆方程有什么区别？
三、反思总结：椭圆的标准方程：
四、当堂检测：１.已知椭圆上的一点P，到椭圆一个焦点的距离为３，则P到另一焦点距离为（ ）
A．２ 　 B．３ C．５ D．７
２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ 　　 ）
A. B. C. D.
答案D C
课后练习与提高
1.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( )
A　
2．椭圆的一个焦点是，那么等于（ 　　　 ）
A.　 B.　 C.　 D.　
3．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于(　　 )
A. B. C. D.
4．方程表示焦点在轴的椭圆时，实数的取值范围是____________
5．过点且与椭圆有共同的焦点的椭圆的标准方程为_____________
6．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程。
答案：1.B 2.A 3.B 4. 5.
6. 或
2.3椭圆及其标准方程
【教学目标】
1．使学生理解并掌握椭圆的定义、标准方程及其推导过程，并能进行简单应用．
2．通过数形结合，教学生猜想，培养学生的探索发现能力．
3．帮助学生树立运动变化的观点，培养学生的探索能力和进取精神．
【教学重难点】
教学重点：对椭圆的定义的理解及其标准方程记忆，
教学难点：椭圆标准方程的推导．
【教学过程】
一、复习并引入新课
师：在解析几何中，我们通常把动点按照某种规律运动形成的轨迹叫做曲线．曲线和方程的关系是什么？
生：如果曲线上任意一点的坐标都是方程f(x，y)=0的解，同时以方程f(x，y)=0的解为坐标的点又都在曲线上，那么方程就是曲线的方程，曲线就是方程的曲线．
师：圆的定义是：在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹；那么当动点满足哪些条件时轨迹仍然是圆？
生：①平面上到两个定点(距离为2d)距离的平方和等于定值a(a＞2d2)的点的轨迹是圆；
②平面上，与两个定点连线的斜率乘积为-1的点的轨迹是圆．
(以上结论在本节课之前书上习题中，请学生自己总结．)
师：由此可见，平面上到两个定点距离或与两个定点连线满足某种条件的点的轨迹比较特殊，下面就从这点出发研究．
二、讲授新课
1．请学生观察计算机演示如图2-23，并思考两个问题．
(1)动点是在怎样的条件下运动的？
(2)动点运动出的轨迹是什么？
观察后请学生回答．
生：动点是在“到两个定点距离之和等于定值”这一条件下
运动的，轨迹是椭圆．
师：椭圆这种曲线你在哪些地方见过？
生：立体几何中圆的直观图是椭圆．
生：人造卫星的运行轨道．
师：好，这种曲线在实际生活中是很常见的，很多物体的横截面的轮廓线也是椭圆，可见学习这种曲线的有关知识是十分必要的．
(联系实际生活进行教学可以使教学内容亲切，激发学生的学习热情．)
师：是否到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？
(学生可能一时答不出，教师可请学生观察计算机演示如图2-24并思考．)
师：当两个定点位置变化时，轨迹发生了怎样的变化？
生：当两个定点重合时，轨迹变化为圆；当定值等于两个定点间的距离时，轨迹是一条线段．
师：可见圆是椭圆的特例．据此你能得到什么结论？
生：平面上不存在到两个定点距离之和小于定值的点．
说明：观察计算机演示“通过两焦点位置的改变而引起椭圆形状变化的课件”，首先从一个点分裂为两个点，曲线从圆变成椭圆；随着两点间距离的增大，椭圆越来越扁，直到动点到此两点距离之和恰好等于两点间距离时，动点的运动曲线变成了线段，然后随着两点间距离的缩小，曲线再变成椭圆；当两点重合时，曲线又变成了圆，如此反复……如图2-24．从而启发学生发现椭圆定义中的条件，然后师生共同小结完成下表，教师可用投影进行完整的总结．
在平面上到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹为
最后由学生口述教师板书：把平面内与两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹叫做椭圆，其中2a＞|F1F2|．顺便可以指出两个定点叫做焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距，用2c(c＞0)表示．
2．推导椭圆的标准方程．
师：下面我们一起来推导椭圆的方程．
教师提出问题：求到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a(2a＞|F1F2|)的点的轨迹．
师：求曲线方程的步骤是什么？
生：求曲线方程的步骤是：①建立坐标系设动点坐标：②寻找动点满足的几何条件；③把几何条件坐标化；④化简得方程；⑤检验其完备性．
师：那么此题应如何建立坐标系呢？建立直角坐标系一般应符合简单和谐化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线的斜率等)的表达式简单化，注意要充分利用图形的特殊性．
(让学生思考后回答)
教师归纳大体上有如下三个方案：
①取一个定点为原点，以F1，F2所在直线为x轴建立直角坐标系，如图2-25；
②以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如图2-26；
③以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案②，如图2-27，推导出方程．
解析： 1)建系：以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M(x，y)，
设两定点坐标为：
F1(-c，0)，F2(c，0)，
2)则M满足：|MF1|+|MF2|=2a，
4)化简．
师：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法？
生：化去方程中的根式应该用移项平方、再移项再平方的办法．
师：好，下面我们就一起来完成这部分计算．(师生共同完成)
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．
师：还有其它化简的方法吗？一般遇到化简根式的问题你应该想到什么？
生：共轭根式．
师：好，下面我们就通过构造共轭根式、解方程组的办法化方程中的根式．
(师生共同完成．此部分内容可根据学生情况选讲)
(x+c)2+y2-[(x-c)2+y2]=4cx ②，由②÷①得：
化简得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．
师：到此我们已经推导出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁，且x，y的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，我们应该如何将方程进行变形呢？(这里，数学审美成为研究发现的动力．)
学生此时可能还不理解，教师可启发学生观察图形如图2-28，看看a与c的关系如何？
师：请结合图形找出方程中a、c的关系．
生：根据椭圆定义知道a2＞c2，且如图所示，a与c可以看成Rt△MOF2的斜边和直角边．
师：很好！那我们不妨令b2=a2-c2，则方程就变形为b2x2+a2y2=a2b2，如果再化简，你会得到什么形式的方程呢？
师：其中a与b的关系如何？为什么？
生：a＞b＞0，因为a与b分别是Rt△MOF2的斜边、直角边．
教师指出(*)式就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，最后说明：
1)方程中条件a＞b＞0不可缺少(结合图形)，当a=b＞0时，就化成圆心在原点的圆的方程，从而进一步说明圆是椭圆的特例；(这实际上是一种极限情况．)
2)b的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b2=a2-c2；
3)请学生猜想：若用方案③(即焦点在y轴上)，得到的方程形式又如何呢？
(启发学生根据对称性进行猜想)
师：请同学们课后进行推导验证．
师：此时方程中a与b的关系又如何？(结合图形请学生将条件a＞b＞0补上．)
三、例题
例1． 平面内两个定点间的距离为8，写出到这两个定点距离之和为10的点的轨迹方程．
解析： 所求轨迹是椭圆，两个定点为焦点，用F1，F2表示，不妨以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则2a=10，2c＝8，因为b2=a2-c2=9，
点评：很多学生不建立坐标系就写出了方程．强调建立不同的坐标系会得到不同的方程，因此当题目中没有给定坐标系时，首先应选择合适的坐标系．
变式训练1。写出适合下列条件的椭圆的标准方程(其中((1)、(2))学生回答)．
(1)a=4，b-1，焦点在x轴上；
例2． 已知定圆x2+y2-6x-55=0，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程．
分析师：由两圆内切，你会得到什么结论？
生：圆心距等于半径之差的绝对值．
师：根据图形，请用数学符号表示此结论．(如图2-29)
生：此结论表示为：|MQ|=8-|MP|．
师：观察上式，你有何联想？
生：上式可以变形为|MQ|+|MP|=8，又因为|PQ|＝6＜8，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆．
解析： 已知圆化为：(x-3)2+y2=64，
圆心Q(3，0)，r=8，所以P在定圆内．
设动圆圆心为M(x，y)，则|MP|为半径．
又圆M和圆Q内切，做|MQ|=8-|MP|，
|MQ|+MP=8，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点
变式训练2：已知：△ABC的一边长BC=6，周长为16，求顶点A的轨迹方程．
略解 以BC所在直线为x轴，BC中垂线为y轴建立直角坐标系，设顶点A(x，y)，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得顶点A
因为A为△ABC的顶点，故点A不在x轴上，所以方程中要注明y≠0的条件．
四、小结(由师生共同完成)
1．知识方面：椭圆的定义(要注意定义中的条件)以及椭圆的标准方程要注意焦点的位置与方程形式的关系；
2．能力方面：巩固了求曲线方程的步骤与方法，要学会用运动变化的观点研究问题；
3．体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美．
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10全称命题与特称命题
课前预习学案
一、预习目标
理解全称量词与存在量词的意义，并判断全称命题和特称命题的真假
全称命题与特称命题是两类特殊的命题，也是两类新型命题，这两类命题的否定又是这两类命题中的重要概念，
二、预习内容
1.全称量词和全称命题的概念：
概念：
短语————，——————在逻辑中通常叫做全称量词，用符号————表示。
含有全称量词的命题，叫做——————。
例如：
⑴对任意，是奇数；
⑵所有的正方形都是矩形。
常见的全称量词还有：
“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等
通常，将含有变量x的语句用、、表示，变量x的取值范围用M表示。
全称命题“对M中任意一个x，有成立”。简记为：，
读作：任意x属于M，有成立。
2．存在量词和特称命题的概念
概念：
短语————，——————在逻辑中通常叫做存在量词，用符号——表示。
含有存在量词的命题，叫做————（————命题）。
例如：
⑴有一个素数不是奇数；
⑵有的平行四边形是菱形。
特称命题“存在M中的一个x，使成立”。简记为：，
读作：存在一个x属于M，使成立。
3．如果含有一个量词的命题的形式是全称命题，那么它的否定是————；反之，如果含有一个量词的命题的形式是存在性命题，那么它的否定是————。书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手，书写命题的否定
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容




课内探究学案
一、学习目标
判别全称命题与特称命题的真假．
二、学习过程
探究一：判别全称命题的真假
1）所有的素数都是奇数；（2）；（3）每一个无理数，也是无理数．
（4），．
探究二：判断下列存在性命题的真假：
（1）有一个实数，使；（2）存在两个相交平面垂直于同一平面；
（3）有些整数只有两个正因数．
（三）反思总结
1、书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手，书写命题的否定
2．由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．

(四)当堂检测
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
（1）对数函数都是单调函数；
（2）{是无理数}，是无理数；
（3）
课后练习
1．下列命题中为全称命题的是（ () ）
(A)有些圆内接三角形是等腰三角形 ；　（B）存在一个实数与它的相反数的和不为0；
(C)所有矩形都有外接圆 ； （D）过直线外一点有一条直线和已知直线平行．
设计意图：能正确判断全称命题和特称命题及其区别．
2．下列全称命题中真命题的个数是（ （） ）
①末位是0的整数，可以被3整除；
②角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；
③对为奇数．
（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
3．下列特称命题中假命题的个数是（ （） ）
①；
②有的菱形是正方形；
③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．
（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
2～3设计意图：能正确理解全称量词和特称量词．
4．命题“任意一个偶函数的图象关于轴对称”的否定是（ ）
（A） 任意一个偶函数的图象不关于轴对称；
（B） 任意一个不是偶函数的函数图象关于轴对称；
（C） 存在一个偶函数的图象关于轴对称；
（D） 存在一个偶函数的图象不关于轴对称．
5．命题“存在一个三角形，内角和不等于”的否定为（ ）
（A）存在一个三角形，内角和等于；
（B）所有三角形，内角和都等于；
（C）所有三角形，内角和都不等于；
（D）很多三角形，内角和不等于．
4～5设计意图：能从变式的角度理解全称命题与特称命题．
全称命题与特称命题教案
一、教材分析
1）《课程标准》指出：“通过生活和数学实例，理解全称量词和特称量词的意义。” 《学科教学指导意见》中基本要求定为“1．通过教学实例，理解全称量词和特称量词的含义；２．能够用全称量词符号表示全称命题，能用特称量词符号表述特称命题；３．会判断全称命题和特称命题的真假；”。
（2）中学数学是由概念、定义、公理、定理及其应用等组成的逻辑体系。在理解数学概念、数学命题时, 全称量词与特称量词和数学命题的形式化常伴其中，进行判断和推理时,必须理解清楚它们的含义，遵守逻辑规律,否则,就会犯逻辑错误。掌握全称量词与特称量词的知识,对于深刻领会中学数学教学内容,提高学生的逻辑思维能力,有着重要的意义和作用.
（3）就符号形式而言，它是一个全新的内容．就所表示的内容而言它是初中乃至高中课本大量数学命题的高度概括中的形式化，体现了从初中的数学知识较形象化向高中的数学知识较抽象化的进一步过度．
二、教学目标
1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义；
2．能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和特称命题的真假
三、教学重点难点
教学重点：理解全称量词与特称量词的意义.
教学难点：正确地判断全称命题和特称命题的真假
四、学情分析
学生已学过初中和高中必修①～⑤的全部内容，已拥有了基本的模块知识和数学框架，对用数学符号表示数学命题并不陌生，课本中许多数学也来自生活，对纯数学命题和生活中数学命题有一定的经验，这些都是学生进一步学习的基础，一些常见的数学思想如转化，形式化思想在各个模块中也有所渗透，这些都为学习全称量词与特称量词提供了有利的保障和支撑.
概念的形成过程应该是一个归纳、概括的过程，是一个由特殊到一般，由具体到抽象的过程．教师应该充分认识到，学生知识结构的改变不仅是要教师讲、教师引导，还需要学生的亲身体验，亲自参与，与同伴交流.
学生在学习数学符号的过程中会存在一定的困难,这些困难的客观因素在于数学符号的高度抽象性、概括性和复杂行，要把具体的数学命题、生活中的数学命题的共性特征抽象出来，用数学的符号语言统一的概括描述它们的共性特征,对学生比较困难.主观因素在于三个方面：①思维定势的影响，全称命题“”中，变量和含有变量的命题受函数概念的影响而不能正确理解全称命题；②理解数学符号表述含义的困难，这些困难不仅是对量词概念的理解，还包括命题中所含的其他数学符号的含义。教师引导学生辨析很有必要．教师引导学生获得对问题本质的认识是一个具有挑战性的教学活动．所以企图在一节课中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的.只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用活动逐步深刻理解并运用它们. 教学中，教师要采取适当的方法，注意启发引导，不要以自己的想法代替学生的想法，把全称命题特称命题的定义告诉学生．注意引导学生积极参与概念形成的关节点处的讨论、交流等活动,引导学生总结判断全称命题与特称命题的思想方法.不要简化概念发生过程的教学，而把中心放在练习强化上．要防止练习中知识的面太大而产生负迁移而影响理解概念的本质.
五、教学方法
探究法，学案导学
六、课前准备
（1）学生的学习准备；预习课本，查找哥德巴赫猜想表述的是什么内容；
（2）教师的教学准备；教学设计，课件制作，学生的学习行为分析等；
（3）教学环境的设计与布置；多媒体教室；
（4）教学用具的设计和准备： 投影仪，黑板，及其相关教学软件.
七、课时安排：1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标。
（ⅰ）．课题引入（采用多媒体）
哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一.1742年，由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的.
1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，正式提出了以下的猜想：
．任何一个大于 6的偶数都可以表示成两个质数之和．
．任何一个大于9的奇数都可以表示成三个质数之和．
这就是哥德巴赫猜想．
欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明.从此，这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”．
中国数学家陈景润于1966年证明：“任何充份大的偶数都是一个质数与两个质数的乘积的和”通常这个结果表示为 “1+2”这是目前这个问题的最佳结果．
科学猜想也是命题．　哥德巴赫猜想它是一个迄今为止仍然是一个没有得到正面证明也没有被推翻的命题．
教师：这里的“任何”作何理解？你能举一个例子验证它吗？由你所举的例子能说明把猜想中的“任何”改为什量词即成为真命题？
学生：探究交流，说出自己的想法。
教师：教师评价。
设计意图：利用数学史中命题情景，弘扬民族精神，激发学生的学习兴趣和学习情感，为新课的自然引入提供契机．
（三）合作探究、精讲点拨。
探究一：判断下列全称命题的真假．
（1）所有的素数都是奇数；（2）；（3）每一个无理数，也是无理数．
（4），．
教师：引导学生“动”起来。
学生：关键是要通过（1）（2）（3）的探究、交流和讨论使学生自己能够总结：要判断全称命题“”是真命题，需要对集合中的每一个元素，证明成立；如果在集合中的找到一个元素，使得不成立，则这个命题就是假名题．（4）有一定难度，可以根据学生接受境况选用，培养学生的抽象思维能力，数学符号的使用能立和逻辑论证能力．
设计意图：通过演绎让进一步认识全称量词的含义，启发引导学生交流讨论总结判断全称命题真假的一般方法, 培养举反例的能力.让学生经历由特殊到一般和一般到特殊的认识过程,从而使学生从本质上认识全称量词的意义.
3．下列命题中量词有和特点？与全称量词有何区别？
（1）存在一个使；
（2）至少有一个能被2和3整除；
（3）有些无理数的平方是无理数．
教师：引导学生思考并说出（1）（2）（3）中量词与全称量词有何区别。
学生：让学生经历观察、归纳的过程，在类比、归纳中获得体验，抽象特称量词“”与特称命题的概念，
理解量词的本质含义．
教师：类比全称量词与全称命题的特点，特称命题如何用同一种形式表示它们呢？
学生：讨论概括抽象特称命题的形式定义“”。
设计意图：再次让学生已有的知识之上，经历观察、归纳的过程，在类比、归纳中获得体验，抽象特称量词“”与特称命题的概念，理解量词的本质含义；培养学生的类比归纳和概括能力．
探究二：．判断下列特称命题的真假．
（1）有一个实数，使；（2）存在两个相交平面垂直于同一平面；
（3）有些整数只有两个正因数．
教师：引导学生“动”起来。
学生：通过（1）（2）（3）的探究、交流和讨论使学生自己能够总结：要判断特称命题“”是真命题，需要对集合中的某一个元素，成立；如果在集合中的找不到任何一个元素，使得成立，则这个命题就是假名题．
设计意图：通过演绎让进一步认识特称量词的含义，启发引导学生在类比全称命题真假的判断中总结判断特称命题真假的方法,培养学生分析问题解决的能力，理解量词的本质意义.
