2022年秋季湘教版数学九年级上册第三章 《图形的相似》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·湘潭）在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC＝（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，则可证出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质得出，即可解答.
2．（2022·鄂尔多斯）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，
∴∠MGN＝90°，
∴四边形GMCN为矩形，
∴GM＝CN，
在△CDN中，∠D＝60°，CD＝，
∴CN＝CD sin60°＝，
∴MG＝3，
∵四边形BEFG为矩形，
∴∠E＝90°，BG∥EF，
∴∠BCE＝∠GBM，
又∵∠E＝∠BMG，
∴△GBM∽△BCE，
∴，
∴，
∴BE＝ ，
故答案为：B．
【分析】先求出四边形GMCN为矩形，再利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质计算求解即可。
3．（2022·哈尔滨）如图，相交于点E，，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
故答案为：C．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
4．（2022·包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图：
由题意可知，，，
∴，
而，
∴四边形DCBM为平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先证明四边形DCBM为平行四边形，根据平行四边形的性质可得，则可得答案。
5．（2022·扬州）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点.下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
平分，故②正确；
，
，
，
，
，
，
故③正确
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质可得△ADE≌△ABC，则∠E=∠C，根据对顶角的性质可得∠AFE=∠DFC，然后根据相似三角形的判定定理可判断①；根据全等三角形的性质可得AB=AD，∠ADE=∠ABC，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠ADB，则∠ADB=∠ADE，据此判断②；根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAE，则∠BAD=∠CAE，根据相似三角形的性质可得∠CAE=∠CDF，据此判断③.
6．（2022·武威）若 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
， ，
故答案为：D.
【分析】直接根据相似三角形对应边成比例进行计算即可.
7．（2022·绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片 ，其中 ， ， ， ， ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1，
∵剪掉的是两个直角三角形，
∴∠F=∠BCE=90°，∠FED+∠BEC=90°，∠BEC+∠CBE=90°，
∴∠FED=∠CBE，
∴△FED∽△CBE，
∴
∵矩形ABEF，
∴AB=EF=9，
设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y
∴
解之：
经检验是有原方程组的解
∴，故B不符合题意；
，故D不符合题意；
如图2
同理可知△CFD∽△EFB，
∴
设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，
∴
解之：
经检验是原方程组的解，
∴DF=10，故C不符合题意；
BF=7+8=15，故A符合题意；
故答案为：A.
【分析】分情况讨论：如图1，易证△FED∽△CBE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值；再求出DE，BE的长，可对B，D作出判断；如图2，同理可知△CFD∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值；再求出DF，BF的长，可对A，C作出判断.
8．（2022·达州）如图，点E在矩形 的 边上，将 沿 翻折，点A恰好落在 边上的点F处，若 ， ，则 的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠B=∠C=∠A=90°，BC=AD，AB=CD，
∵△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，
∴AE=EF，∠A=∠DFE=90°，
∴∠BEF=∠DFC，
∴△FCD∽△EBF，
∴CD：BF=FC：EB，
又∵CD=3BF，
∴FC：EB=3：1，
∵BE=4，
∴FC=12，
设AE=EF=a，则AB=CD=a+4，
∴BF=，
在Rt△EBF中，BF2+BE2=EF2，
∴（）2+42=a2，
整理，解得：a=-4（舍去）或a=5，
∴BF=3，
∴AD=BC=BF+FC=3+12=15.
故答案为：C.
【分析】由矩形性质得∠B=∠C=∠A=90°，BC=AD，AB=CD，由折叠得AE=EF，∠A=∠DFE=90°，可得∠BEF=∠DFC，继而证出△FCD∽△EBF，由相似三角形对应比比例关系结合CD=3BF求得FC=12，设AE=EF=a，则AB=CD=a+4，从而得BF=，由勾股定理得到a的方程（）2+42=a2，解得a=5，求得BF的长，进而求出AD的长.
9．（2022·丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E，
∵AD=2DE，
∵BD∥CE，
∴，
∵AB=3，
∴BC=AB=.
故答案为：C.
【分析】过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E，根据平行线分线段成比例的性质列比例式，结合AB=3，即可求出BC长.
10．（2022·重庆）如图，△ABC与△DEF位似点О为位似中心，相似比为2：3.若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（ )
A．4 B．6 C．9 D．16
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
∴C△DEF=C△ABC=×4=6.
