2022年秋季湘教版数学九年级上传第三章 《图形的相似》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·兰州）已知 ， ，若 ，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
2．（2022·四川）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC， ，DE＝6cm，则BC的长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
3．（2022·梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形 的位似图形 ﹐已知 ，若四边形 的面积是2，则四边形 的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
4．（2022·东营）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·巴中）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2022·徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C． D．
7．（2022·十堰）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB.如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·衢州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则 （ ）
A． B． C．1 D．
10．（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，轴，垂足为F．若，．以下结论正确的个数是（ ）
①；②AE平分；③点C的坐标为；④；⑤矩形ABCD的面积为．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ．
12．（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是 ．
13．（2022·锦州）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为 ．
14．（2022·东营）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为 ．
15．（2022·百色）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 米.
16．（2022·苏州）如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，分别以A，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 .
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·玉林）如图，在矩形 中， ，点E是 边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作 交 的延长线于点F，设 ．
（1）求 的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接 交 于点G，连接 ，当 时，求证：四边形 是菱形．
18．（2022·长春）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中的形状是 ；
（2）在图①中确定一点D，连结、，使与全等：
（3）在图②中的边上确定一点E，连结，使：
（4）在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2．
19．（2022·江西）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
20．（2022·杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形， 、
（1）若AB=8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
21．（2022·上海市）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE =AQ·AB求证：
（1）∠CAE=∠BAF；
（2）CF·FQ=AF·BQ
22．（2022·济南）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 ▲ ；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
23．（2022·吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线，与的面积相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：
设与之间的距离为，则，．
∴．
【探究】
（1）如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则．
证明：∵ ▲
▲
▲
（2）如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则．
证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，
∴ ▲ ．
∴ ▲ ．
∴．
由【探究】（1）可知 ▲ ，
∴．
（3）如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为 ．
24．（2022·乐山）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案.
2.如图，在正方形ABCD中，.求证：. 证明：设CE与DF交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，. ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. ∴. ∴.
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
（1）【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且.试猜想的值，并证明你的猜想.
（2）【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，，，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且.则 .
（3）【拓展应用】如图，在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上，且.求的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得，代入求解可得EF的值.
2．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴BC=DE×=15cm.
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质得出，然后根据平行线分线段成比例的性质求出，则可解答.
3．【答案】D
【知识点】相似多边形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：由题意可知，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，
由两图形相似面积比等于相似比的平方可知： ，
又四边形ABCD的面积是2，
∴四边形A'B'C'D'的面积为18.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：四边形ABCD与四边形 A′B′C′D′相似，然后结合相似图形的面积比等于相似比的平方进行解答.
4．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴△ADC∽△ABO
∴，
∵，
∴，
∵C、D两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴B点的纵坐标为6，故C正确.
故答案为：6.
【分析】易证△ADC∽△ABO，根据相似三角形的性质可得，由已知条件可得，根据C、D两点的纵坐标可得CD=2，求出OB，得到点B的纵坐标，据此判断.
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：
∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴=2，
∴.
故答案为：C.
【分析】对图形进行点标注，易证△ABE∽△CDE，根据相似三角形的性质可得=2，根据同高三角形的面积之比等于底之比得S阴影=S△ABC，然后结合三角形的面积公式进行计算.
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD=3，
∴AB：3=3，
∴AB=9（cm），
∵外径为10cm，
∴19+2x=10，
∴x=0.5（cm）.
故答案为：B.
【分析】证明△AOB∽△COD，利用相似三角形的性质求出AB，再根据某零件的外径为10cm，可得19+2x=10，即可求出x值.