5．下列说法正确吗？
因为对，反之则不成立．所以说全称命题是特称命题，特称命题不一定是全称命题．
师生：共同探究，辨析。
全称命题和特称命题的判断关键是看强调“”还是“”，也就是说“全称命题”是指含有“全称量词”的命题，“特称命题”是指含有“特称量词”的命题，这个命题可能是真命题，也可能是假命题，而不是看命题本身的真假来确定是全称命题还是特称命题，这一点学生容易理解错误．如“”尽管是假命题，但却是全称命题，而命题“”中尽管对任意实数成立，但却是特称命题．
设计意图：通过辩析探究、合作交流和反思，理解全称命题“”和特称命题“”的本质含义，培养学生的反思意识和合作学习意识．
6．设函数，若对，恒成立，求的取值范围；
解决该问题的关键是对语句：“若对，恒成立”的理解和在运用中领悟等价转化思想，即恒成立。
教师：引导学生获得：恒成立。
学生：，．∵，
∴，∴。
设计意图：理解含有量词的数学命题，在运用的深化中加深对量词的理解，提高学生分析问题解决问题的能力．
（四）反思总结，当堂检测。
1．下列命题中为全称命题的是（ (C) ）
(A)有些圆内接三角形是等腰三角形 ；　（B）存在一个实数与它的相反数的和不为0；
(C)所有矩形都有外接圆 ； （D）过直线外一点有一条直线和已知直线平行．
设计意图：能正确判断全称命题和特称命题及其区别．
2．下列全称命题中真命题的个数是（ （C） ）
①末位是0的整数，可以被3整除；
②角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；
③对为奇数．
（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
3．下列特称命题中假命题的个数是（ （A） ）
①；
②有的菱形是正方形；
③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．
（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
2～3设计意图：能正确理解全称量词和特称量词．
4．命题“任意一个偶函数的图象关于轴对称”的否定是（ （D） ）
（A） 任意一个偶函数的图象不关于轴对称；
（B） 任意一个不是偶函数的函数图象关于轴对称；
（C） 存在一个偶函数的图象关于轴对称；
（D） 存在一个偶函数的图象不关于轴对称．
5．命题“存在一个三角形，内角和不等于”的否定为（ （B） ）
（A）存在一个三角形，内角和等于；
（B）所有三角形，内角和都等于；
（C）所有三角形，内角和都不等于；
（D）很多三角形，内角和不等于．
4～5设计意图：能从变式的角度理解全称命题与特称命题．
九：板书设计：
十、教学反思
1、书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手，书写命题的否定
2．书写命题的否定时，一定要注重理解数学符号的意义
3．由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．

§1.1.1 命题及四种命题
一．自主学习
预习课本2—6页完成下列问题
1、命题： ；
2、真命题： 假命题： 。
3、命题的数学形式： 。
4、四种命题： 。
（1）互逆命题： 。（2）互否命题： 。
（3）互为逆否命题： 。
注意：数学上有些命题表面上虽然不是“若，则”的形式，但可以将它的表述作适当的改变，写成“若，则”的形式，从而得到该命题的条件和结论。
二、自主探究：
〖例1〗判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？
（1）空集是任何集合的子集； （2）若整数是素数，则是奇数；
（3）2小于或等于2； （4）对数函数是增函数吗？
（5）； （6）平面内不相交的两条直线一定平行；
（7）明天下雨； （8）
〖例2〗将下列命题改写成“若，则”的形式。
（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等；（4）负数的立方是负数。
〖例3〗把下列命题改写成“若则”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：
（1）两直线平行，同位角相等；（2）负数的平方是正数；（3）四边相等的四边形是正方形。
课堂小结
三、巩固练习：
1、下列语句中是命题的是（ ）
A、周期函数的和是周期函数吗？ B、
C． D、梯形是不是平面图形呢？
2、 在命题“若抛物线的开口向下，则”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）
A、都真 B、都假 C、否命题真 D、逆否命题真
3、设是两个集合，则下列命题是真命题的是（ ）
A、如果，那么 B、如果，那么
C、如果，那么 D、如果，那么
4、下列命题中为真命题的是
A、命题“若，则”的逆命题 B、命题“若，则”的逆命题
C、命题“若，则”的否命题
D、命题“若，则”的逆否命题
5、命题：“若不为零，则都不为零”的逆否命题是 。
6、命题“不成立”是真命题，则实数的取值范围是 。
7、原命题：已知函数为上的增函数，均为实数，若 ，则。
（1）判断原命题的真假，并证明；（2）写出它的逆命题，判断其真假，并证明。§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）
学习目标
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；
2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P43~ P46，文P37~ P40找出疑惑之处）
复习1： 椭圆上一点到左焦点的距离是，那么它到右焦点的距离是 ．
复习2：方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 ．
二、新课导学
※ 学习探究
问题1：椭圆的标准方程，它有哪些几何性质呢？
图形：
范围：： ：
对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；
顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；
长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；
离心率：刻画椭圆 程度．
椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率，
记，且．
试试：椭圆的几何性质呢？
图形：
范围：： ：
对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；
顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；
长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；
离心率： = ．
反思：或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？
※ 典型例题
例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
变式：若椭圆是呢？
小结：①先化为标准方程，找出 ，求出；
②注意焦点所在坐标轴．
例2 点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹．
小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆 ．
※ 动手试试
练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在轴上，，；
⑵焦点在轴上，，；
⑶经过点，；
⑷长轴长等到于，离心率等于．
三、总结提升
※ 学习小结
1 ．椭圆的几何性质：
图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；
2 ．理解椭圆的离心率．
※ 知识拓展
（数学与生活）已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，且篮球与地面的接触点是椭圆的焦点．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．若椭圆的离心率，则的值是（ ）．
A． B．或 C． D．或
2．若椭圆经过原点，且焦点分别为，，则其离心率为（ ）．
A． B． C． D．
3．短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，过作直线交椭圆于两点，则的周长为（ ）．
A． B． C． D．
4．已知点是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于，则点的坐标是 ．
5．某椭圆中心在原点，焦点在轴上，若长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ．
课后作业
1．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？
⑴与 ；
⑵与 ．
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴经过点，；
⑵长轴长是短轴长的倍，且经过点；
⑶焦距是，离心率等于．
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1讲练学案部分
§3.1.1 空间向量及其加减运算
.
知识点一　空间向量的概念
　判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；
②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量?，在同一条直线上.②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确，因为A、B、C、D可能共线.⑤正确.⑥不正确，如图所示，与共线，虽起点不同，但终点却相同.
【反思感悟】　解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．
　下列说法中正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律
D.在四边形ABCD中，一定有+=
答案　B
解析|a|=|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b=-a故|a|=|b|，从而?B正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有?+?=?，只有平行四边形才能成立.故?A、C、D?均不正确.
知识点二　空间向量的加、减运算
　
如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．
（1） +； （2）+ ；
（3）++；
（4）++++;
解 （1）? =?.
（2）?
（3）?
（4）?
【反思感悟】 向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，同平面向量相同，封闭图形，首尾连续向量的和为0..
已知长方体ABCD—A′B′C′D′,化简下列向量表达式:
(1)?
(2)?
解 (1)?= =?A
(2)?
知识点三　向量加减法则的应用
在如图所示的平行六面体中，求证：?
证明　∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴ ＝＋.
∴=
又由于 ＝，＝，
∴ ＋＋= ＋＋=＋＝，
∴＋＋＝2.
【反思感悟】 在本例的证明过程中,我们应用了平行六面体的对角线向量?=?,该结论可以认为向量加法的平行四边形法则在空间的推广(即平行六面体法则).
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，画出表示下列向量的有向线段.
（1）＋＋;?；
（2）;.
解 如图，

（1）?＋＋= ?;
(2)? =?
图中? ，?为所求.
课堂小结：
1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．
2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．
3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．
4．a－b表示的是由减数b的终点指向被减数a的终点的一条有向线段．
课时作业
一、选择题
1．判断下列各命题的真假：
①向量的长度与向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 ①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑥假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．
2. 已知向量，，，， 满足 || ＝ ||＋||，则( )
A．＝＋ B．＝－－
C．与同向 D．与与同向
答案　D
解析 由 || = | | + | | = | | + ||,知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以?与与同向
3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量表达式?化简后的结果是（ ） A?.? ?B?.?
? C?.? D?.?
答案 A
解析 如图所示，
因 ＝，－＝－＝，
＋＝，
∴－＋＝.
4．空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是( )
A?.?＋＋＋＝0 ?B?. ＋＋＋＝0
?
C?. ＋＋＋＝0 D?.?－＋＋＝0
答案 B
解析 如图所示，
＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
= ＋＝0.
5. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图所示，下列各式中运算的结果为向量的是（ ）
① (－)－；
② (＋)－；
③（－)－2；
④（－)＋.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
答案 A
(－)－ ＝ －＝.
(＋)－＝＋＝.∴①、②正确．
二、填空题
6. 如图所示 a，b是两个空间向量，则与与是________向量，与是________向量．
答案　相等　相反
7. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,化简向量表达式?+ ?+ 的结果为
________．
答案　0
解析
＋＋＋＝(＋)＋(＋)
=＋＝0.
三、解答题
8．如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简 （1）＋＋，?（2）?＋＋，并标出化简结果的向量．
解 （1）＋＋ = ＋＝.
(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB中点．
∴＝，＝.
∴＋＋ = ＋＋ =
9. 已知ABCD是空间四边形,M和N分别是对角线AC和BD的中点.
求证: =
证明 =
又? =?,
∴2 =
由于M,N分别是AC和BD的中点,
所以．= 0.
∴＝ (＋)．
10．设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．
求证：＋)．
证明　连结BG，延长后交CD于E，由G为△BCD的重心，
知
∵E为CD的中点，
∴＝＋.
∴＝＋ = ＋
=＋(＋)
= +
= (＋＋)．
PAGE
1§3．1.2　空间向量的数乘运算
知识点一 空间向量的运算
已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体.
(1)化简?
(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点,设,试求α,β,γ的值.
解 (1)方法一 取AA′的中点为E,则
?
又?取F为D′C′的一个三等分点(D′F=?D′C′),则D′F =
∴? +? + =?+? +? =?
方法二 取AB的三等分点P使得,
取CC′的中点Q,则 +? +=
(2)
=
= =
∴α＝，β＝，γ＝.
【反思感悟】 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时可转化为加法，也可按减法进行运算．本题第一问是开放式的表达式，形式不唯一，有多种解法．
如图所示,平行六面体A1B1C1D1- ABCD，
M分成的比为，N分成的比为，N分成的比为2，设 ＝ a，＝b，＝c，试用a、b、c表示，
解
=
＝－(a＋b)＋c＋(－c＋b)
＝－a＋b＋c
知识点二 共线问题
设空间四点O，A，B，P满足其中m+n=1，则（ ）
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D. 与与的方向一定相同
答案　A
解析 已知m+n=1，则
?因?为?≠ 0 .所以?和?共线，即点A，P，B共线，故选?A?.
【反思感悟】（1）考察点P是否在直线AB上，只需考察与是否共线；
（2）解决本题的关键是利用条件m+n=1把证明三点共线问题转化为证明?与是否共线.
已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点，
求α+β的值.
解 ∵A、B、P三点共线，由共线向量知，
存在实数t，使 = t?
由= ，= ?代入得：
；
又由已知，∴α＝1－t，β＝t，∴α＋β＝1.
知识点三 共面问题
已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求证：BD∥平面EFGH.
证明 (1)由已知得EF綊HG，
∴?
∵?,? 不共线，
∴? 共面且有公共点G，
∴E，F，G，H四点共面.
（2）
∵?与不共线，
∴，，共面．
由于BD不在平面EFGH内，所以BD∥平面EFGH.
【反思感悟】 利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练的进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．
　
用向量法证明：空间四边形ABCD的四边中点M，N，P，Q共面．
证明 △AMQ中,??
=
CNP中, = ?
所以?,所以M,N,P,Q四点共面.
课堂小结：
1．向量共线的充要条件及其应用
(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a∥b时，也具有同样的意义．
(2)“共线”这个概念具有自反性a∥a，也具有对称性，即若a∥b，则b∥a.
(3)如果应用上述结论判断a，b所在的直线平行，还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上．
＝λ或＝μ即可．也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明三点共线．
2．向量共面的充要条件的理解
＝x＋y.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有＝(1－t)＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P、A、B、C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．
课时作业
一、选择题
1．下列命题中是真命题的是( )
A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C. 若向量? 满足 | |>| |，且 与 同向，则 >??
D. 若两个非零向量 与满足+ = 0，则∥
答案 D
解析 A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．
B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．
C错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有?>这种写法．
D．对.∵? + = 0 ,∴? = ，
∴?与?共线，故?∥，正确.
2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( )
A．＋＝
B．－＝
C．＝
D．||＝||
答案 C
3．在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是( )
A．＝2－－
B．＝＋＋
C．＋＋＝0
D．＋＋＋＝0
答案　C
解析 若有 ＝ x ＋ y，则M与点A、B、C共面，或者＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1，则M与点A、B、C共面，A、B、D三项不满足x＋y＋z＝1，C项满足＝x＋y，故选C.
4．已知向量a与b不共线，则a，b，c共面是存在两个非零常数λ，μ使c＝λa＋μb的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　验证必要性时，当a，b，c共面且a∥c(或b∥c)时不能成立，不能使λ，μ都非零．
5. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量 ?是（ ）
A．有相同起点的向量
B．等长向量
C．共面向量
D．不共面向量
答案　C
解析 如图所示，因为?而?,
∴? ?，即??,而? 与 不共线，所以? ， ， 三向量共面.
二、填空题
6．已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有＝2＋＋λ，则λ＝________.
答案　－2
解析　P与不共线三点A，B，C共面，且＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点共面的充要条件．
7．三个向量xa－yb，yb－zc，zc－xa的关系是________．(填“共面”“不共面”“无法确定是否共面”)．
答案　共面
解析　因xa－yb，yb－zc，zc－xa也是三个向量，且有zc－xa＝－(yb－zc)－(xa－yb)所以三向量共面．
8. 在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若? a ,?B = b , 则 等于 ________．

答案 a＋b
三、解答题
9 如图所示，E，F，G，H分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1，B1C1，D1C1的中点．
求证：(1)E，F，D，B四点共面；
(2)平面AEF∥平面BDHG.
证明 （1）∵ ,
∴?共面且具有公共点E，
∴E，F，D，B四点共面.
(2)∵E，F，G，H分别是A1B1，A1D1，B1C1，D1C1的中点，
＝＝，
＝ ＋＝，
∴EF∥GH，AF∥BG，∴EF∥平面BDHG，AF∥平面BDHG，又AF∩EF＝F，∴平面AEF∥平面BDHG.
10．对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线与另一对边平行于同一平面．
证明 . 如图，利用多边形加法法则可得，
,
＝＋＋ ①
又E，F分别是AB，CD的中点，故有
＝ － ，＝－， ②
将②代入①后，
两式相加得2 ＝ ＋，
∴ ，
即 与，共面，
∴EF与AD，
BC平行于同一平面．
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1《曲线与与方程》教学案
一﹑教材内容的地位与作用分析
《曲线与方程》是高二数学选修2-1第二章第一节的内容。曲线与方程的概念既是对以前学过的函数及其图象、直线的方程和方程的直线等数学知识的深化，又是今后学习圆锥曲线的理论基础，它贯穿于研究圆锥曲线的全过程。曲线和方程分别是几何与代数中的概念。在直角坐标系中，曲线有它的方程，方程有它的曲线。曲线的方程是几何曲线的一种代数表示，方程的曲线则是代数方程的一种几何表示。根据曲线与方程的对应关系，通过研究方程来研究曲线的几何性质，使几何图形的研究实现代数化。数与形的有机结合，在本章得到充分的展现。通过本节课的课堂教学，使学生初步了解数形结合的基本数学思想方法。
二、学生学习情况分析
学生已经学习了直线的方程和方程的直线的概念，初步掌握了利用直线的方
程来研究两直线的位置关系、两条直线的夹角和点到直线的距离等与直线有关的
知识，但未真正理解直线的方程和方程的直线的含义。通过本节课让学生进一步
理解直线的方程和方程的直线的含义。
三、设计思想
建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生
从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所
学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成
知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形
成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识
体。也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所
学知识意义的主动建构。基于以上理论，本节课遵循引导发现，循序渐进的思路，
采用问题探究式教学，倡导“自主、合作、探究”的学习方式。
具体流程如下：知识回顾(根据所学知识，提出新的问题)→构建新知(师生
共同探究，得出新的知识)→巩固新知(通过质疑讨论，理解突破难点)→尝试练
习(进一步理解概念)→课堂小结(回顾并反思)→布置作业
四、教学目标
1、理解曲线的方程和方程的曲线的概念
2、能证明满足已知条件的曲线C的方程是给定的方程f(x，y)=0
3、判断曲线与方程的关系
五、教学重点与难点
重点与难点：曲线的方程和方程的曲线的概念
六、教学过程设计
(一)知识回顾、提出问题
1、回顾直线的有关知识：两直线的位置关系；两直线的夹角；点到直
线的距离等；
2、我们是如何研究上述问题的(教师适时给予提示)；
3、给出直线的方程和方程的直线的定义：
①直线上的点的坐标都是某个一元一次方程的解；
②以该方程的解为坐标的点都是直线上的点。
4、提出问题：实际生活中，物体运动的轨迹绝大多数都是曲线，那么
我们又该如何研究这些问题呢？
(二)师生探究、构建新知
1、根据回顾的知识，类似可得：利用方程来研究曲线的有关问题
2、如何得出曲线与方程的关系(即：如何定义曲线的方程和方程的曲
线) 能否利用我们所学知识考虑？
3、学生讨论，教师补充得到完整的定义：(在上述定义中修改)
①曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；
②以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点。
此时，把方程F(x，y)=0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程
F(x，y)=0的曲线。
(三)例题剖析、巩固新知
例1、已知两点A(-1，1)、B(3，-1)，求证与这两点距离相等的点M的
轨迹方程是2x-y-2=0。
证明：(1)：设M1(x1，y1)是直线 上的任意一点，则|M1A|=|M1B|
∴
即2x1-y1-2=0
∴轨迹 上的任意一点的坐标都是方程2x-y-2=0的解
(2)：设点M2(x2，y2)的坐标是方程2x-y-2=0的解，即2x2-y2-2=0
=
∵|M2A|=
|M2B|=
∴|M2A|=|M2B| 即点M2是直线 上的点
由(1)(2)知：方程2x-y-2=0是轨迹 的方程。
例2、(1)已知点A(1，0)、B(0，1)，线段AB的方程是不是x+y-1=0？
为什么？
(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹C的方程是不是x-y=0？
为什么？
(学生讨论，教师点拨)
解：(1)不是。取点(-2，1)，该点满足方程x+y-1=0但不在
线段AB上。
(2)不是。取点(-1，1)，该点到两坐标轴距离相等且距离都
为1，但1-(-1)=2≠0，也即不满足方程x-y=0。
(四)尝试练习、检验成果
见课本第33页
(五)课堂小结、回顾反思
学生归纳，互相补充，老师总结：
1、曲线的方程和方程的曲线的概念
2、证明方程是给定曲线的方程
3、判断方程是否为给定曲线的方程
(六)课外作业(略)
七、教学反思
1、直线的方程与方程的直线学习时间比较早，大多数学生对此概念已经遗
忘得差不多，因此本节课采用怎样的形式回顾这些知识，才能更合理些。
2、在师生共同探究并构建新知时，教师应该如何调整、把握课堂节奏。
3、是否有更好地方法分析例题，使学生更容易理解所学的新知识。
4、对于练习中存在的问题特别是不成立的问题，采用上述分析方法学生能
否理解。
5、课后对部分学生进行简单调查，反思此教案。
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1§3.2 立体几何中的向量方法
知识点一 用向量方法判定线面位置关系
　(1)设a、b分别是l1、l2的方向向量，判断l1、l2的位置关系：
①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)．
②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．
(2)设u、v分别是平面α、β的法向量，判断α、β的位置关系：
①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)．
②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．
(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α的位置关系．
①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)．
②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．
解　(1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，
∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
(2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)，
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.
②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－v，∴u∥v，∴α∥β.
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，∴l α或l∥α.
②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，
∴u＝－a，∴u∥a，∴l⊥α.
知识点二 利用向量方法证明平行问题
　
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
证明　方法一　如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得
M (0,1，)，N (,1,1)，
D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，
于是 =（，0，），
设平面A1BD的法向量是
n=（x，y，z）.
n＝(x，y，z)．
则n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．
又 ·n＝ (,0，)·(1，－1，－1)＝0，
方法二 ∵? =
∴?∥，又∵MN 平面A1BD.
∴MN∥平面A1BD.
知识点三 利用向量方法证明垂直问题
　在正棱锥P—ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
(1)求证：平面GEF⊥平面PBC；
(2)求证：EG是PG与BC的公垂线段．
证明　(1)方法一　
如图所示，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
令PA＝PB＝PC＝3，则
A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)．
于是?＝(3,0,0)，＝(3,0,0)，
故 ＝3，∴PA∥FG.
而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC，
又FG 平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.
方法二 同方法一，建立空间直角坐标系，则
E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)．
＝(0，－1，－1)，＝(0，－1，－1)，
设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，
则有n⊥，n⊥，
∴令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0,1，－1)．
而显然=（3，0，0）是平面PBC的一个法向量.
这样n· = 0,∴n⊥?
即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，
∴平面EFG⊥平面PBC.
（2）∵? =（1， 1， 1），? =（1，1，0），? =（0， 3，3），
∴?·=11= 0，?· =33 = 0，
∴EG⊥PG，EG⊥BC，
∴EG是PG与BC的公垂线段.
知识点四 利用向量方法求角
　四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；
(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值．
解　(1)如图所示，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D—xyz，
∵∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，
∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．
由PD⊥面ABCD得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角．
∴∠PAD＝60°.
在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2．
∴P(0,0,2)．
（2）∵?＝(2,0，－2)， =（2， 3，0）
∴?cos〈,〉=
∴PA与BC所成角的余弦值为．
　正方体ABEF－DCE′F′中，M、N分别为AC、BF的中点(如图所示)，求平面MNA与平面MNB所成二面角的余弦值．
解　取MN的中点G，连结BG，设正方体棱长为1.
方法一 ∵△AMN，△BMN为等腰三角形，
∴AG⊥MN，BG⊥MN.
∴∠AGB为二面角的平面角或其补角．
∵AG=BG=,
，设〈，〉=θ，
2＝2＋2·＋2，
∴1＝()2＋2××cosθ＋()2.