故答案为：6.
【分析】因为位似图形是相似图形，根据周长比等于相似比列式计算，即可解答.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·北京市）如图，在矩形中，若，则的长为 ．
【答案】1
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：在矩形中：，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】先求出，BC=4，再求解即可。
12．（2022·黔东南）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长、交于点、，若点是边的中点，则 cm.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
∵点M为BC的中点，
∴
由折叠得，∠
∴∠，
设则有
∴
又在中，，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得，（舍去）
∴
∴
∴
∵∠
∴∠
∴∠
又∠
∴△
∴即
∴
故答案为：
【分析】连接DF，利用正方形的性质，可证得∠A=∠B=∠C=∠CDA=90°，利用线段中点的定义可求出BM，CM的长；利用折叠的性质可得到ME，DE的长，同时可证得∠DEM=90°，设FE=x，利用勾股定理建立关于x的方程，可表示出DF2，从而可表示出FB的长，再表示出AF的长；在Rt△DAF中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，可得到FE，FM，FB的长；然后证明△FEG∽△FBM，利用相似三角形的对应边成比例，可求出FG的长.
13．（2021·郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD.为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ m.
【答案】1.2
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵BB1∥CC1，
∴ ＝ ，
∵AB＝BC，
∴AE＝EF，
同理可得：AE＝EF＝FD1，
∵AE＝0.4m，
∴AD1＝0.4×＝1.2（m），
故答案为：1.2.
【分析】由平行线分线段成比例的性质可得 ＝ ，由AB=BC可得AE＝EF，同理可得：AE＝EF＝FD1，据此求解.
14．（2022·毕节）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴则PQ的最小值为.
故答案为：.
【分析】首先利用勾股定理可得AC的值，根据平行四边形的性质可得PO＝QO，CO＝AO，过O作BC的垂线OP′，易证△CAB∽△CP′O，根据相似三角形的性质可得OP′，据此解答.
15．（2022·天津）如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接FB，作交AB的延长线于点G．
∵四边形是边长为2的菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，
∵E为的中点，
∴，
∴，即点B为线段EG的中点，
又∵F为的中点，
∴FB为的中位线，
∴，，
∴，即是直角三角形，
∴．
在和中，
，‘
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】连接FB，作交AB的延长线于点G，先证明是直角三角形，利用勾股定理求出AF的长，再证明可得，可得，再利用线段的和差可得。
16．（2022·常州）如图，在中，，，.在中，，，.用一条始终绷直的弹性染色线连接，从起始位置（点与点重合）平移至终止位置（点与点重合），且斜边始终在线段上，则的外部被染色的区域面积是 .
【答案】21
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作AB的垂线交于G，同时在图上标出M、N、F'如下图：
，，，
，
在中，，，.
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
同理可证：，
，
，
，
的外部被染色的区域面积为，
故答案为：21.
【分析】过点F作AB的垂线交于G，同时在图上标出M、N、F′，利用勾股定理可得AB、DE，由AE=AB-DE可得AE，推出四边形AEFF′为平行四边形，得到AE=FF′=10，根据三角形的面积公式可得GF，证明△DFM∽△ACM，△ANF′∽△DNC，根据相似三角形的性质可得DM、DN，由MN=DN-DM可得MN，然后根据Rt△ABC的外部被染色的区域面积为S梯形MNF′F结合梯形的面积公式进行计算.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2021·广元）如图，在平行四边形 中，E为 边的中点，连接 ，若 的延长线和 的延长线相交于点F.
（1）求证： ；
（2）连接 和 相交于点为G，若 的面积为2，求平行四边形 的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点E为DC的中点，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 的面积为2，
∴ ，即 ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质易得 ， ， 由平行线的性质可得 ， 易得 可得 ，等量代换可得结果；
（2）由平行四边形的性质易得 ， 故可得 ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得 ，根据△ABG与△BCG同高，且 可得 ， 即可得 ，由平行四边形面积等于2倍 可得结果.
18．（2021·鄂州）如图，在 中，点E、F分别在边 、 上，且 .
（1）探究四边形 的形状，并说明理由；
（2）连接 ，分别交 、 于点G、H，连接 交 于点O.若 ， ，求 的长.
【答案】（1）解：四边形 为平行四边形.