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可知DE垂直平分AC，GH=GC，
∴AG=CG，AF=CF，故A不符合题意；
∴GF是△ACH的中位线，
∴FG∥AH，
∴AH⊥AC，
∴∠CAH=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=36°，
∴∠AHC=90°-36°=54°，
∵∠HAB=∠AHC-∠B
∴∠HAB=54°-36°=18°，
∴∠B=2∠HAB，故B不符合题意；
∵AG=CG，
∴∠C=∠GAC=36°，
∴∠AGB=∠C+∠GAC=72°，
∵∠BAG=180°-2×36°-36°=72°，
∴∠AGB=∠BAG，
∴AB=BG，
∴△ABG是等腰三角形，△ACH是直角三角形，
∴△ABG和△ACH不可能全等，故C不符合题意；
∵∠GCA=∠ACB，∠CAG=∠B，
∴△CAG∽△CBA，
∴，
∴CA2=CG·CB，
∵AB=BG=AC，
∴BG2=CG·CB，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】由作图可知DE垂直平分AC，GH=GC，利用垂直平分线的性质可证得AG=CG，AF=CF，可对A作出判断；易证GF是△ACH的中位线，可得到FG∥AH，由此可求出∠CAH的度数，利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求出∠AHC的度数，利用三角形的外角的性质可求出∠HAB的度数，可对B作出判断；再求出∠AGB和∠BAG的度数，可证得△ABG是等腰三角形，而△ACH是直角三角形，可对C作出判断；利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△CAG∽△CBA，利用相似三角形的对应边成比例及AB=BG=AC，可对D作出判断.
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：设 ，
四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
故答案为：A.
【分析】设，先证 ，再证 ，可得 ，由，可得，根据平行线分线段成比例可得 ，可得， ，利用三角形的面积公式即可结论.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；关于原点对称的坐标特征
【解析】【解答】解：∵AF⊥x轴，
∴∠AFE＝∠BOE＝90°，
∵∠OEB＝∠AEF，
∴△AEF∽△BEO，
∴，∠EAF＝∠OBE，
∴BO＝3AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO=BO＝DO，
∴AO＝3AF，∠OBA＝∠OAB，故①正确；
∴∠OAB＝∠EAF，
∴AE平分∠OAF，故②正确；
∵OE＝3，EF＝1，
∴OF＝4，
∵OA2 AF2＝OF2，
∴8AF2＝16，
∴（取正值），
∴点A坐标为，
∵点A，点C关于原点对称，
∴点C，故③正确；
∵，OA＝3AF，
∴，
∴，故④错误；
∵
∴矩形ABCD的面积，故⑤正确；
∴正确的个数有4个.
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义和对顶角相等，可证得∠AFE＝∠BOE，∠OEB＝∠AEF，可得到△AEF∽△BEO，利用相似三角形的性质可得到BO＝3AF，∠EAF＝∠OBE，利用矩形的性质可推出AO＝CO=BO＝DO，可对①作出判断；同时利用等腰三角形的性质可知∠OBA＝∠OAB，可推出∠OAB＝∠EAF，可对②作出判断；再利用勾股定理求出AF的长，可得到点A的坐标，利用关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，可得到点C的坐标，可对③作出判断；利用OA=3AF，可求出BD的长，可对④作出判断；然后求出BD的长，利用三角形的面积公式求出△ABD的面积，即可求出矩形ABCD的面积，可对⑤作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．
平分，，，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
的周长，
故答案为：．
【分析】过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE，交BC于点T，利用角平分线的性质可证得FM=FN，利用三角形的面积公式可证得AB=3AD，设AD=DC=a，可表示出AB的长，利用平行线分线段成比例，可证得ET=CT，及BE与ET的比值，设ET=CT=b，可表示出BE的长，根据AB+BE＝3，可得到关于a，b的方程，解方程求出a+b的值，然后求出△ABC的周长.
12．【答案】2
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵点A（4，0），点C（2，0），
∴OA=4，OC=2，
∵与位似，位似中心是坐标原点O，
∴与周长的比值是.
故答案为：2.
【分析】利用点A，C的坐标可求出OA，OC的长；再利用位似三角形的性质，可知这两个三角形的周长比等于相似比，可得答案.
13．【答案】3
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为3．
【分析】先证明可得，再结合，，可得，从而求出即可。
14．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形EFGH是矩形，
∴，
∴，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】先证明可得，再将数据代入可得，求出，即可得到。
15．【答案】12
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设旗杆为AB，如图所示：
根据题意得：，
∴
∵米，米，米，
∴
解得：AB=12米.
故答案为：12.
【分析】设旗杆为AB，根据题意得：△ABC∽△DEF，然后根据相似三角形的性质就可求出AB的值.
16．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，设AC与 MN的交点为O ，
根据作图可得MN⊥AC，且平分AC ，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
又 ， ，
，
，
，
四边形AECF是平行四边形，
∵MN垂直平分AC ，
，
四边形AECF是菱形，
， ，
，
，
∴E为BC的中点，
中， ， ，
，
，
四边形AECF的周长为 .
故答案为： .