∴cosθ＝，故所求二面角的余弦值为．
方法二　以B为坐标原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B－xyz
则M(，0， )，N (,,0)，
中点G(，，)，
A(1,0,0)，B(0,0,0)，
由方法一知∠AGB为二面角的平面角或其补角．
∴＝(，－，－)，＝(，－，－)，
∴ cos<, >==,
故所求二面角的余弦值为．
方法三 建立如方法二的坐标系，
∴
即取n1＝(1,1,1)．
同理可求得平面BMN的法向量n2＝(1，－1，－1)．
∴cos〈n1，n2〉＝,
故所求二面角的余弦值为
知识点五 用向量方法求空间的距离
　已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
解　
如图所示，以C为原点，CB、CD、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系C－xyz.
由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)，
B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，
F(2,4,0)，G(0,0,2)．
＝(0,2,0)，＝(－2,4,0)，
设向量?⊥平面GEF，垂足为M，则M、G、E、F四点共面，
故存在实数x，y，z，使? = x + y + z，
即 = x（0，2，0）+y（2，4，0）+z（4，0，2）
=（2y4z，2x+4y，2z）.
由BM⊥平面GEF，得⊥,⊥，
于是·＝0，·＝0，
即
即，解得
∴＝(－2y－4z,2x＋4y,2z)＝
∴||＝
即点B到平面GEF的距离为．
考题赏析
(安徽高考)
如图所示，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，
OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
(1)求异面直线AB与MD所成角的大小；
(2)求点B到平面OCD的距离．
解　作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立平面直角坐标系．
A(0,0,0)，B(1,0,0)，
P (0，，0)，D (－，，0)，
O(0,0,2)，M(0,0,1)．
(1)设AB与MD所成角为θ，
∵＝(1,0,0)，
＝ (－，，－1)，
∴cos =
．∴θ＝．
∴AB与MD所成角的大小为．
（2）∵? =（0,，），? =（， ，）,
∴设平面OCD的法向量为n = ( x, y , z ),则
n·?=0， n· = 0.
得
取z=，解得n = (0,4, ).设点B到平面OCD的距离为d,
则d为在向量n上的投影的绝对值.
∵? =（1，0， 2），∴d＝,
∴点B到平面OCD的距离为,
1．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )
A． (，，－) B． (，－，)
C． (－，，) D． (－，－，－)
答案　D
＝(－1,1,0)，是平面OAC的一个法向量．
＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)
∴
令x＝1，则y＝1，z＝1
∴n＝(1,1,1)
单位法向量为：＝± (,，)．
2．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．90°
答案　B
3．设l1的方向向量a＝(1,2，－2)，l2的方向向量b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝( )
A．1 B．2 C． D．3
答案　B
解析　因l1⊥l2，所以a·b＝0，则有1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，
∴2m＝6－2＝4，即m＝2.
4．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
答案　A
解析　因v＝－3u，∴v∥u.
故α∥β.
5．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 设〈，〉=θ，?·=（+? +·= ||2= 1，?cosθ=,所以θ=60°?
6．若异面直线l1、l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
A． B．C．－ D．
答案　B
解析　设异面直线l1与l2的夹角为θ，
则cosθ＝
7．已知向量n＝(6,3,4)和直线l垂直，点A(2,0,2)在直线l上，则点P(－4,0,2)到直线l的距离为________．
答案 ，
解析? =（6，0，0），因为点A在直线l上， n与l垂直，所以点P到直线l的距离为
8．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．
答案　或，
解析　设n1＝(1,0，－1)，n2＝(0，－1,1)
则cos〈n1，n2〉＝
〈n1，n2〉＝．因平面α与平面β所成的角与〈n1，n2〉相等或互补，所以α与β所成的角为或．
9．已知四面体顶点A(2,3,1)、B(4,1，－2)、C(6,3,7)和D(－5，－4,8)，则顶点D到平面ABC的距离为________．
答案 11
解析 设平面ABC的一个法向量为n =（x,y,z）
则
令x=1,
则n = (1,2, ),? =（7，7，7）
故所求距离为,
10．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于F.
(1)证明：PA∥平面BDE；
(2)证明：PB⊥平面DEF.
证明 (1)如图建立空间直角坐标系，
设DC＝a，AC∩BD＝G，连结EG，则
A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E (0，，)，G (，，0)．
于是=（a，0， a），? =（，0，）,
∴? = 2，∴PA∥EG.
又EG平面DEB.PA平面DEB.
∴PA∥平面DEB.
(2)由B(a,a,0),得? =(a, a, a),
又? =（0, ,）,
∵?· =
∴PB⊥DE.
又EF⊥PB，EF∩DE=E，∴PB⊥平面EFD.

11．如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
解　
如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz.
则? =（1，0，0），? = (0,0,1).
连结BD,B′D′.
在平面BB′D′D中,
延长DP交B′D′于H.
设? = (m,m,1) (m>0),由已知〈,?〉= 60°?,
由?·= ||||cos〈,〉,
可得2m =
解得m =，所以＝(，，1)，
因为cos〈,〉=
所以〈,〉= 45°?,
即DP与CC′所成的角为45°?.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是= (0,1,0).
因为cos〈,〉=
所以〈,〉= 60°,
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°?.
12. 如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.
平面PBD⊥平面PAC，
(1)求点A到平面PBD的距离;
(2)求异面直线AB与PC的距离.
(1)解 以AC、BD的交点为坐标原点，以AC、BD所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（0，1，0），C（，0，0），D（0， 1，0），?P（3，0，2）.?
设平面PBD的一个法向量为n1=（1，y1，z1）.
由n1⊥， n1⊥，可得n1=（1，0，）.
（1）=（，0，0），点A到平面PBD的距离,
,
13.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC = 2a，BB1 = 3a，D为A1C1的中点，在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出||；若不存在，请说明理由.
解 以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.
假设存在点F，使CF⊥平面B1DF，
并设? =λ=λ（0，0，3a）=（0，0，3λa）（0<λ<1），
∵D为A1C1的中点，
∴D(，,3a)
＝ (，,3a)－(0,0,3a)＝ (,， 0)，
=
∵CF⊥平面B1DF，
∴CF⊥, ⊥,
即
解得λ＝或λ＝
∴存在点F使CF⊥面B1DF，且
当λ=时，||=,|| = a
当λ=，|| =,|| = 2a.
14．如图(1)所示，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为?eq \r(3)?的等腰梯形．将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图(2)．
(1)证明：AC⊥BO1；
(2)求二面角O—AC—O1的余弦值．
(1)证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.
故以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则相关各点的坐标是A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,1, )、O1(0,0, )．
·＝－3＋·＝0.
所以AC⊥BO1.
（2）解 因为·=+ ·＝0.
所以BO1⊥OC.由（1）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC,
?是平面OAC的一个法向量.
设n=（x，y，z）是平面O1AC的一个法向量，
由
取z= ，
得n=（1，0，）.
设二面角O-AC-O1的大小为θ，由n 、的方向可知θ=〈n,〉，
所以cosθ= cos〈n ，〉=
即二面角O—AC—O1的余弦值是.
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1§2.2.1椭圆及其标准方程(1)
学习目标
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；
2．掌握椭圆的定义；
3．掌握椭圆的标准方程．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P38~ P40，文P32~ P34找出疑惑之处）
复习1：过两点,的直线方程 ．
复习2：方程 表示以 为圆心, 为半径的 ．
二、新课导学
※ 学习探究
取一条定长的细绳，
把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．
新知１： 我们把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．
反思：若将常数记为，为什么？
当时，其轨迹为　　　　　；
当时，其轨迹为　　　　　．
试试：
　　已知，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．
小结：应用椭圆的定义注意两点：
①分清动点和定点；
②看是否满足常数．
新知２：焦点在轴上的椭圆的标准方程
　　其中
若焦点在轴上，两个焦点坐标 ，
则椭圆的标准方程是　　　　　　　 ．
※ 典型例题
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴，焦点在轴上；
⑵，焦点在轴上；
⑶．
变式：方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围 ．
小结：椭圆标准方程中： ； ．
例2　已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程 ．
变式：椭圆过点 ，，，求它的标准方程．
小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．
※ 动手试试
练1. 已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）．
A． B．6 C． D．12
练2 ．方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的范围．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 椭圆的定义：
2. 椭圆的标准方程：
※ 知识拓展
1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）．
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．平面内一动点到两定点、距离之和为常数，则点的轨迹为（　　）．
A．椭圆 B．圆
C．无轨迹 D．椭圆或线段或无轨迹
2．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
3．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一个焦点的距离是（ ）．
A．4 B．14 C．12 D．8
4．椭圆两焦点间的距离为，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于和，则椭圆的标准方程
是 ．
5．如果点在运动过程中，总满足关系式，点的轨迹是　　　　　，它的方程是　　　　　　　．
课后作业
1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在轴上，焦距等于，并且经过点；
⑵焦点坐标分别为，；
⑶．
2. 椭圆的焦距为，求的值．
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13. 2立体几何中的向量方法
教学目标：
掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法
掌握向量作为工具解决立几问题的方法
向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何的本质
重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法
教学过程：
相关知识与能力：
一.空间距离的计算
1. 空间两点间的距离：设A、B是空间两点，则A、B两点间的距离d=||
2.两条异面直线间的距离：设a、b是两条异面直线，是a、b的公共法向量（即），点Aa,Bb
则异面直线a、b间的距离
即方向上的射影长为异面直线a、b间的距离。
3.点（或线）到平面的距离：
1）设
P是平面α内任一点，则PO到平面α的距离
2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。
二.空间角度的计算
1. 两条异面直线所成的角：设l1与l2两条异面直线，∥l1 ， ∥l2，则l1与l2所成的角
α=<，>或α=л -<，> （0<α≤）
cos<，>=或 cosα= （0<α≤）
2. 斜线P0P与平面α所成的角θ
3.二面角：设相交平面α与β的法向量分别为，则α与β所成的角的大小为<> 或 （如何确定？）
典例分析：
例1.在棱长为1的正方体中，E、F分别是的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题。
（1）求证：EF⊥B1C；
（2）求EF与C1G所成的角的余弦；
（3）求FH的长。
解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，）
F（）C（0，1，0）B1（1，1，1）C1（0，1，1），G（0，，0）
∵ ∴
则即
（2） ∴
由（1）知
故EF与所成角的余弦值为
（3）∵ H为C1G1的中点 ∴ H（0，），又F（）
∴ 即
例2.如图，在棱长为2的正方体中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系。
（1）写出A、B1、E、D1的坐标；
（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值。
解：（1）A（2，2，0）B1（2，0，2），E（0，1，0），D1（0，2，2）
（2）∵
∴ ，
∴ 与所成的角的余弦值为
例3.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。
（1）证明PA//平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PB—D的大小。
解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=。
（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG
依题意得A（），P（0，0，a），E（）
∵ 底面ABCD是正方形 ∴ G是此正方形的中心
故点G的坐标为（）且，
∴ ，这表明PA//EG，而平面EDB且PA平面EDB
∴ PA//平面EDB
（2）证明：依题意得B（），
又，故
∴ PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且，所以PB⊥平面EFD
（3）解：设点F的坐标为（），，则
∴ ，所以，二面角C—PC—D的大小为
巩固练习：
1、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点。
（1）求证：EF//平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若，求EF与平面ABCD所成的角的大小。
2、在正方体中，如图E、F分别是BB1，CD的中点，
（1）求证：平面ADE；
（2）
作业布置：
如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。
2、如图，在直四棱柱中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB//DC。
（1）设E是DC的中点，求证：D1E//平面A1BD；
（2）求二面角的余弦值。
教学反思：
在立体几何的学习中，求各种“空间角”、和空间“距离”的难点在于作出相应的“角”及作出表示“距离”的线段，并给出相应的证明。引入向量的工具，避开了“作”、“证”这个难点，提供了解决求空间角、距离及证明“垂直”、“平行”的通法。进一步强化了“坐标法”、“数形结合”和“转化”等数学思想方法.
3.2立体几何中的向量方法
课前预习学案
预习目标：
向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法
向量作为工具解决立几问题的方法
预习内容：
一.空间距离的计算
1. 空间两点间的距离：设A、B是空间两点，则A、B两点间的距离
2.两条异面直线间的距离：设a、b是两条异面直线，是a、b的公共法向量（即），点Aa,Bb
则异面直线a、b间的距离
即方向上的射影长为异面直线a、b间的距离。
3.点（或线）到平面的距离：
1）设
P是平面α内任一点，则PO到平面α的距离
2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。
二.空间角度的计算
1. 两条异面直线所成的角：设l1与l2两条异面直线，∥l1 ， ∥l2，则l1与l2所成的角
α=<，>或α=л -<，> （0<α≤）
cos<，>=或 cosα= （0<α≤）
2. 斜线P0P与平面α所成的角θ
3.二面角：设相交平面α与β的法向量分别为，则α与β所成的角的大小为<> 或 （如何确定？）
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
学习目标：
1掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法
1掌握向量作为工具解决立几问题的方法
重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法
学习过程：
例1.在棱长为1的正方体中，E、F分别是的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题。
（1）求证：EF⊥B1C；
（2）求EF与C1G所成的角的余弦；
（3）求FH的长。
例2.如图，在棱长为2的正方体中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系。
（1）写出A、B1、E、D1的坐标；
（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值。
例3.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。
（1）证明PA//平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PB—D的大小。
当堂检测：
1、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点。
（1）求证：EF//平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若，求EF与平面ABCD所成的角的大小。
2、在正方体中，如图E、F分别是BB1，CD的中点，
（1）求证：平面ADE；
（2）
课后练习与提高
1、如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。
2、如图，在直四棱柱中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB//DC。
（1）设E是DC的中点，求证：D1E//平面A1BD；
（2）求二面角的余弦值。
a
b
n
A
B
d
P
α
P0
d
O
θ
β
α
B C
D
β
A
a
b
n
A
B
d
P
α
P0
d
O
θ
β
α
B C
D
β
A
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10命题学案
一、课前小练：
阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？
（1）矩形的对角线相等；
（2）3；
（3）3吗？
（4）8是24的约数；
（5）两条直线相交，有且只有一个交点；
（6）他是个高个子.
二、新课内容：
1.命题的概念：
①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）.
上述6个语句中，哪些是命题.
②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）；
假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.
上述5个命题中，哪些为真命题？哪些为假命题？
③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？
（1）空集是任何集合的子集；
（2）若整数是素数，则是奇数；
（3）2小于或等于2；
（4）对数函数是增函数吗？
（5）；
（6）平面内不相交的两条直线一定平行；
（7）明天下雨.
（学生自练个别回答教师点评）
④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.
2. 将一个命题改写成“若，则”的形式：
①例1中的（2）就是一个“若，则”的命题形式，我们把其中的叫做命题的条件，叫做命题的结论.
②试将例1中的命题（6）改写成“若，则”的形式.
③例2：将下列命题改写成“若，则”的形式.
（1）两条直线相交有且只有一个交点；
（2）对顶角相等；
（3）全等的两个三角形面积也相等.
（学生自练个别回答教师点评）
3. 小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若，则”的形式.
三、练习：教材 P4　1、2、3　
四、作业：
1、教材P8第1题
2、作业本1-10
五、课后反思
命题教案
课题 1.1.1命题及其关系(一) 课型 新授课
教学目标 1）知识方法目标了解命题的概念，2）能力目标会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若，则”的形式.
教学重点难点 重点：命题的改写2）难点：命题概念的理解，命题的条件与结论区分
教法与学法 教法：
教学过程 备注
课题引入（创设情景） 阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；（2）3；（3）3吗？（4）8是24的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子.
2.问题探究1）难点突破2）探究方式3）探究步骤4）高潮设计 1.命题的概念：①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）；假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题.③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数是素数，则是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨.（学生自练个别回答教师点评）④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.2. 将一个命题改写成“若，则”的形式：①例1中的（2）就是一个“若，则”的命题形式，我们把其中的叫做命题的条件，叫做命题的结论.②试将例1中的命题（6）改写成“若，则”的形式.③例2：将下列命题改写成“若，则”的形式.（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等.（学生自练个别回答教师点评）3. 小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若，则”的形式. 引导学生归纳出命题的概念，强调判断一个语句是不是命题的两个关键点：是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”。通过例子引导学生辨别命题，区分命题的条件和结论。改写为“若，则”的形式，为后续的学习打好基础。
3.练习提高 1. 练习：教材 P4　1、2、3　 师生互动
4.作业设计 作业：1、教材P8第1题2、作业本1-10
5.课后反思 本节课是一堂概念课，比较枯燥，在教学时应充分调动学生的积极性，比如引例中的“他是个高个子.”例1中的“（7）明天下雨.”等比较有趣的生活问题，和学生有充分的语言交流，在一问一答中，引导学生完成本节课的学习。
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1§3.2　立体几何中的向量方法(三)
——　利用向量方法求距离
知识点一　求两点间的距离
　已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使面ABC与面ADC垂直，求BD间的距离．
解　方法一　
过D和B分别作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
则由已知条件可知AC＝5，
∴DE＝＝，BF＝＝.
∵AE＝＝＝CF，
∴EF＝5－2×＝，
∴＝＋＋.
||2＝ (＋＋)2＝2＋ 2＋2＋2·＋2·＋2·.
∵面ADC⊥面ABC，而DE⊥AC，
∴DE⊥面ABC，
∴ DE⊥BF, ⊥,
||2＝2＋2＋2＝＋＋＝，
∴||＝.
故B、D间距离是.
方法二　
同方法一．过E作FB的平行线EP，以E为坐标原点，以EP，EC，ED所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图．
则由方法一知DE＝FB＝，
EF＝，∴D，B，
∴＝，
| |＝ ＝.
【反思感悟】　求两点间的距离或某线段的长度的方法：
(1)把此线段用向量表示，然后用|a|2＝a·a通过向量运算去求|a|.(2)建立空间坐标系，利用空间两点间的距离公式d＝求解．
　如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜ )．
(1)求MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小．
解　(1)
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)
∵CM＝BN＝a(0且四边形ABCD、ABEF为正方形，
∴M(a,0,1－a)，N(a，a,0)，
∴|＝(0，a，a－1)，∴||＝.
(2)由(1)知MN＝，
所以，当a＝时，MN＝.
即M、N分别移到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为.
知识点二　求异面直线间的距离
　如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝，求异面直线AB与EB1的距离．
解.以B为原点，、所在直线分别为y、z轴，如图建立空间直角坐标系．
由于BC＝1，BB1＝2，
AB＝，∠BCC1＝，
在三棱柱ABC—A1B1C1中有B(0,0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，
设 E ()，由EA⊥EB1，得?·=0，
即·＝0，
得＝0，即a＝或a＝(舍去)，
故E.
设n为异面直线AB与EB1公垂线的方向向量，
由题意可设n＝(x，y,0)，
则有n·=0.
易得n＝(，1,0)，
∴两异面直线的距离d＝
＝＝1.
【反思感悟】　求异面直线的距离，一般不要求作公垂线，若公垂线存在，则直接求解即可；若不存在，可利用两异面直线的法向量求解．
　
如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，M、N分别为DC、BB1的中点，求异面直线MN与A1B的距离．
解　以A为原点，AD、AB、AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A1(0,0,2)，B(0,4,0)，M(3,2,0)，N(0,4,1)．
∴|＝(－3,2,1)，＝(0,4，－2)．
设MN、A1B公垂线的方向向量为
n＝(x，y，z)，
则 即.
令y＝1，则z＝2，x＝，
即n＝，|n|＝.
＝(－3，－2,2)在n上的射影的长度为
d＝,
故异面直线MN与A1B的距离为.
知识点三　求点到平面的距离
　在三棱锥B—ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离．
解　
如图所示，以AD的中点O为原点，以OD、OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，
则A，B，
C，D，
∴=，
＝，＝，
设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，
则，
∴y＝－x，z＝－x，可取n＝(－，1,3)，
代入d＝，得d＝＝，
即点D到平面ABC的距离是.
【反思感悟】　利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可．
　
正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN平面与EFBD间的距离.
解　如图所示，建立空间直角坐标系D—xyz，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，
从而＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，
＝(－2,0,4)，＝(－2,0,4)， ∴＝， ＝，
∴EF∥MN，AM∥BF，
∴平面AMN∥平面EFBD.
设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，
从而
解得.
取z＝1，得n＝(2，－2,1)，
由于在n上的投影为＝＝－.
∴两平行平面间的距离d＝＝.