理由如下：
∵四边形 为平行四边形
∴
∵
∴
∵四边形 为平行四边形
∴
∴
∴
∵
∴四边形 为平行四边形
（2）解：设 ，∵
∴ ，
∵四边形 为平行四边形
∴ ， ，
∵
，
∴
∴
∵
∴ .
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，结合∠ABE=∠CDF，求出BE∥DF，则可证出四边形BEDF是平行四边形；
（2）设AG=2a，结合AG和OG的比值把OG和OA表示出来，再利用平行四边形的性质，把AC和CG表示出来，然后证明△AGE∽△CGB，再根据相似的性质列出比例式，结合AE=4，即可求出BC.
19．（2022·自贡）如图，用四根木条钉成矩形框 ，把边 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）.
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段 由 旋转得到，所以 .我们还可以得到 = ， = ；
（2）进一步观察，我们还会发现 ∥ ，请证明这一结论；
（3）已知 ，若 恰好经过原矩形 边的中点 ，求 与 之间的距离.
【答案】（1）CD；AD
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
∴BE＝CF，EF＝BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴EF∥BC，
∴EF∥AD.
（3）解：过点E作EG⊥BC于点G，
∵DC＝AB＝BE＝80，点H是CD的中点，
∴ CH＝DH＝40，
在Rt△BHC中，∠BCH＝90°，
∴；
∵CH∥EG，
∴△BHC∽△BGE，
∴即
解之：EG=64.
答：EF与BC之间的距离为64cm.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵矩形ABCD的边BC固定，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变，
∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，
∴DC=AB=FC=EB，AD=BC=EF.
故答案为：CD，AD.
【分析】（1）利用矩形的性质及旋转的性质可知矩形ABCD的各边的长度没有改变，由此可证得FC=CD，EF=AD.
（2）利用矩形的性质可证得AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，再根据AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，可推出BE=CF，EF=BC，利用有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得到四边形BEFC是平行四边形，利用平行四边形的对边平行，可证得结论.
（3）过点E作EG⊥BC于点G，利用线段中点的定义可求出CH的长，利用勾股定理求出BH的长；由CH∥EG，可得到△BHC∽△BGE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出EG的长.
20．（2022·贵港）已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O.
（1）如图1，若连接，则的形状为 ，的值为 ；
（2）若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边.
①如图2，当与重合时，连接，若，求的长；
②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接.求证：.
【答案】（1）等腰三角形；
（2）解：①过点E作于点H，如图所示：
∵AC，BD均是直线l的垂线段，
∴，
∵是等边三角形，且与重合，
∴∠EAD=60°，
∴，
∴，
∴在中，，，
又∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
又由（1）知，
∴，则，
∴在中，由勾股定理得：.
②连接，如图3所示：
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴是等边三角形，
又∵是等边三角形，
∴绕点D顺时针旋转后与重合，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）过点C作CH⊥BD于H，如图所示：
∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，
∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，
∴四边形ABHC是矩形，
∴AC=BH，
又∵BD=2AC，
∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，
∴的形状为等腰三角形，
∵AC、BD都垂直于l，
∴△AOC∽△BOD，
，即，
.
故答案为：等腰三角形，；
【分析】（1）过点C作CH⊥BD于H，则四边形ABHC是矩形，得到AC=BH，结合BD=2AC可得AC=BH=DH，且CH⊥BD，推出△BCD为等腰三角形，证明△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质可得OD=2AO，据此求解；
（2）①过点E作EF⊥AD于点H，则AC∥BD，易得∠EAD=60°，则∠BAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD=2BD，利用勾股定理可得AB=BD，结合BD=2AC以及AC的值可得AB、AD、AH的值，由勾股定理可得EH，结合（1）的结论可得OH的值，然后在Rt△EOH中，根据勾股定理计算即可；
②连接CD，根据平行线的性质可得∠CBD=∠ACB=60°，推出△BCD是等边三角形，根据旋转的性质可得∠ECD=∠ABD=90°，易得∠ACF=∠FCB=∠FBC=30°，则FC=FB=2AF，证明△AOF∽△ADB，根据相似三角形的性质可得∠AFO=∠ABD=90°，据此证明.
