高中数学选修2-2人教A：全册〖精品〗教案+导学案（43份）

1. 2.1几个常用函数的导数
课前预习学案
一． 预习目标
1．会由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；
2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
二． 预习内容
1.用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是：
（1）
（2）
（3）
2．利用上述步骤求函数当时的导数，并说明其几何意义。
.
三．提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
一． 学习目标
1．会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；
2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数
二． 学习过程
（一）。复习回顾
用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是：
（1）
（2）
（3）
（二）。提出问题，展示目标
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．
（三）、合作探究
1．利用导数定义求函数的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。
2．利用导数定义求函数的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。
3．利用导数定义求函数的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。
4．利用导数定义求函数的导数。
5．利用导数定义求函数的导数。
6．你能从一般角度推广函数的导数吗？
（四）例题精析
例题：在同一坐标系中画出函数的图像，并根据导数的定义，求出它们的导数。
从图像上看，它们的导数分别是什么？
这三个函数中哪一个增加的最快？哪一个增加的最慢？
函数增（减）的快慢与什么有关？
三．反思总结
1.几个常用的函数的导数为：
2.可以推广的一般结论为：
四．当堂检测：
画出函数的图像，根据图像描述它的变化情况，并求出曲线在点处的切线方程。
1.2.1几个常用函数的导数
一．教学目标：
1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；
2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
二．教学重点，难点
重点：四种常见函数、、、的导数公式及应用
难点： 四种常见函数、、、的导数公式
三．教学过程：
（一）．创设情景
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．
（二）．新课讲授
1．函数的导数
根据导数定义，因为
所以
函数 导数
表示函数图像上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
2．函数的导数
因为
所以
函数 导数
表示函数图像上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数的导数
因为
所以
函数 导数
表示函数图像上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．
4．函数的导数
因为
所以
函数 导数
5．函数的导数
所以
函数 导数
6推广：若，则
（三）例题精析
例题：在同一坐标系中画出函数的图像，并根据导数的定义，求出它们的导数。
从图像上看，它们的导数分别是什么？
这三个函数中哪一个增加的最快？哪一个增加的最慢？
函数增（减）的快慢与什么有关？
解 ：略
（四）课堂练习：
画出函数的图像，根据图像描述它的变化情况，并求出曲线在点处的切线方程。
四．回顾总结
函数 导数
五．布置作业
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5第二章第2节 直接证明与间接证明
一、综合法与分析法
课前预习学案
预习目标：
了解综合法与分析法的概念，并能简单应用。
预习内容：
证明方法可以分为直接证明和间接证明
1．直接证明分为 和
2．直接证明是从命题的 或 出发，根据以知的定义，
公里，定理， 推证结论的真实性。
3．综合法是从 推导到 的方法。而分析法是一种从
追溯到 的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立的 条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。综合法是由 导 ，分析法是执 索 。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
学习目标
让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用
二、学习过程：
已知a,b∈R+，求证：
例2．已知a,b∈R+，求证：
例3.已知a,b,c∈R，求证（I）
课后练习与提高
1．（A级）函数，若
则的所有可能值为 （ ）
A． B． C． D．
2．（A级）函数在下列哪个区间内是增函数 （ ）
A． B．
C． D．
3．（A级）设的最小值是 （ ）
A． B． C．－3 D．
4．（A级）下列函数中,在上为增函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．（A级）设三数成等比数列，而分别为和的等差中项，则 （ ）
A． B． C． D．不确定
6．（A级）已知实数，且函数有最小值，则=__________。
7．（A级）已知是不相等的正数，，则的大小关系是_________。
8．（B）若正整数满足，则
9．（B）设图像的一条对称轴是.
（1）求的值；
（2）求的增区间；
（3）证明直线与函数的图象不相切。
10．（B）的三个内角成等差数列，求证：
综合法与分析法
一、教材分析
综合法与分析法作为高中数学中常用的两种基本方法，一直被学生所熟悉和应用，通过这节课的学习，学生将对这两种方法的掌握更加系统。同时也复习了有关的其他数学知识。
二、教学目标
知识目标：让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用。
能力目标：提高证明问题的能力。
情感、态度、价值观：养成言之有理论证有据的习惯。
三、教学重点难点
教学重点：让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用。
教学难点：提高证明问题的能力。
四、教学方法：探究法
五、课时安排：1课时
六、教学过程
已知a,b∈R+，求证：
例2．已知a,b∈R+，求证：
例3.已知a,b,c∈R，求证（I）
课后练习与提高
1．（A级）函数，若
则的所有可能值为 （ ）
A． B． C． D．
2．（A级）函数在下列哪个区间内是增函数 （ ）
A． B．
C． D．
3．（A级）设的最小值是 （ ）
A． B． C．－3 D．
4．（A级）下列函数中,在上为增函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．（A级）设三数成等比数列，而分别为和的等差中项，则 （ ）
A． B． C． D．不确定
6．（A级）已知实数，且函数有最小值，则=__________。
7．（A级）已知是不相等的正数，，则的大小关系是_________。
8．（B）若正整数满足，则
9．（B）设图像的一条对称轴是.
（1）求的值；
（2）求的增区间；
（3）证明直线与函数的图象不相切。
10．（B）的三个内角成等差数列，求证：
七、板书设计
八、教学反思
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5第二章第1节 合情推理与演绎推理
一、 合情推理
课前预习学案
预习目标：
了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理。
二，预习内容：
从______________推出___________的结论，这样的推理通常称为归纳推理. 归纳推理的思维过程大致是
试验、观察 —— 概括、推广 —— 猜测一般结论
已知数列的每一项均为正数，=1，
（n=1，2，……），试归纳数列的一个通项公式。
根据两个对象之间在某些方面的____________,推演出它们在其他
方面也______________,这样的推理通常称为类比推理.类比推理的思维过程大致为
观察、比较 —— 联想、类推 —— 猜测新的结论
类比实数的加法和乘法，并列出它们类似的性质。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
学习目标
结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。
二、学习过程：
例1、在同一个平面内，两条直线相交，有1个焦点；3条直线相交，最多有3个交点；… …；从中归纳一般结论，n条直线相交，最多有几个交点？
例2、有菱形纹和无菱形纹的正六边形地板砖，按图所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中的正六边形地板砖有多少块？
小结归纳推理的特点：
例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比。
练习：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四面体性质的猜想。
小结类比推理的特点：
当堂检测：
1、已知数对如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3）（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）（1，5），（2，4），… …，则第60个数对是_______
2、在等差数列中， 也成等差数列，在等比数列中，=____________________ 也成等比数列
课后练习与提高
右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，
称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，所表示的数是
(A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
下列推理正确的是
(A) 把 与 类比，则有： ．
(B) 把 与 类比，则有：．
(C) 把 与 类比，则有：．
(D) 把 与 类比，则有：．
3、四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2005次互换座位后，小兔的座位对应的是
(A)编号1 (B) 编号2 (C) 编号3 (D) 编号4
4、下列各列数都是依照一定的规律排列，在括号里填上适当的数
（1）1，5，9，13，17，（ ）；
（2），，，，（ ）．
5、从中，得出的一般性结论
是 ．
合情推理
一、教材分析
数学归纳法是人教A版普通高中课程标准实验教科书选修2-2第2章第三小节的内容，此前学生刚学习了合情推理，合情推理用的是不完全归纳法，结论的正确性有待证明。通过本节课的学习，对培养学生的抽象思维能力和创新能力，深化不等式、数列等知识，提高学生的数学素养，有重要作用。根据课程标准，本节分为两课时，此为第一课时。
二、教学目标
1，知识目标：
理解合情推理的原理和实质，并能初步运用。
2，能力目标：
学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。
3，情感、态度与价值观目标：
在愉悦的学习氛围中，通过理解数学归纳法的原理和本质，感受数学内在美，激发学习热情。
三、教学重点难点
教学重点：能利用归纳进行简单的推理.
教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.
四、教学方法
探究法
五、课时安排：1课时
六、教学过程
例1、在同一个平面内，两条直线相交，有1个焦点；3条直线相交，最多有3个交点；… …；从中归纳一般结论，n条直线相交，最多有几个交点？
例2、有菱形纹和无菱形纹的正六边形地板砖，按图所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中的正六边形地板砖有多少块？
小结归纳推理的特点：
例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比。
练习：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四面体性质的猜想。
小结类比推理的特点：
当堂检测：
1、已知数对如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3）（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）（1，5），（2，4），… …，则第60个数对是_______
2、在等差数列中， 也成等差数列，在等比数列中，=____________________ 也成等比数列
课后练习与提高
右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，
称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，所表示的数是
(A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
下列推理正确的是
(A) 把 与 类比，则有： ．
(B) 把 与 类比，则有：．
(C) 把 与 类比，则有：．
(D) 把 与 类比，则有：．
3、四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2005次互换座位后，小兔的座位对应的是
(A)编号1 (B) 编号2 (C) 编号3 (D) 编号4
4、下列各列数都是依照一定的规律排列，在括号里填上适当的数
（1）1，5，9，13，17，（ ）；
（2），，，，（ ）．
5、从中，得出的一般性结论
是 ．
七、板书设计
八、教学反思
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 a 4 1
1 5 10 10 5 1
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 a 4 1
1 5 10 10 5 1
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41.5.3 定积分的概念
教学目标：
了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.
理解定积分及几何意义.
掌握定积分的基本性质及其计算
教学重点与难点：
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质及运算
教学过程：
定积分的定义：
怎样用定积分表示：
x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？
t=0，t=1，v=0及v=-t2-1所围成图形的面积？
你能说说定积分的几何意义吗？例如的几何意义是什么
4.4. 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？
思考：试用定积分的几何意义说明
1.的大小
由直线x=0，x=2，y=0及所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的，
2.
5. 例：利用定积分的定义，计算的值.
6.由定积分的定义可得到哪些性质？
常数与积分的关系
和差的积分 推广到有限个也成立
区间和的积分等于各段积分和
7练习：计算下列定积分
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- 2 -第二章第1节 合情推理与演绎推理
二 、 演绎推理
课前预习学案
预习目标：
结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.
二，预习内容：
1， 对于任意正整数n，猜想（2n-1）与(n+1)2的大小关系？
2， 讨论：以上推理属于什么推理，结论一定正确吗？
3，思考：有什么推理形式能使结论一定正确呢？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
一，学习目标：
结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。
二、学习过程：
1. 填一填：
① 所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；
② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；
③ 奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 .
2.讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？
3.小结：
① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为____________.
要点：由_____到_____的推理.
② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？
③ 思考：“所有的金属都能够导电，铜是金属，所以铜能导电”，它由几部分组成，各部分有什么特点？
小结：“三段论”是演绎推理的一般模式：
第一段：_________________________________________；
第二段：_________________________________________；
第三段：____________________________________________.
④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子.
例1：证明函数 在 上是增函数.
例2：在锐角三角形ABC中， ，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.
当堂检测：
讨论：因为指数函数 是增函数， 是指数函数，则结论是什么？
讨论：演绎推理怎样才能使得结论正确？
比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？
课堂小结
课后练习与提高
1.演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法（ ）
A.一般的原理原则； B.特定的命题；
C.一般的命题； D.定理、公式.
2.“因为对数函数 是增函数（大前提），而 是对数函数（小前提），所以 是增函数（结论）.”上面的推理的错误是（ ）
A.大前提错导致结论错； B.小前提错导致结论错；
C.推理形式错导致结论错； D.大前提和小前提都错导致结论错.
3.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B =180°；B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；.
4.补充下列推理的三段论：
（1）因为互为相反数的两个数的和为0，又因为 与 互为相反数且________________________,所以 =8.
（2）因为_____________________________________，又因为 是无限不循环小数，所以 是无理数.
演绎推理
一、教材分析
推理是高考的重要的内容，推理包括合情推理与演绎推理，由于解答高考题的过程就是推理的过程，因此本部分内容的考察将会渗透到每一个高考题中，考察推理的基本思想和方法，既可能在选择题中和填空题中出现，也可能在解答题中出现。
二、教学目标
（1）知识与能力：了解演绎推理的含义及特点，会将推理写成三段论的形式
（2）过程与方法：了解合情推理和演绎推理的区别与联系
（3）情感态度价值观：了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成言之有理论证有据的习惯。
三、教学重点难点
教学重点：演绎推理的含义与三段论推理及合情推理和演绎推理的区别与联系
教学难点：演绎推理的应用
四、教学方法：探究法
五、课时安排：1课时
六、教学过程
1. 填一填：
① 所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；
② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；
③ 奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 .
2.讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？
3.小结：
① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为____________.
要点：由_____到_____的推理.
② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？
③ 思考：“所有的金属都能够导电，铜是金属，所以铜能导电”，它由几部分组成，各部分有什么特点？
小结：“三段论”是演绎推理的一般模式：
第一段：_________________________________________；
第二段：_________________________________________；
第三段：____________________________________________.
④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子.
例1：证明函数 在 上是增函数.
例2：在锐角三角形ABC中， ，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.
当堂检测：
讨论：因为指数函数 是增函数， 是指数函数，则结论是什么？
讨论：演绎推理怎样才能使得结论正确？
比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？
课堂小结
课后练习与提高
1.演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法（ ）
A.一般的原理原则； B.特定的命题；
C.一般的命题； D.定理、公式.
2.“因为对数函数 是增函数（大前提），而 是对数函数（小前提），所以 是增函数（结论）.”上面的推理的错误是（ ）
A.大前提错导致结论错； B.小前提错导致结论错；
C.推理形式错导致结论错； D.大前提和小前提都错导致结论错.
3.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B =180°；B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；.
4.补充下列推理的三段论：
（1）因为互为相反数的两个数的和为0，又因为 与 互为相反数且________________________,所以 =8.
（2）因为_____________________________________，又因为 是无限不循环小数，所以 是无理数.
七、板书设计
八、教学反思§1.1.3导数的几何意义
教学目标
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；
教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；
教学难点：导数的几何意义．
教学过程：
一．创设情景
（一）平均变化率、割线的斜率
（二）瞬时速度、导数
我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数的几何意义是什么呢？
二．新课讲授
（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？
我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
问题：⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？
⑵切线PT的斜率为多少？
容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即
说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
（二）导数的几何意义：
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，
即
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
（二）导函数：
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，
即:
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（三）函数在点处的导数、导函数、导数 之间的区别与联系。
1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数
3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是 求函数在点处的导数的方法之一。
三．典例分析
例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
（2）求函数y=3x2在点处的导数.