课堂小结：
1．求空间中两点A，B的距离时，当不好建系时利用|AB|＝||
＝来求．
2．两异面直线距离的求法．如图(1)，n为l1与l2的公垂线AB的方向向量，
d＝||＝.
3点B到平面α的距离：|? |=.(如图(2)所示)?
4.面与面的距离可转化为点到面的距离.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1.若O为坐标原点，? =（1，1， 2），? =（3，2，8），?
=（0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为
（ ）
?
A. B．2
C. D.
答案　D
解析　由题意＝(1－t)＝(＋)＝(2，，3)，
＝－＝(1－t)＝(－2，－，－3)，PC＝||＝ ＝.
2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　)
A． B.
C. D.
答案　B
解析 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则有D1（0，0，1），D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1）.因O为A1C1的中点，所以O（，,1），? =（， ，0），设平面ABC1D1的法向量为 n=（x,y,z），则有
即 则 n = （1，0，1），
∴O到平面ABC1D1的距离为：,
.
3．在直角坐标系中，设A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，则A、B两点间的距离为(　　)
A．2 B.
C. D．3
答案　A
解析　＋
2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝9＋25＋4＋2×3×2×＝44.
∴||＝2.
4．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析 如图所示，? =（2，0，0），
=（1，0，2），
∴?cosθ= ?＝＝，
∴sinθ＝＝，
A到直线BE的距离d＝|－*6]·|sinθ＝2×＝.
二、填空题
5．已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________．
答案　
解析　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
∴n＝，
又? =（7，7，7）.
∴点D到平面ABC的距离d =
＝.
6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为2，E为A1B1的中点，则异面直线D1E和BC1间的距离是________．
答案　
解析 如图所示建立空间直角坐标系,设n为异面直线D1E与BC1公垂线的方向向量,并设n=(x,y,z),则有
易求得n=（1， 2，1），
∴d=＝＝＝.
7．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点A到平面A1BD的距离为________．
答案　a
解析　以D为空间直角坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，
则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，A1(a,0，a)．
设n＝(x，y，z)为平面A1BD的法向量，
则有，
即
∴令x＝1，
∴n＝(1，－1，－1)．
∴点A到平面A1BD的距离
d＝＝＝a.
三、解答题
8．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，
C1(0,4,3)．设F(0,0，z)．
∵四边形AEC1F为平行四边形，
∴由
得（-2，0，z）=（-2，0，2），
∴z=2.∴F（0，0，2）.
∴?=（-2，-4，2）.
于是||=
（2）设n1为平面AEC1F的一个法向量，
显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1=（x，y，1），
由
得
即∴
∴n1=（1, ,1）.
又?=(0,0,3),设?与n1的夹角为α,则
?cosα=
∴C到平面AEC1F的距离为
d=||cosα=3×
9．已知：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点．
(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；
(2)求点D1到平面B1EF的距离．
(1)证明　
建立如右图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，
B(2，2，0)，E(2，，0)，
F(，2，0)，D1(0,0,4)，
B1(2，2，4)．
＝(－， ，0)， ＝(2，2，0)， ＝(0,0,4)，
·＝0.
∴EF⊥DB，EF⊥DD1，DD1∩BD＝D，
∴EF⊥平面BDD1B1.
又EF平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
（2）解由（1）知? =
?=，=,
设平面B1EF的法向量为n,且n = (x,y,z)，
则n⊥,n⊥，
即n·=（x，y，z）·＝－x＋y＝0，
n·＝(x，y，z)·(0，－，－4)＝－y－4z＝0.
令x＝1，则y＝1，z＝－，∴n＝.
∴D1到平面B1EF的距离
＝＝
10．直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点．
(1)求二面角O1—BC－D的大小；
(2)求点E到平面O1BC的距离．
解　(1)∵OO1⊥平面AC，
∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，
建立如图所示的空间直角坐标系，
∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，
∴OA=2，OB=2，
则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，O1(0,0,3)
设平面O1BC的法向量为n1=（x,y,z），则n1⊥， n1⊥,
∴，
若z＝2，则x＝－，y＝3， ∴n1＝(－，3,2)，
而平面AC的法向量n2＝(0,0,3)
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝，设O1－BC－D的平面角为α，∴cosα＝，
∴α＝60°.故二面角O1－BC－D为60°.
(2)设点E到平面O1BC的距离为d，
∵E是O1A的中点，∴? ＝(－，0，)，
则d=＝＝
∴点E到面O1BC的距离等于.
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13. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
教学目标
1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
重、难点
1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。
2．坐标判断两个空间向量平行。
教学过程
1．情景创设：
平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？
2．建构数学：
如图：在空间直角坐标系中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量作为基向量，对于空间任一向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使；有序实数组（x，y，z）叫做向量的空间直角坐标系中的坐标，记作＝（x，y，z）。
在空间直角坐标系O－xyz中，对于空间任意一点A（x，y，z），向量是确定的，容易得到
。
因此，向量的坐标为（x，y，z）。
这就是说，当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a的坐标。
类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。
设a＝（），b＝（），则
a+b＝（），
a－b＝（），
a＝（）。
空间向量平行的坐标表示为
a∥b（a≠0）。
例题分析：
例1：已知a＝（1，－3，8），b＝（3，10，－4），求a+b，a－b，3a。
例2：已知空间四点A（－2，3，1），B（2，－5，3），C（10，0，10）和D（8，4，9），求证：四边形ABCD是梯形。
例3：求点A（2，－3，－1）关于xOy平面，zOx平面及原点O的对称点。
练习：见学案
小结：
作业：见作业纸
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
课前预习学案
预习目标：1、空间向量与有序数组之间的一一对应关系；
2．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
预习内容：
1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫 ．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量． 叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
2、空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点， ，使 ，有序实数组 叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作 ，叫 ，叫 ，叫 ．
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
学习目标：1、理解空间向量与有序数组之间的一一对应关系；
2．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
重点难点：空间向量的坐标表示
学习过程：
例1：已知a＝（1，－3，8），b＝（3，10，－4），求a+b，a－b，3a。
例2：已知空间四点A（－2，3，1），B（2，－5，3），C（10，0，10）和D（8，4，9），求证：四边形ABCD是梯形。
。
当堂检测：
1求点A（2，－3，－1）关于xOy平面，zOx平面及原点O的对称点
课后练习与提高：
1．一向量的终点在点B(2,-1,7),它在坐标轴上的射影顺次是4，-4和7，则这向量的终点A的坐标是（　　）
　　A、(-2,3,0)　　 B、(-1,3,5)　　 C、(3,-1,2)　　 D、(0,2,-2)
　　2．点(1,-3,2)关于点(-1,2,1)的对称点是（　　）
　　A、(-2,7,1)　　 B、(-3,7,0)　　 C、(1,-7,0)　　 D、(1,2,5)
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3§1.1.2 四种命题间的相互关系
一、自主学习
预习课本6—8页完成下列问题
1、四种命题间的相互关系：
2、反证法证题的步骤：
3、常见的反设：
二、自主探究：
〖例1〗：原命题：“若,则”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。
〖例2〗：判断下列命题的真假：
（1）命题“当时，抛物线与轴存在交点”的逆否命题。
（2）若且，则。
〖例3〗：若都为正实数，且。求证：和中至少有一个成立。
课堂小结
三、巩固练习：
1、命题“都是奇数，则是偶数”的逆否命题是（ ）
A、都不是奇数，则是偶数 B、是偶数，都是奇数
C、不是偶数，都不是奇数 D、不是偶数，不都是奇数
2、用反证法证明命题：“，能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容是（ ）
A、都能被5整除 B、都不能被5整除
C、不都能被5整除 D、不能被5整除，或不能被5整除
3、若命题的逆命题是，命题是命题的否命题，则是的（ ）
A、逆命题 B、否命题 C、逆否命题 D、以上都不正确
4、设原命题：若，则中至少有一个不小于。则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）
A、原命题真，逆命题假 B、原命题假，逆命题真
C、原命题与逆命题均为真命题 D、原命题与逆命题均为假命题
5“中,若,则都是锐角”为 ；
6、“若，则”的等价命题是 ；
7、分别写出命题“若，则全为”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假。
8、已知下列三个方程：至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围。§2.3.1 双曲线及其标准方程
学习目标
1．掌握双曲线的定义；
2．掌握双曲线的标准方程．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P52~ P55，文P45~ P48找出疑惑之处）
复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？
复习2：在椭圆的标准方程中，有何关系？若，则写出符合条件的椭圆方程．
二、新课导学
※ 学习探究
问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？
如图2-23，定点是两个按钉，是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点移动时，
是常数，这样就画出一条曲线；
由是同一常数，可以画出另一支．
新知1：双曲线的定义：
平面内与两定点的距离的差的 等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线。
两定点叫做双曲线的 ，
两焦点间的距离叫做双曲线的 ．
反思：设常数为 ，为什么？
时，轨迹是 ；
时，轨迹 ．
试试：点，，若，则点的轨迹是 ．
新知2：双曲线的标准方程：
（焦点在轴）
其焦点坐标为，．
思考：若焦点在轴，标准方程又如何？
※ 典型例题
例1已知双曲线的两焦点为，，双曲线上任意点到的距离的差的绝对值等于，求双曲线的标准方程．
变式：已知双曲线的左支上一点到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为 ．
例2 已知两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
变式：如果两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？
小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置．
动手试试
练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在轴上，，；
（2）焦点为，且经过点．
练2．点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们斜率之积是，试求点的轨迹方程式，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状．
三、总结提升
※ 学习小结
1 ．双曲线的定义；
2 ．双曲线的标准方程．
知识拓展
GPS(全球定位系统)： 双曲线的一个重要应用．
在例2中，再增设一个观察点，利用，两处测得的点发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点的准确位置．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（ ）．
A. 双曲线 B. 双曲线的一支
C. 两条射线 D. 一条射线
2．双曲线的一个焦点是，那么实数的值为（ ）．
A． B． C． D．
3．双曲线的两焦点分别为，若，则（ ）．
A. 5 B. 13 C. D.
4．已知点，动点满足条件. 则动点的轨迹方程为 ．
5．已知方程表示双曲线，则的取值范围 ．
课后作业
求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在轴上，，经过点；
（2）经过两点，．
2．相距两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差，已知声速是，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？
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1§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)
学习目标
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；
2．掌握椭圆的定义；
3．掌握椭圆的标准方程．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P58~ P60，文P51~ P53找出疑惑之处）
复习1：说出双曲线的几何性质
复习2：双曲线的方程为，
其顶点坐标是( )，( )；
渐近线方程 ．
二、新课导学
※ 学习探究
探究1：椭圆的焦点是？
探究2：双曲线的一条渐近线方程是，则可设双曲线方程为？
问题：若双曲线与有相同的焦点，它的一条渐近线方程是，则双曲线的方程是？
※ 典型例题
例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．
例2点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点的轨迹．
（理）例3过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求两点的坐标．
变式：求 ？
思考：的周长？
※ 动手试试
练1．若椭圆与双曲线的焦点相同，则=____.
练2 ．若双曲线的渐近线方程为，求双曲线的焦点坐标．
三、总结提升
※ 学习小结
1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合；
2．双曲线的另一定义；
3．（理）直线与双曲线的位置关系．
知识拓展
双曲线的第二定义：
到定点的距离与到定直线的距离之比大于1的点的轨迹是双曲线．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
2．以椭圆的焦点为顶点，离心率为的双曲线的方程（ ）．
A. B.
C. 或 D. 以上都不对
3．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线于、，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（ ）．
A. B. C. D.
4．双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_______________.
5．方程表示焦点在x轴上的双曲线，则的取值范围 ．
课后作业
1．已知双曲线的焦点在轴上，方程为，两顶点的距离为，一渐近线上有点，试求此双曲线的方程．
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1§1.4 全称量词与存在量词
自主学习
预习课本21-25页，完成下列问题
1. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符“ 表示，含有 的命题，叫做全称命题.其基本形式为： ，读作：
2. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用“ 表示，含有 的命题，叫做特称称命题.
其基本形式 ，读作：
3. 一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论：
全称命题：，它的否定：
4. 一般地，对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论：
特称命题：，它的否定： 。
思考：如何对含有一个量词的命题进行否定？
自主探究
【题型一】全称命题、特称命题的判断
例1．判断下列命题是不是全称命题或者存在命题
（1）对数函数都是单调函数 （2）有一个实数，使
（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；
（4）存在两个相交垂直于同一条直线
变式：判断下列命题的真假：
（1） （2）
【题型二】全称命题、特称命题的否定及真假判断
例2．写出下列全称命题、特称命题的否定，并判断真假
(1) ： （2) ：所有的正方形都是矩形
(3) ：； (4) ：至少有一个实数，使
【题型三】 利用命题的真假性解决问题
例3． 若,如果对于，为假命题，且为真命题，求实数m的取值范围.
课堂小结
巩固练习
1. 下列命题为特称命题的是（ ）.
A.偶函数的图像关于轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线都是平行线 D.存在实数大于等于3
2.下列命题中假命题的个数（ ）.
(1)； （2）；
（3）能被2和3整除；（4）
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
3.命题“对任意的”的否定是（ ）.
A. 不存在 B. 存在
C. 存在 D. 对任意的
4.下列命题中
（1）有的质数是偶数；（2）与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；（3）有的三角形三个内角成等差数列；（4）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中全称命题是
特称命题是 .
5. 用符号“”与“”表示下列含有量词的命题.
(1)实数的平方大于等于0： （2）存在一对实数使成立：
6. 平行四边形对边相等的否定是
7. 命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是 。
8．把下列命题写成含有量词的命题：
（1）余弦定理；（2）正弦定理.抛物线的简单几何性质
课前预习学案
预习目标
回顾抛物线的定义及抛物线的标准方程，预习抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质
预习内容
复习回顾
抛物线定义
叫作抛物线； 叫做抛物线的焦点。 叫做抛物线的准线
图形
方程
焦点
准线
（2）抛物线的标准方程
①相同点 ；
②不同点 ；
（3）回顾练习
①已知抛物线y2＝2px的焦点为F，准线为l，过焦点F的弦与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作AP⊥l，BQ⊥l，M为PQ的中点，求证：MF⊥AB
②在抛物线y2＝2x上方有一点M（3，），P在抛物线上运动，|PM|=d1,P到准线的距离为d2，求当d1 +d2最小时，P的坐标。
2、预习新知
（1）根据抛物线图像探究抛物线的简单几何性质
①范围 ： ；
②对称性： ；
③顶点： ；
④离心率： ；
（2）自我检测：
1．已知点，直线：，点是直线上的动点，若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点所在曲线是（ ）
圆 椭圆 双曲线 抛物线
2．设抛物线的焦点为，以为圆心，长为半径作一圆，与抛物线在轴上方交于，则的值为 （ ）
8 18 4
3．过点的抛物线的标准方程是 ．
焦点在上的抛物线的标准方程是 ．
4．抛物线的焦点为，为一定点，在抛物线上找一点，当为最小时，则点的坐标 ，当为最大时，则点的坐标 ．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容




课内探究学案
一、学习目标
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化
二、学习过程
1、定义 ；
2、标准方程 ；
3、几何性质
①范围 ： ；
②对称性： ；
③顶点： ；
④离心率： ；
4、完成下表
标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率
轴
轴
思考问题：抛物线是双曲线的一支吗？为什么？
5、分析例题
例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．
例3 过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，
求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．
例4． 已知抛物线与圆相交于两点，圆与轴正半轴交于点，直线是圆的切线，交抛物线与，并且切点在上．
（1）求三点的坐标．（2）当两点到抛物线焦点距离和最大时，求直线的方程．
课后练习与提高
1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（ B ）
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
2．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ B ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则=（ C ）
（A） （B） （C） （D）
4．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是 ______ (答案： )
5.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标
（答案： , M到轴距离的最小值为）
6．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．
7．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则∠A2FB2等于　　　　　　　
8．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
9．以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．
10．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？
抛物线的简单几何性质
教学目的：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化
教学重点：抛物线的几何性质及其运用
教学难点：抛物线几何性质的运用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
?“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一 对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用
研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论 已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为（或），则轴（或轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数
本节分两课时进行教学第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3
教学过程：
一、复习引入：
1．抛物线定义：
图形
方程
焦点
准线
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线
2．抛物线的标准方程：
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即
不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为 （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号
二、讲解新课：
抛物线的几何性质
1．范围
因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
2．对称性
以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．
4．离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
对于其它几种形式的方程，列表如下：
标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率
轴
轴
轴
轴
注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离
抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线
通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率
附：抛物线不存在渐近线的证明．（反证法）
假设抛物线y2＝2px存在渐近线y＝mx＋n，A（x，y）为抛物线上一点，
A0（x，y1）为渐近线上与A横坐标相同的点如图，
则有和y1＝mx＋n．
∴
当m≠0时，若x→＋∞，则
当m＝0时，，当x→＋∞，则
这与y＝mx＋n是抛物线y2＝2px的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线
三、讲解范例：
例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p．
解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，
所以 ，即
因此，所求的抛物线方程为．
将已知方程变形为，根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，得
x 0 1 2 3 4 …
y 0 2 2.8 3.5 4 …
描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分
点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．
分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值．
解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．
设抛物线的标准方程是 (p＞0)．
由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得，
即
所求的抛物线标准方程为．
例3 过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，
求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．
证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则
｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线相切．
四、课堂练习：
1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（ B ）
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
2．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ B ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则=（ C ）
（A） （B） （C） （D）
4．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是 ______ (答案： )
5.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标
（答案： , M到轴距离的最小值为）
五、小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等
六、课后作业：
1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．
2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则∠A2FB2等于　　　　　　　
3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
4．以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．
5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？
习题答案：
1．（1）y2＝±32x （2）x2＝8y （3）x2＝－8y
2．90°
3．x2＝±16 y
4．
5．米
七、板书设计（略）
八、课后记：
l y
P A
M
O F x
Q B
图①第三章 间向量与立体几何
§3.1　空间向量及其运算
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　空间向量概念的应用
　给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；
③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC=;
④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中假命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析　①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；
②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同；
与与的方向相同，模也相等，应有＝；
④真命题．向量的相等满足递推规律；
⑤假命题．空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．故选C.
答案　C
知识点二　空间向量的运算
化简：（ ） ( )
解 方法一 （ ）()=+
=+++=（+）+（+）=+=0。
方法二 （）()=+
=（）+（）=+=0。
在四面体ABCD中，M为BC的中点，Q为△BCD的重心，设AB=b AC=c AD=d，试用
b，c，d表示向量，、，，和。
解 如图所示
=+=db,
=+=cb,
=+=dc,
=(+)
=(b d+cd)= (b+c2d),
=+=d+,
=d+( b+c2d)=(b+c+d).
知识点三　证明共线问题
　已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且
=,=.求证：四边形EFGH是梯形.
证明 ∵E、H分别是AB、AD的中点
所以 =,=,
=-= =()=
=（-）={-}
=（）=,∴四边形EFGH是梯形.
知识点四　证明共面问题
正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BB1和A1D1的中点.
证明：向量，，是共面向量.
证明 方法一 如图所示.=+ +
= +-
=（ ）。
由向量共面的充要条件知，，，是共面向量。
方法二　连结A1D、BD，取A1D中点G，连结FG、BG(如图所示)，
则有FGDD1，BE DD1，
∴FGBE.
∴四边形BEFG为平行四边形．
∴EF∥BG.∴EF∥平面A1BD.
同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD.
∴，，都与平面A1BD平行
∴，，共面.
知识点五　数量积的运算
　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算
（1）·;(2) ·;(3) ·.
解 (1）·=·||=||·||·cos<·>60°?=, 所以·=,
（2）·=||·||·cos<,>=×1×1×cos0°=,
所以 ·=,(3) ·=·
=||·||·cos<,>=×1×1×cos120°
=-，
所以 ·=-，
知识点六　数量积的应用
　已知点O是正△ABC平面外的一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦值．
如图所示，设=a, =b, =c, 则a·b=b·c=c·a=，
|a|=|b|=|c|=1，=(a+b),= c-b,
·=(a+b)·{c-b}
={a ·c + b·c - a·b -|b|2 }
= ×{ + - - 1 } = -,
∴?cos〈,〉===
∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为.