21．（2022·山西）综合与实践
（1）问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
（2）问题解决：
如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
【答案】（1）解：四边形AMDN为矩形．
理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，
∴MD∥AC，
∴∠AMD+∠A=180°，
∵∠A=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
四边形AMDN为矩形；
（2）解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴∠B+∠C=90°，．
∵点D是BC的中点，
∴CD=BC=5．
∵∠EDF=90°，
∴∠MDB+∠1=90°．
∵∠B=∠MDB，
∴∠1=∠C．
∴ND=NC．
过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．
∴CG=CD=．
∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，
∴△CGN∽△CAB．
∴，即，
∴；
（3）
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，
∵MD⊥HN，∴MN=MH，
∵D是BC中点，
∴BD=DC，
又∵∠BDH=∠CDN，
∴△BDH≌△CDN，
∴BH=CN，∠DBH=∠C，
∵∠BAC=90°，
∵∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，
设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，
在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，
∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，
解得x=，
∴线段AN的长为．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得MD//AC，可证∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可求解；
（2）过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°，证明△CGN∽△CAB，可得，即，再求出即可；
（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，先证明△BDH≌△CDN，可得BH=CN，∠DBH=∠C，再求出∠MBH=90°，设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，利用勾股定理可得(6-x)2+(8-x)2=(x)2，求出x的值即可。
22．（2022·包头）如图，在平行四边形中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．
（1）如图1，是边上一点，连接，，与相交于点．
①若，求的长；
②在满足①的条件下，若，求证：；
（2）如图2，连接，是上一点，连接．若，且，求的长．
【答案】（1）解：①解：如图，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
②证明：∵，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
∴的长为2．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；②根据全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质解答即可；
（2）连接CF，通过相似三角形的判断定理和方程思想解答即可。
23．（2021·贵港）已知在 ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将 AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 EOF，连接AE，CF.
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长.
【答案】（1）AE=CF
（2）解：结论成立.
理由：如图2中，
， ，
，
，
，
， ，
，
.
（3）解：如图3中，
由旋转的性质可知 ，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）结论： .
理由：如图1中，
， ， ，
， ，
，
，
， ，
，
.
【分析】（1）证明 ，可得 .
（2）成立，理由：同（1）可证；
（3） 由旋转的性质及已知可得，从而可得AD=10，证明 ，可得，据此求出AE，利用股股定理即可求出DE.
24．（2022·武汉）如图
问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值.
（1）问题探究：
先将问题特殊化.如图（2），当时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形.如图（1），证明（1）中的结论仍然成立.
（3）问题拓展：
如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点.直接写出的值（用含的式子表示）.
【答案】（1）解：
（2）证明：取的中点，连接.
∵是的中点，∴，.
∵，∴，∴.
∵，∴.
∴.
∴.
∴.∴.
∵，∴.
∴.
∴.
∴.
另解1：证明，得也可求解.
另解2：取的中点，证明也可以求解.
（3）解：
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）取AB的中点G，连接DG，
∵点D是AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点D是AC的中点，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝CD，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴∠BFE=180°-∠ABC-∠E=180°-60°-30°=90°，
∴DF⊥AB，
∵∠AGD＝∠ADG＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AF＝AG，
∵AG＝AB，
∴AF＝AB，
∴.
（3）取BC的中点H，连接DH，
由（2）同理可证明△DGH≌△DEC（ASA），
∴GH＝CE，
∴HE＝CG，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵DH∥BF，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∵DH＝AB，
∴，
∴．
【分析】（1）取AB的中点G，连接DG，易得DG为△ABC的中位线，则DG∥BC，易得△ABC为等边三角形，∠DBC=30°，根据等腰三角形的性质可得∠E=∠DBC=30°，进而推出△ADG为等边三角形，得到AF=AG，然后结合AG=AB进行计算即可；
（2）取BC的中点H，连接DH，同理可得DH∥AB，DH=AB，根据等腰三角形的性质可得∠DHC=∠DCH，∠DBH=∠DEC，结合外角的性质可得∠BDH=∠EDC，证明△DBH≌△DEC，得到BH=EC，证明△EDH∽△EFB，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）取BC的中点H，连接DH，易证△DGH≌△DEC，利用全等三角形的性质可证得GH=CE；利用已知条件可得到HE和BE的比值，利用DH∥BF，可证得△EDH∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，结合DH＝AB，可求出AF与AB的比值.
