人教版八上数学第十四章14.2.1平方差公式 课时易错题三刷（第二刷）
一、单选题
1．（2020八上·海沧开学考）计算 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2021八上·杜尔伯特期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．﹣a2﹣b2 B．x2+（﹣y）2
C．（﹣x）2+（﹣y）2 D．﹣m2+1
3．（2021八上·隆昌月考）记 则x+1=（ ）
A．一个奇数 B．一个质数
C．一个整数的平方 D．一个整数的立方
4．（2020八上·鱼台期末） ··· 的个位数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．（2020八上·平原月考） ，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
6．（2020八上·椒江期末）已知a-b=2，则a2 b2-4b的值为（ ）.
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2019八上·海淀期中）若a，b，c是三角形的三边，则代数式（a-b）2-c2的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．等于零 D．不能确定
二、填空题
8．（2020八上·霍林郭勒月考）如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，那么a＋b的值为 ．
9．（2019八上·武汉月考）若实数满足（3x2+2y2+2019）（3x2+2y2﹣2019）＝1﹣20192，则3x2+2y2的值为 .
三、计算题
10．（2021八上·大同月考）计算下列各题：
（1）（用简便方法计算）
（2）
（3）
（4）
11．（2020八上·勃利期中）先化简，再求值(3a+2b)(2a﹣3b)﹣(a﹣2b)(2a﹣b)，其中 ．
四、解答题
12．（2019八上·济宁期中）学习了因式分解的知识后，老师提出了这样一个问题：设 为整数，则 的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由？若不能，请举出一个反例，你能回答这个问题吗？
五、综合题
13．（2022八上·上思期末）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形.
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a、b的代数式表示：S1＝ ，S2＝ （只需表示，不必化简）；
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式 ；
（3）运用（2）中得到的公式，计算：20152﹣2016×2014.
14．（2021八上·长春月考）如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）请问用这两个图可以验证公式法因式分解中的哪个公式？（直接写出公式）
（2）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．直接写出计算结果 ．
（3）若图（1）中的阴影部分的面积是16，a﹣b＝2，直接写出a4﹣b4的值．
15．（2021八上·黔西南期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）.
（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式： .
（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ；
②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】可根据平方差公式进行计算，即(a+b)(a-b)=a2-b2.
2．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 ，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解，不符合题意；
B、 ，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解，不符合题意；
C、 ，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解，不符合题意；
D、 ，可以利用平方差公式进行分解，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平方差公式分解因式即可。
3．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
= （2-1）
=（ -1）
=（ -1）
= -1
则x+1= 1+1= .
故答案为：C.
【分析】原式可变形为x=(2-1)(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)……+(1+2256)，利用平方差公式可得x=2512-1，据此计算.
4．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…=264-1+1=264，
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，
∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，
∵64÷4=16，
∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．
故答案为：C．
【分析】先将原式化简为：3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1，再利用平方差公式求解，并根据代数式的规律求解即可。
5．【答案】D
【知识点】有理数大小比较；平方差公式及应用；积的乘方
【解析】【解答】 ，
，
，
∵ ，
∴c
故答案为：D．
【分析】先利用0指数幂的运算、平方差公式计算及积的运算算出a、b、c的值，再比较大小即可。
6．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a-b=2，
∴a2 b2-4b=(a+b)(a-b)-4b=(a+b)(a-b)-4b=2(a+b)-4b=2a+2b-4b=2a-2b=2(a-b)=4.
故答案为：B.
【分析】先将a2 b2-4b变形为(a+b)(a-b)-4b，把a-b=2代入进一步合并同类项，化简得到2a-2b=2(a-b)，再将a-b=2代入即可.
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵（a－b）2－c2＝（a－b＋c）（a－b－c），a，b，c是三角形的三边，
∴a＋c－b＞0，a－b－c＜0，
∴（a－b）2－c2的值是负数．
故答案为：B．
【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．
8．【答案】±4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】∵（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，
∴（2a+2b）2-1=63,
∴（2a+2b）2=64,
∴2a+2b=±8,
∴a+b=±4.
故答案为：±4.
【分析】由（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，利用平方差公式可得（2a+2b）2-1=63,即得（2a+2b）2=64,然后利用平方根可得2a+2b=±8,从而求出结论.
9．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵（3x2+2y2+2019）（3x2+2y2﹣2019）＝1﹣20192，
∴（3x2+2y2）2﹣20192＝1﹣20192，
∴（3x2+2y2）2＝1，
∴3x2+2y2＝1.
故答案为：1.
【分析】把3x2+2y2看作一个整体运用平方差公式将原式展开，再移项合并，然后开方即可求解.