　如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．
　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
证明 如图所示，设 = a ， = b，= c ，
则a·b = 0， b·c = 0， c·a = 0，
且|a| = |b| = |c| ，
而 =+=+(+)=e + (a + b),
= - = b – a , = +
=(+) + = (a + b ) - c
∴· = { c + a + b}·(b –a )
= c·( b – a ) + ( a + b) ·( b – a )
= c·b - c ·a + (|b|2 - | a |2
· = { c + a +b} – { a + b - c}
=( |a|2 +|b|2) - |c|2=0
∴ ?A1O平面BDG
知识点七　空间向量的坐标运算
　已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求满足下列条件的P点的坐
(1) = ( );
(2) = ( );
解 = （2，6，3），=（4，3，1）。
（1）=( ) =(6 , 3 , 4 )={3,, 2},
则P点的坐标为{3，，2）.
(2)设P（x,y,z）则， =（ x – 2 , y + 1 , z – 2 ）.
又因为( - )?= (3,,-2),
所以x=5, y= , z=0,
故P点坐标为（5，，0）.
知识点八　坐标运算的应用
　在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题．
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成的角的余弦值；
(3)求FH的长.
解　
如图所示，建立空间直角坐标系D—xyz，D为坐标原点，则有
E（0，0，）、F（，，0）、C（0，1，0）、C1（0，1，1）、B1（1，1，1）、G（0，，0）.?.
（1）?=（，，0）-（0，0，）={，， ），
=（0，1，0）-（1，1，1）=（-1，0，-1）.
∴ ·= ×(-1)+ ×0+(-)×(-1)=0,
∴?EF⊥B1C,即EF⊥B1C.
(2)∵ =（0, ,0）-(0,1,1)=（0,-,-1）.
∴||= 又·=×0+×（-）+（-）×(-1)=,
||= , ∴?cos〈E,〉=
=
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
（3）∵F（，，0）、H（0，，），
∴? =（-，，），
∴||=
　在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：
(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．
解　
建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）由题意得A（2，0，0），O1（0，0，2），
B1（2，3，2），E（1，3，0）.
∴?=（-2，0，2），
? =（1，0， 2），
∴?cos〈,〉=
∴AO1与B1E所成角的余弦值为
（2）由题意得⊥，?∥，
∵C（0，3，0），设D（x,y,0）,
∴ = (x,y, 2),? = (x 2,y,0),? = (2,3,0),

∴ 解得
∴D(,,0 ) ∴|O1D| = |O1D| =
考题赏析
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(福建高考)
如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
(3)求点A到平面PCD的距离．
(1)证明　在△PAD中，PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO 平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.
（2）解以O为坐标原点，?、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O—xyz.
则A（0， 1，0），B（1， 1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
所以?=（1，1，0），
? =（1， 1， 1），
?cos〈?，〉=,
所以异面直线PB与CD所成角的余弦值为.
(3)解　由(2)得CD＝OB＝，
在Rt△POC中，PC＝＝，
所以PC＝CD＝DP，S△PCD＝·2＝.
又S△ACD＝AD·AB＝1，设点A到平面PCD的距离为h，由VP—ACD＝VA—PCD，得S△ACD·OP＝S△PCD·h，
即×1×1＝××h，解得h＝.
2．(四川高考)
如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BCAD，BEFA，G、H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
(3)设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.
解　由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直．
如图，以A为坐标原点，射线AB为x轴正方向，以射线AD为y轴正方向，以射线AF为z轴正方向，建立直角坐标系A—xyz.
(1)证明　设AB=a，BC=b，BE=c，则由题设得
A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，
G(0,0，c)，H(0，b，c)．所以， =（0，b，0），=（0，b，0），于是 = 又点G不在直线BC上，
所以四边形BCHG是平行四边形.
（2）解 C、D、F、E四点共面.
理由如下：由题设知F（0，0，2c），
所以 =（-a，0，c）， =（-a，0，c），? =?.
又C EF，H∈FD，故C、D、F、E四点共面.
（3）证明 由 AB=BE，得c = a，
所以 =（a，0，a），? =（a，0，a）.
又?=（0，2b，0），因此?·?=0，?·?= 0.
即CH⊥AE，CH⊥AD.
又AD∩AE=A，
所以CH⊥平面ADE.
故由CH∩平面CDFE，
得平面ADE⊥平面CDE.
.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．空间的任意三个向量a，b,3a－2b，它们一定是(　　)
A．共线向量 B．共面向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量
答案　B
解析　如果a，b是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a，b,3a－2b共面；若a，b共线，则a，b,3a－2b共线，当然也共面，故选B.
2．若a，b是平面α内的两个向量，则(　　)
A．α内任意一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0
C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
答案　D
解析　当a与b是共线向量时，A不正确，当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B不正确，若a、b不共线，则平面α内的向量都可用a、b表示，对空间向量不行，故C不正确，D正确，选D.
3．有4个命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a、b共面；
②若p与a、b共面，则p＝xa＋yb；
③若? = x+y ，则P、M、A、B共面；
④若P、M、A、B共面，则 = x+y
其中真命题的个数是(　　)
A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4
答案　B
解析 命题①③正确，命题②④不正确.因命题②中若a∥ b，则p不能用a， b表示，命题④中，若M、A、B三点共线，则也不能用、表示.
4. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足?·?=0，· = 0，?·? = 0，则△BCD是 ( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
答案　B
5．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　)
A.6 B．6 C．12 D．144
答案　C
解析 因为 =++，所以?2=?2+2+ 2+2· = 36+36+36+2×36cos60 =144.
所以?||=12.?
6．若四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为(　　)
A. B．(2,3,1)
C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)
答案　D
7. 在△ABC中，已知=（2，4，0），=（1，3，0），则∠ABC=____.
答案 135°?
解析 因为 =（2， 4，0）， =（1，3，0），所以?· = 2 12+0 = 10，|| = ,
?||=,所以cos〈,〉=
==
.所以∠ABC=135°?.
8．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C—AB—D的余弦值为，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于________．
答案　
9. 已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有 =2+ +λ，则λ=_____..
答案.
解析 因为P、A、B、C四点共面，
所以?=x+y+z，
且x+y+z = 1，所以2 + +λ=1，得λ=
10．命题①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；②向量a，b，c共面，则它们所在直线也共面；③若a与b共线，则存在惟一的实数λ，使b＝λa；④若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，＝＋＋，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部．上述命题中真命题是________．
答案　④
解析　①中b为零向量时，a与c可以不共线，故①是假命题；②中a，b，c所在的直线其实不确定，故②是假命题；③中当a＝0，而b≠0时，则找不到实数λ，使b＝λa，故③是假命题；④中M是△ABC的重心，故M在平面ABC上且在△ABC内，故④是真命题．
11．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________.
答案　－
解析　由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，a2＋λa·b＋a·b＋λb2＝0,18＋λ×3×4×cos135°＋3×4×cos135°＋16λ＝0,4λ＋6＝0，λ＝－.
12. 在四面体O-ABC中，=a， =b，? =c，D为BC的中点，E为AD的中点，则?= _____（用a， b， c表示）.
答案　a＋b＋c
解析 如下图由三角形法则，易得?=? ?= b a，?
= ?=c b， ==（c b），
= + =b + c a，
= =b + c a ，
所以 =?+= a + b + c a = a + b +c.
13．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA＝AD＝2，E、F分别为棱AD、PC的中点．求异面直线EF和PB所成的角的大小．
解　以直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．
∵E为AD中点，∴E（0，1，0）.
又F为PC中点，∴F（1，1，1）.
∴?=（1，0，1）.
又?=（2，0，2），
∴?cos〈 ，〉=
∴〈·〉=90°?.
∴异面直线EF和PB所成角的大小为90°?.
14．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
（1）求以、为边的平行四边形的面积;
（2）若|a|= 且a分别与、垂直，求向量a的坐标.
解 =（2， 1，3）， = （1， 3，2），

（1）∵?cosθ= =
∴?sinθ =
∴S?=||·||sinθ=7.
即以、?为边的平行四边形面积为7.
（2）设a =（x，y，z），
由|]a|= ， a⊥?，a⊥可得
或
∴a＝(1,1,1)或(－1，－1，－1).
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1§2.1.2 曲线与方程（2）
学习目标
1. 求曲线的方程；
2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P36~ P37，找出疑惑之处）
复习1：已知曲线C的方程为 ，曲线上有点，的坐标是不是 的解？点在曲线上,则=___ ．
复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程之间有哪些关系
二、新课导学
※ 学习探究
引入：
圆心的坐标为，半径为，求此圆的方程．
问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．
探究：若，如何建立坐标系求的垂直平分线的方程．
※ 典型例题
例1 有一曲线,曲线上的每一点到轴的距离等于这点到的距离的倍，试求曲线的方程．
变式：现有一曲线在轴的下方，曲线上的每一点到轴的距离减去这点到点，的距离的差是，求曲线的方程．
小结：点到轴的距离是 ；
点到轴的距离是 ；
点到直线的距离是 ．
例2已知一条直线和它上方的一个点，点到的距离是，一条曲线也在的上方，它上面的每一点到的距离减去到的距离的差都是，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．
※ 动手试试
练1． 有一曲线,曲线上的每一点到轴的距离等于这点到直线的距离的倍，试求曲线的方程．
练2. 曲线上的任意一点到,两点距离的平方和为常数
,求曲线的方程．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 求曲线的方程；
2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．
※ 知识拓展
圆锥曲线的统一定义：
到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是圆锥曲线．
：椭圆；
： 抛物线；
： 双曲线．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．方程的曲线经过点，，，中的（ ）.
A．个 B．个 C．个 D．个
2．已知，，动点满足
,则点的轨迹方程是（ ）.
A． B． C． D．
3．曲线与曲线的交点个数一定是（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
4．若定点与动点满足,则点的轨迹方程是 ．
5．由方程确定的曲线所围成的图形的面积是 ．
课后作业
1．以O为圆心，为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？
2．已知点的坐标是，过点的直线与轴交于点，过点且与直线垂直的直线与轴交于点．设点是线段的中点，求点的轨迹方程．
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1§3.2　立体几何中的向量方法 (二)
——　利用向量方法求角
知识点一　求异面直线所成的角
　已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都是1，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，E、F分别为A1B1与BB1的中点，求异面直线BE与CF所成角的余弦值．
解　如图所示，
解 如图所示，
设? = a，? = b，? = c.
则| a | = | b | = | c | =1，
〈 a,b〉=〈b,c〉=〈a,c〉= 60?°?,
∴a·b = b·c = a·c = ，
而? =? +? = a + c.
? = + = b + c,
∴|| ＝ ＝ ，| | ＝.
∴· ＝·
＝a·b－a·c－b·c＋c2＝，
cos〈，〉＝= ,
∴异面直线BE与CF夹角的余弦值是.
【反思感悟】　在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，首选向量法，利用向量求解．若能构建空间直角坐标系，求解则更为简捷方便.
　正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点．求：异面直线AE与CF所成角的余弦值．
解　不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、
E(1,0,2)、F(1,1,2)，由＝(－1,0,2)，
＝(1，－1,2)，得|| ＝，|| ＝.
∴ ·＝－1＋0＋4＝3.
又?· = ||·|?|·?cos?〈,?〉
= cos〈,?〉,
∴?cos?〈?,?〉=,
∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为
知识点二　求线面角
　正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．
解　方法一　
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，
A1(0,0，a)，C1，取A1B1中点M，则M，连结AM、MC1，有
＝，＝(0，a,0)，＝(0,0，a)，
由于?·? = 0，?· = 0，
∴MC1⊥面ABB1A1.
∴∠C1AM是AC1与侧面A1B所成的角θ.
∵? = , ＝，
∴·＝0＋＋2a2＝.
而|| ＝＝a，
||＝＝a，
∴cos〈 , 〉＝＝.
∴〈 ， 〉＝30°，
即AC1与侧面AB1所成的角为30°.
方法二　(法向量法)(接方法一)
＝(0,0，a)，＝(0，a,0)，
设侧面A1B的法向量n＝(λ，x，y)．
∴n·＝0且n·＝0
∴ax＝0，且ay＝0.
∴x＝y＝0，故n＝(λ，0,0)．
∵ ＝，
∴cos〈, n〉＝.
设所求线面角为θ，则sinθ＝|cos〈.，n〉|＝，θ＝30°.
【反思感悟】】　充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角．方法二给出了一般的方法，先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．
　
如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦．
解　由题设条件知，可建立以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴的空间直角坐标系(如图所示)．设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)．
∴＝(0,0,1)， ＝(－1，－1,1)．
是底面的法向量，它与已知向量是底面的法向量，
它与已知向量的夹角β＝90°－θ，故有sinθ＝cosβ＝＝＝，
于是cosθ＝＝.
知识点三　求二面角
　如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.求二面角A－BE－D的余弦值．
解　以B为原点，以BC、BA、BP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设平面EBD的一个法向量为n1＝(x，y,1)，
因为＝(0,2,1)，＝(3,3,0)，
由 得，
所以，
于是n1＝(，－，1)．
又因为平面ABE的一个法向量为
n2＝(1,0,0)，
所以，cos〈n1，n2〉＝＝.
所以，二面角A－BE－D的余弦值为.
【反思感悟】　几何法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．
　若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求二面角A—PB—C的余弦值．
解　
如图所示，建立空间直角坐标系，则
A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，
＝(0,0,1)， ＝(，0,0)， ＝(0，－1,1)，
设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)
则
??，
令x＝1，则m＝(1，－，0)．
设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，则
???.
令y′＝－1，则n＝(0，－1，－1)．
∴cos〈m，n〉＝＝.
∴二面角A—PB—C的余弦值为.
课堂小结：
1．两条异面直线所成角的求法
(1)向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为φ，则有cosθ＝|cosφ|＝.
(2)两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
2．直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有
sinθ＝|cosφ|＝或cosθ＝sinφ.
3．二面角的求法
与的夹角(如图①所示)．
(2)设n1、n2是二面角α—l—β的两个面α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图②所示)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于(　　)
A．30° B．150°
C．30°或150° D．以上均错
答案　A
2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)
A．30° B．60°
C．150° D．以上均错
答案　B
3．直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，直角顶点C在α内的射影是C′，则△ABC′是(　　)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．各种情况都有可能
答案　B
解析 ∵0 = ?· = （ +?）·（+?）
=||2+?·?.
∴?·? =||2< 0,
因A，B，C′不共线，故∠AC′B为钝角.
4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是(　　)
A．等于90° B．小于90°
C．大于90° D．不确定
答案　A
解析　A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，
·＝(＋)·
=·＋·＝0，
∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.
5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
二、填空题
6．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．
答案　60°
解析　cos〈n，ν〉＝＝－.∴〈n，ν〉＝120°.
7．正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是DD1，B1C1的中点，P是棱AB上的动点，则A1M与PN所成的角是________．
答案　90°
解析　设正方体每边之长为1，因
= ＋，
＋＋，
∴·＝·
= ·＋·＝－＝0，
∴⊥,即A1M与PN所成的角为90°.
三、解答题
8．已知正四棱锥S—ABCD的侧棱长为，底面的边长为，E是SA的中点，求异面直线BE和SC所成的角．
解　建立如图所示空间直角坐标系．
由于AB＝，SA＝，
可以求得SO＝.则
B，A，
C，S.
由于E为SA的中点，
所以E，
所以＝，
＝，
因为·＝－1，
||＝，||＝，
所以cos〈，〉＝＝－，
所以〈，〉＝120°.
所以异面直线BE与SC所成的角为60°.
9．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝FB＝1，
(1)求二面角C—DE—C1的正切值；
(2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值．
解　(1)
以A为原点，AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则有D(0,3,0)，D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，
于是? =（3,3，0），? =（1，3，2），? =（4，2，2）.
设平面C1DE的法向量为n=（x，y，z）.
则n⊥， n⊥
∴3x 3y=0,
x+3y+2z=0.
∴x=y=z.令z = 2,
则n＝(－1，－1,2)．
∵向量＝(0,0,2) 是平面CDE的一个法向量，
∴n与向量所成的角θ为二面角C—DE—C1的平面角．
∵cosθ＝∴tanθ＝.
(2)设EC1与FD1所成角的为β，
则?cosβ=＝.
10．正三棱锥O—ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知OA1＝.
(1)求证：B1C1⊥平面OAH；
(2)求二面角O—A1B1—C1的余弦值．
(1)证明　如图所示，以直线OA、OC、OB分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O—xyz，则
A(2,0,0)，B(0,0,2)，C(0,2,0)，E(1,0,1)，F(1,1,0)，
H，
＝， ＝，
＝(0,2，－2)，所以·＝0，·＝0，
所以BC⊥平面OAH.
由EF∥BC，得B1C1∥BC，故B1C1⊥平面OAH.
(2)解　由已知A1，设B1(0,0，z)，
则? =（，0，1），? =（1，0，z1），
由?与?共线得：存在λ∈R使? =λ，
得?
所以B1(0,0,3)，同理C1(0,3,0).
所以＝，=，
设n1=(x1,y1,z1)是平面A1B1C1的一个法向量，
则
即
令x1＝2，得y1＝z1＝1，所以n1＝(2,1,1)．
又n2＝(0,1,0)是平面OA1B1的一个法向量，
所以cos〈n1，n2〉＝＝＝.
所以二面角O－A1B1－C1的余弦值为.
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1§1.2.2 充要条件
自主学习：
预习课本11-12页，完成下列问题
1．一般地，如果既有，又有，就记作：, 这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的 条件，简称 条件。其中叫做等价符号。
2．传递性：若则 。
思考：判断充要条件关系的主要方法有哪些？
自主探究：
【题型一】 充要条件的判断
例1 下列各题中,哪些是的充要条件
(1) : ,:函数是偶函数；
(2) : :
(3) : ， :
变式：下列各题中,哪些是的充要条件
（1）在△ABC中，:∠A>∠B,:BC>AC；
(2) : a+b<0,且ab>0, :a<0,b<0；
【题型二】 充要条件的证明
已知A，B是直线L上任意两点，O是L外一点。
求证：点在直线上的充要条件是，且x+y=1。
课堂小结：
巩固练习：
1. 下列命题为真命题的是（ ）.
A.是的充分条件 B.是的充要条件
C.是的充分条件 D.是 的充要条件
2.“”是“”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设：，：关于的方程有实根，则是的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.的一个必要不充分条件是（ ）.
A. B. C. D.
5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空.
(1).是的
(2).是的
( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的
6 .求证：是等边三角形的充要条件是，这里是的三边.§1.3.1简单的逻辑联结词
自主学习
预习课本14-18页，完成下列问题
Ⅰ“且”或”“非”逻辑联结词的含义：
1.一般地,用逻辑联结词“且”把命题和命题联结起来就得到一个新命题，记作“ ”，读作“ ”
2.一般地,用逻辑联结词“或”把命题和命题联结起来就得到一个新命题，记作“ ”，读作“ ”.
3.一般地,对一个命题的全盘否定就得到一个新命题，记作“ ”，读作“ ”
或“ ”.
注意 （1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，含逻辑联结词的命题叫复合命题。
（2）命题、、与集合的交、并、补运算联系密切，可以借助集合的关系理解他们的含义。
Ⅱ 命题、、的真假判断：
真 真
真 假
假 真
假 假
思考 数学中的联结词或、且、非与日常生活中的或、且、非有哪些区别？
自主探究
【题型一】用逻辑联结词构成新命题
分别写出有下列各组命题构成的、、形式的复合命题：
（1）: 是无理数 :大于1 （2）: :
（3）: >x-4 :【题型二】 判断复合命题的构成
指出下列命题的形式及构成它的简单命题：
方程没有有理根；
两个角是45度的三角形是等腰直角三角形；
如果xy<0,则点（x,y）的位置在第二、四象限。
课堂小结
巩固练习
1. “或为真命题”是“且为真命题”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.命题：在中，是的充要条件；命题：是的充分不必要条件，则（ ）.
A.真假 B.假假 C.“或”为假 D.“且”为真
3.命题：（1）平行四边形对角线相等；（2）三角形两边的和大于或等于第三边；（3）三角形中最小角不大于；（4）对角线相等的菱形为正方形.其中真命题有（ ）.
A.1 B.2 C.3 D.4
4.命题：0不是自然数，命题：是无理数，在命题“或”“且”“非”“非”中假命题是 ，真命题是 .
5. 已知：，：都是假命题，则的值组成的集合为
6. 写出下列命题，并判断他们的真假：
（1），这里：，：； （2），这里：，：；
(3) ，这里：2是偶数，：3不是素数
(4) ，这里：2是偶数，：3不是素数.