1 / 12022年秋季湘教版数学九年级上册第三章 《图形的相似》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·湘潭）在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC＝（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
2．（2022·鄂尔多斯）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（ ）
A． B． C． D．3
3．（2022·哈尔滨）如图，相交于点E，，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
4．（2022·包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
5．（2022·扬州）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点.下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．（2022·武威）若 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022·绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片 ，其中 ， ， ， ， ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）
A． B． C．10 D．
8．（2022·达州）如图，点E在矩形 的 边上，将 沿 翻折，点A恰好落在 边上的点F处，若 ， ，则 的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
9．（2022·丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
10．（2022·重庆）如图，△ABC与△DEF位似点О为位似中心，相似比为2：3.若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（ )
A．4 B．6 C．9 D．16
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·北京市）如图，在矩形中，若，则的长为 ．
12．（2022·黔东南）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长、交于点、，若点是边的中点，则 cm.
13．（2021·郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD.为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ m.
14．（2022·毕节）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为 .
15．（2022·天津）如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ．
16．（2022·常州）如图，在中，，，.在中，，，.用一条始终绷直的弹性染色线连接，从起始位置（点与点重合）平移至终止位置（点与点重合），且斜边始终在线段上，则的外部被染色的区域面积是 .
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2021·广元）如图，在平行四边形 中，E为 边的中点，连接 ，若 的延长线和 的延长线相交于点F.
（1）求证： ；
（2）连接 和 相交于点为G，若 的面积为2，求平行四边形 的面积.
18．（2021·鄂州）如图，在 中，点E、F分别在边 、 上，且 .
（1）探究四边形 的形状，并说明理由；
（2）连接 ，分别交 、 于点G、H，连接 交 于点O.若 ， ，求 的长.
19．（2022·自贡）如图，用四根木条钉成矩形框 ，把边 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）.
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段 由 旋转得到，所以 .我们还可以得到 = ， = ；
（2）进一步观察，我们还会发现 ∥ ，请证明这一结论；
（3）已知 ，若 恰好经过原矩形 边的中点 ，求 与 之间的距离.
20．（2022·贵港）已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O.
（1）如图1，若连接，则的形状为 ，的值为 ；
（2）若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边.
①如图2，当与重合时，连接，若，求的长；
②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接.求证：.
21．（2022·山西）综合与实践
（1）问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
（2）问题解决：
如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
22．（2022·包头）如图，在平行四边形中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．
（1）如图1，是边上一点，连接，，与相交于点．
①若，求的长；
②在满足①的条件下，若，求证：；
（2）如图2，连接，是上一点，连接．若，且，求的长．
23．（2021·贵港）已知在 ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将 AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 EOF，连接AE，CF.
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长.
24．（2022·武汉）如图
问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值.
（1）问题探究：
先将问题特殊化.如图（2），当时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形.如图（1），证明（1）中的结论仍然成立.
（3）问题拓展：
如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点.直接写出的值（用含的式子表示）.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，则可证出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质得出，即可解答.
2．【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，
∴∠MGN＝90°，
∴四边形GMCN为矩形，
∴GM＝CN，
在△CDN中，∠D＝60°，CD＝，
∴CN＝CD sin60°＝，
∴MG＝3，
∵四边形BEFG为矩形，
∴∠E＝90°，BG∥EF，
∴∠BCE＝∠GBM，
又∵∠E＝∠BMG，
∴△GBM∽△BCE，
∴，
∴，
∴BE＝ ，
故答案为：B．
【分析】先求出四边形GMCN为矩形，再利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
故答案为：C．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图：
由题意可知，，，
∴，
而，
∴四边形DCBM为平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先证明四边形DCBM为平行四边形，根据平行四边形的性质可得，则可得答案。
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
平分，故②正确；
，
，
，
，
，
，
故③正确
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质可得△ADE≌△ABC，则∠E=∠C，根据对顶角的性质可得∠AFE=∠DFC，然后根据相似三角形的判定定理可判断①；根据全等三角形的性质可得AB=AD，∠ADE=∠ABC，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠ADB，则∠ADB=∠ADE，据此判断②；根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAE，则∠BAD=∠CAE，根据相似三角形的性质可得∠CAE=∠CDF，据此判断③.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
， ，
故答案为：D.
【分析】直接根据相似三角形对应边成比例进行计算即可.