10．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式；
（4）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；多项式除以单项式；含乘方的有理数混合运算
【解析】【分析】（1）利用平方差公式计算求解即可；
（2）利用平方差公式计算求解即可；
（3）利用多项式除以单项式法则计算求解即可；
（4）利用有理数的乘方，零指数幂计算求解即可。
11．【答案】解：(3a+2b)(2a﹣3b)﹣(a﹣2b)(2a﹣b)
=(6a2+4ab﹣9ab﹣6b2)﹣(2a2-4ab﹣ab+2b2)
=6a2+4ab﹣9ab﹣6b2﹣2a2+4ab+ab﹣2b2
=4a2﹣8b2，
当a=﹣1.5 ，b= 时，
原式=4×( )2﹣8×( )2
=9-
= ．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据多项式乘多项式、平方差公式化简式子，代入a和b的值，得到答案即可。
12．【答案】解： 的值一定能被20整除，理由如下：
=（n+7+n-3）（n+7-n+3）=20（n+2），
∴ 的值一定能被20整除
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式展开 ，即可得出 一定能被20整除．
13．【答案】（1）；
（2）
（3）解：20152﹣2016×2014
=
=
=1.
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解： ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：∵，
∴= ，是平方差公式，
故答案为：平方差公式， ；
【分析】（1）图1面积=大正方形的面积-小正方形的面积，图2面积=长方形的面积，据此填空即可；
（2）根据图1面积=图2面积即得结论；
（3） 将原式变形为 ，再利用平方差公式计算即可.
14．【答案】（1）解：a2-b2=（a+b）（a-b）
（2）264
（3）解：依题意可得：a2-b2=16，（a+b）（a-b）=16，
∵a-b=2，
∴a+b=8．
联立方程组可得：a=5，b=3，
∴a4-b4=54-34=544．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积是a2-b2，
图2中阴影部分的面积是（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b），可以验证平方差公式；
（2）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（28-1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（216-1）（216+1）（232+1）+1
=（232-1）（232+1）+1
=264-1+1
=264；
故答案为：264；
【分析】（1）根据图1、图2中阴影部分的面积相等即得公式；
（2）将原式变形为（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，然后利用平方差公式计算即可；
（3） 由图（1）中的阴影部分的面积是16可得a2-b2=16， 结合a-b=2，可求出a+b=8 ，从而求出a、b的值，然后代入计算即可.
15．【答案】（1）
（2）解：①4
②
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分面积 ，图2中阴影部分面积 ，
所以，得到公式
故答案为： ；
（2）①∵
∴
又∵2a+b＝6，
故答案为：4；
【分析】（1）由图形可得：图1中阴影部分面积为a2-b2，图2中阴影部分面积为(a+b)(a-b)，然后根据两个图形阴影部分面积相等可得等式；
（2）①根据4a2-b2=(2a+b)(2a-b)进行计算；
②将待求式子从左至右两项一组进行分组，组内利用平方差公式分解因式后再利用1+2+3+……+n=进行计算即可.
1 / 1人教版八上数学第十四章14.2.1平方差公式 课时易错题三刷（第二刷）
一、单选题
1．（2020八上·海沧开学考）计算 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】可根据平方差公式进行计算，即(a+b)(a-b)=a2-b2.
2．（2021八上·杜尔伯特期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．﹣a2﹣b2 B．x2+（﹣y）2
C．（﹣x）2+（﹣y）2 D．﹣m2+1
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 ，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解，不符合题意；
B、 ，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解，不符合题意；
C、 ，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解，不符合题意；
D、 ，可以利用平方差公式进行分解，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平方差公式分解因式即可。
3．（2021八上·隆昌月考）记 则x+1=（ ）
A．一个奇数 B．一个质数
C．一个整数的平方 D．一个整数的立方
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
= （2-1）
=（ -1）
=（ -1）
= -1
则x+1= 1+1= .
故答案为：C.
【分析】原式可变形为x=(2-1)(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)……+(1+2256)，利用平方差公式可得x=2512-1，据此计算.
4．（2020八上·鱼台期末） ··· 的个位数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…=264-1+1=264，
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，
∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，
∵64÷4=16，
∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．
故答案为：C．
【分析】先将原式化简为：3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1，再利用平方差公式求解，并根据代数式的规律求解即可。
5．（2020八上·平原月考） ，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【答案】D
【知识点】有理数大小比较；平方差公式及应用；积的乘方
【解析】【解答】 ，
，
，
∵ ，
∴c故答案为：D．
【分析】先利用0指数幂的运算、平方差公式计算及积的运算算出a、b、c的值，再比较大小即可。
6．（2020八上·椒江期末）已知a-b=2，则a2 b2-4b的值为（ ）.
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a-b=2，
∴a2 b2-4b=(a+b)(a-b)-4b=(a+b)(a-b)-4b=2(a+b)-4b=2a+2b-4b=2a-2b=2(a-b)=4.
故答案为：B.
【分析】先将a2 b2-4b变形为(a+b)(a-b)-4b，把a-b=2代入进一步合并同类项，化简得到2a-2b=2(a-b)，再将a-b=2代入即可.
7．（2019八上·海淀期中）若a，b，c是三角形的三边，则代数式（a-b）2-c2的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．等于零 D．不能确定
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵（a－b）2－c2＝（a－b＋c）（a－b－c），a，b，c是三角形的三边，
∴a＋c－b＞0，a－b－c＜0，
∴（a－b）2－c2的值是负数．
故答案为：B．
【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．
二、填空题
8．（2020八上·霍林郭勒月考）如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，那么a＋b的值为 ．
【答案】±4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】∵（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，
∴（2a+2b）2-1=63,
∴（2a+2b）2=64,
∴2a+2b=±8,
∴a+b=±4.