【分析】设AC与MN的交点为O，根据作图可得MN⊥AC且平分AC，则AO=OC，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠FAO=∠OCE，证明△AOF≌△COE，得到AF=EC，推出四边形AECF是平行四边形，结合EA=EC可得四边形AECF为菱形，易得EF∥AB，根据平行线分线段成比例的性质可得E为BC的中点，根据勾股定理可得BC，由直角三角形斜边上中线的性质可得AE=BC，据此求解.
17．【答案】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
（2）证明：由题意可得如图所示：
连接AC，
在矩形 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得∠BAD=∠ABC=∠D=90°，根据同角的余角相等得∠FAB=∠EAD，证明△ADE∽△ABF，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（2）连接AC，根据矩形的性质可得AB∥CD，AD=BC=4，AB=CD=8，∠ABC=90°，易得四边形AGCE是平行四边形，则AG=CE，BG=DE=a，易证△ABC∽△FBG，得到∠FGB=∠ACB，结合∠GFB+∠FGB=90°可得∠GFB+∠ACB=90°，推出AC⊥GE，然后利用菱形的判定定理进行证明.
18．【答案】（1）直角三角形
（2）解：如图，点D即为所求作，使与全等：
（3）解：如图所示，点E即为所作，且使：
（4）解：如图，点P，Q即为所求，使得，且相似比为1：2．
【知识点】勾股定理的逆定理；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）∵
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）根据全等三角形的判定，作出图形即可；
（3）根据相似三角形的判定，作出图形即可；
（4）作出AB、BC的中点P、Q即可。
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
即，
解得：．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用两组角相等的三角形相似的判定方法求解即可；
（2）根据相似三角形的性质可得，再把数据代入可得，最后求出即可。
20．【答案】（1）解：由题意，得DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∵AB=8，
∴AD=2
（2）解：设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2．
∵
∴
∵S1=1，
∴S=16．
∵
同理可得S2=9，
∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得DE∥BC，由此可推出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AD的长.
（2）设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出S的值；同理可求出S2的值，然后根据平行四边形BFED的面积=S-S1-S2，代入计算可求解.
21．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CF=BE，
∴CE=BF，
在△ACE和△ABF中，，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE=∠BAF
（2）证明：∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，
∵AE =AQ·AB，AC＝AB，
∴，即，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE，
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴，即CF·FQ=AF·BQ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）利用全等三角形的性质和相似三角形的判定与性质证明求解即可。
22．【答案】（1）解：．
证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
即．
在和中
，
∴，
∴；
（2）①；
②过点A作于点G，连接AF，如下图．
∵是等边三角形，，
∴，
∴．
∵是等边三角形，点F为线段BC中点，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（2）解：①
理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴；
【分析】（1）先求出 ，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①先求出是等边三角形，再求解即可；
②先求出 ， 再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。
23．【答案】（1）证明：，，
．
（2）解：证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，
．
．
．
由【探究】（1）可知，
．
（3）
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 (3)解：过点作于点，过点作于点，则，
，
，
，
点所对应的刻度值分别为5，，0，
，，
，
又，，
，
故答案为：．
【分析】（1）由 ，即可证明；
（2） 过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由AEDF可得 ，．由【探究】（1）可知；
（3）过点作于点，过点作于点，由探究（1）（2）可得。
24．【答案】（1）解：，理由为：
过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM＝AN，即EG＝FH，
∴；
（2）
（3）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴设，
过点，垂足为，交于点，
则，
在中，，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即.
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN.
∴△ABM∽△ADN，
∴，
∵，，AM＝HF，AN＝EG，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，根据正方形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，推出四边形AMFH、AEGN是平行四边形，得到AM＝HF，AN＝EG，根据同角的余角相等可得∠BAM＝∠DAN，证明△ABM≌△ADN，据此求解；
（2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，根据矩形的对边平行可得AB∥CD，AD∥BC，推出四边形AMFH、AEGN是平行四边形，得到AM＝HF，AN＝EG，根据同角的余角相等可得∠BAM＝∠DAN，证明△ABM∽△ADN，然后根据相似三角形的性质进行求解；
（3）易得△ABC是等边三角形，设AB=BC=AC=a，作CN⊥AB，垂足为N，交BF于点M，根据等边三角形的性质可得AN=BN=a，利用勾股定理可得CN，根据等角的余角相等可得∠ABF=∠ECN，证明△NCE∽△ABF，然后根据相似三角形的性质进行求解.