解：（1）,
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即
（2）因为
所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即
（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：
例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
，根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．
解：我们用曲线在、、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．
当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢．
例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度(单位：)随时间（单位：）变化的图象．根据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到）．
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．
如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
作处的切线，并在切线上去两点，如，，则它的斜率为：
所以
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：
0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度瞬时变化率 0.4 0 -0.7 -1.4
四．课堂练习
1．求曲线y=f(x)=x3在点处的切线；
2．求曲线在点处的切线．
五．回顾总结
1．曲线的切线及切线的斜率；
2．导数的几何意义
六．布置作业
图3.1-2
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- 2 -1．4 生活中的优化问题（二）
教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----
教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤
教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值
教学过程：
例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S＝2Rh＋2R2．
则
从而 即h＝2R．
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值． 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．
例2 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的
函数关系式为求产量q为何值时，利润L最大．
分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．
解：
求得唯一的极值点 q＝84．
因为L只有一个极值，所以它是最大值．
答：产量为84时，利润L最大．
练习1.某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，应如何定价才能使利润最大？
例3．教材P34面的例2
课后作业
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- 2 -§1.1.1变化率问题
教学目标
1．理解平均变化率的概念；
2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
教学难点：平均变化率的概念．
教学过程：
一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
二．新课讲授
（一）问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
分析: ，
当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态
思考计算：和的平均速度
在这段时间里，；
在这段时间里，
探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
（二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2．若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)
则平均变化率为
思考：观察函数f(x)的图象
平均变化率表示什么
直线AB的斜率
三．典例分析
例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 ．
解：，
∴
求在附近的平均变化率。
解：，所以
所以在附近的平均变化率为
四．课堂练习
1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
五．回顾总结
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率
六．布置作业
h
t
o
f(x2)
y=f(x)
y
△y =f(x2)-f(x1)
f(x1)
△x= x2-x1
x2
x1
x
O
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- 3 -1. 5.1曲边梯形的面积
课前预习学案
【预习目标】
预习“曲边梯形的面积”，初步体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想.
【预习内容】
1、曲边梯形的概念 。
2、如何利用“以直代曲”的思想得到曲边梯形的面积？
3、如何实施曲边梯形的面积的求解？
【提出疑惑】
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
【学习目标】
1、理解“以直代曲”的意义；
2、理解求曲边梯形面积的四个步骤；
3、了解“近似代替”时取点的任意性。
学习重难点：对以直代曲、无限逼近思想的理解。以及一般曲边梯形的面积的求法。
【学习过程】
情景问题：
我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。但基本是规则的平面图形，如矩形、三角形、梯形。而现实生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面积？比如我们山东省的国土面积？
合作探究、精讲点拨
例题：对于由y=x2与x轴及x=1所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边三角形，是曲边梯形的特殊情况）
探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？
探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。
探究3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？
探究4：采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是什么？
变式训练1：求直线x=0,x=1,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。
变式训练2：求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。
（三）反思总结
1、对于一般曲边梯形，如何求面积？
2、求曲边梯形面积的方法步骤是什么？
（四）当堂检测
求由y=2x2＋1,和x=1,x=3,x轴围成的曲边梯形面积。
课后练习与提高
1、把区间[1,3]等分,所得个小区间,每个小区间的长度为( )
A. B. C. D.
2、把区间等分后,第个小区间是( )
A. B.
C. D.
3、在“近似替代”中，函数在区间上的近似值（ ）
A.只能是左端点的函数值 B.只能是右端点的函数值
C.可以是该区间内的任一函数值） D.以上答案均正确
练习答案：1、（B）；2、（D）；3、（C）
1.5.1曲边梯形的面积教案
一、学习目标
1.通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、近似代替、求和、求极限；
2通过求曲边梯形的面积、变速运动中的路程，初步了解定积分产生的背景．
二、重点、难点
重点：求曲边梯形的面积；
难点：深入理解“分割、近似代替、求和、求极限”的思想．
三、知识链接
1、直边图形的面积公式：三角形 ，矩形 ，梯形 ；
2、匀速直线运动的时间（t）、速度（v）与路程（S）的关系 ．
四、学法指导
探求、讨论、体会以直代曲数学思想．
五、自主探究
1、概念：如图，由直线x=a , x= b , x轴，曲线y=f (x)所围成的图形称为 ．
2、思考：如何求上述图形的面积？它与直边图形的主要区别是什么？能否将求这个图形的面积转化为求直边图形的面积问题？
例１、求由抛物线y=x2与x轴及x=1所围成的平面图形的面积S．
分析：我们发现曲边图形与“直边图形”的主要区别是，曲边图形有一边是 线段，而“直边图形”的所有边都是 线段。我们可以采用“以直代曲，逼近”的思想得到解决问题的思路：将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积的问题．
解： （1）分割
把区间[0，1]等分成n个小区间：
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作
（2） 以直代曲
（3）作和
（4）逼近
分割 以曲代直 作和 逼近
当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示小曲边梯形的面积
表示了曲边梯形面积的近似值。
变式拓展：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积．
反思:
例2：一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻的速度为(单位，求它在(单位：)这段时间内行使的路程(单位:)．
变式拓展：一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻的速度为(单位,求它在(单位:)这段时间内行使的路程(单位:)．
反思:
六、目标检测
见学案
七、作业布置 P50 B组1． 2（1）（2）
八、小结
特别帮助：12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)
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6数学：2.2.1《综合法和分析法》教案
教学目标：
（一）知识与技能：
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合
法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
（二）过程与方法:
培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；
（三）情感、态度与价值观：
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 已知 “若，且，则”，试请此结论推广猜想.
（答案：若，且，则 ）
2. 已知，，求证：.
先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc.
分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）
→ 讨论：证明形式的特点
② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
③ 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证.
④ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？
→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.
→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
2. 练习：
为锐角，且，求证：. （提示：算）
② 已知 求证：
3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.
三、巩固练习：
1. 求证：对于任意角θ，. （教材P100 练习 1题）
（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）
2. 的三个内角成等差数列，求证：.
3. 作业：教材P102 A组 2、3题.
第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：基本不等式的形式？
2. 讨论：如何证明基本不等式.
（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：求证.
讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？
→ 板演证明过程 （注意格式）
→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法
② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
框图表示： 要点：逆推证法；执果索因.
③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：.
先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.
④ 出示例2：见教材P97. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）
⑤ 出示例3：见教材P99. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）
2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为，问题只需证：> .
3. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立；
比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）
三、巩固练习：
1. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：.
略证：正弦、余弦定理代入得：，
即证：，即：，即证：（成立）.
2. 作业：教材P100 练习 2、3题.
第三课时 2.2.2 反证法
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）
2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？
3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，
则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，
即O是l与m的交点。
但 ∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)
∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.
二、讲授新课：
1. 教学反证法概念及步骤：
① 练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么
② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.
证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
注：结合准备题分析以上知识.
2. 教学例题：
① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？
与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结OP，
则由垂径定理：OPAB，OPCD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P平分.
② 出示例2：求证是无理数. （ 同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为）
证：假设是有理数，则不妨设（m,n为互质正整数），
从而：，，可见m是3的倍数.
设m=3p（p是正整数），则 ，可见n 也是3的倍数.
这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）. ∴不可能，∴是无理数.
③ 练习：如果为无理数，求证是无理数.
提示：假设为有理数，则可表示为（为整数），即.
由，则也是有理数，这与已知矛盾. ∴ 是无理数.
3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）
三、巩固练习： 1. 练习：教材P102 1、2题 2. 作业：教材P102 A组4题.
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- 1 -1.3.1函数的单调性与导数（一）
一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.
教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.
三、教学过程
（一）复习引入
1．增函数、减函数的定义
一般地，设函数 f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数．
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．
2．函数的单调性
如果函数 y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 y＝f(x) 的单调区间．
在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．
例1讨论函数y＝x2－4x＋3的单调性．
解：取x1＜x2，x1、x2∈R， 取值
f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差
＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 变形
当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)， 定号
∴y＝f(x)在(－, 2)单调递减． 判断
当2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，
∴y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y＝f(x)在(－, 2)单调递减，y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增。
能否利用导数的符号来判断函数单调性？
一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内可导，
如果f(x)'＞0，则f(x)为增函数； 如果f(x)'＜0，则f(x)为减函数．
例2．教材P24面的例1。
例3．确定函数f(x)＝x2－2x＋4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．
解： f(x)'＝2x－2． 令2x－2＞0，解得x＞1．
因此，当x∈(1, +∞)时，f(x)是增函数．
令2x－2＜0，解得x＜1．
因此，当x∈(－∞, 1)时，f(x)是减函数．
例4．确定函数f(x)＝2x3－6x2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．
解：f(x)'＝6x2－12x．
令6x2－12x＞0，解得x＜0或x＞2．
因此，当x∈(－∞, 0)时，函数f(x)是增函数，
当x∈(2, ＋∞)时， f(x)也是增函数．
令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2．
因此，当x∈(0, 2)时，f(x)是减函数．
利用导数确定函数的单调性的步骤：
(1) 确定函数f(x)的定义域；
(2) 求出函数的导数；
(3) 解不等式f (x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f (x)＜0，得函数的单调递减区间．
练习1：教材P24面的例2
利用导数的符号来判断函数单调性:
设函数y＝f(x)在某个区间内可导
(1)如果f '(x)＞0 ，则f(x)为严格增函数； (2)如果f '(x)＜0 ，则f(x)为严格减函数．
思考：（1）若f '(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件？
若f '(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的充分而非必要条件．
例如 f(x)＝x3，当x=0，f '(x)=0，x≠0时，f '(x)>0，函数 f(x)＝x3在(－∞,＋∞)上是增函数．
（2）若f '(x) ＝0在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数 ？
若某个区间内恒有f '(x)＝0，则f (x)为常数函数．
练习2. 教科书P.26练习(1)
（三）课堂小结
1．判断函数的单调性的方法； 2．导数与单调性的关系； 3．证明单调性的方法.
（四）作业
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- 2 -§1.4.1生活中的优化问题举例
课前预习学案
【预习目标】
预习优化问题，初步体会导数在解决实际问题中的作用。
【预习内容】
1、简述如何利用导数求函数极值和最值？
2、 通常称为优化问题。
3、利用导数解决优化问题的基本思路：
【提出疑惑】
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
【学习目标】
1、掌握有关实际问题中的优化问题；
2、形成求解优化问题的思路和方法。
学习重难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。
【学习过程】
情景问题：
汽油的消耗量（单位：L）与汽车的速度（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：
是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？
②“汽油的使用率最高”的含义是什么？
合作探究、精讲点拨
例1：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
探究1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？
例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm.
问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
探究2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？
例3．磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．
是不是越小，磁盘的存储量越大？
为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
探究3：如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？此时，是不是r越小，磁盘的存储量越大？
（三）反思总结
1、导数在解决实际生活中的问题应用方向是什么？
2、解决优化问题的方法是怎样的？
（四）当堂检测
练习：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
课后练习与提高
1、一边长为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒。
①试把方盒的体积表示为的函数。
②多大时，方盒的容积最大？
2、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆每天需花费20元的各种维护费用，房间定价多少时，宾馆利润最大？
§1.4.1生活中的优化问题举例
【教学目标】
1、会解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，深入体会导数在解决实际问题中的作用；
2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。
【教学重难点】
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。
【教学过程】
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标
教师：我们知道，汽油的消耗量（单位：L）与汽车的速度（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：
是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？
②“汽油的使用率最高”的含义是什么？
通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课，并给出本节目标。
（三）合作探究、精讲点拨
（1）提出概念
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
（2）引导探究
例1：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
探究1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？
例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
　②瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
探究2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？
例3．磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．
是不是越小，磁盘的存储量越大？
为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
探究3：如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？此时，是不是r越小，磁盘的存储量越大？
由学生结合已有的知识，提出自己的看法，同伴之间进行交流。老师及时点评指导，最后归纳、总结，讲评。
（四）反馈测评
练习：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
（五）课堂总结
导数在实际生活中的应用方向：主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：
【作业布置】
发导学案、布置预习。
优化问题
解决数学模型
作答
用函数表示的数学问题
优化问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案
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2§1.2.1几个常用函数的导数
教学目标：
1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；
2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
教学重点：四种常见函数、、、的导数公式及应用
教学难点： 四种常见函数、、、的导数公式
教学过程：
一．创设情景
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．
二．新课讲授
1．函数的导数
根据导数定义，因为
所以
函数 导数
表示函数图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
2．函数的导数
因为
所以
函数 导数
表示函数图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数的导数
因为
所以
函数 导数
表示函数图像（图3.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．
4．函数的导数
因为
所以
函数 导数
（2）推广：若，则
三．课堂练习
1．课本P13探究1
2．课本P13探究2
4．求函数的导数
四．回顾总结
函数 导数
五．布置作业
　　
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- 2 -1.5.2 汽车行使的路程
教学目标：通过探求汽车行使的路程，使学生了解定积分的实际背景，了解“以不变代变”“逼近”的思想方法，建立微积分的概念的认识基础.
教学重点：了解定积分的基本思想“以不变代变” “逼近”的思想.
教学难点：“以不变代变” “逼近”的思想的形成求和符号
教学过程：
思考1：已知物体运动路程与时间的关系怎样求物体的运动速度？
例如 S(t)=3t2+2. 则v(t)= S (t)=6t+0.
思考2：已知物体运动速度为v(常量)及时间t，怎么求路程？
S=vt 直接求出
思考3：如果汽车作匀速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=- t2+2.那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程S是多少呢？
思考4：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S由直线t=0，t=1，v=0和曲线v=- t2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
图中矩形面积和就是曲边梯形的面积，从而汽车行驶的路程在数值上就等于相应曲边梯形面积.
思考5：在上面的第二步“近似代替”中，如果我们认为在每个小时间间隔上，汽车进似地以时刻处的速度作匀速行驶，从而得到汽车行驶的总路程s的近似值，用这种方法能求出s的值吗？若能求出，这个值也是吗？
练习：P45面练习第2题.
思考：怎样求上式中汽车在2≤t≤4这段时间行驶的路程？
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- 1 -复数中的几个结论及共应用
数系由实数系扩充到复数系之后，实数系中哪些公式和法则仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法则，是同学们不易弄清的问题，以下给出几则在复数系中仍然成立的公式和法则及几个新的公式和法则，并简单举例说明其应用.
　　一、中点公式：A点对应的复数为，点对应的复数为，点为两点的中点，则点对应的复数为，即．
　　例1　四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别为，求点对应的复数．
　　解：由已知应用中点公式可得的中点对应的复数为，所以点对应的复数为．
　　二、根与系数的关系：若实系数方程的两复根为，，则有，．
　　推论：若实系数方程有两虚数根，则这两个虚数根共轭．
　　例2　方程的一个根为，求实数，的值．
　　解：已知实系数方程的一个根为，由推论知方程的另一根为，由根与系数的关系可知，．
　　三、相关运算性质：①为实数，为纯虚数；②对任意复数有；③；④，特别地有；⑤；⑥．
　　例3　设，且，求证为实数．
　　证明：由条件可知，则，
　　所以，，
　　所以为实数．
　　四、两则几何意义：①的几何意义为点到点的距离；②中所对应的点为以复数所对应的点为圆心，半径为的圆上的点．
　　例4　若，且，则的最小值为　　　　　．
解：即，对应的点为到点的距离为定值1的所有的点，即以为圆心，1为半径的圆上的点．即，为圆上的点与点之间的距离减去圆的半径，可得结果为3．
复数与平行四边形家族
菱形、矩形、正方形等特殊的平面几何图形与某些复数式之间存在某种联系及相互转化的途径．在求解复数问题时，要善于考察条件中给定的或者是通过推理所得的复数形式的结构特征，往往能获得简捷明快、生动活泼的解决方法．下面略举几例，以供参考．
　　一、复数式与长方形的转化
　　例1　复数，满足，，证明：．
　　解析：设复数，在复平面上对应的点为，，由知，以，为邻边的平行四边形为矩形，，故可设，所以．
已知复数，满足，，且，求与的值．
　　解析：设复数，在复平面上对应的点为，，由于，故，
　　故以，为邻边的平行四边形是矩形，从而，则；．
　　
二、复数式与正方形的转化
　　例3　已知复数满足，且，求证：．
　　证明：设复数在复平面上对应的点为，，由条件知，以，为邻边的平行四边形为正方形，而在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以．
　　点评：复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义，复数加法几何意义的运用是本题考查的重点．
　　三、复数式与菱形的转化
　　例4　已知，，，求．
　　解析：设复数，在复平面上对应的点为，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，，，考虑到时，；时，无意义，故使为纯虚数的充要条件是，且，．
　　复数的加减法符合平行四边形法则，是复数与平行四边形家族联姻的前提．通过本文我们发现深入抓住复数加减法的几何意义的本质，可使我们求解复数问题的思路更加广阔，方法也更加灵活．
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21. 3.1 函数的单调性和导数
课前预习学案
一、预习目标
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的步骤。
二、预习内容
1．利用导数的符号来判断函数单调性:
一般地，设函数在某个区间可导，
如果在这个区间内，则为这个区间内的 ；
如果在这个区间内，则为这个区间内的 。
思考：（1）若f '(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件？
回答：
提示： f(x)＝x3，在R上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？
（2）若f '(x) ＝0在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数 ？
若某个区间内恒有f '(x)＝0，则f (x)为 函数．
2．利用导数确定函数的单调性的步骤：
(1) 确定函数f(x)的定义域；
(2) 求出函数的导数；
(3) 解不等式f (x)＞0，得函数的单调递增区间；
解不等式f (x)＜0，得函数的单调递减区间．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
一．学习目标：1了解可导函数的单调性与其导数的关系.