故答案为：±4.
【分析】由（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，利用平方差公式可得（2a+2b）2-1=63,即得（2a+2b）2=64,然后利用平方根可得2a+2b=±8,从而求出结论.
9．（2019八上·武汉月考）若实数满足（3x2+2y2+2019）（3x2+2y2﹣2019）＝1﹣20192，则3x2+2y2的值为 .
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵（3x2+2y2+2019）（3x2+2y2﹣2019）＝1﹣20192，
∴（3x2+2y2）2﹣20192＝1﹣20192，
∴（3x2+2y2）2＝1，
∴3x2+2y2＝1.
故答案为：1.
【分析】把3x2+2y2看作一个整体运用平方差公式将原式展开，再移项合并，然后开方即可求解.
三、计算题
10．（2021八上·大同月考）计算下列各题：
（1）（用简便方法计算）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式；
（4）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；多项式除以单项式；含乘方的有理数混合运算
【解析】【分析】（1）利用平方差公式计算求解即可；
（2）利用平方差公式计算求解即可；
（3）利用多项式除以单项式法则计算求解即可；
（4）利用有理数的乘方，零指数幂计算求解即可。
11．（2020八上·勃利期中）先化简，再求值(3a+2b)(2a﹣3b)﹣(a﹣2b)(2a﹣b)，其中 ．
【答案】解：(3a+2b)(2a﹣3b)﹣(a﹣2b)(2a﹣b)
=(6a2+4ab﹣9ab﹣6b2)﹣(2a2-4ab﹣ab+2b2)
=6a2+4ab﹣9ab﹣6b2﹣2a2+4ab+ab﹣2b2
=4a2﹣8b2，
当a=﹣1.5 ，b= 时，
原式=4×( )2﹣8×( )2
=9-
= ．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据多项式乘多项式、平方差公式化简式子，代入a和b的值，得到答案即可。
四、解答题
12．（2019八上·济宁期中）学习了因式分解的知识后，老师提出了这样一个问题：设 为整数，则 的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由？若不能，请举出一个反例，你能回答这个问题吗？
【答案】解： 的值一定能被20整除，理由如下：
=（n+7+n-3）（n+7-n+3）=20（n+2），
∴ 的值一定能被20整除
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式展开 ，即可得出 一定能被20整除．
五、综合题
13．（2022八上·上思期末）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形.
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a、b的代数式表示：S1＝ ，S2＝ （只需表示，不必化简）；
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式 ；
（3）运用（2）中得到的公式，计算：20152﹣2016×2014.
【答案】（1）；
（2）
（3）解：20152﹣2016×2014
=
=
=1.
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解： ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：∵，
∴= ，是平方差公式，
故答案为：平方差公式， ；
【分析】（1）图1面积=大正方形的面积-小正方形的面积，图2面积=长方形的面积，据此填空即可；
（2）根据图1面积=图2面积即得结论；
（3） 将原式变形为 ，再利用平方差公式计算即可.
14．（2021八上·长春月考）如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）请问用这两个图可以验证公式法因式分解中的哪个公式？（直接写出公式）
（2）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．直接写出计算结果 ．
（3）若图（1）中的阴影部分的面积是16，a﹣b＝2，直接写出a4﹣b4的值．
【答案】（1）解：a2-b2=（a+b）（a-b）
（2）264
（3）解：依题意可得：a2-b2=16，（a+b）（a-b）=16，
∵a-b=2，
∴a+b=8．
联立方程组可得：a=5，b=3，
∴a4-b4=54-34=544．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积是a2-b2，
图2中阴影部分的面积是（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b），可以验证平方差公式；
（2）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（28-1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（216-1）（216+1）（232+1）+1
=（232-1）（232+1）+1
=264-1+1
=264；
故答案为：264；
【分析】（1）根据图1、图2中阴影部分的面积相等即得公式；
（2）将原式变形为（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，然后利用平方差公式计算即可；
（3） 由图（1）中的阴影部分的面积是16可得a2-b2=16， 结合a-b=2，可求出a+b=8 ，从而求出a、b的值，然后代入计算即可.
15．（2021八上·黔西南期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）.
（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式： .
（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ；
②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12.
【答案】（1）
（2）解：①4
②
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分面积 ，图2中阴影部分面积 ，
所以，得到公式
故答案为： ；
（2）①∵
∴
又∵2a+b＝6，
故答案为：4；
【分析】（1）由图形可得：图1中阴影部分面积为a2-b2，图2中阴影部分面积为(a+b)(a-b)，然后根据两个图形阴影部分面积相等可得等式；
（2）①根据4a2-b2=(2a+b)(2a-b)进行计算；
②将待求式子从左至右两项一组进行分组，组内利用平方差公式分解因式后再利用1+2+3+……+n=进行计算即可.
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