7.判断下列命题的真假：
（1）且 （2） （3）或直线与圆锥曲线的位置关系
课前预习学案
一、预习目标
1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；
2. 会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．
二、预习内容
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：
；
2、弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．
3、弦长公式 ；
4、焦点弦长： ；
1．直线与抛物线，当 时，有且只有一个公共点；当 时，有两个不同的公共点；当 时，无公共点．
2．若直线和椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 ．
3．抛物线与直线交于两点，且此两点的横坐标分别为，，直线与轴的交点的横坐标是，则恒有（ ）
4．椭圆与直线交于两点，的中点为，且的斜率为，则的值为（ ）
5．已知双曲线 ，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（ ）
条 条 条 条
6．设直线交曲线于两点，
（1）若，则 ．（2），则 ．
7．斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，则 ．
8．过双曲线的右焦点作直线，交双曲线于两点，若，则这样的直线有（ ）
条 条 条 条
9．已知椭圆，则以为中点的弦的长度是（ ）
10．中心在原点，焦点在轴上的椭圆的左焦点为，离心率为，过作直线交椭圆于两点，已知线段的中点到椭圆左准线的距离是，则 ．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容




课内预习学案
学习目标
1、使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．
2、通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．
3、通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．
二、学习过程
1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？
2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？
3．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系
的焦点为F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：
4．直线l∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：
注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．
5．例题
例1．过点的直线与抛物线交于两点，若，，求的斜率．
例2．直线与双曲线的右支交于不同的两点，
（I）求实数的取值范围；（II）是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
例3．已知直线和圆：相切于点，且与双曲线相交于两点，若是的中点，求直线的方程．
例4．如图，过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于，（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离；（2）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数．
例5．椭圆的中心是原点，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于两点．（I）求椭圆的方程及离心率；（II）若求直线的方程；（III）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明．
课后练习与提高
1．以点为中点的抛物线的弦所在的直线方程为（ ）
2．斜率为的直线交椭圆于两点，则线段的中点的坐标满足方程（ ）
3．过点与抛物线只有一个公共点的直线的条数是（ ）
4．过双曲线的右焦点作垂直于实轴的弦，是左焦点，若，则双曲线的离心率是（ ）
5．过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则等于（ ）
6．直线与椭圆交于、两点，则的最大值是（ ）
7．已知双曲线与直线的两个交点关于轴对称，则这两个交点的坐标为 ．
8.与直线的平行的抛物线的切线方程是 ．
9.已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是（是大于0的常数）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上的一点，且过点的直线与轴交于点，若，求直线的斜率．
10．一个正三角形的三个顶点都在双曲线的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数的取值范围．
11．已知直线与双曲线相交于两点．是否存在实数，使两点关于直线对称？若存在，求出值，若不存在，说明理由．
点、直线与圆锥曲线的位置关系
　一、教学目标
(一)知识教学点
使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．
(二)能力训练点
通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．
(三)学科渗透点
通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．
二、教材分析
1．重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．
(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．)
2．难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．
(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)
3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．
(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)
三、活动设计
四、教学过程
(一)问题提出
1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？
引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一．
2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？
引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线l与圆锥曲线C的位置关系可分为：相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二．
(二)讲授新课
1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系
的焦点为F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：
(由教师引导学生完成，填好小黑板)
上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．
2．直线l∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：
注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．
3．应用
求m的取值范围．
解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．
由一名同学演板．解答为：
由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知：0＜m＜5．
又　 ∵直线与椭圆总有公共点，
即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，
亦即5k2≥1-m对一切实数k成立．
∴1-m≤0，即m≥1．
故m的取值范围为m∈(1，5)．
解法二：由于直线过定点(0，1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0，1)必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．
另解：
由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上知：0＜m＜5．
又∵直线与椭圆总有公共点．
∴ 直线所经过的定点(0，1)必在椭圆内部或边界上．
故m的取值范围为m∈(1，5)，
小结：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷．
称，求m的取值范围．
解法一：利用判别式法．
并整理得：
∵直线l′与椭圆C相交于两点，
解法二：利用内点法．
设两对称点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中点为M(x0，y0)，
∴y1+y2=3(x1+x2)．(1)
小结：本例中的判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法，类似可解抛物线、双曲线中的对称问题．
练习1：(1)直线过点A(0，1)且与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有几条？
(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？
由学生练习后口答：(1)3条，两条切线和一条平行于x轴的直线；(2)2条，注意到平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，故这样的直线也只有2条．
练习2：求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．
由教师引导方法，学生演板完成．解答为：
设(x′，y′)是曲线C上任意一点，且设它关于直线y=x-3的对称点为(x，y)．
又(x′，y′)为曲线C上的点，
∴(y+3)2+4(x-3)2=4．
∴曲线C的方程为：4(x-3)2+(y+3)2=4．
(三)小结
本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件．
五、布置作业
的值．
2．k取何值时，直线y＝kx与双曲线4x2-y2=16相交、相切、相离？
3．已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点，求m的取值范围．
作业答案：
1．由弦长公式易求得：k=-4
当4-k2=0，k=±2， y=±2x为双曲线的渐近线，直线与双曲线相离
当4-k2≠0时，△=4(4-k2)×(-6)
(1)当△＞0，即-2＜k＜2时，直线与双曲线有两个交点
(2)当△＜0，即k＜-2或k＞2时，直线与双曲线无交点
(3)当△=0，即k=±2时，为渐近线，与双曲线不相切
故当-2＜k＜2时，直线与双曲线相交
当k≤-2或k≥2时，直线与双曲线相离
六、板书设计2. 3.1双曲线及其标准方程
课前预习学案
预习目标：了解双曲线的定义及焦点、焦距的意义。
预习内容：平面内与两定点 , 的距离的差的绝对值等于常数(小于||)的点的轨迹叫做-------。两定点 , 叫做双曲线的_________ ，两焦点间的距离||叫做双曲线的________ ．
三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
一.学习目标：掌握双曲线的标准方程及其特点；会求简单的双曲线的标准方程。学习重难点：双曲线的定义的理解和标准方程的特点
二.学习过程：
问题 1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？
如图 2-23，定点 , 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，|| - || 是常数，这样就画出一条曲线；
由 || - || 是同一常数，可以画出另一支．
新知 1：双曲线的定义：平面内与两定点 , 的距离的差的绝对值等于常数(小于||)的点的轨迹叫做双曲线。
两定点 , 叫做双曲线的_________ ，
两焦点间的距离||叫做双曲线的________ ．
反思：设常数为2a ，为什么2a < || ？
2a = ||时，轨迹是__________ ；
2a > || 时，轨迹____________ ．
试一试：点 A( 1,0) ， B (-1 ,0) ，若 |AC| - |BC| = 1 ，则点C 的轨迹是__________ ．
新知 2：双曲线的标准方程：,(a> 0,b> 0, )（焦点在x 轴）其焦点坐标为 (- c ,0) ， (c ,0) ．
思考：若焦点在 y 轴，标准方程又如何？
三.反思总结：1.双曲线定义中需要注意的条件：
2.双曲线方程的特点（注意与椭圆对比、区分）：、的系数符号相反，若的系数为正，则焦点在轴上，反之则在轴上。
3.求双曲线方程关健是确定、，常见的方法是待定系数法或直接由定义确定。
四.当堂检测1．已知点和，曲线上的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（　）
A．
B．
C．或
D．
2．“ab<0”是“方程表示双曲线”的（　）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案：1.D 2.A
课后练习与提高
1．动圆与两圆和都相切，则动圆圆心的轨迹为（　）
A．抛物线
B．圆
C．双曲线的一支
D．椭圆
2．P为双曲线上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是（　）
A．内切
B．内切或外切
C．外切
D．相离或相交
3．双曲线的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（　）
A．（-∞，0]∪[1，+∞）
B．（-∞，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪[1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）
4．双曲线的一个焦点是，则m的值是_________。
5．过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______
6．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程。
答案：1.C 2.B 3.B 4. -2 5. . 6.提示：易知
由双曲线定义知
即
① 即
此时点的轨迹为线段AB的中垂线，其方程为x=1(y≠0)
② 即
此时点的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为 （y≠0）
2.3.1双曲线及其标准方程
【教学目标】掌握双曲线的标准方程及其特点；会求简单的双曲线的标准方程。
教学重点：双曲线的定义及其标准方程．
教学难点：双曲线标准方程的推导．
【教学过程】
预习检查、总结疑惑:察看导学案做的情况
情景导入、展示目标：(一)复习提问，平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a 时，形成的轨迹？
(1)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆．
(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数(等于|F1F2|)的点的轨迹是线段.
(3)常数2a|F1F2|时,无轨迹.
(二)双曲线的概念
把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？
合作探究、精讲点拨：观察如图 2-23，定点 , 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，|| - || 是常数，这样就画出一条曲线；
由 || - || 是同一常数，可以画出另一支．
双曲线的定义：平面内与两定点 , 的距离的差的绝对值等于常数(小于||)的点的轨迹叫做双曲线。现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．
标准方程的推导：
(1)建系设点
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)
建立直角坐标系．
设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．
(2)点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：
P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．
(3)代数方程
(4)化简方程
将这个方程移项，两边平方得：
两边再平方，整理得：
(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)
由双曲线定义，2c＞2a　 即c＞a，所以
设(b＞0)，代入上式得：
这就是双曲线的标准方程．
两种标准方程的比较(引导学生归纳)：
教师指出：
(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；
(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．
(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．
例1 若一个动点P(x，y)到两个定点A(－1，0)、A′(1，0)的距离差的绝对值为定值a，求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
解：∵｜AA′｜＝2，
∴(1)当a＝2时，轨迹方程是y＝0(x≥1或x≤－1)，轨迹是两条射线．
(2)当a＝0时，轨迹是线段AA′的垂直平分线x＝0．
(3)当0＜a＜2时，轨迹方程是＝1，轨迹是双曲线．
点评：注意定值的取值范围不同，所得轨迹方程不同．
变式训练1．方程＝1表示双曲线，则k∈( )
解析：∵方程＝1表示双曲线，
∴(10－k)(5－k)＜0，∴5＜k＜10．
例2一炮弹在某处爆炸，在F1(－5000，0)处听到爆炸声的时间比在F2(5000，0)处晚秒，已知坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上 并求爆炸点所在的曲线方程．
点评：在F1处听到爆炸声比F2处晚秒，相当于爆炸点离F1的距离比F2远6000米，这是解应用题的第一关——审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关——文化关(用数学文化反映实际问题)．借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关(用数学知识解决第二关提出的问题)．
变式训练2 F1、F2为双曲线－y2＝－1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是( )
解析：双曲线－y2＝－1的两个焦点是F1(0，－)、F2(0，)，
∵∠F1PF2＝90°，∴｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2．
即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝20 ①
∵｜PF1｜－｜PF2｜＝±2，
∴｜PF1｜2－2｜PF2｜·｜PF1｜＋｜PF2｜2＝4 ②
①－②得2｜PF1｜·｜PF2｜＝16，∴＝｜PF1｜·｜PF2｜＝4．
反思总结，当堂检测。1.双曲线定义中需要注意的条件：
2.双曲线方程的特点（注意与椭圆对比、区分）：、的系数符号相反，若的系数为正，则焦点在轴上，反之则在轴上。
3.求双曲线方程关健是确定、，常见的方法是待定系数法或直接由定义确定。
检测题：1. P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝______．
2．焦点在x轴上，中心在原点且经过点P(2，3)和Q(－7，－6)的双曲线方程是______
3. 椭圆＝1与双曲线＝1有相同焦点，则a的值是______．
答案：1. －8 2. ＝1 3. a＝±1
作业：发导学案、布置预习。
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7第二章 圆锥曲线与方程（复习）
学习目标
1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；
2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；
3．能解决直线与圆锥曲线的一些问题．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P78~ P81，文P66~ P69找出疑惑之处）
复习1：完成下列表格：
椭圆 双曲线 抛物线
定义
图形
标准方程
顶点坐标
对称轴
焦点坐标
离心率
（以上每类选取一种情形填写）
复习2：
若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为__________；
②双曲线的渐近线方程为，焦距为，则双曲线的方程为 ；
③以椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程为 ．
二、新课导学
※ 典型例题
例1 当从到变化时，方程
表示的曲线的形状怎样变化？
变式：若曲线表示椭圆，则的取值范围是 ．
小结：掌握好每类标准方程的形式．
例2设，分别为椭圆C： =1
的左、右两个焦点．
⑴若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
⑵设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．
变式：双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求双曲线的方程．
※ 动手试试
练1．已知的两个顶点，坐标分别是，，且，所在直线的斜率之积等于 ，试探求顶点的轨迹．
练2．斜率为的直线与双曲线交于，两点，且，求直线的方程．
三、总结提升
※ 学习小结
1．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；
2．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；
3．直线与圆锥曲线．
※ 知识拓展
圆锥曲线具有统一性：
⑴它们都是平面截圆锥得到的截口曲线；
⑵它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值的取值范围不同形成了不同的曲线；
⑶它们的方程都是关于，的二次方程．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．曲线与曲线
的（ ）．
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
2．与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） ．
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上 D．一个圆上
3．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为，则等于（ ）．
A． B． C． D．
4．直线与双曲线没有公共点，则的取值范围 ．
5．到直线的距离最短的抛物线上的点的坐标是 ．
课后作业
1．就的不同取值，指出方程所表示的曲线的形状．
2． 抛物线与过点的直线相交于，两点，为原点，若和的斜率之和为，求直线的方程．3. 1.5空间向量运算的坐标表示
教学目标
1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
重、难点
1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。
2．坐标判断两个空间向量平行。
教学过程：
（一）复习上一节内容
（二）新课讲解：
设a＝，b＝
(1) a±b＝ 。 (2) a＝ ．(3) a·b＝ ．
(4) a∥b ；ab ．
（5）模长公式：若， 则．
（6）夹角公式：．
（7）两点间的距离公式：若，，则
(8) 设
则＝ ， ．
AB的中点M的坐标为 ．
例题分析：
例1、（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（　　）
A. ：||=：||　　　　　　　　　　　　B.a1·b1=a2·b2=a3·b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0　　　　　　　　　　　　D.存在非零实数k，使=k
（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（　　）
A. －3或1　　　　　 B.3或－1　　　　　 C. －3　　　　　 D.1
（3）下列各组向量共面的是（　　）
A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)
B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)
C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)
D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)
解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知；
（2）A　点拨：由题知或；
（3）A　点拨：由共面向量基本定理可得。
点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。
例2、已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.
思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.
解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，=，=，
∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）.
(1)cos==－，∴和的夹角为－。
(2)∵k+=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），
k－2=（k+2，k，－4），且(k+)⊥（k－2），
∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。
则k=－或k=2。
点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（+）(k－2)=k22－k·－22=2k2+k－10=0，解得k=－，或k=2。
巩固练习
1． 已知，则向量与的夹角是（ ）
2．已知，则的最小值是 （ ）
3．已知为平行四边形，且，则点的坐标为_____.
4．设向量，若，
则 ， 。
5．已知向量与向量共线，且满足，，则 ，
教学反思(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程．
作业布置：见学案
3.1.5空间向量运算的坐标表示
课前预习学案
预习目标： 1、理解空间向量坐标的概念；
2、掌握空间向量的坐标表示方法
预习内容：
设a＝，b＝
(1) a±b＝ 。 (2) a＝ ．(3) a·b＝ ．
(4) a∥b ；ab ．
（5）模长公式：
（6）夹角公式：
（7）两点间的距离公式：若，，则
(8) 设
则＝ ， ．
AB的中点M的坐标为 ．
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
学习目标：1、理解空间向量与有序数组之间的一一对应关系；
2、掌握空间向量的坐标表示方法
重点难点：空间向量的坐标表示方法
学习过程：
例1、(1)、已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（　　）
A. ：||=：||　　　　　　　　　　　　B.a1·b1=a2·b2=a3·b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0　　　　　　　　　　　　D.存在非零实数k，使=k
(2)、已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（　　）
A. －3或1　　　　　 B.3或－1　　　　　 C. －3　　　　　 D.1
(3)、下列各组向量共面的是（　　）
A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)
B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)
C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)
D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)
例2、已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.
当堂检测：
1． 已知，则向量与的夹角是（ ）
2．已知，则的最小值是 （ ）
3．已知为平行四边形，且，则点的坐标为_____.
4．设向量，若，
则 ， 。
5．已知向量与向量共线，且满足，，则 ，
。
课后练习与提高：
1、已知为原点，向量∥，求．
2．若，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 （ ）
3．设，则与平行的单位向量的坐标为 ，
同时垂直于的单位向量 .
4.已知，为坐标原点，
（1）写出一个非零向量，使得平面；
（2）求线段中点及的重心的坐标；
（3）求的面积。
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3§2.4.2 抛物线的简单几何性质（2）
学习目标
1．掌握抛物线的几何性质；
2．抛物线与直线的关系．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P70~ P72，文P61~ P63找出疑惑之处）
复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程为（ ）．
A． B. 或
C. D. 或
复习2：已知抛物线的焦点恰好是椭圆的左焦点，则= ．
二、新课导学
※ 学习探究
探究1：抛物线上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则：
这点到准线的距离为 ；
焦点到准线的距离为 ；
抛物线方程 ；
这点的坐标是 ；
此抛物线过焦点的最短的弦长为 ．
※ 典型例题
例1过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，通过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴．
（理）例2已知抛物线的方程，直线过定点，斜率为 为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
小结：
直线与抛物线的位置关系：相离、相交、相切 ；
②直线与抛物线只有一个公共点时，
它们可能相切，也可能相交．
※ 动手试试
练1. 直线与抛物线相交于，两点，求证：．
2．垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程．
三、总结提升
※ 学习小结
1．抛物线的几何性质 ；
2．抛物线与直线的关系．
※ 知识拓展
过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则为定值，其值为．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（ ）．
A. B. C. D. 无法确定
2．抛物线的焦点到准线的距离是（ ）．
A. B. C. D.
3．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）．
A．条 B．条 C．条 D．条
4．若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是______．
5．抛物线上一点到焦点的距离是，则抛物线的标准方程是 ．
课后作业
1．已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线与直线交于，两点，=，求抛物线的方程．
2． 从抛物线上各点向轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
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13. 1.2空间向量及其运算（2）
教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．
教学重、难点：共线、共面定理及其应用．
教学过程：
（一）复习：空间向量的概念及表示；
（二）新课讲解：
1．共线（平行）向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作：．
2．共线向量定理：
对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）．
推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式①，其中向量叫做直线的方向向量。在上取，则①式可化为或②
当时，点是线段的中点，此时③
①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段的中点公式．
3．向量与平面平行：
已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
说明：空间任意的两向量都是共面的．
4．共面向量定理：
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使．
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①
上面①式叫做平面的向量表达式．
（三）例题分析：
例1．已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，
试判断：点与是否一定共面？
解：由题意：，
∴，
∴，即，
所以，点与共面．
说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．
【练习】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式 （其中）的四点是否共面？
解：∵，
∴，
∴，∴点与点共面．
例2．已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
∴
所以，平面平面．
课堂练习：
课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；
2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．
作业：
1．已知两个非零向量不共线，如果，，，
求证：共面．
2．已知，，若，求实数的值。
3．如图，分别为正方体的棱的中点，
求证：（1）四点共面；（2）平面平面．
4．已知分别是空间四边形边的中点，
（1）用向量法证明：四点共面；
（2）用向量法证明：平面．
3.1.2空间向量及其运算（2）
课前预习学案
预习目标：1.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式
预习内容：
⑴怎样的向量叫做共线向量？
⑵两个向量共线的充要条件是什么？
⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？
⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？
⑸怎样的向量叫做共面向量？
⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？
⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？
提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
学习目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．
学习重、难点：共线、共面定理及其应用．
学习过程：
例1．已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，
试判断：点与是否一定共面？
【练习】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式 （其中）的四点是否共面？
．
例2．已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
当堂检测：
1、如图中，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分所成的定比为2，现用基向量（　）
A．　　　　　　　　　B．
C．　　　　　　　　　D．
2．下列命题正确的是 （ ）
若与共线，与共线，则与共线；
向量共面就是它们所在的直线共面；
零向量没有确定的方向；
若，则存在唯一的实数使得；
3．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是 （ ）
4．已知两个非零向量不共线，如果，，，
求证：共面．
课堂练习与提高：
1．已知，，若，求实数的值。
2．如图，分别为正方体的棱的中点，
求证：（1）四点共面；（2）平面平面．
3．已知分别是空间四边形边的中点，
（1）用向量法证明：四点共面；
（2）用向量法证明：平面．
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6§2.1.1 曲线与方程（1）
学习目标
1．理解曲线的方程、方程的曲线；
2．求曲线的方程．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P34~ P36，找出疑惑之处）
复习1：画出函数 的图象．
复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：
到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．
问题：能否写成，为什么？
新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线与一个二元方程之间，
如果具有以下两个关系：
1．曲线上的点的坐标，都是 的解；
2．以方程的解为坐标的点，都是
的点，
那么，方程叫做这条曲线的方程；
曲线叫做这个方程的曲线．
注意：1 如果……，那么……；
2 “点”与“解”的两个关系，缺一不可；
3 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；
4 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．
试试：
1．点在曲线上，则a=___ ．
2．曲线上有点，则= ．
新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．
※ 典型例题
例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程式是．
变式：到x轴距离等于的点所组成的曲线的方程是吗？
例2设两点的坐标分别是，，求线段的垂直平分线的方程．
变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是，，．中线（为原点）所在直线的方程是吗？为什么？
反思：边的中线的方程是吗？
小结：求曲线的方程的步骤：
①建立适当的坐标系，用表示曲线上的任意一点的坐标；
②写出适合条件的点的集合；
③用坐标表示条件，列出方程；
④将方程化为最简形式；
⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
※ 动手试试
练1．下列方程的曲线分别是什么？
(1) (2) (3)
练2．离原点距离为的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？
三、总结提升
※ 学习小结
1．曲线的方程、方程的曲线；
2．求曲线的方程的步骤：
①建系，设点；
②写出点的集合；
③列出方程；
④化简方程；
⑤验证．
※ 知识拓展
求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 与曲线相同的曲线方程是（ ）．
A． B．
C． D．
2．直角坐标系中，已知两点，，若点满足=+，其中，，+=， 则点的轨迹为 ( ) ．
A．射线 B．直线 C．圆 D．线段
3．，，线段的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
4．已知方程的曲线经过点和点，则= ，= ．
5．已知两定点，，动点满足，则点的轨迹方程是 ．
课后作业
点，，是否在方程
表示的曲线上？为什么？
2 求和点，距离的平方差为常数的点的轨迹方程．
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1§3．1.3　空间向量的数量积运算
知识点一 求两向量的数量积
如图所示，已知正四面体O-ABC的棱长为 a，
求?·.?.