2掌握利用导数判断函数单调性的方法.
学习重点：利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性.
二、学习过程
【引 例】
1．确定函数在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？
解答：，
问 1）、为什么在上是减函数，在上是增函数？
解答：，
2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？
解答：，
2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？
解答：，
【探 究】
我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。
研究二次函数的图象；
画出二次函数的图象，研究它的单调性。
提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？
回答：
我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？
观察图像，能得到什么结论
回答：
【新课讲解】
根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？
一般地，设函数在某个区间可导，
如果在这个区间内，则为这个区间内的 ；
如果在这个区间内，则为这个区间内的 。
思考：（1）若f '(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件？
回答：
提示： f(x)＝x3，在R上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？
（2）若f '(x) ＝0在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数 ？
若某个区间内恒有f '(x)＝0，则f (x)为 函数．
结论应用：
由以上结论知：函数的单调性与其 有关，因此我们可以用 去探讨函数的单调性。下面举例说明：
【例题讲解】
求证：在上是增函数。
归纳步骤：1、 ；2、 ；3、 。
确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
小结：用导数求函数单调区间的步骤：
；
；
【课堂练习】
1．确定下列函数的单调区间
(1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3
2、设是函数的导数, 的
图象如图所示, 则的图象最有可能是( )
课后练习与提高
１．（2007年浙江卷）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
２．已知函数，则（ ）
A．在上递增 B．在上递减
C．在上递增 D．在上递减
３．函数的单调递增区间是_____________．
1.3.1函数的单调性和导数教案
一、教材分析
以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数． 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数。
在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。根据课程标准，本节分为四课时，此为第一课时。
二、教学目标
1，知识目标：
1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2）掌握利用导数判断函数单调性的步骤。
2，能力目标：
学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。
3，情感、态度与价值观目标：
在愉悦的学习氛围中，学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。
三、教学重点难点
教学重点：利用导数判断函数单调性。
教学难点：利用导数判断函数单调性。.
四、教学方法：探究法
五、课时安排：1课时
六、教学过程
【引 例】
1．确定函数在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？
解：，在上是减函数，在上是增函数。
问：1）、为什么在上是减函数，在上是增函数？
2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？
（1）观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）
（2）利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）
2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？
（1）能画出函数的图象吗？
（2）能用单调性的定义吗？试一试，提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）
【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x3－6x2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。（研究的必要性）事实上用定义研究函数的单调区间也不容易。
【探 究】
我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。
问：如何入手？（图象） 从函数f(x)=2x3－6x2+7的图象吗？
1、研究二次函数的图象；
学生自己画图研究探索。
提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？
（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。
提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？
学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。
得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）：
①该函数在区间上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；
在区间上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；
注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？
②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？
2、先看一次函数图象；
3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）
观察三次函数的图象；（几何画板演示）
观察某个函数的图象。（几何画板演示）
指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。
【新课讲解】
4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。（幻灯放映）
一般地，设函数在某个区间可导，则函数在该区间内
如果在这个区间内，则为这个区间内的增函数；
如果在这个区间内，则为这个区间内的减函数。
若在某个区间内恒有，则为常函数。
这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。
小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。
结论应用：
由以上结论知：函数的单调性与其导数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。下面举例说明：
【例题讲解】
求证：在上是增函数。
由学生叙述过程老师板书：
因为 ，，
所以 ，即，
所以函数在上是增函数。
注：我们知道在R上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。
学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。
确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
由学生叙述过程老师板书：
解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x, 令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0
∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数;当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.
令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.
学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：
确定函数f(x)的定义域；
求函数f(x)的导数f′(x).
令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.
令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间
【课堂练习】
1．确定下列函数的单调区间
(1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3
(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4
.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)
(2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)
令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.
∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).
令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.
∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
2、设是函数的导数, 的
图象如图所示, 则的图象最有可能是( )
小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？
【课堂小结】
1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,
如果f ′(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.
3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.
【课后练习】
１．（2007年浙江卷）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
２．已知函数，则（ ）
A．在上递增 B．在上递减
C．在上递增 D．在上递减
３．函数的单调递增区间是_____________．
【课堂作业】
课本p42习题2.4 1,2
【课后记】
本节课是一节新授课，课本所提供的信息很简单，如果直接得出结论，学生也能接受，可学生只能进行简单的模仿应用。
为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课，设计思路如下，以便教会学生会思考解决问题：1、首先研究从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前的方法；
从不熟悉的三次函数入手，使学生体会到以前的知识已不能解决，必须寻求一个新的解决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性；
从简单的、熟悉的函数图象入手，引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变化，再与新学的导数联系起来，形成结论。另外，也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。
应用中重点指导学生的解题步骤，避免考试中隐性失分。
在今后的教学中，应注重学生的参与，引发认知冲突，教会学生思考问题。加强教案设计的合理性，语言做到准确、简练。节奏要把握好。
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
A．
B．
C．
D．
都是反映函数随自变量的变化情况。
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8§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
课前预习学案
预习目标
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；
2．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数
预习内容
1．基本初等函数的导数公式表
函数 导数
2.导数的运算法则
导数运算法则
1．2．3．
（2）推论：
（常数与函数的积的导数，等于： ）
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
学习目标
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；
2．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数
学习过程
（一）。【复习回顾】
复习五种常见函数、、、、的导数公式填写下表
函数 导数
（二）。【提出问题，展示目标】
我们知道,函数的导数为，以后看见这种函数就可以直接按公式去做，而不必用导数的定义了。那么其它基本初等函数的导数怎么呢？又如何解决两个函数加。减。乘。除的导数呢？这一节我们就来解决这个问题。
（三）、【合作探究】
1．（1）分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表
函数 导数
（2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．
（1）与
（2）与
2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点
导数运算法则
1．2．3．
推论：
（常数与函数的积的导数，等于： ）
提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.
（2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）
（2）；
（3）；
（4）；
【点评】
① 求导数是在定义域内实行的．
② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．
（四）．典例精讲
例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
分析：商品的价格上涨的速度就是：
解：
变式训练1：如果上式中某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1） （2）
分析：净化费用的瞬时变化率就是：
解：
比较上述运算结果，你有什么发现？
三．反思总结：
（1）分四组写出基本初等函数的导数公式表：
（2）导数的运算法则：
四．当堂检测
1求下列函数的导数
（1） （2）
（3） （4）
2.求下列函数的导数
（1） （2）
课后练习与提高
1．已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为：
A B
C D
2．函数的图像与直线相切，则
A B C D 1
3.设函数在点（1,1）处的切线与轴的交点横坐标为，则
A B C D 1
4.曲线在点（0,1）处的切线方程为-------------------
5.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线在点P处的切线的斜率为2，则P点的坐标为------------
6.已知函数的图像过点P（0,2），且在点处的切线方程为，求函数的解析式。
课后练习与提高答案：1.C 2.B 3.B 4. 5. （-2,15）
6.由函数的图像过点P（0,2），知，所以，
由在点处的切线方程为知：
所以解得：
故所求函数的解析式是
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
一．教学目标：
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；
2．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
二．教学重点难点
重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用
三．教学过程：
（一）．创设情景
复习五种常见函数、、、、的导数公式及应用
函数 导数
（二）．新课讲授
1（1）基本初等函数的导数公式表
函数 导数
（2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．
（1）与
（2）与
2.（1）导数的运算法则
导数运算法则
1．2．3．
推论：
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.
（2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）
（2）；
（3）；
（4）；
【点评】
① 求导数是在定义域内实行的．
② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．
四．典例精讲
例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
分析：商品的价格上涨的速度就是函数关系的导数。
解：根据基本初等函数导数公式表，有
所以（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．
变式训练1：如果上式中某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
解：当时，，
根据基本初等函数导数公式和求导法则，有
所以（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.4元/年的速度上涨．
例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1） （2）
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．
因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．
点评 函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，．它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
五．课堂练习
做导学案的当堂检测
六．课堂小结
（1）基本初等函数的导数公式表
（2）导数的运算法则
七．布置作业
八．教学后记
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8普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-2[人教版A]
2.1.1合情推理
教学目标：
结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用
教学重点：
了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用
教学过程
一、引入新课
1归纳推理
(一)什么是归纳推理
　　归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。
　　拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢 原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。这里就有着归纳推理的运用。
　　(二)归纳推理与演绎推理的区别和联系
　　归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先，从思维运动过程的方向来看，演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般。其实，从前提与结论联系的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实。而归纳推理(完全归纳推理除外)的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是有可能的。也就是说，即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。
　　归纳推理与演绎推理虽有上述区别，但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的，两者互相依赖、互为补充，比如说，演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来，从这个意义上我们可以说，没有归纳推理也就没有演绎推理。当然，归纳推理也离不开演绎推理。比如，归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的，这只有借助于理论思维，依靠人们先前积累的一般性理论知识的指导，而这本身就是一种演绎活动。而且，单靠归纳推理是不能证明必然性的，因此，在归纳推理的过程中，人们常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以论证。从这个意义上我们也可以说，没有演绎推理也就不可能有归纳推理。
　　(三)观察与实验
　　归纳推理是一种由特殊性知识的前提得出一般性知识的结论的推理。当然，人们在进行归纳推理的时候，总是先要搜集到一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的知识作为前提，然后才能进行归纳推理。而搜集事实材料则必须运用经验的认识方法，主要是观察和实验的方法。
　　1．观察
　　人们在对象或现象的自然状态下，有目的地通过感官去研究对象或现象，这就叫做观察。