1 / 12022年秋季湘教版数学九年级上传第三章 《图形的相似》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·兰州）已知 ， ，若 ，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得，代入求解可得EF的值.
2．（2022·四川）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC， ，DE＝6cm，则BC的长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴BC=DE×=15cm.
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质得出，然后根据平行线分线段成比例的性质求出，则可解答.
3．（2022·梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形 的位似图形 ﹐已知 ，若四边形 的面积是2，则四边形 的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】相似多边形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：由题意可知，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，
由两图形相似面积比等于相似比的平方可知： ，
又四边形ABCD的面积是2，
∴四边形A'B'C'D'的面积为18.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：四边形ABCD与四边形 A′B′C′D′相似，然后结合相似图形的面积比等于相似比的平方进行解答.
4．（2022·东营）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
5．（2022·巴中）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴△ADC∽△ABO
∴，
∵，
∴，
∵C、D两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴B点的纵坐标为6，故C正确.
故答案为：6.
【分析】易证△ADC∽△ABO，根据相似三角形的性质可得，由已知条件可得，根据C、D两点的纵坐标可得CD=2，求出OB，得到点B的纵坐标，据此判断.
6．（2022·徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：
∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴=2，
∴.
故答案为：C.
【分析】对图形进行点标注，易证△ABE∽△CDE，根据相似三角形的性质可得=2，根据同高三角形的面积之比等于底之比得S阴影=S△ABC，然后结合三角形的面积公式进行计算.
7．（2022·十堰）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB.如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD=3，
∴AB：3=3，
∴AB=9（cm），
∵外径为10cm，
∴19+2x=10，
∴x=0.5（cm）.
故答案为：B.
【分析】证明△AOB∽△COD，利用相似三角形的性质求出AB，再根据某零件的外径为10cm，可得19+2x=10，即可求出x值.
8．（2022·衢州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可知DE垂直平分AC，GH=GC，
∴AG=CG，AF=CF，故A不符合题意；
∴GF是△ACH的中位线，
∴FG∥AH，
∴AH⊥AC，
∴∠CAH=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=36°，
∴∠AHC=90°-36°=54°，
∵∠HAB=∠AHC-∠B
∴∠HAB=54°-36°=18°，
∴∠B=2∠HAB，故B不符合题意；
∵AG=CG，
∴∠C=∠GAC=36°，
∴∠AGB=∠C+∠GAC=72°，
∵∠BAG=180°-2×36°-36°=72°，
∴∠AGB=∠BAG，
∴AB=BG，
∴△ABG是等腰三角形，△ACH是直角三角形，
∴△ABG和△ACH不可能全等，故C不符合题意；
∵∠GCA=∠ACB，∠CAG=∠B，
∴△CAG∽△CBA，
∴，
∴CA2=CG·CB，
∵AB=BG=AC，
∴BG2=CG·CB，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】由作图可知DE垂直平分AC，GH=GC，利用垂直平分线的性质可证得AG=CG，AF=CF，可对A作出判断；易证GF是△ACH的中位线，可得到FG∥AH，由此可求出∠CAH的度数，利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求出∠AHC的度数，利用三角形的外角的性质可求出∠HAB的度数，可对B作出判断；再求出∠AGB和∠BAG的度数，可证得△ABG是等腰三角形，而△ACH是直角三角形，可对C作出判断；利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△CAG∽△CBA，利用相似三角形的对应边成比例及AB=BG=AC，可对D作出判断.
9．（2021·贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：设 ，
四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
故答案为：A.
【分析】设，先证 ，再证 ，可得 ，由，可得，根据平行线分线段成比例可得 ，可得， ，利用三角形的面积公式即可结论.
10．（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，轴，垂足为F．若，．以下结论正确的个数是（ ）
①；②AE平分；③点C的坐标为；④；⑤矩形ABCD的面积为．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；关于原点对称的坐标特征
【解析】【解答】解：∵AF⊥x轴，
∴∠AFE＝∠BOE＝90°，
∵∠OEB＝∠AEF，
∴△AEF∽△BEO，
∴，∠EAF＝∠OBE，
∴BO＝3AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO=BO＝DO，
∴AO＝3AF，∠OBA＝∠OAB，故①正确；
∴∠OAB＝∠EAF，
∴AE平分∠OAF，故②正确；
∵OE＝3，EF＝1，
∴OF＝4，
∵OA2 AF2＝OF2，
∴8AF2＝16，
∴（取正值），
∴点A坐标为，
∵点A，点C关于原点对称，
∴点C，故③正确；
∵，OA＝3AF，
∴，
∴，故④错误；
∵
∴矩形ABCD的面积，故⑤正确；
∴正确的个数有4个.