解 由题意知 |? | = | | = | | = a，且〈?，?〉= 120°?，〈 ，〉= 120°?，
?· =?·（ ）
= ·?·? ,
= a2cos120°?a2cos120°＝0
【反思感悟】 在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点，如〈，〉＝60°时，〈 ，〉＝120°.
已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为AB1的中点，F为A1D1的中点，试计算：
（1）?· ；
（2）?· ；
（3）· .
解 如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
（1） · = b·［ （c a ）+b］= | b |2 = 42 = 16 ..
(2)?· = （c a +b ）·（ a + c ）= | c |2| a |2 = 22 22 = 0.
（3）· = [(c－a)＋b]·(b＋a)＝(－a＋b＋c)·(b＋a)＝－|a|2＋|b|2＝2.
知识点二 利用数量积求角
如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
解 . 因?,
所以 · =?·? ·?
=||||cos〈 ，〉| | | | cos〈 , 〉
=8×4×cos135° 8×6×cos120°
所以?cos〈,?〉=.
＝＝.
即OA与BC所成角的余弦值为.
【反思感悟】　在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补．
在二面角α－l－β中，A，B∈α，C，D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点．
(1)求二面角α－l－β的大小；
(2)求证：MN⊥AB；
(3)求异面直线PA与MN所成角的大小．
(1)解 ∵PA⊥α，l α
∴PA⊥l，又∵AD⊥l，PA∩AD=A，
∴l⊥平面PAD，∴l⊥PD，
故∠ADP为二面角α-l-β的平面角，
由PA=AD得∠ADP=45°.
∴二面角α-l-β的大小为45°.
（2）证明 ＝＋，
＝＝＋＝(－)＋，
＝－ ＝ ＋，
∴＝＋＋，
＝－ = ＋＋－
= ＋，∵AD⊥AB，AP⊥AB
∴ · ＝ 0，·＝0，
∴ MN⊥AB.
(3)解 设AP＝a，
由(2)得 ＝＋
·＝ ·＋·＝a2，
||＝||＝a，
| |＝＝＝a，
∴ cos< , >＝＝，
即异面直线PA与MN所成角为45°.
知识点三 利用数量积证明垂直关系
如图所示，m，n是平面α内的两条相交直线．如果l⊥m，l⊥n，
求证：l⊥α .
证明 在α内作任一直线g，分别在l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.
因为m与n相交，所以向量m，n不平行．
由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对(x，y)，使g＝xm＋yn.
将上式两边与向量l作数量积，
得l·g＝xl·m＋yl·n.
因为l·m＝0，l·n＝0，所以l·g＝0,
所以l⊥g.即l⊥g.
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，
所以l⊥α.
【反思感悟】　证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直，即证明两向量数量积为零．
已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB.
证明 ∵OA⊥BC，OB⊥AC，∴?·= 0，·= 0.
∵ ·＝(+)· ( + )
= ·＋·＋·＋·
=· ＋·(＋)
= ·＋·＝ · (＋)＝·＝0，
∴ ⊥ ，∴OC⊥AB.
课堂小结：
空间两个向量a，b的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，这里〈a，b〉表示空间两向量所成的角(0≤〈a，b〉≤π)．空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质．应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题．即(1)利用a⊥b a·b＝0证线线垂直(a，b为非零向量)．(2)利用a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，cosθ＝，求两直线的夹角．(3)利用|a|2＝a·a，求解有关线段的长度问题．
一、选择题
1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )
A．充分不必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
答案 A
解析 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|
cos〈a，b〉＝1 〈a，b〉＝0，
当a与b反向时，不能成立．
2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于( )
A. B.
C. D．4
答案 C
解析 |a＋3b|2＝(a＋3b)2
＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6·cos60°＋9＝13.
3．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
答案 B
解析 A中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0，b＝0.
C中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b.
D中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c.
4．已知四边形ABCD满足：－*6]··>0，·>0，·>0，·－*6]·>0，则该四边形为( )
A．平行四边形 B．梯形
C．平面四边形 D．空间四边形
答案 D
5．已知a、b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
二、填空题
6．已知向量a、b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________．
答案 45°
解析 因为a与2b－a垂直，所以a·(2b－a)＝0.
即2a·b－|a|2＝0，所以2|a||b|·cos〈a，b〉－|a|2＝0，
所以4cos〈a，b〉－4＝0 cos〈a，b〉＝，
所以a与b的夹角为45°.
7. 已知线段AB,BD在平面α内,∠ABD=120°,线段AC⊥α,如果AB=a,BD=b,AC=c,则| |为____________．
答案
解析 ||2＝|＋－|2
＝2＋2＋2＋2·－2·－2·＝a2＋b2＋c2＋2abcos60°＝a2＋b2＋c2＋ab.
||＝.＝.
8．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________.
答案 －
解析 由m·n＝0，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
列方程解得λ＝－.
三、解答题
9. 如图，已知E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量与?所成角的余弦值.
解 设正方体的棱长为m，
＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝m.
a·b＝b·c＝c·a＝0.
又∵＝＋＝＋＝a＋b，
＝＋＝＋＝c＋a.
∴ ·＝(a＋b)·(c＋a)
＝a·c＋b·c＋a2＋a·b＝a2＝m2.
又∵| |＝m，||＝m，
∴?cos〈 ， 〉=
＝＝.
10．已知在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
(1)求AC′的长(如图所示)；
(2) 求 与的夹角的余弦值．
解 (1)∵= + + ,
∴||2 = (+ + ?)2
=| |2 + | |2+ | |2 + 2 (· +?· + ?·)
= 42 + 32 + 52 +2（0+10+7.5）= 85.
∴|| ＝ .
(2) 方法一 设?与的夹角为θ,
∵四边形ABCD是矩形,∴| | = 。
∴由余弦定理可得
cosθ＝＝＝.
方法二 设＝a，＝b，＝c，
依题意· ＝ (a＋b＋c)·(a＋b)
＝a2＋2a·b＋b2＋a·c＋b·c
＝16＋0＋9＋4·5·cos60°＋3·5·cos60°
＝16＋9＋10＋＝.
∴ cos θ＝ = ＝.
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1§1.3.2简单的逻辑联结词
自主学习
预习课本14-18页，完成下列问题
1.若为真，则p,q必为 ；若为假，则p,q必有一个为
2.若为真，则p,q必有一个为 ；若为假，则p,q必为
3.形式的命题与命题p的真假 .
思考：形式的命题叫命题的否定，注意将其与否命题进行区别
自主探究
【题型一】 由复合命题的真假判定简单命题的真假
例1．若为假命题，则（ ）
A.命题与的真值不同 B. 命题与至少有一个假命题
C. 命题与的真值相同 D. 命题与都是真命题
【题型二】 两命题之间的关系
例2．设p：在内单调递增，q：，则是的（ ）
A．充分不必要　　B。必要不充分　　C。充分必要　　Ｄ。既不充的分也不必要
【题型三】 利用命题的真假求参数的取值范围
例3．已知命题，（a>0），若是q充分不必要条件，求a的取值范围.
课堂小结
巩固练习
1．如果为真，为假命题，那么（ ）
A．p真q假 B。p真q真 C。p假q真 D。p真q可真可假
2．已知条件，条件，则ｐ是的（　　）
A．充分不必要　　B。必要不充分　　C。充分必要　　Ｄ。既不充分也不必要
3．设p,q是两个命题，则复合命题为真，为假的充要条件是( )
A. p,q中至少有一个真 B. p,q中至少有一个假
C. p,q中有且只有一个是真 D. p真，q假
4．若命p,q中至少有一个真 题为假命题，则 （ ）
A. p,q均为真 B. p,q均为假
C. p,q中至少有一个真 D p,q中至多有一个真 .
5. 如果p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件；那么（ ）.
A. B.
C. D.
6．命题p：方程有两个不等的正实数根，命题q：方程 无实数根，若为真命题，求m的取值范围.§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)
学习目标
1．理解并掌握双曲线的几何性质．
学习过程
课前准备：
（预习教材理P56~ P58，文P49~ P51找出疑惑之处）
复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：
①，焦点在轴上；
②焦点在轴上，焦距为8，．
复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？
二、新课导学：
※ 学习探究
问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线的几何性质
范围：： ：
对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．
顶点：（ ），（ ）．
实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．
离心率：．
渐近线：
双曲线的渐近线方程为：．
问题2：双曲线的几何性质
图形：
范围：： ：
对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．
顶点：（ ），（ ）
实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．
离心率：．
渐近线：
双曲线的渐近线方程为： ．
新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．
※ 典型例题
例1求双曲线的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．
变式：求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
例2求双曲线的标准方程：
⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
⑵离心率，经过点；
⑶渐近线方程为，经过点．
※ 动手试试
练1．求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．
练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是，求它的标准方程和渐近线方程．
三、总结提升：
※ 学习小结
双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线．
※ 知识拓展
与双曲线有相同的渐近线的双曲线系方程式为
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1． 双曲线实轴和虚轴长分别是（ ）．
A．、 B．、
C．4、 D．4、
2．双曲线的顶点坐标是（ ）．
A． B． C． D．（）
3． 双曲线的离心率为（ ）．
A．1 B． C． D．2
4．双曲线的渐近线方程是 ．
5．经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 ．
课后作业
1．求焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程．
2．求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程．
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1§3．1.4　空间向量的正交分解及其坐标表示
知识点一 向量基底的判断
已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量a＋b，a－b，c能构成空间的一个基底吗？为什么？
解 ∵a＋b，a－b，c不共面，能构成空间一个基底．
假设a＋b，a－b，c共面，则存在x，y，
使c＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴c＝(x＋y)a＋(x－y)b.
从而由共面向量定理知，c与a，b共面．
这与a、b、c不共面矛盾．
∴a＋b，a－b，c不共面．
【反思感悟】 解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底．
以下四个命题中正确的是( )
A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量
C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
答案 B
解析 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故选B.
知识点二 用基底表示向量
在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，－*6]·＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
（1） ； (2)；
(3) ； (4).
解 连结AC、AD′.
（1） =
= ＝(a＋b＋c)；
(2)＝(＋)
=
＝a＋b＋c；
(3) = (＋)
＝[( ) ＋(＋)]
＝(＋2＋2)＝a＋b＋c；
(4) ＝＋＝＋(－)
＝＋＋＝a＋b＋c.
【反思感悟】 利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出所有向量．注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则．
已知三棱锥A—BCD.
(1)化简(＋－)并标出化简结果的向量；
(2)设G为△BCD的重心，试用，，表示向量.
解 (1)设AB，AC，AD中点为E，F，H，BC中点为P.
＋－)＝ ＋ = －＝.
（2）＝＋ = ＋
= ＋(－)＝＋
＝·( ＋)＋
＝( ＋＋)．
知识点三 求空间向量的坐标
已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB，PC的三等分点且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求 的坐标．
解 ∵PA=AB=AD=1，
且PA垂直于平面ABCD，AD⊥AB，
∴可设 ＝i，＝i， ＝j，＝k.
以i，j，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
∵ ＝＋＋
＝－ ＋＋
＝－＋＋(－＋＋)
= ＋＝k＋
＝i＋k，
∴ ＝ .
【反思感悟】 空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线．在空间体中不具备此条件时，建系后要注意坐标轴与空间体中相关直线的夹角．
在直三棱柱ABO—A1B1O1中，∠AOB= ，|AO| = 4，?|BO|?= 2，
|AA1| = 4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求??的坐标.
解 ∵?;
又= 4，||＝4，||＝4，||＝2，∴＝(－2，－1，－4)，
∴ ＝ (－4,2，－4)．
课堂小结：
1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．
2．对于＝(1－t)＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P、A、B、C四点共面．
3．对于基底{a，b，c}除了应知道a，b，c不共面，还应明确：
(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．
(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
一、选择题
1．若存在实数x、y、z，使－*6]＝(1－t)＝x＋y＋z成立，则下列判断正确的是( )
A?.对于某些x、y、z的值，向量组{}不能作为空间的一个基底
B?.对于任意的x、y、z的值，向量组{}都不能作为空间的一个基底
?C?.对于任意x、y、z的值，向量组{ }都能作为空间的一个基底
?D?.根据已知条件，无法作出相应的判断;
答案 A
解析 当 ?、、、不共面时，，，也不共面，，，能构成空间的一个基底，当，，共面时，则，，也共面，故不能构成空间的一个基底．
2. 设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG=3GG1，若??＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A．(，，) B．(，，)
C．(，，) D．(，，)
答案 A
解析 ，因为?＝＝(＋)＝＋×[(＋)]＝＋[(－)＋(－)]＝＋＋，而＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝.故选A.
3．在以下3个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 命题①，②是真命题，命题③是假命题．
4．若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( )
A．a,2b,3c B．a＋b，b＋c，c＋a
C．a＋2b,2b＋3c,3a－9c D．a＋b＋c，b，c
答案 C
解析 －3(a＋2b)＋3(2b＋3c)＋(3a－9c)＝0.
∴3a－9c＝3(a＋2b)－3(2b＋3c)
即三向量3a－9c，a＋2b,2b＋3c共面
∴选C.
5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
答案 A
解析 设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i
＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．
二、填空题
6. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.
答案 ,
解析 ?＝＝( ＋＋)．
7. 从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取
＝a，＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则＝__________________.
答案　－a＋(b＋c)
8. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列关于?的表达式中：
①＋＋；
②＋＋；
③?＋＋；
④＋)＋
正确的个数是________个．
答案 3 ,
解析 ＋＋＝＋＝＋≠，
②不正确；
＋)＋
＝＋)＋
= ＋＝.
④正确；①，③明显正确．
三、解答题
9．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，试问向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？并说明理由．
解 由共面向量定理可知，关键是能否找到三个不全为零的实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，即x(3e1＋2e2＋e3)＋y(－e1＋e2＋3e3)＋z(2e1－e2－4e3)＝0.亦即(3x－y＋2z)e1＋(2x＋y－z)e2＋(x＋3y－4z)e3＝0.
由于e1，e2，e3不共面，
故得
①＋②求得z＝－5x，代入③得y＝－7x，取x＝－1，
则y＝7，z＝5，于是－a＋7b＋5c＝0，即a＝7b＋5c，
所以a，b，c三向量共面．
10．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，设－*6]·＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
（1）用向量 a，b，c，表示?；
（2）若?= x a +y b +z c，求实数x,y,z.
解 （1）? =? +? = + ? = abc，
?=? +? =? +?
= -
(2)? =
＝(a－c－b－c)＝a－b－c，
∴x＝，y＝－，z＝－1.
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13. 1.1空间向量及其运算（一）
教学目标：
㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；
㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会
　　　　　　用联系的观点看待事物．
教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．
教学难点：应用向量解决立体几何问题．
教学方法：讨论式．
教学过程：
Ⅰ.复习引入
［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？
［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：
　　　①用有向线段表示；
　　　②用字母a、b等表示；
　　　③用有向线段的起点与终点字母：．
［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．
［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：
⒈向量的加法：
⒉向量的减法：
⒊实数与向量的积：
　　　　实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
　　　　　(1)|λa|＝|λ||a|
　　　　　(2)当λ＞0时，λa与a同向；
　　　　　　 当λ＜0时，λa与a反向；
　　　　　　 当λ＝0时，λa＝0.
［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？
［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律
　　　　　加法交换律：a＋b＝b＋a
　　　　　加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
　　　　　数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本
Ⅱ.新课讲授
［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？
［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．
［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？
［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：
=a+b，
（指向被减向量），
λa
　　［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．
［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：
　　　　⑴加法交换律：a + b = b + a；
　　　　⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）
　　　　⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb．
［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
．
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．
例１已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
　　　　
说明：平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．
平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．
说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．
例2、如图中，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1体对角线的交点，点P是任意一点，则．
分析：
　　将要证明等式的左边分解成两部分：与，第一组向量和中各向量的终点构成平行四边形ABCD，第二组向量和中的各向量的终点构成平行四边形A1B1C1D1，于是我们就想到了应该先证明：
　　
　　将以上所述结合起来就产生了本例的证明思路．
解答：
　　设E，E1分别是平行六面体的面ABCD与A1B1C1D1的中心，于是有
　　
　　
点评：
　　在平面向量中，我们证明过以下命题：已知点O是平行四边形ABCD对角线的交点，点P是平行四边形ABCD所在平面上任一点，则，本例题就是将平面向量的命题推广到空间来．
Ⅲ.巩固练习
Ⅳ. 教学反思
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．
关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．
Ⅴ.课后作业
⒈课本 1、2、　
⒉预习下一节：
⑴怎样的向量叫做共线向量？
⑵两个向量共线的充要条件是什么？
⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？
⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？
⑸怎样的向量叫做共面向量？
⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？
⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？
3.1.1空间向量及其运算（一）
课前预习学案
预习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
预习内容：1.———————————————叫空间向量．
空间向量的表示方法有： -------------------
　　 　 2． --------------------------叫相等向量
3.空间向量的运算法则：——————————————————
提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
学习目标：
㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；
㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
学习重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．
学习难点：应用向量解决立体几何问题．
学习过程：
例１已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
　　　　
例2、如图中，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1体对角线的交点，点P是任意一点，则．
当堂检测：
1、下列说法中正确的是（　）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
B．若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线
C．若
D．四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=
2、已知空间四边形ABCD，连AC，BD，设M、G分别是BC、CD中点，则（　）
A．　　　　　 B． C．　　　　　 D．
3、如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是 （ ）
五、课后练习与提高：
1．对于空间任意一点和不共线三点，点满足是点共面的 （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
2．已知正方体，点分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中的的值：
（1），则 ；
（2），则 ； ；
（3），则 ； ；
3．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并填上化简后的结果向量：
（1） ；（2） 。
4．设是平行六面体，是底面的中心，是侧面对角线上的点，且，设，试求的值。
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72. 2.2椭圆的简单几何性质
课前预习学案
预习目标：预习椭圆的四个几何性质
二、 预习内容：(1)范围:----------------，椭圆落在-----------------组成的矩形中．
(2)对称性:图象关于轴对称．图象关于轴对称．图象关于原点对称 原点叫椭圆的---------，简称-----．轴、轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点： ---------------加两焦点----------共有六个特殊点. 叫椭圆的-----，叫椭圆的-----．长分别为 分别为椭圆的-------和------.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点
(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比
椭圆形状与的关系：，椭圆变---，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 椭圆变---，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例
三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：1 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e的几何意义。2 初步利用椭圆的几何性质解决问题。
学习重难点：椭圆的几何性质的探讨以及a,b,c,e的关系
二、学习过程：探究一 观察椭圆的形状，
你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对
称性？椭圆上哪些点比较特殊？
1 、范围 ：
（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是。
椭圆上点的纵坐标的范围是。
（2）由椭圆的标准方程知
① 1,即 ；② 1；即
因此位于直线和围成的矩形里。
2 、对称性
（1）从图形上看，椭圆关于，，对称
（2）在椭圆的标准方程中
① 把x换成-x方程不变，说明图像关于轴对称
②把y换成-y方程不变，说明图像关于轴对称
③把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，说明图形关于对称，因此是椭圆的对称轴，是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做
3 、顶点
（1）椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有个交点，分别为：
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
（2）线段叫做椭圆的，其长度为
线段叫做椭圆的，其长度为
a和b分别叫做椭圆的和
探究二 圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较接近于圆，用什么样的量来刻画椭圆的“扁平”程度呢？
4 、椭圆的离心率
（1）定义：叫做椭圆的离心率，用表示，即
（2）由于a>c>0，所以离心率e的取值范围是
（3）若e越接近1，则c越接近a，从而越，因而椭圆越.若e越接近0，则c越接近0，从而越，因而椭圆越接近于.