　　为了使观察获得的材料比较可靠和比较准确，还应注意两个问题：(1)必须坚持观察的客观性和全面性，切忌主观的随意性和片面性。(2)尽可能地借助于有关的仪器设备来进行，以克服感觉器官认识的局限性。
　　2．实验
　　人们在控制对象或现象的条件下有目的地通过感官去认识对象或现象，就叫做实验。具体而言，实验是人们根据研究的目的，利用科学方法、设备，人为地控制或模拟自然现象的条件，排除干扰因素，突出主要因素，在相对的纯粹状态下研究自然现象的认识活动。例如，要研究某一植物在某种条件下对具有一定酸碱度的土壤的适应情况，人们可以在实验室中，人为地控制大自然对植物生态的影响，只就酸碱度这一特定的因素进行考察。
　　实验是自然科学研究中最基本的研究方法。它和观察比较起来有以下优点：(1)实验可根据研究工作的需要，使被研究的对象或现象在极其纯粹的状态下再现出来，并借助于人工的隔离条件，使其依照一定的顺序，不断地重复出现。这就便于人们观察某种对象或现象的发生过程以及对象或现象间的因果关系。例如，我们看见铁球与鸡毛从塔顶上同时往下落，在空气中它们下落的速度是不一样的。这与空气有关还是无关 这是由于空气的阻力作用还是由于地球的引力作用呢？在自然状态下，由于许许多多的对象或现象错综复杂地交织在一起，我们是不能弄清楚这些问题的。为此，我们可以做“自由落体”的实验：把铁球和鸡毛都放在抽掉空气的圆筒形的透明容器中，看它们从同一高度同时下落的速度是否一样。这样，就容易发现铁球与鸡毛在空气中下落的速度不一样与空气阻力作用的关系。在这个实验中，我们人为地抽掉了空气这个因素，排除偶然因素的干扰，“纯化”了被研究的现象。(2)可以把容易消失的自然现象或在自然条件下不易出现的自然现象，人为地引发出来，并使之重复出现，以便于人们进行观察。例如，天空中的闪电，一闪即逝，不易观察出究竟来。我们在物理实验室里可以采取人工模拟的办法，引发闪电现象的重复出现，以便反复地进行观察。
　　(四)一些整理经验材料的方法
　　在搜集材料的过程中，还要对材料进行整理和研究。也就是说，人们还要对经验材料进行思维加工，这就需要运用理论思维的方法，即比较、分析和综合等等。
　　1．比较法
　　比较法是在思维中用以确定对象之间相同点和相异点的逻辑方法。比较法的基本功用是辨同和别异。在进行比较时，必须注意以下几点：首先，必须在同一关系下进行比较。比如，一个国家在使用旧货币时期的物价与币制改革后使用新货币时的物价，就不能直接地加以比较。其次，要就对象的实质方面进行比较，不要因某种表现上的相同，而忽略实质上的差异；也不要因表面上的差异，而忽略实质上的相同。
　　2．分析法与综合法
　　分析是在思维中把对象的整体分解为各个部分、方面、特性和因素而加以认识的逻辑方法；综合是在思维中将已有的关于对象的各个部分、方面、特性和因素的认识联结起来，形成关于对象的统一整体的认识的逻辑方法。分析是综合的基础，而综合则是分析的发展。
　　(五)完全归纳推理和不完全归纳推理
　　1．完全归纳推理
　　先看一个实例：当着天文学家对太阳系的大行星运行轨道进行考察的时候，他们发现：水星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，金星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，地球是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，火星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，木星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，土星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，天王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，海王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，冥王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，而水星、金星、地球、火星、土星、木星、天王星、海王星、冥王星是太阳系的全部大行星。由此，他们便得出如下结论：所有的太阳系大行星都是沿着椭圆轨道绕太阳运行的。这一结论，就是运用完全归纳推理得出的。
　　可见，完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物的全部个别对象的考察，发现它们每一个都具有某种性质，因而得出结论说：该类事物都具有某种性质。
　　根据完全归纳推理的这一定义，它的逻辑形式可表示如下(S表示事物，P表示属性)，
　　S1——P
　　S2——P
　　……………
　　Sn——P
　　(S1,S2……Sn是S类的所有分子)
　　所以，S——P
　　从公式可见，完全归纳推理在前提中考察的是某类事物的全部对象，而不是某一部分对象，因此，其结论所断定的范围并未超出前提所断定的范围。所以其结论是根据前提必然得出的，即其前提与结论的联系是必然的。就此而言，完全归纳推理具有演绎的性质。
　　由于完全归纳推理要求对某类事物的全部对象一一列举考察，所以，它的运用是有局限性的。如果某类事物的个别对象是无限的(如天体、原子)或者事实上是无法一一考察穷尽的(如工人，学生)，它就不能适用了。这时就只能运用不完全归纳推理了。
　　2．不完全归纳推理
　　不完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物部分对象的考察，发现它们具有某种性质，因而得出结论说，该类事物都具有某种性质。
　　第一种情况。主要根据是：所碰到的某类事物的部分对象都具有某种性质，而没有发现相反的情况。比如：
　　■《内经 针刺篇》记载了这样一个故事：有一个患头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破足趾，出了一点血，但头部不疼了。当时他没有引起注意。后来头疼复发，又偶然碰破原处，头疼又好了。这次引起了注意，以后头疼时，他就有意刺破该处，都有效应(这个樵夫碰的地方，即现在所称的“大敦穴”)。
　　现在我们要问，为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破足趾的原处呢 从故事里可见，这是因为他根据自己以往的各次个别经验作出了一个有关碰破足趾能治好头痛的一个一般性结论。在这里，就其所运用的推理形式来说，就是一个不完全的归纳推理。具体过程是这样的：
　　第一次碰破足趾某处，头痛好了，
　　第二次碰破足趾某处，头痛好了，
　　(没有出现相反的情况，即碰破足趾某处，而头痛不好。)
　　所以，凡碰破足趾某处，头痛都会好，
　　如用公式表示则是：
　　S1——P
　　S2——P
　　Ss——P
　　……………
　　Sn——P
　　(S1，S2，Ss，……，Sn是S类部分对象，枚举中未遇相反情况。)
　　所以，S——P
　　这种仅仅根据在考察中没有碰到相反情况而进行的不完全归纳推理，我们就称为简单枚举归纳推理或简称枚举归纳推理。
　　第二种情况。不是对某类事物的部分对象，碰到哪个就考察哪个(简单枚举归纳推理就是如此)，而是按照事物本身的性质和研究的需要，选择一类事物中较为典型的个别对象加以考察；通过这种对部分对象的考察而作出某种一般性的结论时，也不只是根据没有碰到例外相反的情况，而是分析和发现所考察过的某类事物的部分对象何以具有某种性质的客观原因和内在必然性。建立在这种对事物进行科学分析基础上的不完全归纳推理，我们就称之为科学归纳推理。
　　两种不完全归纳推理的根据是完全不同的，因而它们所得出结论的性质也是不同的。简单枚举归纳推理所依据的仅仅是没有发现相反的情况，而这一点对于作出一个一般性的结论来说，是必要的，但并不是充分的。因为，没有碰到相反的情况，并不能排除这个相反情况存在的可能性。而只要有相反情况的存在，无论暂时碰到与否，其一般性结论就必然是错的。科学归纳推理则不同，它所根据的是对事物何以存在某种性质的必然原因进行科学的分析，因而它的结构是比较可靠的。
　　(六)探求因果联系的逻辑方法
　　排除归纳法是求因果联系的一个常用方法，其基本思路是：考察被研究现象出现的一些场合，在它的先行现象或恒常伴随的现象中去寻找它的可能的原因，然后有选择地安排某些事例或实验，根据因果关系的上述特点，排除一些不相干的现象或假设，最后得到比较可靠的结论。
　　为了检查的某种因果关系是否为真，最可靠的实验方法是改变原因后，看结果是否不同，即进行对比实验，对比实验的关键是让实验对象的其他方面的条件相同。又比如，有时两组数据之间的数据因果并不一定有原理因果，可能两组数据都是由其它某一种数据决定的，这就是所谓表面因果与事实因果不符。
　　Ⅰ、现象间的因果联系
　　客观世界是一个有内在联系的统一整体，其中各个对象或各个现象是互相密切联系着，互相依赖着，互相制约着的。因果联系是指原因和结果之间的联系。如果一个现象的出现必然引起另一个现象的出现，那么，这两个现象之间就有着因果联系。引起另一现象出现的现象叫原因，被引起的现象叫结果。
　　因果联系是世界万物之间普遍联系的一个方面，科学研究的一个重要任务就是要把握事物之间的因果联系，以便掌握事物发生、发展的规律。因果关系的主要特点有：一是普遍必然性，指任何现象都有其因，也有其果，且同因必同果，但同果却不一定同因；二是共存性，指原因和结果总是共同变化的；三是先后性，即所谓的先因后果，但先后关系并不等于因果关系；四是复杂多样性，指因果联系是多种多样的，固然有“一因一果”，但更多的时候是“多因一果”。
　　原因和结果在时间上是先后相继的，原因总在结果之前，而结果总是在原因之后。因此，我们在探求因果联系时，只能从先行的情况中去找原因，从后行的情况中去找结果。不过需要注意的是：两个现象在时间上的先后相继并非都存在着因果联系。例如，白昼和黑夜，在时间上虽是先后相继的，但它们之间并不具有因果联系，它们都是由于地球自转和绕太阳旋转所引起的结果。因此，在探求因果联系时，如果只是根据两个现象在时间上是先后相继的，就作出它们之间具有因果联系的结论，那么，这就犯了“以先后为因果”的逻辑错误。
　　因果联系是完全确定的。在同样的条件下，同样的原因必然产生同样的结果。例如，在通常的大气压力的条件下，把纯水加热取摄氏一百度，它就必然会产生气化的结果。
　　因果联系是复杂的多样的。一个现象的产生，可以是一个原因引起的，也可以是多种原因引起的。例如，日光、二氧化碳和水是使植物叶子能进行光合作用的原因，而这三者则是植物的叶子能进行光合作用的不可缺少的条件，这种原因叫做复合原因。忽视原因的多样性，在实践上会导致有害的后果。例如，一块地里的农作物生长不好的原因，可以是水分不足，也可以是肥料太少，也可以是病虫害等等。如果我们忽略了原因的多样性，只注意一种原因，比如，只注意施肥料，那就可能会导致减产的后果。因此，人们在探求因果联系时，特别应当注意复杂现象的构成原因或结果。
　　Ⅱ、探求现象间因果联系的方法
　　1.求同法(或称契合法)
　　我们常常发现一些同志身体很好，很结实。原因是什么呢 他们的情况各不相同，有的是教师，有的是学生，有的是工人；有的原来体质较好，有的原来体质较差；他们的工作条件、生活条件、学习条件也各不相同……。但发现他们却有一个共同的情况，他们都持之以恒地锻炼身体。由此，我们可以作出结论，持之以恒地锻炼身体是他们身体好的原因，至少是身体好的部分原因。这里就有着求同法的应用。
　　可见，求同法是这样一种方法，当我们发现某一现象出现在几种不同的场合，而在这些场合里，只有一个条件是相同的(其他条件均不相同)，这样，我们就可以推断说，这个相同条件就是各个场合出现的那个共同现象的原因。可以用这样一个公式来表示它：
　　场合 先行情况 被研究现象
　　(1) A、B、C a
　　(2) A、D、E a
　　(3) A、F、G a
　　… … …
　　所以，A是a的原因(或结果)
　　下面再举两个求同法的例子：
　　例：在十九世纪，人们还不知道为什么某些人的甲状腺会肿大，后来人们对甲状腺肿大盛行的地区进行调查和比较时发现，这些地区的人口、气候、风俗等状况各不相同，然而有一个共同情况，即土壤和水流中缺碘，居民的食物和饮水也缺碘，由此作出结论：缺碘是引起甲状腺肿大的原因。
　　例：某人晚上看了两小时书，喝了几杯浓茶，结果失眠了；第二天他同样看书，抽了许多烟，也失眠了；第三天他也看了两小时书，喝了大量咖啡，也失眠了。看来晚上看书容易引起失眠。
　　应用求同法所得到的认识(即找出的原因)并不都是正确的。因为在各种不同场合里存在的共同条件可能不止一个，而作为真正原因的某一共同条件可能正好被忽视了。因此，通过求同法所得到的认识，应当通过实践或用其他方法去进一步检验。但是，求同法为我们提供了找到现象原因的线索。所以，它作为一种发现现象因果联系的方法，在科学研究和日常生活中经常被人们应用着。
　　2.求异法(或称差异法)
　　求异法是这样一种方法：如果某一现象在一种场合下出现，而另场合下不出现，但在这两种场合里，其他条件都相同，只有一个条件不同(在某现象出现的场合里有这个条件，而在某现象不出现的那一场合里则没有这个条件)，那么，这唯一不同的条件，就是某现象产生的原因。
　　求异法可用下述公式来表示：
　　场合 先行情况 被研究现象
　　(1) A、B、C a
　　(2) -、B、C -
　　所以，A是a的原因(或结果)
　　求异法在科学研究中，特别是科学试验中，是一种被广泛运用的方法。下面举例说明：
　　■据报导，在一些国家里，大气污染极为严重，不仅严重影响人们的身体健康，也影响农作物的产量和树木的成长，如使白杨树提早落叶等等。有一个国家的研究人员曾在环境暴露室中的两间实验室里做过下面的一个实验：将大气中被污染的空气放入一间实验室里，而在另一间的入气孔上装上活性碳过滤器等清除污染物的装置，使送入的空气变为洁净的空气。两间实验室中的土壤、水分、湿度、日照时间等与植物生长有关的其他条件完全相同。在两间实验室里，分别栽上同样的白杨十五株。四个月之后，在空气洁净的实验室里，十五株白扬新长出的茎平均高二米九五，而在污染室中，新茎的平均高度只有二米零九；叶数前者平均为七十一片，后者仅为二十六片。而且，前者在九月上旬叶子还在继续生长，而后者在八月初即开始落叶。这清楚表明：白杨树提早落叶的原因是大气污染。
　　■我们可以在种植同一作物的同一块田上，一部分用某种肥料，一部分不用。因此，就可以清楚地通过作物的不同增产结果来判明施放这种肥料后的显著效果。
　　3.求同求异并用法
　　求同求异并用法是这样一种方法，考察两组事例，一组是由被研究现象出现的若干场合组成的，称之为正事例组；一组是由被研究现象不出现的若干场合组成的，称之为负事例组。如果在正事例组的各场合中只有一个共同的情况并且它在负事例组的各场合中又都不存在，那么，这个情况就是被研究现象的原因。下面是求同求异并用法的一个例子：
　　■很久以来，人们发现有些鸟能远航万里而不迷失方向。原因是什么呢 人们对此曾作过不少的猜测，但都没有得到证实。近年来，科学工作者发现每当天晴能见到太阳时，这些鸟都能确定其飞行的正确方向；反之，每当天阴见不到太阳时，它们就迷失方向。由此，科学工作者作出结论说，有些鸟能远航万里而不迷失方向的原因是利用太阳来定向的。
　　4.共变法
　　共变法是指：在其他条件不变的情况下，如果一个现象发生变化，另一个现象就随之发生变化，那么，前一现象就是后一现象的原因或部分原因。比如，气温上升了，放置在器皿中的水银体积就膨胀了；气温下降了，水银体积就缩小了。根据气温与水银体积的共变关系，我们就可推断说，气温的升降是水银体积膨胀或收缩的原因。
　　共变法可用下述公式来表示：
　　场合 先行情况 被研究现象
　　(1) A1、B、C、D a1
　　(2) A2、B、C、D a2
　　(3) A3、B、C、D a3
　　… …… …
　　所以，A是a的原因(或结果)
　　下例也是共变法的应用：
　　■地区磁场发生磁暴的周期性经常与太阳黑子的周期一致。随着太阳黑子数目的增加，磁 暴的强度增大。当太阳黑子的数目减少时，磁暴的强度降低。所以科学家推测，太阳黑子的出现可能是磁暴的原因。
　　■在50年代，我国森林覆盖率为19％，60年代为11％，70年代为6％，80年代不到4％。随着森林覆盖率的逐年减少，植被大量破坏，削弱了土地对雨水的拦蓄作用，一下暴雨，水卷泥沙滚滚而下，使洪涝灾害逐年严重。可见，森林资源的破坏，是酿成洪灾的原因。
　　以下哪项使用的方法与上文最类似
　　A、敲锣有声，吹箫有声，说话有声。这些发声现象都伴有物体上空气的振动，因而可以断定物体上空气的振动是发声的原因。
　　B、把一群鸡分为两组，一组喂精白米，鸡得一种病，脚无力，不能行走，症状与人的脚气病相似。另一组用带壳稻米喂，鸡不得这种病。由此推测带壳稻米中某些精白米中所没有的东西是造成脚气病的原因。进一步研究发现，这种东西就是维生素B1。
　　C、意大利的雷地反复进行一个实验，在4个大口瓶里，放进肉和鱼，然后盖上盖或蒙上纱布，苍蝇进不去，一个蛆都没有。另4个大口瓶里，放进同样的肉和鱼，敞开瓶口，苍蝇飞进去产卵，腐烂的肉和鱼很快生满了蛆。可见，苍蝇产卵是鱼肉腐烂生蛆的原因。
　　D、在有空气的玻璃罩内通电击铃，随着抽出空气量的变化，铃声越来越小，若把空气全抽出，则完全听不到铃声。可见，声音是靠空气传播的。
　　[解题分析] 正确答案：D
　　因为D和题干都使用求因果联系的共变法。
　　5.剩余法
　　所谓剩余法指的是：如果某一复合现象是由另一复合原因所引起的，那么，把其中确认有因果联系的部分减去，则剩下的部分也必然有因果联系。
　　■自然科学史上有这样一个例子：1846年前，一些天文学家在观察天王星的运行轨道时，发现它的运行轨道和按照已知行星的引力计算出来的它应运行的轨道不同——发生了几个方面的偏离。经过观察分析，知道其他几方面的偏离是由已知的其他几颗行星的引力所引起的，而另一方面的偏离则原因不明。这时天文学家就考虑到：既然天王星运行轨道的各种偏离是由相关行星的引力所引起的，现在又知其中的几方面偏离是由另几颗行星的引力所引起的，那么，剩下的一处偏离必然是由另一个未知的行星的引力所引起的。后来有的天文学家和数学家并据此推算出了这个未知行星的位置。1846年按照这个推算的位置进行观察，果然发现了一颗新的行星——海王星。
　　在这个过程中就有剩余法的明显运用。就这个例子来说，复合现象指天王星运行轨道的各处偏离(设为甲、乙、丙、丁四处偏离)，复合原因指各行星对天王星的引力(设为A、B、C、D四颗行星)，通过观察，已经知道偏离甲由行星A所引起，偏离乙由行星B所引起，偏离丙由行星C所引起。那么剩下的部分，即偏离丁必为未知行星D所引起。
　　剩余法可用下述公式来表示：
　　已知复合现象F(A、B、C)是被研究现象K(a、b、c)的原因
　　已知，B是b的原因
　　C是c的原因
　　所以，A是a的原因(或部分原因)
　　剩余法也是科学研究中常用的一种逻辑方法。比如：
　　■居里夫人对镭的发现就是运用这一方法的又一典型例子。居里夫人在对沥青铀矿的实验研究中，发现它所放出的射线比纯铀放出的强得多，纯铀不足以说明这种复杂现象，还有一个剩余部分，这剩余部分必然还有另外的原因(这原因必然存在于沥青铀矿中)。据此，她再反复研究，后来果然发现在沥青铀矿中还有一种新的放射性元素——镭。
　　对求因果联系的方法现再举一例说明，请认真体会：
　　■有人作过一个十分有趣的统计：过去几百年间流传至今的466幅圣母玛利亚的画像中，有373幅里的耶苏是在左边吸吮圣母的乳汁的，这一数字大约是全部被统计画幅的80%左右。
　　艺术是生活的概括，如果你稍微注意的话，就会发现，大多数母亲喂奶时，也是把婴儿抱在自己的左边。据心理学家统计，80%的母亲都是把婴儿抱在左边的。
　　为什么会这样？为此，有个心理学家做了以下的两个实验：
　　一个实验是让一些婴儿间断地听每分钟72次心跳录音。结果发现，这些婴儿在不听录音时啼哭时间是60%，而在听录音时，就比较安静，啼哭的时间降至38%。
　　另一个实验是任选四组婴儿，每组人数相同，把他们放在声音环境不同的房间里。第一个房间保持寂静；第二个房间放催眠曲；第三个房间放模拟的心跳声；第四个房间放真实的心跳声的录音。用这样的方法，试验一下哪一个房间的婴儿最先入睡。结果是第四个房间的婴儿，只用了其他房间中婴儿入睡所需时间的一半，就进入梦乡。然后依次是第三个房间、第二个房间、第一个房间里的婴儿先后入睡。这个实验不但证明心跳声是一种有很强镇静作用的外界刺激，而且表明模拟的心跳声的效果不如真的心跳声的效果。
　　分析：在这两个实验中，心理学家所作的第一个实验运用的是求同法，第二个实验运用的共变法。通过实验证明听到母亲的心跳声对婴儿有某种抚慰的作用。
2类比推理
类比推理是根据两个或两类对象在某些属性上相同，推断出它们在另外的属性上(这一属性已为类比的一个对象所具有，另一个类比的对象那里尚未发现)也相同的一种推理。
　　据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦 惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。类比推理的结构，可表示如下：
　　A有属性a、b、c、d
　　B有属性a、b、c
　　所以，B有属性d
　　类比推理的客观根据是什么呢 在客观现实里，事物的各个属性并不是孤立的，而是相互联系和相互制约的。因此，如果两个事物在一系列属性上相同或相似，那么，它们在另一些属性上也可能相同或相似。类比推理的结论是否可靠呢 这要看进行类比的两个或两类事物所具有的共同属性与类推属性之间是否有必然的联系。如果有，用类比推理所得到的认识就是可靠的，否则就是不可靠的。由此可见，类比推理的结论只具有或然性，即可能真，也可能假。类比推理尽管其前提是真实的，也不能保证结论的真实性。这是因为，A和B毕竟是两个对象，它们尽管在一系列属性上是相同的，但仍存在着差异性，这种差异性有时就表现为A对象具有某属性，而B对象不具有某属性。如何提高类比推理的结论的可靠性呢 第一，前提中确认的相同属性愈多，那么结论的可靠程度也就愈大；第二，前提中确认的相同属性愈是本质的，相同属性与要推出的属性之间愈是相关的，那么结论的可靠程度也就愈大。
　　要特别注意，不能将两个或两类本质不同的事物，按其表面的相似来机械地加以比较而得出某种结论，否则就要犯机械类比的错误。例如，基督教神学家们就曾用机械类比来“证明”上帝的存在。在他们看来，宇宙是由许多部分构成的一个和谐的整体，正如同钟表是由许多部分构成的和谐整体一样，而钟表有一个创造者，所以，宇宙也有一个创造者——上帝。这就是把两类根本性质不同的对象，按其表面相似之处，机械地加以类比。这种类比显然是错误的，不合逻辑的。
　　例1、一般人总会这样认为，既然人工智能这门新兴学科是以模拟人的思维为目标，那么，就应该深入地研究人思维的生理机制和心理机制。其实，这种看法很可能误导这门新兴学科。如果说，飞机发明的最早灵感是来自于鸟的飞行原理的话，那么，现代飞机从发明、设计、制造到不断改进，没有哪一项是基于对鸟的研究之上的。
　　上述议论，最可能把人工智能的研究，比作以下哪项
　　A. 对鸟的飞行原理的研究。
　　B. 对鸟的飞行的模拟。
　　C. 飞机的不断改进。
　　D. 飞机的设计制造。
　　[解题分析] 正确答案：D。
　　题干所作的类比分析是：飞机的发明、设计制造和改进并非基于对鸟的研究，因此，人工智能的研究也不应基于对人思维的生理和心理机制的研究。显然，这里，把对人思维的生理和心理机制的研究，比作对鸟的研究；把人工智能的研究，比作飞机的发明、设计制造和改进。D项和C项都和题干的上述类比相关，但显然D项比C项作为题干中人工智能研究的类比对象更为恰当。
　　例2、小光和小明是一对孪生兄弟，刚上小学一年级。一次，他们的爸爸带他们去密云水库游玩，看到了野鸭子。小光说：“野鸭子吃小鱼。”小明说：“野鸭子吃小虾。”哥俩说着说着就争论起来，非要爸爸给评评理。爸爸知道他们俩说得都不错，但没有直接回答他们的问题，而是用例子来进行比喻。说完后，哥俩都服气了。