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义和对顶角相等，可证得∠AFE＝∠BOE，∠OEB＝∠AEF，可得到△AEF∽△BEO，利用相似三角形的性质可得到BO＝3AF，∠EAF＝∠OBE，利用矩形的性质可推出AO＝CO=BO＝DO，可对①作出判断；同时利用等腰三角形的性质可知∠OBA＝∠OAB，可推出∠OAB＝∠EAF，可对②作出判断；再利用勾股定理求出AF的长，可得到点A的坐标，利用关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，可得到点C的坐标，可对③作出判断；利用OA=3AF，可求出BD的长，可对④作出判断；然后求出BD的长，利用三角形的面积公式求出△ABD的面积，即可求出矩形ABCD的面积，可对⑤作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．
平分，，，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
的周长，
故答案为：．
【分析】过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE，交BC于点T，利用角平分线的性质可证得FM=FN，利用三角形的面积公式可证得AB=3AD，设AD=DC=a，可表示出AB的长，利用平行线分线段成比例，可证得ET=CT，及BE与ET的比值，设ET=CT=b，可表示出BE的长，根据AB+BE＝3，可得到关于a，b的方程，解方程求出a+b的值，然后求出△ABC的周长.
12．（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是 ．
【答案】2
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵点A（4，0），点C（2，0），
∴OA=4，OC=2，
∵与位似，位似中心是坐标原点O，
∴与周长的比值是.
故答案为：2.
【分析】利用点A，C的坐标可求出OA，OC的长；再利用位似三角形的性质，可知这两个三角形的周长比等于相似比，可得答案.
13．（2022·锦州）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为 ．
【答案】3
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为3．
【分析】先证明可得，再结合，，可得，从而求出即可。
14．（2022·东营）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形EFGH是矩形，
∴，
∴，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】先证明可得，再将数据代入可得，求出，即可得到。
15．（2022·百色）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 米.
【答案】12
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设旗杆为AB，如图所示：
根据题意得：，
∴
∵米，米，米，
∴
解得：AB=12米.
故答案为：12.
【分析】设旗杆为AB，根据题意得：△ABC∽△DEF，然后根据相似三角形的性质就可求出AB的值.
16．（2022·苏州）如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，分别以A，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 .
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，设AC与 MN的交点为O ，
根据作图可得MN⊥AC，且平分AC ，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
又 ， ，
，
，
，
四边形AECF是平行四边形，
∵MN垂直平分AC ，
，
四边形AECF是菱形，
， ，
，
，
∴E为BC的中点，
中， ， ，
，
，
四边形AECF的周长为 .
故答案为： .
【分析】设AC与MN的交点为O，根据作图可得MN⊥AC且平分AC，则AO=OC，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠FAO=∠OCE，证明△AOF≌△COE，得到AF=EC，推出四边形AECF是平行四边形，结合EA=EC可得四边形AECF为菱形，易得EF∥AB，根据平行线分线段成比例的性质可得E为BC的中点，根据勾股定理可得BC，由直角三角形斜边上中线的性质可得AE=BC，据此求解.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·玉林）如图，在矩形 中， ，点E是 边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作 交 的延长线于点F，设 ．
（1）求 的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接 交 于点G，连接 ，当 时，求证：四边形 是菱形．
【答案】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
（2）证明：由题意可得如图所示：
连接AC，
在矩形 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得∠BAD=∠ABC=∠D=90°，根据同角的余角相等得∠FAB=∠EAD，证明△ADE∽△ABF，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（2）连接AC，根据矩形的性质可得AB∥CD，AD=BC=4，AB=CD=8，∠ABC=90°，易得四边形AGCE是平行四边形，则AG=CE，BG=DE=a，易证△ABC∽△FBG，得到∠FGB=∠ACB，结合∠GFB+∠FGB=90°可得∠GFB+∠ACB=90°，推出AC⊥GE，然后利用菱形的判定定理进行证明.