7．【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1，
∵剪掉的是两个直角三角形，
∴∠F=∠BCE=90°，∠FED+∠BEC=90°，∠BEC+∠CBE=90°，
∴∠FED=∠CBE，
∴△FED∽△CBE，
∴
∵矩形ABEF，
∴AB=EF=9，
设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y
∴
解之：
经检验是有原方程组的解
∴，故B不符合题意；
，故D不符合题意；
如图2
同理可知△CFD∽△EFB，
∴
设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，
∴
解之：
经检验是原方程组的解，
∴DF=10，故C不符合题意；
BF=7+8=15，故A符合题意；
故答案为：A.
【分析】分情况讨论：如图1，易证△FED∽△CBE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值；再求出DE，BE的长，可对B，D作出判断；如图2，同理可知△CFD∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值；再求出DF，BF的长，可对A，C作出判断.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠B=∠C=∠A=90°，BC=AD，AB=CD，
∵△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，
∴AE=EF，∠A=∠DFE=90°，
∴∠BEF=∠DFC，
∴△FCD∽△EBF，
∴CD：BF=FC：EB，
又∵CD=3BF，
∴FC：EB=3：1，
∵BE=4，
∴FC=12，
设AE=EF=a，则AB=CD=a+4，
∴BF=，
在Rt△EBF中，BF2+BE2=EF2，
∴（）2+42=a2，
整理，解得：a=-4（舍去）或a=5，
∴BF=3，
∴AD=BC=BF+FC=3+12=15.
故答案为：C.
【分析】由矩形性质得∠B=∠C=∠A=90°，BC=AD，AB=CD，由折叠得AE=EF，∠A=∠DFE=90°，可得∠BEF=∠DFC，继而证出△FCD∽△EBF，由相似三角形对应比比例关系结合CD=3BF求得FC=12，设AE=EF=a，则AB=CD=a+4，从而得BF=，由勾股定理得到a的方程（）2+42=a2，解得a=5，求得BF的长，进而求出AD的长.
9．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E，
∵AD=2DE，
∵BD∥CE，
∴，
∵AB=3，
∴BC=AB=.
故答案为：C.
【分析】过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E，根据平行线分线段成比例的性质列比例式，结合AB=3，即可求出BC长.
10．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
∴C△DEF=C△ABC=×4=6.
故答案为：6.
【分析】因为位似图形是相似图形，根据周长比等于相似比列式计算，即可解答.
11．【答案】1
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：在矩形中：，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】先求出，BC=4，再求解即可。
12．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
∵点M为BC的中点，
∴
由折叠得，∠
∴∠，
设则有
∴
又在中，，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得，（舍去）
∴
∴
∴
∵∠
∴∠
∴∠
又∠
∴△
∴即
∴
故答案为：
【分析】连接DF，利用正方形的性质，可证得∠A=∠B=∠C=∠CDA=90°，利用线段中点的定义可求出BM，CM的长；利用折叠的性质可得到ME，DE的长，同时可证得∠DEM=90°，设FE=x，利用勾股定理建立关于x的方程，可表示出DF2，从而可表示出FB的长，再表示出AF的长；在Rt△DAF中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，可得到FE，FM，FB的长；然后证明△FEG∽△FBM，利用相似三角形的对应边成比例，可求出FG的长.
13．【答案】1.2
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵BB1∥CC1，
∴ ＝ ，
∵AB＝BC，
∴AE＝EF，
同理可得：AE＝EF＝FD1，
∵AE＝0.4m，
∴AD1＝0.4×＝1.2（m），
故答案为：1.2.
【分析】由平行线分线段成比例的性质可得 ＝ ，由AB=BC可得AE＝EF，同理可得：AE＝EF＝FD1，据此求解.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴则PQ的最小值为.
故答案为：.
【分析】首先利用勾股定理可得AC的值，根据平行四边形的性质可得PO＝QO，CO＝AO，过O作BC的垂线OP′，易证△CAB∽△CP′O，根据相似三角形的性质可得OP′，据此解答.
15．【答案】
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接FB，作交AB的延长线于点G．
∵四边形是边长为2的菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，
∵E为的中点，
∴，
∴，即点B为线段EG的中点，
又∵F为的中点，
∴FB为的中位线，
∴，，
∴，即是直角三角形，
∴．
在和中，
，‘
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】连接FB，作交AB的延长线于点G，先证明是直角三角形，利用勾股定理求出AF的长，再证明可得，可得，再利用线段的和差可得。
16．【答案】21
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作AB的垂线交于G，同时在图上标出M、N、F'如下图：
，，，
，
在中，，，.