　　以下哪项最可能是爸爸讲给儿子们听的话？
　　A. 一个人的爱好是会变化的。爸爸小时候很爱吃糖，你奶奶管也管不住。到现在，你让我吃我都不吃。
　　B. 什么事儿都有两面性。咱们家养了猫，耗子就没了。但是，如果猫身上长了跳蚤也是很讨厌的。
　　C. 动物有时也通人性。有时主人喂它某种饲料吃得很好，若是陌生人喂，怎么也不吃。
　　D. 你们兄弟俩的爱好几乎一样，只是对饮料的爱好不同。一个喜欢可乐，一个喜欢雪碧。你妈妈就不在乎，可乐、雪碧都行。
　　[解题分析] 正确答案：D。
　　在题干中，两人说的“野鸭子吃小鱼”和“野鸭子吃小虾”都有可能性，可能一部分野鸭子吃小鱼，另一部分野鸭子吃小虾，也可能是野鸭子既吃小鱼又吃小虾。所以两个孩子的话并不矛盾，他们只是片面地看到了野鸭子某一种行为，各执一词，争论不休。在D中，爸爸用哥俩各有偏好和妈妈既喝可乐又喝雪碧的例子进行类比，说明同一个群体的不同个体可能有不同偏好，一个主体也可以有不同的行为。由于比喻恰当，哥俩也就服气了。选项C、D用的不是比喻，与题干不符。选项A虽然用了比喻，但是说的是小孩和大人的区别，而题干中并未讨论小鸭子和大鸭子。选B不妥，因为B变的是事物的两面性，含有人的主观评价，与题干的含义相距较远。
小结：本节课学习了归纳推理与类比推理.
课堂练习：第62页练习A、B，66页
课后作业：第69页A:1，2，
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21.7.2 定积分在物理中的应用
一、教学目标：
了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
二、教学重点与难点：
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质及运算的应用
三教学过程：
（一）练习
1．曲线y = x2 + 2x直线x = – 1，x = 1及x轴所围成图形的面积为（ B ）．
A． B．2 C． D．
2．曲线y = cos x与两个坐标轴所围成图形的面积为（ D ）
A．4 B．2 C． D．3
3．求抛物线y2 = x与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．
解：如图：由得A（1，– 1），B（9，3）．
选择x作积分变量，则所求面积为
=
=．
（二）新课
变速直线运动的路程
1．物本做变速度直线运动经过的路程s，等于其速度函数v = v (t) (v (t)≥0 )在时间区间[a，b]上的 定积分 ，即．
2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t) = – 3sin t，则 t1 = 3至t2 = 5时间内的位移是
．（只列式子）
3．变速直线运动的物体的速度v (t) = 5 – t2，初始位置v (0) = 1，前2s所走过的路程为 ．
例1．教材P58面例3。
练习：P59面1。
变力作功
1．如果物体沿恒力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的功W = F（b—a）．
2．如果物体沿与变力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的
功W =．
例2．教材例4。
练习：
1．教材P59面练习2
2．一物体在力F (x) =（单位：N）的作用下沿与力F(x)做功为（ B ）
A．44J B．46J C．48J D．50J
3．证明：把质量为m（单位kg）的物体从地球的表面升高h（单位：m）处所做的功W = G·，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径．
证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r，质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力f为f = G·，其中G为引力常数．
则当质量为m物体距离地面高度为x（0≤x≤h）时，地心对它有引力f (x) = G·故该物体从地面升到h处所做的功为
dx =·dx = GMmd (k + 1) = GMm
=．
（三）、作业《习案》作业二十
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- 2 -4we1．4 生活中的优化问题（三）
教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----
教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤
教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值
教学过程：
例1 。教材P35面的例3
例2．某公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤a≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件.
（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).
例3．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为，则
由题设可得正六棱锥底面边长为：
，（单位：）
故底面正六边形的面积为：
=，（单位：）
帐篷的体积为：
求导得。
令，解得（不合题意，舍去），，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数。
∴当时，最大。
答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。
例4．水库的需水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系为：
（1）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i-1（2）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）.
课后作业
阅读教科书P.34-----P35
《学案》P32面双基训练
O
O1
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- 2 -数学：2.3《数学归纳法》教案（新人教A版选修2-2）
第一课时 2.3 数学归纳法（一）
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.
教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.
教学过程：
一、复习准备：
1. 问题1： 在数列中，，先算出a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式. （过程：，，，由此得到：）
2. 问题2：，当n∈N时，是否都为质数？
过程：=41，=43，=47，=53，=61，=71，=83，=97，=113，=131，=151，… =1 601．但是=1 681=412是合数
3. 问题3：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.
二、讲授新课：
1. 教学数学归纳法概念：
① 给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般.
不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.
完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.
② 讨论：问题1中，如果n=k猜想成立，那么n=k+1是否成立？对所有的正整数n是否成立？
③ 提出数学归纳法两大步：（i）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立；（ii）归纳递推：假设n=k（k≥n0， k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立. 关键：从假设n=k成立，证得n=k+1成立.
2. 教学例题：
出示例1：.
分析：第1步如何写？n=k的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？
小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.
② 练习：
求证：.
③ 出示例2：设a＝++…+ (n∈N*)，求证：a<(n＋1).
关键：a<(k＋1)+＝(k+1)+<(k+1)+(k+)＝(k+2)
小结：放缩法，对比目标发现放缩途径. 变式：求证a>n(n＋1)
3. 小结：书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.
三、巩固练习： 1. 练习：教材108 练习1、2题 2. 作业：教材108 B组1、2、3题.
第二课时 2.3 数学归纳法（二）
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.
教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
教学难点：经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题.
教学过程：
一、复习准备：
1. 练习：已知，猜想的表达式，并给出证明？
过程：试值，，…，→ 猜想 → 用数学归纳法证明.
2. 提问：数学归纳法的基本步骤？
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：已知数列，猜想的表达式，并证明.
分析：如何进行猜想？（试值→猜想） → 学生练习用数学归纳法证明
→ 讨论：如何直接求此题的？ （裂项相消法）
小结：探索性问题的解决过程（试值→猜想、归纳→证明）
② 练习：是否存在常数a、b、c使得等式对一切自然数n都成立，试证明你的结论.
解题要点：试值n=1,2,3， → 猜想a、b、c → 数学归纳法证明
2. 练习：
① 已知 ，考察；；之后，归纳出对也成立的类似不等式，并证明你的结论.
② （89年全国理科高考题）是否存在常数a、b、c，使得等式 （答案：a=3,b=11,c=10）
1对一切自然数n都成立？并证明你的结论
3. 小结：探索性问题的解决模式为“一试验→二归纳→三猜想→四证明”.
三、巩固练习：
1. 平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分.
2. 是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意正整数n都能被m整除 若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. （答案：m=36）
3. 试证明面值为3分和5分的邮票可支付任何的邮资.
证明：（1）当时，由可知命题成立；
（2）假设时，命题成立. 则
当时，由（1）及归纳假设，显然时成立.根据（1）和（2），可知命题成立.
小结：新的递推形式，即（1）验证 成立；（2）假设成立，并在此基础上,推出成立. 根据(1)和(2)，对一切自然数,命题都成立.
2. 作业：
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- 2 -2. 2.2反证法
课前预习学案
一、预习目标：
使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题.
二、预习内容：
提出问题：
问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？
学生尝试用直接证明的方法解释。
采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．
问题2：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真.那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.
推进新课
在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
学习目标
（1）使学生了解反证法的基本原理；
（2）掌握运用反证法的一般步骤；
（3）学会用反证法证明一些典型问题.
二、学习过程：
例1、已知直线和平面，如果，且，求证。
解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；
证明：因为,
所以经过直线a , b 确定一个平面。
因为，而，
所以 与是两个不同的平面．
因为，且，
所以.
下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a 与平面有公共点，则，即点是直线 a 与b的公共点，这与矛盾．所以 .
点评：用反证法的基本步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利
变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.
例2、求证：不是有理数
解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如（互质， ”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．
证明：假设不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数，使得，从而有,
因此，，
所以 m 为偶数．于是可设 ( k 是正整数），从而有
，即
所以n也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！
由上述矛盾可知假设错误，从而是无理数．
点评：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
变式训练2、已知，求证：（且）
例3、设二次函数， 求证：中至少有一个不小于.
解析：直接证明中至少有一个不小于.比较困难，我们应采用反证法
证明：假设都小于，则
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
点评：结论为“至少”、“至多”等时，我们应考虑用反证法解决。
变式训练3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于
反思总结：
1.反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
2.归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
3.应用反证法的情形：
(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论；
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题；
（4结论为 “唯一”类命题；
当堂检测：
1. 证明不可能成等差数列．
2．设，求证
证明：假设，则有，从而
因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。
课后练习与提高
一、选择题
1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（　　）
Ａ．假设都是偶数
Ｂ．假设都不是偶数
Ｃ．假设至多有一个是偶数
Ｄ．假设至多有两个是偶数
2．（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（　　）
Ａ．与的假设都错误
Ｂ．与的假设都正确
Ｃ．的假设正确；的假设错误
Ｄ．的假设错误；的假设正确
3．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（　　）
Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角
Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角
二、填空题
4．.三角形ABC中，∠A，∠B，∠C至少有1个大于或等于60的反面为_______．
5. 已知A为平面BCD外的一点，则AB、CD是异面直线的反面为_______．
三、解答题
6．已知实数满足，，求证中至少有一个是负数．
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52. 3数学归纳法
课前预习学案
一、预习目标：
理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法．能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可。
二、预习内容：
提出问题：
问题1：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决．即对于数列，已知 ，( n=1,2,3…)，通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想出其通项公式，但却没有进一步的检验和证明．
问题2：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？(多媒体演示多米诺骨牌游戏)
这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下．
讨论问题：
问题1、问题2有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么
结论成立的条件：结论对第一个值成立；结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成立．
上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明吗？
在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带．
如在前面的问题1中，如果不是1，而是2，那么就不可能得出，因此第一步看似简单，但却是不可缺少的．而第二步显然更加不可缺少．这一点在多米诺骨牌游戏中也可清楚地看出．
解决问题：
由上，证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)证明当n取第一个值()时命题成立；
(2)假设n=k(k≥,)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
由以上两个步骤，可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立．
这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
学习目标
（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。
（2）初步理解数学归纳法原理。
（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。
（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。
二、学习过程：
例1、证明等差数列通项公式：
解析：（1）让学生理解数学归纳法的严密性和合理性；（2）掌握从到时等式左边的变化情况。
证明：(1) 当n＝1时等式成立；
(2) 假设当n＝k时等式成立, 即, 则=, 即n＝k＋1时等式也成立
由 （1）、（2）可知， 等差数列的通项公式对任何n∈都成立．
点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三句话：
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
变式训练1 .在数列{}中, ＝1, (n∈), 先计算，，的值，再推测通项的公式, 最后证明你的结论．
例2、 用数学归纳法证明
()．
解析：（1）进一步让学生理解数学归纳法的严密性和合理性，从而从感性认识
上升为理性认识；
（2）掌握从到时等式左边的变化情况，合理的进行添项、拆项
合并项等。
证明：（1）时：左边，右边，左边=右边，等式成立。
∴当时等式也成立。
由 （1）、（2）可知，对一切 ，原等式均成立
点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三句话：
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
变式训练2：用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝．
反思总结：
1．归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；
2．数学归纳法作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关数学命题，它的基本
思想是递推思想，它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；
3．递推归纳时从到，必须用到归纳假设，并进行适当的恒等变换。注意明等式时第一步中时左右两边的形式，第二步中时应增加的式子；第二步中证明命题成立是全局的主体，主要注意两个“凑”：一是“凑”时的形式（这样才好利用归纳假设），二是“凑”目标式。
当堂检测：
1．观察式子：，，，，则可归纳出式子为（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｃ
2．用数学归纳法证明：首项是，公比是q的等比数列的通项公式是
，前n项和公式是
课后练习与提高
一、选择题
1．用数学归纳法证明过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为 （ ）
A. B. C. D.
2．凸n边形有f(n)条对角线，凸n+1边形对角线 的条数f(n+1)为 （ ）
A. f(n)+n+1 B. f(n)+n C. f(n)+n-1 D. f(n)+n-2
3．用数学归纳法证明不等式 的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边 （ ）
A.增加了一项
B.增加了一项
C.增加了“”，又减少了“”
D.增加了“ ”，又减少了“”
二、填空题
4．已知数列，计算得，由此可猜测_______．
5．若f(k)=则= + _______．
三、解答题
6．由下列不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
参考答案：1. C 2. C 3. C 4. 5.