三、反思总结：下面把焦点在x轴和在y轴上的两种标准方程的几何性质作以比较：
标准方程
图形
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
轴长 短轴长，长轴长.
离心率
四、当堂检测：
1．对于椭圆 ，下列说法正确的是（ ）．
　　A．焦点坐标是 B．长轴长是5
　　C．准线方程是 D．离心率是
2．离心率为 、且经过点 的椭圆的标准方程为（ ）．
　　A． B． 或
　　C． D． 或
答案：1D 2D
课后练习与提高
1．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=（ ）
A． B． C． D．
2. 椭圆的焦点坐标是（ ）
A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)
3. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0,), (0,2)，则此椭圆的方程是 （ ）
A.或 B.
C. D.
4．已知 是椭圆 上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到左焦点的距离为_____________．
　5．若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长是______________．
　6．椭圆中心在原点，焦点在 轴上，离心率 ，它与直线 交于 ， 两点，且 ，求椭圆方程．
答案1．B2．C3．C4． 5．1或2
6．设椭圆方程为 ，由 可得 ．由直线和椭圆方程联立消去 可得 ．设 ， 得 ，即 ，化简得 ，由韦达定理得 ，解出 ，故所求椭圆方程为 ．
2.2.2椭圆的简单几何性质
【教学目标】
1． 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e的几何意义。
2． 初步利用椭圆的几何性质解决问题。
教学重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率。
教学难点：利用椭圆的几何性质解决问题。
【教学过程】
预习检查、总结疑惑:察看导学案做的情况
情景导入、展示目标：由于方程与函数都是描述图形和图像上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系，因此我们可以用类比研究函数图像的方法，根据椭圆的定义，图形和方程来研究椭圆的几何性质.
师：代数中研究函数图象时都需要研究函数的哪些性质？
生：需要研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质．
师：由于方程f(x，y)=0与函数y=f(x)都是描述图形和图象上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系(当然也有区别，例如：在函数中，对每一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，而方程中x、y的关系则较为复杂．)，因此我们可以用类比研究函数图象的方法，根据椭圆的定义、图形和标准方程来研究椭圆的几何性质．
师：好，现在我们有3个工具，即：椭圆的两个定义、图形及其标准方程，下面我们就分别从研究定义、图形和方程出发看看能获得哪些性质．
合作探究、精讲点拨。探究一 观察椭圆的形状，
你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对
称性？椭圆上哪些点比较特殊？
1 、范围 ：
（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是。
椭圆上点的纵坐标的范围是。
（2）由椭圆的标准方程知
① 1,即 ；② 1；即
因此位于直线和围成的矩形里。
2 、对称性
（1）从图形上看，椭圆关于，，对称
（2）在椭圆的标准方程中
① 把x换成-x方程不变，说明图像关于轴对称
②把y换成-y方程不变，说明图像关于轴对称
③把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，说明图形关于对称，因此是椭圆的对称轴，是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做
3 、顶点
（1）椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有个交点，分别为：
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
（2）线段叫做椭圆的，其长度为
线段叫做椭圆的，其长度为
a和b分别叫做椭圆的和
探究二 圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较接近于圆，用什么样的量来刻画椭圆的“扁平”程度呢？
4 、椭圆的离心率
（1）定义：叫做椭圆的离心率，用表示，即
（2）由于a>c>0，所以离心率e的取值范围是
（3）若e越接近1，则c越接近a，从而越，因而椭圆越.若e越接近0，则c越接近0，从而越，因而椭圆越接近于.
例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴、短轴的长，焦点、顶点坐标和离心率，并用描点法画出图形．
分析 首先应将方程化为标准方程，计算出a，b，c，再根据其几何性质解出即可．
(教师可指定一名学生板书．)
c=3，因此长轴、短轴的长分别为：2a=10，2b=8，焦点为：F1(-3，0)，F2(3，0)．顶点A1(-5，0)，A2(5，0)，B1(0，-4)，B2(0，4)．离心率是0.6
点评：画图时应先画矩形，在第一象限内描出一些点并连成光滑的线，再根据椭圆的对称性画出整个椭圆，如图2-34．
变式训练1：椭圆的对称轴是坐标轴，有两个顶点是(5，0)和(0， 7)，则该椭圆的方程是
答案D
例2 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439千米，远地点B距地面2384千米，地球半径6371千米，求卫星的轨道方程(如图2-35)．
分析：结合图2-35可知近地点、远地点实际上是椭圆长轴上的两个顶点．
解 选取坐标系如图2-35，
则a-c=OA-OF2=F2A=6371+439=6810，
a+c=OB-OF2=F2B=6371+2384=8755，
所以a=7782.5，c=972.5，b=7721.5．
点评：本题是一个实际应用问题，分析出近地点、远地点实际上是椭圆长轴上的两个顶点后转化成椭圆问题就好解决了。
变式训练2：中心在原点，对称轴在坐标轴，长轴是短轴的5倍，且过点P(7，2)的椭圆方程是________________________
答案：
反思总结，当堂检测。
轴的轴对称图形，又是以原点为对称中心的中心对称图形．因此，画它的图形时，只要画出第一象限的部分，其余可由对称性得出．
(2)在讨论椭圆性质时，应首先根据方程判断此长轴的位置(即焦点在x轴上，还是在y轴上)，然后再讨论其他性质；(判断方法是“大小分长短”，即哪个字母下面的数大，焦点就在那个轴上．)
(3)常数e(离心率)是焦距与长轴长的比值，与坐标轴的选择无关．
方法方面：
(1)给出方程会求椭圆的几何性质；
(2)会用待定系数法根据条件求椭圆方程．
检测题：椭圆中心在原点，焦点在 轴上，离心率 ，它与直线 交于 ， 两点，且 ，求椭圆方程．（）
作业：发导学案、布置预习。
PAGE
9§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)
学习目标
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；
2．椭圆与直线的关系．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P46~ P48，文P40~ P41找出疑惑之处）
复习1： 椭圆的
焦点坐标是（ ）（ ） ；
长轴长 、短轴长 ；
离心率 ．
复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？
二、新课导学
※ 学习探究
问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？
问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？
反思：点与椭圆的位置如何判定？
※ 典型例题
例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点，已知，，，试建立适当的坐标系，求截口所在椭圆的方程．
变式：若图形的开口向上，则方程是什么？
小结：①先化为标准方程，找出 ，求出；
②注意焦点所在坐标轴．
（理）例2 已知椭圆，直线：
。椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？
变式：最大距离是多少？
动手试试
练1已知地球运行的轨道是长半轴长
，离心率的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．
练2．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求的长．
三、总结提升
※ 学习小结
1 ．椭圆在生活中的运用；
2 ．椭圆与直线的位置关系：
相交、相切、相离（用判定）．
※ 知识拓展
直线与椭圆相交，得到弦，
弦长
其中为直线的斜率，是两交点坐标．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．设是椭圆 ，到两焦点的距离之差为，则是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）．
A. B. C. D.
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（ ）．
A. B. 3 C. D.
4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为 ．
5．椭圆的焦点分别是和，过原点作直线与椭圆相交于两点，若的面积是，则直线的方程式是 ．
课后作业
求下列直线与椭圆的交点坐标．
2．若椭圆，一组平行直线的斜率是
⑴这组直线何时与椭圆相交？
⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？
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1§1.4. 四种命题及其关系
学习目标：1.了解命题的概念和命题的构成；
2．理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；
基础热身：
(1)命题“若，则”的逆否命题是（　　）
若≥，则≥或≤ 若，则
若或，则 若≥或≤，则≥
(2)命题“若函数在定义域内是减函数,则”的逆否命题是（ ）
A、若，则函数在其定义域内不是减函数
B、若，则函数在其定义域内不是减函数
C、若，则函数在其定义域内是减函数
D、若，则函数在其定义域内是减函数
知识梳理：
1．命题的四种形式：如果, 原命题：若P， 则q．
那么, 逆命题：若 ,则 ．
否命题：若 ，则 ．
逆否命题：若 ，则 ．
2. 四种命题间的关系：
1° 原命题与逆否命题总是具有 的真假性，
逆命题与否命题也总是具有 的真假性．
互为逆否的两个命题 的真假性．
2°互逆命题或互否命题，它们的真假性 ．
3°原命题与它的逆否命题, 是等价. 叫做等价命题.
因此, 证原命题为真, 与证它的逆否命题为真等效.
于是, 为了证明原命题为真, 有时考虑证明 为真, 叫做 法.
案例分析：
例1：把命题“负数的平方是正数”改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题。
解：原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数。
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数。
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数。
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数。
例2：写出命题“若a和b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题和逆否命题。
分析：（1）“a和b都是偶数”是条件，“a+b是偶数”是结论。
（2）“a和b都是偶数”的否定包含三种情况，“a是偶数，b不是偶数”或“a不是偶数，b是偶数”，若“a不是偶数，b也不是偶数”。所以综合起来它的否定即为“a和b不都是偶数”。
解：否命题为：若a和b不都是偶数，则a+b不是偶数。
逆否命题为：若a+b不是偶数，则a和b不都是偶数。
达标练习
1、填空：
（1）命题“末位是0的整数，可以被5整除”的逆命题是___________________________
（2）命题“线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的否命题是_____________________________________________________
（3）命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是_________________
（4）命题“若xy≠0，则x≠0且y≠0”的逆命题为_________________________________
（5）把命题“弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对应的弧”写成“若p则q”的形式为____________________________________________________________________
2、把命题“等式的两边都乘以同一个数，所得的结果仍是等式”写成“若p则q”的形式，并写出它的逆否命题。
小结（概念及方法）
思考
1、“负数的平方是正数”有几个条件？它的四种命题有其他的写法吗？
2、显然例一中“负数的平方是正数”这个命题是真命题，那么它的逆命题、否命题、逆否命题都是真命题吗？对于一般命题，它的四种命题之间的真假关系又是如何的呢？
作业
习题1.7第一题和第二题。
1.4课题：四种命题及其关系
【教学目标】
知识目标；让学生掌握否命题、逆否命题的概念，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题。
能力目标：提高学生分析问题解决问题的能力，让学生初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识。
【情感目标】
增强数学美学意识，培养唯物主义世界观。
【教学重点】
逆命题、否命题、逆否命题的概念及求法。
【教学难点】
不容易区分条件和结论的简单命题和较复杂的命题（一个条件多个结论型的命题和多个条件一个结论型的命题）的逆命题、否命题和逆否命题的求法。
【教学方法】
启发式教学，半开放教学。
【教学手段】
多媒体教学。
【教学过程】
一、复习命题和逆命题，引入四种命题
1、复习命题的概念。
2、复习逆命题的概念。并用“若p则q”表示原命题结构，用“若q则p”表示逆命题结构。
3、练习一（在练习中强调要分清条件和结论，把原命题写成“若p则q”的形式）
（1）命题“若a>b，则bb）
（2）把命题“中国北京是2008年奥运会的举办城市”写成“若p则q”的形式为（若一个城市是中国北京，则它是2008年奥运会的举办城市。）逆命题为（2008年奥运会的举办城市是中国北京。）
二、学习否命题
1、由“同位角相等，两直线平行”和“同位角不相等，两直线不平行”引入否命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题。用“若p则q”表示原命题结构，用“若”表示否定命题结构。然后强调互否中的“互”字。
2、练习二（在练习中重复否命题概念，强调分清条件和结构，并出现含不等式的命题和含大前提的命题及不容易分清条件和结论的简单命题。同时通过例子让学生思考否命题与命题的否定的区别。）
（1）命题“在二次函数y=ax2+bx+c中，若b2—4ac≥0，则该二次函数的图象与x轴有公共点”的否命题为（在二次函数y=ax2+bx+c中，若b2—4ac<0，则该二次函数的图像与x轴没有公共点。）（指出“≥”的否定是“<”。）
（2）命题“对顶角相等”写成p则q的形式为（若两个角是对顶角，则这两个角相等。）它的否命题为（不是对顶角的两个角不相等。）
（3）“平行线相交”的否命题是“平行线不相交”吗？（不是。）
三、学习逆否命题
1、由“同位角相等，两直线平行”和“两直线不平行，同位角不相等”学习逆否命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题。用“若p则q”表示原命题结构，用“若”表示逆命题结构，然后强调互为逆否中的“互”字。
2、练习三（在练习中重复逆否命题概念，强调分清条件和结论，并出现不容易分清条件和结论的命题。）
（1）命题“三角形的内角和等于180°”写成若p 则q的形式为（若一个图形是三角形，则它的内角和等于180°。）它的逆否命题为（内角和不等于180°的图形不是三角形。）
（2）命题“正方形的四条边相等”的逆否命题为（四条边不相等的四边形不是正方形）。
（3）让学生举例，自己写一个原命题，然后写出其逆命题、否命题和逆否命题。
四、例题讲解
（例二是两个条件一个结论的类型。在例二中还让学生了解“且”的否定是“或”。）
例一：把命题“负数的平方是正数”改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题。
解：原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数。
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数。
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数。
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数。
例二：写出命题“若a和b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题和逆否命题。
分析：（1）“a和b都是偶数”是条件，“a+b是偶数”是结论。
（2）“a和b都是偶数”的否定包含三种情况，“a是偶数，b不是偶数”或“a不是偶数，b是偶数”，若“a不是偶数，b也不是偶数”。所以综合起来它的否定即为“a和b不都是偶数”。
解：否命题为：若a和b不都是偶数，则a+b不是偶数。
逆否命题为：若a+b不是偶数，则a和b不都是偶数。
五、练习
1、填空：
（1）命题“末位是0的整数，可以被5整除”的逆命题是（可以被5整除的数末位是0）
（2）命题“线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的否命题是（与一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
（3）命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是（圆的切线到圆心的距离等于圆的半径）
（4）命题“若xy≠0，则x≠0且y≠0”的逆命题为（x=0或y=0，则xy=0）
（5）把命题“弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对应的弧”写成“若p则q”的形式为（若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧）
2、把命题“等式的两边都乘以同一个数，所得的结果仍是等式”写成“若p则q”的形式，并写出它的逆否命题。
解；原命题为“在等式的两边分别乘以一个数，若这两个数是同一个数，则所得的结果是等式”或“在一个式子两边都乘以同一个数，若这个式子是等式，则所得的结果是等式”或“若一个式子是等式且两边都乘以同一个数，则所得的结果为等式”相应的逆否命题分别为“若等式两边乘以一个数所得的结果不是等式，则这两个数不相同”或“若在一个式子两边都乘以同一个数，所得的结果是不等式，则这个式子是不等式”或“若一个式子两边分别乘以一个数，所得的结果是不等式，则这个式子是不等式或两边乘的不是同一个数”。
六、小结（概念及方法）
七、思考
1、“负数的平方是正数”有几个条件？它的四种命题有其他的写法吗？
2、显然例一中“负数的平方是正数”这个命题是真命题，那么它的逆命题、否命题、逆否命题都是真命题吗？对于一般命题，它的四种命题之间的真假关系又是如何的呢？
八、作业
习题1.7第一题和第二题。
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5双曲线的简单几何性质
课前预习学案
预习目标：⒈理解双曲线的简单几何性质；
⒉会用双曲线的性质解题.
预习内容：
标准方程
简图
范围
顶点坐标
对称轴
对称中心
焦点坐标
渐近线方程
离心率
提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
学习目标：
㈠知识目标：⒈会求双曲线的标准方程；
2.会用双曲线的几何性质解决有关问题.
㈡能力目标：⒈会利用双曲线的定义、性质解决有关问题；
⒉进一步加强数形结合思想；
学习重点：会利用双曲线的定义、性质解决有关问题
学习难点：直线与双曲线的位置关系的问题．
学习过程：
例1一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为，一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．（）
例2、过点作直线，如果它与双曲线有且只有一个公共点，则直线的条数是____________________．.（4）
当堂检测：
1.设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 （ ）
A． B． C． D．
2共轭双曲线的离心率分别为e1与e2，则e1与e2的关系为： （ ）
A、e1=e2 B、e1e2=1 C、 D、
3若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是： （ ）
A、 B、 C、 D、
（1. C．2. D、3. D、）
五、课后练习与提高：
1.以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点， k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线有相同的焦点.
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
2.若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________。
3.设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率
4．与圆及圆 都外切的圆的圆心轨迹方程为_____________________．
1. ③④2. ，3. 4.§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)
学习目标
1．掌握点的轨迹的求法；
2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P41~ P42，文P34~ P36找出疑惑之处）
复习1：椭圆上一点到椭圆的左焦点的距离为，则到椭圆右焦点的距离
是 ．
复习2：在椭圆的标准方程中,,,则椭
圆的标准方程是 ．
二、新课导学
※ 学习探究
问题：圆的圆心和半径分别是什么
问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；
反之,到点的距离等于的所有点都在
圆 上．
※ 典型例题
例1在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？
变式： 若点在的延长线上，且，则点的轨迹又是什么？
小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．
例2设点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程 ．
变式：点的坐标是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是，点的轨迹是什么？
※ 动手试试
练1．求到定点与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程．
练2．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．
三、总结提升
※ 学习小结
1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；
②相关点法：寻求点的坐标与中间的关系，然后消去，得到点的轨迹方程．
※ 知识拓展
椭圆的第二定义：
到定点与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹．
定点是椭圆的焦点；
定直线是椭圆的准线；
常数是椭圆的离心率．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．若关于的方程所表示的曲线是椭圆，则在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若的个顶点坐标、，的周长为，则顶点C的轨迹方程为（ ）．
A． B． C． D．
3．设定点 ，，动点满足条件，则点的轨迹是（ ）．
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
4．与轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是 ．
5. 设为定点，||=，动点满足，则动点的轨迹是 ．
课后作业
1．已知三角形的一边长为，周长为，求顶点的轨迹方程．
2．点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．
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1§1.2.1 充分条件与必要条件
自主学习
预习课本9-10页，完成下列问题
1．一般地，“若，则”为真命题，是指由 通过推理可以得出.我们就说,由推出,记作,并且说是的 条件，是的 条件。
注意：所谓的“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了；所谓的必“要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可。
2．若，但，则称是的 条件，是的 条件。
注意：判断充分、必要条件的关键是分清谁是条件，谁是结论，若由条件p推出结论q成立，则条件p是结论q的充分条件；若由结论q推出条件p成立，则条件p是结论q的充分条件。
思考:如何从集合的角度去理解充分条件、必要条件概念
自主探究：
〖例1〗下列“若，则”的形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？
（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
（2）若，则
〖例2〗下列“若，则”形式的命题中哪些命题中的是必要条件？
（1）若，则；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；
（3）若，则
〖例3〗不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分不必要条件是-2A. a-2 B.a2 C.a<-2 D.a>2
变式：设非空集合 ，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．1a9 B. 6课堂小结:
巩固练习:
1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）.
A.平行四边形对角线相等 B.四边形两组对边相等
C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直
2.，下列各式中哪个是“”的必要条件？（ ）.
A. B. C. D.
3.平面平面的一个充分条件是（ ）.
A.存在一条直线 B.存在一条直线
C.存在两条平行直线
D.存在两条异面直线
4.:,：，是的 条件.
5. ：两个三角形相似；：两个三角形全等， 是的 条件.
6. 判断下列命题的真假
（1）“”是“”的充分条件；
（2）“”是“”的必要条件.
7. 已知满足条件，满足条件.
(1)如果,那么是的什么条件
(2)如果,那么是的什么条件