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
同理可证：，
，
，
，
的外部被染色的区域面积为，
故答案为：21.
【分析】过点F作AB的垂线交于G，同时在图上标出M、N、F′，利用勾股定理可得AB、DE，由AE=AB-DE可得AE，推出四边形AEFF′为平行四边形，得到AE=FF′=10，根据三角形的面积公式可得GF，证明△DFM∽△ACM，△ANF′∽△DNC，根据相似三角形的性质可得DM、DN，由MN=DN-DM可得MN，然后根据Rt△ABC的外部被染色的区域面积为S梯形MNF′F结合梯形的面积公式进行计算.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点E为DC的中点，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 的面积为2，
∴ ，即 ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质易得 ， ， 由平行线的性质可得 ， 易得 可得 ，等量代换可得结果；
（2）由平行四边形的性质易得 ， 故可得 ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得 ，根据△ABG与△BCG同高，且 可得 ， 即可得 ，由平行四边形面积等于2倍 可得结果.
18．【答案】（1）解：四边形 为平行四边形.
理由如下：
∵四边形 为平行四边形
∴
∵
∴
∵四边形 为平行四边形
∴
∴
∴
∵
∴四边形 为平行四边形
（2）解：设 ，∵
∴ ，
∵四边形 为平行四边形
∴ ， ，
∵
，
∴
∴
∵
∴ .
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，结合∠ABE=∠CDF，求出BE∥DF，则可证出四边形BEDF是平行四边形；
（2）设AG=2a，结合AG和OG的比值把OG和OA表示出来，再利用平行四边形的性质，把AC和CG表示出来，然后证明△AGE∽△CGB，再根据相似的性质列出比例式，结合AE=4，即可求出BC.
19．【答案】（1）CD；AD
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
∴BE＝CF，EF＝BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴EF∥BC，
∴EF∥AD.
（3）解：过点E作EG⊥BC于点G，
∵DC＝AB＝BE＝80，点H是CD的中点，
∴ CH＝DH＝40，
在Rt△BHC中，∠BCH＝90°，
∴；
∵CH∥EG，
∴△BHC∽△BGE，
∴即
解之：EG=64.
答：EF与BC之间的距离为64cm.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵矩形ABCD的边BC固定，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变，
∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，
∴DC=AB=FC=EB，AD=BC=EF.
故答案为：CD，AD.
【分析】（1）利用矩形的性质及旋转的性质可知矩形ABCD的各边的长度没有改变，由此可证得FC=CD，EF=AD.
（2）利用矩形的性质可证得AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，再根据AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，可推出BE=CF，EF=BC，利用有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得到四边形BEFC是平行四边形，利用平行四边形的对边平行，可证得结论.
（3）过点E作EG⊥BC于点G，利用线段中点的定义可求出CH的长，利用勾股定理求出BH的长；由CH∥EG，可得到△BHC∽△BGE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出EG的长.
20．【答案】（1）等腰三角形；
（2）解：①过点E作于点H，如图所示：
∵AC，BD均是直线l的垂线段，
∴，
∵是等边三角形，且与重合，
∴∠EAD=60°，
∴，
∴，
∴在中，，，
又∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
又由（1）知，
∴，则，
∴在中，由勾股定理得：.
②连接，如图3所示：
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴是等边三角形，
又∵是等边三角形，
∴绕点D顺时针旋转后与重合，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）过点C作CH⊥BD于H，如图所示：
∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，
∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，
∴四边形ABHC是矩形，
∴AC=BH，
又∵BD=2AC，
∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，
∴的形状为等腰三角形，
∵AC、BD都垂直于l，
∴△AOC∽△BOD，
，即，
.