6．解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：
．
用数学归纳法证明如下：
（1）当时，，猜想成立；
（2）假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立．
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6§1.3.3函数的最大（小）值与导数
课前预习学案
【预习目标】
通过预习初步理解函数的最值的概念，并初步了解最值的求法。
【预习内容】
1、一般地，在闭区间上函数的图像是一条 的曲线，那么函数在上必有 ．
2、在开区间内连续的函数 最大值与最小值．
【提出疑惑】
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
【学习目标】
1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念。
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件。
3．掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤。
【学习过程】
情景问题：
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果是函数的极大（小）值点，那么在点附近找不到比更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小．如果是函数的最大（小）值点，那么应满足什么条件呢？
探究1：“最值”与“极值”的又有怎样的区别和联系呢？
合作探究、精讲点拨
例题：求在的最大值与最小值
探究2：你能总结一下，连续函数在闭区间上求最值的步骤吗？
变式训练：求下列函数的最值：
（1）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（2）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（3）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
课后练习与提高
1．下列说法中正确的是（ ）
A 函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值
B 闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值
C 若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值
D 若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值
2．函数在内有最小值，则的取值范围是（ ）
A B C D
3．已知函数在[－2，2]上有最小值－37，
（1）求实数的值；（2）求在[－2，2]上的最大值。
§1.3.3函数的最大（小）值与导数
【教学目标】
⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤
【教学重难点】
教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．
【教学过程】
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标
教师：我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果是函数的极大（小）值点，那么在点附近找不到比更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小．如果是函数的最大（小）值点，那么不小（大）于函数在相应区间上的所有函数值．
结合已学极值问题设置情境，引导学生延伸到对最值的理解，进而给出本节目标。
（三）合作探究、精讲点拨
（1）提出概念
引导学生观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是．
引导学生总结如下结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．
探究1：“最值”与“极值”的有怎样的区别和联系呢？
（2）引导探究
例题：求在的最大值与最小值
探究2：你能总结一下，连续函数在闭区间上求最值的步骤吗？
（四）反馈测评
求下列函数的最值：
（1）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（2）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（3）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（五）课堂总结
对极值与最值的区分：一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求在内的极值；
⑵将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值
【作业布置】
发导学案、布置预习。
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4复数的概念
教学目标：
　　1．理解复数的有关概念以及符号表示；
　　2．掌握复数的代数形式和几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义掌握复数集C与复平面内所有点成一一对应；
　　3．理解共轭复数的概念，了解共轭复数的几个简单性质．
教学重点：复数的有关概念,复数的表示和共轭复数的概念；
教学难点：复数概念的理解,复数与复平面上点一一对应关系的理解．
教学过程
一、引入
　　我们知道，对于实系数一元二次方程 ，当 时，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
二、授课
1．引入数i
　　我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定：
　　（1）i2= -1 ；
　　（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
根据前面规定，－1可以开平方，而且－1的平方根是 ．
　2．复数的概念
根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a+bi .
形如 的数，我们把它们叫做复数．
复数的代数形式、复数、虚数、纯虚数、实部、虚部.
　　全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有：
N* N Z Q R C．
数的分类
复数
3.相等复数
如果两个复数的实部和虚部分别相等，我们就说这两个复数相等.即：
a,b,c,dR, 则a+bi=c+dia=c且b=d
注意：两个复数中若有一个是虚数，则它们不能比较大小.
4．复数的几何表示法
　　任何一个复数 都可以由一个有序实数对(a,b) 唯一确定．而有序实数对(a,b) 与平面直角坐标系中的点是一一对应的．由此，可以建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的一一对应．
　　复平面、实轴、虚轴等概念，并结合实例对这些概念进行一一说明．
　　由此可知，复数集C和复平面内所有的点所组成的集会是—一对应的，即
这就是复数的几何意义．这时提醒学生注意复数 中的字母z用小写字母表示，点Z(a,b) 中的Z 用大写字母表示．
复数的向量表示.
　5．共轭复数
　　（1）当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不为0的两个共轭复数也叫做互为共轭虚数．
　　（2）复数z的共轭复数用 表示，即如果 ，那么 ．
三、例题
　　例1 实数 分别取什么值时，复数 是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数。
　　例2 设 （ ）， ，当 取何值时，
　　（1） z1=z2；（2）
　　例3 设复数 和复平面的点Z（ a , b）对应， 、 必须满足什么条件，才能使点Z位于：（1）实轴上？（2）虚轴上？（3）上半平面（含实轴）？（4）左半平面（不含虚轴及原点）？
　　例4 计算 ．
四、作业 同步练习
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- 2 -1. 1.3导数的几何意义
课前预习学案
预习目标
1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;
2.理解曲线的切线的概念;
3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题。
预习内容
1.曲线的切线及切线的斜率
（1）如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,
即时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线称为 .
（2）割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点时,
无限趋近于切线的斜率,即= =
2.导数的几何意义
函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,
即= .
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
学习目标
1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;
2.理解曲线的切线的概念;
3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题
学习过程
（一）。复习回顾
1．平均变化率、割线的斜率
2。瞬时速度、导数
（二）。提出问题，展示目标
我们知道,导数表示函数在处的瞬时变化率,反映了函数在附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢？
（三）、合作探究
1.曲线的切线及切线的斜率
（1）如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么？
（2）如何定义曲线在点处的切线？
(3)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？
(4)切线的斜率为多少？
说明: (1)当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
(2)曲线在某点处的切线:
1)与该点的位置有关;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;
如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.
2.导数的几何意义
（1）函数在处的导数的几何意义是什么？
（2）将上述意义用数学式表达出来。
（3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程？
3.导函数
（1）由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变化时, 便是的一个函数,我们叫它为的导函数.
注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
（2）函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系是什么？
区别：
联系：
（四）。例题精析
例1 求曲线在点处的切线方程.
解:
变式训练1
求函数在点处的切线方程.
例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,
根据图像,请描述、比较曲线在、、附近的变化情况.
解: 我们用曲线在、、处的切线,
刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.
当时,曲线在处的切线的斜率 ,
所以,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降.
(2)当时,曲线在处的切线的斜率 ,
所以,在附近曲线下降,
即函数在附近单调递减.
(3)当时,曲线在处的切线的斜率 ,
所以,在附近曲线下降,
即函数在附近单调递减．
从图3.1-3可以看出,直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度,
这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢.
例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:)
变化的图象.根据图像,估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到).
解:
三。反思总结
1.曲线的切线定义.
2.导数的几何意义
3．求曲线在一点处的切线的一般步骤：
四。当堂检测
1.求曲线在点处的切线.
2.求曲线在点处的切线.
1.
1.1.3 导数的几何意义
教学目标：
1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;
2.理解曲线的切线的概念;
3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题
二．教学重点难点：
重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.
难点：导数的几何意义
三．教学过程：
（一）。【复习回顾】
1．平均变化率、割线的斜率
2。瞬时速度、导数
（二）。【提出问题，展示目标】
我们知道,导数表示函数在处的瞬时变化率,反映了函数在附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢？
（三）、【合作探究】
1.曲线的切线及切线的斜率
如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么？
我们发现,当点沿着曲线无限接近点即时,割线趋近于确定的位置,
这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.
问题: (1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？
(2)切线的斜率为多少？
容易知道,割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点时,
无限趋近于切线的斜率,即
说明: (1)当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
(2)曲线在某点处的切线:
1)与该点的位置有关;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;
如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.
2.导数的几何意义
函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,
即
说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出点的坐标;
②求出函数在点处的变化率得到曲线在点
的切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程.
3.导函数
由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个
确定的数,那么,当变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.
记作:或,即.
注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
4.函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系
(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的
极限,它是一个常数,不是变数.
(2)函数的导数,是指某一区间内任意点而言的,就是函数的导函数.
(3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是
求函数在点处的导数的方法之一.
四。【例题精析】
例1 求曲线在点处的切线方程.
解:
所以,所求切线的斜率为
因此,所求的切线方程为即
变式训练1求函数在点处的切线方程.
因为
所以,所求切线的斜率为,
因此,所求的切线方程为即
例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,
根据图像,请描述、比较曲线在、、附近的变化情况.
解: 我们用曲线在、、处的切线,
刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.
当时,曲线在处的切线平行于轴,
所以,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降.
(2)当时,曲线在处的切线的斜率,
所以,在附近曲线下降,
即函数在附近单调递减.
(3)当时,曲线在处的切线的斜率,
所以,在附近曲线下降,
即函数在附近单调递减．
从图3.1-3可以看出,直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度,
这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢.
例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:)
变化的图象.根据图像,估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到).
解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度在此时刻的导数,
从图像上看,它表示曲线在此点处的切线的斜率.
如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,
可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.
作处的切线,并在切线上去两点,如,,
则它的斜率为,所以
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:
0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度瞬时变化率 0.4 0 -0.7 -1.4
五。课堂小结
1.曲线的切线定义.
当点沿着曲线无限接近点即时,割线趋近于确定的位置,
这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线
2.导数的几何意义.
函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,
即
3.求曲线在一点处的切线的一般步骤
①求出点的坐标;
②求出函数在点处的变化率得到曲线在点
的切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程
六。课堂练习
1.求曲线在点处的切线.
2.求曲线在点处的切线.
七。【书面作业】
八。【板书设计】
九。【教后记】
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61．4 生活中的优化问题（一）
教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.-------面积、容积最大（最小）问题
教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤
教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值
教学过程：
例1在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
解：设箱底边长为xcm，则箱高
箱子容积(0＜x＜60)．
解得 (不合题意，舍去) 并求得
由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．
答：当x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3．
在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f '(x)＝0 的情形，若函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值．
这里所说的也适用于开区间或者无穷区间．
求最大（最小）值应用题的一般方法：
⑴ 分析问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式；
⑵ 确定函数的定义域，并求出极值点；
⑶ 比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际，确定最值或最值点．
练习
1．把长为60 cm的铁丝围成矩形，长、宽、高各为多少时，面积最大？
2．把长为100 cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？
变为：围成一个正方形与一个圆，怎样分法，能使面积之和最小？
练习2.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方形容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
例2．教材P34面的例1。
课后作业
阅读教科书P.34
《习案》作业十一
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- 1 -1.7.1 定积分在几何中的应用
一、教学目标：
了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2．掌握利用定积分求曲边图形的面积
二、教学重点与难点：
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质及运算的应用
三教学过程：
（一）练习
1．若dx = 3 + ln 2，则a的值为（ D ）
A．6 B．4 C．3 D．2
2．设，则dx等于（ C ）
A． B． C． D．不存在
3．求函数的最小值
解：∵．
∴． ∴当a = – 1时f (a)有最小值1．
4．求定分dx．
5．怎样用定积分表示：
x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？
你能说说定积分的几何意义吗？例如的几何意义是什么
表示轴，曲线及直线，之间的各部分面积的代数和，
在轴上方的面积取正，在轴下方的面积取负
二、新课
例1．教材P56面的例1
例2．教材P57面的例2。
练习：P58面
例3．求曲线y=sinx ,x与直线x=0 ,,x轴所围成图形的面积。
练习：
1．如右图，阴影部分面积为（ B ）
A．dx
B．dx
C．dx
D．dx
2．求抛物线y = – x2 + 4x – 3及其在点A（1，0）和点B（3，0）处的切线所围成的面积．
四、作业：《习案》作业十九
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- 2 -1. 7.2定积分在物理中的应用
课前预习学案
【预习目标】
能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功.
【预习内容】
一、知识要点：作变速直线运动的物体在时间区间上所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的 ，即 .
例1已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为：（单位：）
求（1）汽车行驶的路程；（2）汽车行驶的路程；（3）汽车行驶的路程.
变式1：变速直线运动的物体速度为初始位置为求它在前内所走的路程及末所在的位置.
二、要点：如果物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同方向从移动到则变力所作的功= .
例2 在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置处，求克服弹力所作的功.
变式2：一物体在变力作用下，沿与成方向作直线运动，则由运动到时作的功为 .
课内探究学案
一、学习目标：
了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
二、学习重点与难点：
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质及运算的应用
三、学习过程
(一)变速直线运动的路程
1．物本做变速度直线运动经过的路程s，等于其速度函数v = v (t) (v (t)≥0 )在时间区间[a，b]上的 定积分 ，即．
2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t) = – 3sin t，则 t1 = 3至t2 = 5时间内的位移是
．（只列式子）
3．变速直线运动的物体的速度v (t) = 5 – t2，初始位置v (0) = 1，前2s所走过的路程为 ．
例1．教材P58面例3。
练习：P59面1。
（二）变力作功
1．如果物体沿恒力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的功W = F（b—a）．
2．如果物体沿与变力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的
功W =．
例2．教材例4。
课后练习与提高
设物体以速度作直线运动，则它在内所走的路程为（ ）
2、设列车从点以速度开始拉闸减速，则拉闸后行驶所需时间为（ ）
3、以初速竖直向上抛一物体，时刻的速度则此物体达到最高时的高度为（ ）
4、质点由坐标原点出发时开始计时，沿轴运动，其加速度，当初速度时，质点出发后所走的路程为（ ）
5、如果能拉弹簧，为了将弹簧拉长，所耗费的功为（ ）
6、一物体在力（力：；位移：）作用下沿与力相同的方向由直线运动到处作的功是（ ）
7、将一弹簧压缩厘米，需要牛顿的力，将它从自然长度压缩厘米，外力作的功是
8、一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度（单位：）紧急刹车至停止.求
（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；
（2）紧急刹车后火车运行的路程.