18．（2022·长春）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中的形状是 ；
（2）在图①中确定一点D，连结、，使与全等：
（3）在图②中的边上确定一点E，连结，使：
（4）在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2．
【答案】（1）直角三角形
（2）解：如图，点D即为所求作，使与全等：
（3）解：如图所示，点E即为所作，且使：
（4）解：如图，点P，Q即为所求，使得，且相似比为1：2．
【知识点】勾股定理的逆定理；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）∵
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）根据全等三角形的判定，作出图形即可；
（3）根据相似三角形的判定，作出图形即可；
（4）作出AB、BC的中点P、Q即可。
19．（2022·江西）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
即，
解得：．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用两组角相等的三角形相似的判定方法求解即可；
（2）根据相似三角形的性质可得，再把数据代入可得，最后求出即可。
20．（2022·杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形， 、
（1）若AB=8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【答案】（1）解：由题意，得DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∵AB=8，
∴AD=2
（2）解：设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2．
∵
∴
∵S1=1，
∴S=16．
∵
同理可得S2=9，
∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得DE∥BC，由此可推出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AD的长.
（2）设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出S的值；同理可求出S2的值，然后根据平行四边形BFED的面积=S-S1-S2，代入计算可求解.
21．（2022·上海市）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE =AQ·AB求证：
（1）∠CAE=∠BAF；
（2）CF·FQ=AF·BQ
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CF=BE，
∴CE=BF，
在△ACE和△ABF中，，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE=∠BAF
（2）证明：∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，
∵AE =AQ·AB，AC＝AB，
∴，即，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE，
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴，即CF·FQ=AF·BQ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）利用全等三角形的性质和相似三角形的判定与性质证明求解即可。
22．（2022·济南）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 ▲ ；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
【答案】（1）解：．
证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
即．
在和中
，
∴，
∴；
（2）①；
②过点A作于点G，连接AF，如下图．
∵是等边三角形，，
∴，
∴．
∵是等边三角形，点F为线段BC中点，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（2）解：①
理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴；
【分析】（1）先求出 ，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①先求出是等边三角形，再求解即可；
②先求出 ， 再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。
23．（2022·吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线，与的面积相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：
设与之间的距离为，则，．
∴．
【探究】
（1）如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则．
证明：∵ ▲
▲
▲
（2）如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则．
证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，
∴ ▲ ．
∴ ▲ ．
∴．
由【探究】（1）可知 ▲ ，
∴．
（3）如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为 ．
【答案】（1）证明：，，
．
（2）解：证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，
．
．
．
由【探究】（1）可知，
．
（3）
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 (3)解：过点作于点，过点作于点，则，
，
，
，
点所对应的刻度值分别为5，，0，
，，
，
又，，
，
故答案为：．
【分析】（1）由 ，即可证明；
（2） 过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由AEDF可得 ，．由【探究】（1）可知；
（3）过点作于点，过点作于点，由探究（1）（2）可得。
24．（2022·乐山）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案.
2.如图，在正方形ABCD中，.求证：. 证明：设CE与DF交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，. ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. ∴. ∴.
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
（1）【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且.试猜想的值，并证明你的猜想.
（2）【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，，，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且.则 .
（3）【拓展应用】如图，在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上，且.求的值.
【答案】（1）解：，理由为：
过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM＝AN，即EG＝FH，
∴；
（2）
（3）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴设，
过点，垂足为，交于点，
则，
在中，，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即.
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN.
∴△ABM∽△ADN，
∴，
∵，，AM＝HF，AN＝EG，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，根据正方形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，推出四边形AMFH、AEGN是平行四边形，得到AM＝HF，AN＝EG，根据同角的余角相等可得∠BAM＝∠DAN，证明△ABM≌△ADN，据此求解；
（2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，根据矩形的对边平行可得AB∥CD，AD∥BC，推出四边形AMFH、AEGN是平行四边形，得到AM＝HF，AN＝EG，根据同角的余角相等可得∠BAM＝∠DAN，证明△ABM∽△ADN，然后根据相似三角形的性质进行求解；
（3）易得△ABC是等边三角形，设AB=BC=AC=a，作CN⊥AB，垂足为N，交BF于点M，根据等边三角形的性质可得AN=BN=a，利用勾股定理可得CN，根据等角的余角相等可得∠ABF=∠ECN，证明△NCE∽△ABF，然后根据相似三角形的性质进行求解.
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