故答案为：等腰三角形，；
【分析】（1）过点C作CH⊥BD于H，则四边形ABHC是矩形，得到AC=BH，结合BD=2AC可得AC=BH=DH，且CH⊥BD，推出△BCD为等腰三角形，证明△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质可得OD=2AO，据此求解；
（2）①过点E作EF⊥AD于点H，则AC∥BD，易得∠EAD=60°，则∠BAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD=2BD，利用勾股定理可得AB=BD，结合BD=2AC以及AC的值可得AB、AD、AH的值，由勾股定理可得EH，结合（1）的结论可得OH的值，然后在Rt△EOH中，根据勾股定理计算即可；
②连接CD，根据平行线的性质可得∠CBD=∠ACB=60°，推出△BCD是等边三角形，根据旋转的性质可得∠ECD=∠ABD=90°，易得∠ACF=∠FCB=∠FBC=30°，则FC=FB=2AF，证明△AOF∽△ADB，根据相似三角形的性质可得∠AFO=∠ABD=90°，据此证明.
21．【答案】（1）解：四边形AMDN为矩形．
理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，
∴MD∥AC，
∴∠AMD+∠A=180°，
∵∠A=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
四边形AMDN为矩形；
（2）解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴∠B+∠C=90°，．
∵点D是BC的中点，
∴CD=BC=5．
∵∠EDF=90°，
∴∠MDB+∠1=90°．
∵∠B=∠MDB，
∴∠1=∠C．
∴ND=NC．
过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．
∴CG=CD=．
∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，
∴△CGN∽△CAB．
∴，即，
∴；
（3）
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，
∵MD⊥HN，∴MN=MH，
∵D是BC中点，
∴BD=DC，
又∵∠BDH=∠CDN，
∴△BDH≌△CDN，
∴BH=CN，∠DBH=∠C，
∵∠BAC=90°，
∵∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，
设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，
在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，
∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，
解得x=，
∴线段AN的长为．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得MD//AC，可证∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可求解；
（2）过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°，证明△CGN∽△CAB，可得，即，再求出即可；
（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，先证明△BDH≌△CDN，可得BH=CN，∠DBH=∠C，再求出∠MBH=90°，设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，利用勾股定理可得(6-x)2+(8-x)2=(x)2，求出x的值即可。
22．【答案】（1）解：①解：如图，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
②证明：∵，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
∴的长为2．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；②根据全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质解答即可；
（2）连接CF，通过相似三角形的判断定理和方程思想解答即可。
23．【答案】（1）AE=CF
（2）解：结论成立.
理由：如图2中，
， ，
，
，
，
， ，
，
.
（3）解：如图3中，
由旋转的性质可知 ，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）结论： .
理由：如图1中，
， ， ，
， ，
，
，
， ，
，
.
【分析】（1）证明 ，可得 .
（2）成立，理由：同（1）可证；
（3） 由旋转的性质及已知可得，从而可得AD=10，证明 ，可得，据此求出AE，利用股股定理即可求出DE.
24．【答案】（1）解：
（2）证明：取的中点，连接.
∵是的中点，∴，.
∵，∴，∴.
∵，∴.
∴.
∴.
∴.∴.
∵，∴.
∴.
∴.
∴.
另解1：证明，得也可求解.
另解2：取的中点，证明也可以求解.
（3）解：
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）取AB的中点G，连接DG，
∵点D是AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点D是AC的中点，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝CD，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴∠BFE=180°-∠ABC-∠E=180°-60°-30°=90°，
∴DF⊥AB，
∵∠AGD＝∠ADG＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AF＝AG，
∵AG＝AB，
∴AF＝AB，
∴.
（3）取BC的中点H，连接DH，
由（2）同理可证明△DGH≌△DEC（ASA），
∴GH＝CE，
∴HE＝CG，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵DH∥BF，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∵DH＝AB，
∴，
∴．
【分析】（1）取AB的中点G，连接DG，易得DG为△ABC的中位线，则DG∥BC，易得△ABC为等边三角形，∠DBC=30°，根据等腰三角形的性质可得∠E=∠DBC=30°，进而推出△ADG为等边三角形，得到AF=AG，然后结合AG=AB进行计算即可；
（2）取BC的中点H，连接DH，同理可得DH∥AB，DH=AB，根据等腰三角形的性质可得∠DHC=∠DCH，∠DBH=∠DEC，结合外角的性质可得∠BDH=∠EDC，证明△DBH≌△DEC，得到BH=EC，证明△EDH∽△EFB，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）取BC的中点H，连接DH，易证△DGH≌△DEC，利用全等三角形的性质可证得GH=CE；利用已知条件可得到HE和BE的比值，利用DH∥BF，可证得△EDH∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，结合DH＝AB，可求出AF与AB的比值.
1 / 1