1.7.2 定积分在物理中的应用
一、教学目标：
了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
二、教学重点与难点：
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质及运算的应用
三教学过程：
（一）练习
1．曲线y = x2 + 2x直线x = – 1，x = 1及x轴所围成图形的面积为（ B ）．
A． B．2 C． D．
2．曲线y = cos x与两个坐标轴所围成图形的面积为（ D ）
A．4 B．2 C． D．3
3．求抛物线y2 = x与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．
解：如图：由得A（1，– 1），B（9，3）．
选择x作积分变量，则所求面积为
=
=．
（二）新课
变速直线运动的路程
1．物本做变速度直线运动经过的路程s，等于其速度函数v = v (t) (v (t)≥0 )在时间区间[a，b]上的 定积分 ，即．
2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t) = – 3sin t，则 t1 = 3至t2 = 5时间内的位移是
．（只列式子）
3．变速直线运动的物体的速度v (t) = 5 – t2，初始位置v (0) = 1，前2s所走过的路程为 ．
例1．教材P58面例3。
练习：P59面1。
变力作功
1．如果物体沿恒力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的功W = F（b—a）．
2．如果物体沿与变力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的
功W =．
例2．教材例4。
练习：
1．教材P59面练习2
2．一物体在力F (x) =（单位：N）的作用下沿与力F(x)做功为（ B ）
A．44J B．46J C．48J D．50J
3．证明：把质量为m（单位kg）的物体从地球的表面升高h（单位：m）处所做的功W = G·，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径．
证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r，质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力f为f = G·，其中G为引力常数．
则当质量为m物体距离地面高度为x（0≤x≤h）时，地心对它有引力f (x) = G·故该物体从地面升到h处所做的功为
dx =·dx = GMmd (k + 1) = GMm
=．
（三）、作业《习案》作业二十
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51. 1.2导数的概念
课前预习学案
预习目标：“导数的概念”了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度，理解导数(瞬时变化率)的概念
预习内容：
问题1 我们把物体在某一时刻的速度称为________。一般地，若物体的运动规律为，则物体在时刻t的瞬时速度v 就是物体在t到这段时间内，当_________时平均速度的极限，即=___________________
问题2 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
我们称它为函数在处的______，记作或________，即________________________
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
学习目标：了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度， 理解导数(瞬时变化率)的概念
学习重点：导数概念的形成，导数内涵的理解
学习难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵
通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点
学习过程：
一：问题提出
问题： 我们把物体在某一时刻的速度称为________。一般地，若物体的运动规律为，则物体在时刻t的瞬时速度v 就是物体在t到这段时间内，当_________时平均速度的极限，即=___________________
时，在这段时间内 时，在这段时间内
二：导数的概念
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
我们称它为函数在处的______，记作或________，即________________________
三：探究求导数的步骤：
（即___变化率）
四：精讲点拨
课本例1
五：有效训练
求在点x=1处的导数.
反思总结：
附注： ①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；与上一节的平均变化率不同
②定义的变化形式：=；
=；=；
，当时，，所以
③求函数在处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。
当堂检测：
1、已知函数，下列说法错误的是（ ）
A、叫函数增量
B、叫函数在[]上的平均变化率
C、在点处的导数记为
D、在点处的导数记为
2、求函数在处的导数
课后练习与提高
1、若质点A按规律运动，则在秒的瞬时速度为（ ）
A、6 B、18 C、54 D、81
2、设函数可导，则=（ ）
A、 B、 C、不存在 D、以上都不对
3、函数在处的导数是______________
4、已知自由下落物体的运动方程是，(s的单位是m,t的单位是s)，求：
（1）物体在到这段时间内的平均速度；
（2）物体在时的瞬时速度；
（3）物体在=2s到这段时间内的平均速度；
（4）物体在时的瞬时速度。
1.1.2 导数的概念
教学目标：
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;
3.会求函数在某点的导数.
教学重点：
瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.
教学难点：
导数的概念.
教学过程：
一、创设情景
(一)平均变化率
(二)探究
探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
(1)运动员在这段时间内使静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程: 如图是函数的图像,
结合图形可知,,
所以
虽然运动员在这段时间里的平均速度为,
但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,
可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
二、新课讲授
1.瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,时的瞬时速度是多少？考察附近的情况:
思考当趋近于时,平均速度有什么样的变化趋势？
结论: 当趋近于时,即无论从小于的一边,还是从大于的一边趋近于时,平均速度都趋近于一个确定的值.
从物理的角度看,时间间隔无限变小时,平均速度就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在时的瞬时速度是
为了表述方便,我们用
表示“当,趋近于时,平均速度趋近于定值”
小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.
2.导数的概念
从函数在处的瞬时变化率是:
我们称它为函数在出的导数,记作或
即
说明: (1)导数即为函数在处的瞬时变化率;
(2),当时,,所以.
三、典例分析
例1 (1)求函数在处的导数.
(2)求函数在附近的平均变化率,并求出该点处的导数.
分析: 先求,再求,最后求.
解: (1)法一 定义法(略)
法二
(2)
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第时,原油的温度(单位:)为,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解: 在第时和第时,原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义
所以 同理可得:
在第时和第时,原油温度的瞬时变化率分别为和,
说明在第附近,原油温度大约以的速率下降
在第附近,原油温度大约以的速率上升.
注: 一般地,反映了原油温度在时刻附近的变化情况.
四、课堂练习
1.质点运动规律为,求质点在的瞬时速度为.
2.求曲线在时的导数.
3.例2中,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
五、回顾总结
1.瞬时速度、瞬时变化率的概念.
2.导数的概念.
六、布置作业
课本第10页：2,4
f(x1)
f(x1)
f(x1)
f(x1)
f(x1)
h
t
o
PAGE
- 1 -函数的极值和导数教案
一、教材分析
利用上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.
二、教学目标
知识目标：〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。
〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值。
能力目标：结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。
情感目标：感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。
三、教学重点难点
教学重点：利用导数求函数的极值。
教学难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件。
四、教学方法：探究法
五、课时安排：1课时
六、教学过程
教学基本流程
回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系
提出问题，激发求知欲
组织学生自主探索，获得函数的极值定义
通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解
〈一〉、创设情景，导入新课
1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？
（提问学生回答）
2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题
（1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数在t=a处的导数是多少呢？
（2）在点t=a附近的图象有什么特点？
（3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？
共同归纳: 函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t＜a时,函数单调递增, ＞0;当t＞a时,函数单调递减, ＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时, 先正后负,且连续变化,于是h/(a)=0.
3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？
<二>、探索研讨
1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：
（1）函数y=f(x)在a，b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系
（2） 函数y=f(x)在a，b点的导数值是多少
（3）在a，b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢
2、极值的定义:
我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；
点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。
极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值.
3、通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点x0取得极值的充要条件吗？
充要条件：f(x0)=0且点x0的左右附近的导数值符号要相反
4、引导学生观察图1.3.10，回答以下问题：
（1）找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？
（2）极大值一定大于极小值吗？
5、随堂练习:
如图是函数y=f(x)的函数,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数y=的图象
<三>、讲解例题
求函数的极值
教师分析:①求f/(x),解出f/(x)=0,找函数极点； ②由函数单调性确定在极点x0附近f/(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值.
学生动手做,教师引导
解:∵∴=x2-4=(x-2)(x+2)
令=0,解得x=2,或x=-2.
下面分两种情况讨论:
当＞0,即x＞2,或x＜-2时;
当＜0,即-2＜x＜2时.
当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
+ 0 _ 0 +
f(x) 单调递增 单调递减 单调递增
因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= ;当x=2时,f(x)有极
小值,且极小值为f(2)=
函数的图象如右图。
归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:
1求,解方程=0,当=0时:
如果在x0附近的左边＞0,右边＜0,那么f(x0)是极大值.
如果在x0附近的左边＜0,右边＞0,那么f(x0)是极小值
<四>、课堂练习
1、求函数f(x)=3x-x3的极值
2、思考：已知函数f（x）=ax3+bx2-2x在x=-2，x=1处取得极值,
求函数f（x）的解析式及单调区间。
3、已知f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有极大值和极小值，求实数a的范围。
<五>、课堂小结:
函数极值的定义
函数极值求解步骤
一个点为函数的极值点的充要条件。
七 ：教学反思:
本节的教学内容是导数的极值,有了上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.教学反馈中主要是书写格式存在着问题.为了统一要求主张用列表的方式表示,刚开始学生都不愿接受这种格式,但随着几道例题与练习题的展示,学生体会到列表方式的简便,同时为能够快速判断导数的正负,我要求学生尽量把导数因式分解.本节课的难点是函数在某点取得极值的必要条件与充分条件,为了说明这一点多举几个例题是很有必要的.在解答过程中学生还暴露出对复杂函数的求导的准确率比较底,以及求函数的极值的过程板书仍不规范,看样子这些方面还要不断加强训练.1．3．3 函数的最大值与最小值(一)
一、教学目标：理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.
二、教学重点：求函数的最值及求实际问题的最值.
教学难点：求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突破难点要把实际问题“数学化”，即建立数学模型.
三、教学过程：
（一）复习引入
1、问题1：观察函数f(x)在区间[a，b]上的图象，找出函数在此区间上
的极大值、极小值和最大值、最小值．
2、问题2：观察函数f(x)在区间[a，b]上的图象，找出函数在此区间上
的极大值、极小值和最大值、最小值．
（见教材P30面图1．3－14与１．３－15）
3、思考：⑴ 极值与最值有何关系？
⑵ 最大值与最小值可能在何处取得？
⑶ 怎样求最大值与最小值？
4、求函数y＝在区间[0, 3]上的最大值与最小值．
（二）讲授新课
1、函数的最大值与最小值
一般地，设y＝f(x)是定义在[a，b]上的函数，在[a，b]上y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值。
函数的极值是从局部考察的，函数的最大值与最小值是从整体考察的。
2、求y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，可分为两步进行：
⑴ 求y＝f(x)在(a，b)内的极值；
⑵ 将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
例1．求函数y＝x4－2x2＋5在区间[－2, 2]上的最大值与最小值．
解： y'＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)令y'＝0，即 4x(x＋1)(x－1)＝0，
解得x＝－1，0，1．当x变化时，y'，y的变化情况如下表：
故 当x＝±2时，函数有最大值13，当x＝±1时，函数有最小值4．
练习
例2．求函数y＝在区间[-2, ]上的最大值与最小值．
例3. 求函数的最大值和最小值.
例4. 求函数的最大值和最小值.
（三）课堂小结
已知函数解析式，确定可导函数在区间[a, b]上最值的方法；
（四）课后作业
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- 2 -1. 7.1 定积分在几何中的应用
课前预习学案
【预习目标】
了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2．掌握利用定积分求曲边图形的面积
【预习内容】
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质及运算的应用
3．若dx = 3 + ln 2，则a的值为（ D ）
A．6 B．4 C．3 D．2
4．设，则dx等于（ C ）
A． B． C． D．不存在
5．求函数的最小值
解：∵．
∴． ∴当a = – 1时f (a)有最小值1．
6．求定分dx．
7．怎样用定积分表示：
x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？
课内探究学案
一、学习目标：
了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2．掌握利用定积分求曲边图形的面积
二、学习重点与难点：
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质及运算的应用
三、学习过程
（一）你能说说定积分的几何意义吗？例如的几何意义是什么
表示轴，曲线及直线，之间的各部分面积的代数和，
在轴上方的面积取正，在轴下方的面积取负
（二）新课
例1．求椭圆的面积。
例2．求由曲线所围成的面积。
练习：P58面
例3．求曲线y=sinx ,x与直线x=0 ,,x轴所围成图形的面积。
课后练习与提高
1、下列积分正确的一个是（　）




2、下列命题中不正确的是（　　）


A、1 B、2 C、 D、0
4、曲线y=x3与直线y=x所围图形的面积等于( )




1.7.1 定积分在几何中的应用
一、教学目标：
了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2．掌握利用定积分求曲边图形的面积
二、教学重点与难点：
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质及运算的应用
三、教学过程：
（一）练习
1．若dx = 3 + ln 2，则a的值为（ D ）
A．6 B．4 C．3 D．2
2．设，则dx等于（ C ）
A． B． C． D．不存在
3．求函数的最小值
解：∵．
∴． ∴当a = – 1时f (a)有最小值1．
4．求定分dx．
5．怎样用定积分表示：
x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？
你能说说定积分的几何意义吗？例如的几何意义是什么
表示轴，曲线及直线，之间的各部分面积的代数和，
在轴上方的面积取正，在轴下方的面积取负
二、新课
例1．求椭圆的面积。
解 先画出椭圆的图形，见图6-16，因为椭圆是关于坐标轴对称的，所以整个椭圆的面积是第一象限内那部分面积的4倍，即有
其中
所以
1. 利用§6.5例2已算出的结果，可得
(平方单位)
当时，我们得到圆的面积
例2．求由曲线所围成的面积。
解 由 得交点
得
例3．求曲线y=sinx ,x与直线x=0 ,,x轴所围成图形的面积。
练习：
1．如右图，阴影部分面积为（ B ）
A．dx
B．dx
C．dx
D．dx
2．求抛物线y = – x2 + 4x – 3及其在点A（1，0）和点B（3，0）处的切线所围成的面积．
四、作业：《习案》作业十九
PAGE
4普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-2[人教版A]
2.1.2演绎推理
教学目标：
结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。
教学重点：
掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。
教学过程
复习
引入新课
1．假言推理
假言推理是以假言判断为前提的演绎推理。假言推理分为充分条件假言推理和必要条件假言推理两种。
（1）充分条件假言推理的基本原则是：小前提肯定大前提的前件，结论就肯定大前提的后件；小前提否定大前提的后件，结论就否定大前提的前件。
（2）必要条件假言推理的基本原则是：小前提肯定大前提的后件，结论就要肯定大前提的前件；小前提否定大前提的前件，结论就要否定大前提的后件。
2．三段论
三段论是指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理。三段论中三个简单判断只包含三个不同的概念，每个概念都重复出现一次。这三个概念都有专门名称：结论中的宾词叫“大词”，结论中的主词叫“小词”，结论不出现的那个概念叫“中词”，在两个前提中，包含大词的叫“大前提”，包含小词的叫“小前提”。
3.关系推理 指前提中至少有一个是关系判断的推理，它是根据关系的逻辑性质进行推演的。可分为纯关系推理和混合关系推理。纯关系推理就是前提和结论都是关系判断的推理，包括对称性关系推理、反对称性关系推理、传递性关系推理和反传递性关系推理。
对称性关系推理是根据关系的对称性进行的推理。
反对称性关系推理是根据关系的反对称性进行的推理。
传递性关系推理是根据关系的传递性进行的推理。
反传递性关系推理是根据关系的反传递性进行的推理。
4. 完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物的全部个别对象的考察，已知它们都具有某种性质，由此得出结论说：该类事物都具有某种性质。
??完全归纳推理可用公式表示如下：
??S1具有（或不具有）性质P
??S2具有（或不具有）性质P……
??Sn具有（或不具有）性质P
??（S1 S2……Sn是 S类的所有个别对象）
??所以，所有S都具有（或不具有）性质P
??可见，完全归纳推理的基本特点在于：前提中所考察的个别对象，必须是该类事物的全部个别对象。否则，只要其中有一个个别对象没有考察，这样的归纳推理就不能称做完全归纳推理。完全归纳推理的结论所断定的范围，并未超出前提所断定的范围。所以，结论是由前提必然得出的。应用完全归纳推理，只要遵循以下两点，那末结论就必然是真实的：（1）对于个别对象的断定都是真实的；（2）被断定的个别对象是该类的全部个别对象。
小结：本节课学习了演绎推理的基本模式.
课堂练习：第68页练习A、B
课后作业：第69页A:3，
PAGE
2§1.1.2导数的概念
教学目标
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；
教学难点：导数的概念．
教学过程：
一．创设情景
（一）平均变化率
（二）探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
二．新课讲授
1．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，时的瞬时速度是多少？考察附近的情况：
思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？
结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．
从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是
为了表述方便，我们用
表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2 导数的概念
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
我们称它为函数在出的导数，记作或，即
说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
（2），当时，，所以
三．典例分析
例1．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2
　　再求再求
解：法一（略）
法二：
（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：
例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义，
所以
同理可得:
在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．
注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．
四．课堂练习
1．质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为．
2．求曲线y=f(x)=x3在时的导数．
3．例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
五．回顾总结
1．瞬时速度、瞬时变化率的概念
2．导数的概念
六．布置作业
h
t
o
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- 2 -§1.5.2汽车行驶的路程学案
教学目标：
1．体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；
2．感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。
3．了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；
教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）．
教学难点：过程的理解．
教学过程：
一．创设情景
复习：1．连续函数的概念；
2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？
二．新课讲授
问题：汽车以速度组匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为．如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：km/h），那么它在0≤≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程（单位：km）是多少？
分析：
解：1．分割
（2）近似代替
（3）求和
（4）取极限
思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程与由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
三．典例分析
例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力（为常数，是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长所作的功．
分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．
解： 将物体用常力沿力的方向移动距离，则所作的功为．
1．分割
（2）近似代替
（3）求和
（4）取极限
四．课堂练习
1．课本 练习
五．回顾总结
求汽车行驶的路程有关问题的过程．
六．布置作业
§1.5.2汽车行驶的路程教案
教学目标：
1．体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；
2．感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。
3．了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；
教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）．
教学难点：过程的理解．
教学过程：
一．创设情景
复习：1．连续函数的概念；
2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？
二．新课讲授
问题：汽车以速度组匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为．如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：km/h），那么它在0≤≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程（单位：km）是多少？
分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间分成个小区间，在每个小区间上，由于的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得（单位：km）的近似值，最后让趋紧于无穷大就得到（单位：km）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．
解：1．分割
在时间区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为
把汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记作：
，，…，
显然，
（2）近似代替
当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从物理意义上看，即使汽车在时间段上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有
①
（3）求和
由①，
==
==
从而得到的近似值
（4）取极限
当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有
思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程与由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程在数据上等于由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积．
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤≤b内所作的位移．
三．典例分析
例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力（为常数，是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长所作的功．
分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．
解： 将物体用常力沿力的方向移动距离，则所作的功为．
1．分割
在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为
把在分段，，…，上所作的功分别记作：
，，…，
（2）近似代替
有条件知：
（3）求和
=
从而得到的近似值
（4）取极限
所以得到弹簧从平衡位置拉长所作的功为：
四．课堂练习
1．课本 练习
五．回顾总结
求汽车行驶的路程有关问题的过程．
六．布置作业
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81．3．2 函数的极值与导数(1)
一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.
二、教学重点：求函数的极值.
教学难点：严格套用求极值的步骤.
三、教学过程：
（一）函数的极值与导数的关系
1、观察下图中的曲线
a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大．b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小．
2、观察函数 f(x)＝2x3－6x2＋7的图象，
思考：函数y＝f(x)在点x＝0，x＝2处的函数值，与它们附近所有各点
处的函数值，比较有什么特点
（1）函数在x＝0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，
我们说 f(0) 是函数的一个极大值；
（2）函数在x＝2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，
则f(2)是函数的一个极小值．
函数y＝2x3－6x2＋7 的一个极大值: f (0)； 一个极小值: f (2)．
函数y＝2x3－6x2＋7 的 一个极大值点: ( 0， f (0) )； 一个极小值点: ( 2， f (2) )．
3、极值的概念：
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜ f(x0)
我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作 y极大值＝f(x0)；
如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)
我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．
极大值与极小值统称为极值．
4、观察下图中的曲线
考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况．
上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，
极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正．
函数的极值点xi是区间[a, b]内部的点，区间的端点不能成为极值点．
函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．
函数在[a, b]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点．
5、利用导数判别函数的极大（小）值：
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大（小）值的方法是：
⑴如果在x0附近的左侧f '(x)＞0，右侧f '(x)＜0，那么，f(x0)是极大值；
⑵如果在x0附近的左侧f '(x)＜0，右侧f '(x)＞0，那么，f(x0)是极小值；
思考：导数为0的点是否一定是极值点？
导数为0的点不一定是极值点．
如函数f(x)＝x3，x＝0点处的导数是0，但它不是极值点．
例1求函数
解：y＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令 y＝0，解得 x1＝－2，x2＝2．
当x变化时，y，y的变化情况如下表．
因此，当x＝－2时， y极大值＝ ，当x＝2时，y极小值＝－．
求可导函数f (x)的极值的步骤：
⑴ 求导函数f (x)；
⑵ 求方程 f (x)＝0的根；
⑶ 检查f (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值．
例2．求函数的极值
例3 求函数y＝(x2－1)3＋1的极值．
解：定义域为R，y＝6x(x2－1)2.由y＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1
当x变化时，y，y的变化情况如下表：
当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．
例4．的极值
例5．的极值
思考：导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？
练习：求函数的极值
（三）课堂小结
1．考察函数的单调性的方法；2．导数与单调性的关系；3．用导数求单调区间的步骤.
（四）课后作业
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- 2 -§1.2.2复合函数的求导法则
教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．
教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．
教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．
一．创设情景
（一）基本初等函数的导数公式表
函数 导数
（二）导数的运算法则
导数运算法则
1．2．3．
（2）推论：
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
二．新课讲授
复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。
复合函数的导数 复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
若，则
三．典例分析
例1求y ＝sin（tan x2）的导数．
【点评】
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
例2求y ＝的导数．
【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．
例3求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数．
【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22 x
＝1－（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．
【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x
【点评】
解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．
例4曲线y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的距离．
【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y′＝－3 x 2＋2 x ＋2
令y′＝1即3 x2－2 x －1＝0，解得 x ＝－或x ＝1．
于是切点为P（1，2），Q（－，－），
过点P的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为＝．
四．课堂练习
1．求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x；（2）;(3)
2.求的导数
五．回顾总结
六．布置作业
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- 2 -1.6 微积分基本定理
一、教学目标　
知识与技能目标　
通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分
过程与方法
通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感态度与价值观
通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二、教学重难点　　
重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点　了解微积分基本定理的含义　
三、教学过程
1、复习：
定积分的概念及用定义计算
2、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），
则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即
=
而。
对于一般函数，设，是否也有
若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则
证明：因为=与都是的原函数，故
-=C（）
其中C为某一常数。
令得-=C，且==0
即有C=，故=+
=-=
令，有
此处并不要求学生理解证明的过程
为了方便起见，还常用表示，即
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：
（1）； （2）。
解：（1）因为，
所以。
（2））因为，
所以
。
练习：计算
解：由于是的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有
===
例2．计算下列定积分：
。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：因为，
所以
，
，
.
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度=32公里/小时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
=米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
四、课堂小结
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！
五、教学后记
从教以来，一直困惑于一个问题：课堂上如何突出重点并突破难点。当然，理论方面自己早已烂熟于心，关键是缺乏实践方面的体验及感悟。在今天的课堂上，当自己在生物化学班重点及难点均未解决，相反将更多时间纠缠在细节方面，而物理班级恰好相反，教学效果的强烈反差，终于让自己对这个问题有了实践的切身的认识。记得当实习生时，本来一个相当简单的问题，可在课堂上却花费了大量时间，更严重的是学生却听得更为糊涂。一个主要原因在于，对相关知识结构理解不到位，眉毛胡子一把抓，而难点又无法解决。
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- 2 -1．5.1 曲边梯形的面积
教学目标：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方法，建立微积分的概念的认识基础.
教学重点：了解定积分的基本思想“以直代曲” “逼近”的思想.
教学难点：“以直代曲” “逼近”的思想的形成求和符号
教学过程：
复习引入
问题一：你会求哪些平面图形的面积？这些平面图形有什么特点？
问题二：圆的面积是怎样求得的？
问题三：如图：阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y=f(x)的一段.我们吧由直线x=a，x=b
(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积呢？
问题四：能否将求曲边梯形的面积转化为求“直边梯形”面积？
问题五：求曲边梯形面积时，能否对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样减少误差？
问题六：对每个小曲边梯形怎样“以直代曲”
问题七：如何从曲边梯形的近似值求出曲边梯形的面积？
问题八：具体怎样实施“以直代曲”和“逼近”的思想求曲边梯形面积？
问题九：
练习：P42面练习
归纳：如何求曲边梯形的面积？
小结：
1.求曲边梯形面积的思想方法是什么？
2.具体步骤是什么？
3.最终形式是什么？
作业《习案》作业十四.
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- 1 -§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
教学目标：
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；
2．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用
教学过程：
一．创设情景
函数 导数
四种常见函数、、、的导数公式及应用
二．新课讲授
（一）基本初等函数的导数公式表
函数 导数
（二）导数的运算法则
导数运算法则
1．2．3．
（2）推论：
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
三．典例分析
例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数导数公式表，有
所以（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．
例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）
（2）y ＝；
（3）y ＝x · sin x · ln x；
（4）y ＝；
（5）y ＝．
（6）y ＝（2 x2－5 x ＋1）ex
（7） y ＝
【点评】
① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．
例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1） （2）
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．
因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．
函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，．它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
四．课堂练习
1．课本P92练习
2．已知曲线C：y ＝3 x 4－2 x3－9 x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
（y ＝－12 x ＋8）
五．回顾总结
（1）基本初等函数的导数公式表
（2）导数的运算法则
六．布置作业
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- 2 -1. 1.1变化率问题
课前预习学案
预习目标：“变化率问题”，课本中的问题1,2。知道平均变化率的定义。
预习内容：
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？
气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是
如果将半径表示为体积的函数,那么
在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________
当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为_____________
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态
在这段时间里，=_________________
在这段时间里，=_________________
问题3 平均变化率
已知函数，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数从到___________.习惯上用表示，即=___________,可把看做是相对于的一个“增量”，可用代替，类似有__________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
学习目标 1.理解平均变化率的概念;
2.了解平均变化率的几何意义;
3.会求函数在某点处附近的平均变化率.
学习重点：
平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.
学习难点：
平均变化率的概念.
学习过程
一：问题提出
问题1气球膨胀率问题：
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是__________.
如果将半径r表示为体积V的函数,那么___________.
当V从0增加到1时,气球半径增加了___________.
气球的平均膨胀率为___________.
当V从1增加到2时,气球半径增加了___________.
气球的平均膨胀率为___________.
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少 ___________.
问题2 高台跳水问题：
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在怎样的函数关系？
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系___________.
）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t≤０.5，1≤t≤2，1.8≤t≤2，2≤t≤2.2，时间段里的平均速度.
思考计算：和的平均速度
在这段时间里，___________.；
在这段时间里，___________.
探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以___________.虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
（1）计算和思考，展开讨论；
（2）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.
（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；
二平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2．若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)
则平均变化率为___________.
思考：观察函数f(x)的图象
平均变化率表示什么
一起讨论、分析，得出结果；
计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变化率.
注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；
②x2= x1+Δx；
③Δf=Δy=y2-y1；
三．典例分析
例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 ．
解：
例2．求在附近的平均变化率。
解：
四．有效训练
1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
反思总结：1、平均变化率的概念
2、如何求函数在某点附近的平均变化率
当堂检测
1、函数在区间上的平均变化率是（ ）
A、4 B、2 C、 D、
2、经过函数图象上两点A、B的直线的斜率（）为_______;函数在区间[1，1.5]上的平均变化率为_________________
3、如果质点M按规律运动，则在时间[2，2.1]中相应的平均速度等于______
课后练习与提高
已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率
（1）[1，1.01] (2)[0.9,1]
已知一次函数在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。
3、已知函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+，）），求
4、将半径为R的球加热，若球的半径增加，则球的体积增量
1.1.1 变化率问题
教学目标：
1.理解平均变化率的概念;
2.了解平均变化率的几何意义;
3.会求函数在某点处附近的平均变化率.
教学重点：
平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.
教学难点：
平均变化率的概念.
教学过程：
一、创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等.
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.
导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.
二、新课讲授
(一)问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢
气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是
如果将半径表示为体积的函数,那么
分析:
(1)当从增加到时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
(2)当从增加到时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态
思考计算: 和的平均速度
在这段时间里,
在这段时间里,
探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
(1)运动员在这段时间内使静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程: 如图是函数的图像,
结合图形可知,,所以
虽然运动员在这段时间里的平均速度为,
但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,
可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
(二)平均变化率概念
1.上述问题中的变化率可用式子表示,
称为函数从到的平均变化率.
2.若设, (这里看作是对于的一个“增量”可用代替,同样)
则平均变化率为
思考: 观察函数的图象
平均变化率表示什么
三、典例分析
例1 已知函数的图象上的一点及
临近一点则 .
解:
∴
例2 求在附近的平均变化率.
解:
所以
所以在附近的平均变化率为
四、课堂练习
1.质点运动规律为,则在时间中相应的平均速度为 .
2.物体按照的规律作直线运动,求在附近的平均变化率.
3.过曲线上两点和作曲线的割线,
求出当时割线的斜率.
五、回顾总结
1.平均变化率的概念.
2.函数在某点处附近的平均变化率.
六、布置作业
求函数在附近的平均变化率，取都为，哪一点附近的平均变化率最大？
h
t
o
h
t
o
h
t
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- 1 -§1.5.3定积分的概念学案
教学目标：
⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；
⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．
3．理解掌握定积分的几何意义；
教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．
教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．
教学过程：
一．前置复习：
1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：
2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．
二．新课讲授
1．定积分的概念 一般地，设函数在区间上连续，用分点
将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：
如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：
其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。
说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法是：
（3）曲边图形面积： ；
变速运动路程；
变力做功
2．定积分的几何意义
分析：
2．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
性质2
性质3
性质4
说明：①推广：
②推广:
③性质解释：
三．典例分析
例1．计算定积分
四．课堂练习
计算下列定积分
1．
2．
3．课本 练习
五．回顾总结
1．定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．
六．布置作业
§1.5.3定积分的概念教案
教学目标：
⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；
⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．
3．理解掌握定积分的几何意义；
教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．
教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．
教学过程：
一．创设情景
复习：
1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近
2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．
二．新课讲授
1．定积分的概念 一般地，设函数在区间上连续，用分点
将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：
如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：
其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。
说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：
（3）曲边图形面积：；变速运动路程；
变力做功
2．定积分的几何意义
说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．
分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。
考察和式
不妨设
于是和式即为
阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）
2．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
性质2 （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）
性质3 （定积分的线性性质）性质4
（定积分对积分区间的可加性）
说明：①推广：
②推广:
③性质解释：
三．典例分析
例1．计算定积分
分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为。
即：
思考：若改为计算定积分呢？
改变了积分上、下限，被积函数在上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）
四．课堂练习
计算下列定积分
1．
2．
5．课本 练习
五．回顾总结
1．定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．
六．布置作业
性质4
性质1
性质4
性质1
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