高一数学下学期期末考试分类汇编：解三角形（含解析）

解三角形
一、单选题
1．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）在中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江苏连云港·高一期末）已知轮船和轮船同时离开岛，船沿北偏东的方向航行，船沿着正北方向航行．若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江苏常州·高一期末）在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
4．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）在中，内角、、所对的边分别为、、，满足，则=（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·江苏徐州·高一期末）在中，AC=1，，BC=3，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·江苏淮安·高一期末）在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·江苏苏州·高一期末）如图，某侦察飞机沿水平直线匀速飞行，在A处观测地面目标P，测得俯角，飞行3分钟后到达B处，此时观测地面目标P，测得俯角，又飞行一段时间后到达C处，此时观测地面目标P，测得俯角的余弦值为，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为（ ）
A．2分钟 B．2.25分钟 C．2.5分钟 D．2.75分钟
二、多选题
8．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）在中，．若，则的值可以等于（ ）
A． B． C．2 D．3
9．（2021·江苏省镇江中学高一期末）在中内角，，的对边分别为，，，若，，，则的大小可能为（ ）．
A．30° B．150° C．60° D．120°
三、填空题
10．（2021·江苏省天一中学高一期末）在中，，，，则其外接圆的面积为______.
11．（2021·江苏·金陵中学高一期末）如图，在中，点在边上，，，，，则的长为_______.．
四、解答题
12．（2021·江苏省天一中学高二期末）在凸四边形中，，且，对角线．
（1）若，且为锐角，求的大小；
（2）若，求．
13．（2021·江苏常州·高一期末）的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）设，，延长到点使，求的面积.
14．（2021·江苏省镇江中学高一期末）如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l，河岸l边有一烟囱不计B离河岸的距离，河的另一侧是以O为圆心，半径为12米的扇形区域OCD，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为，，和.
（1）求烟囱AB的高度；
（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长.
15．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）若，的面积等于，求c；
（2）若，求周长的最大值．
参考答案：
一、单选题
1．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）在中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件直接利用正弦定理求解即可
【详解】
解：在中，因为，，，
所以由正弦定理得，即，
所以，
故选：C
2．（2021·江苏连云港·高一期末）已知轮船和轮船同时离开岛，船沿北偏东的方向航行，船沿着正北方向航行．若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正弦定理进行求解即可.
【详解】
由图所示：由题意可知：，，
由正弦定理可知：
，
故选：A
3．（2021·江苏常州·高一期末）在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理把已知的等式化边为角，结合两角和的正弦化简，求出，进一步求得，即可得解．
【详解】
解：由，结合正弦定理可得：，
，可得：，
，则的形状为等腰三角形．
故选：．
4．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）在中，内角、、所对的边分别为、、，满足，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由正弦定理将已知等式角化边，再利用余弦定理即可求解．
【详解】
在中，
由正弦定理可化成，
，
由余弦定理可得：
，
故选：．
5．（2021·江苏徐州·高一期末）在中，AC=1，，BC=3，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件，利用余弦定理求出AB边所对角的余弦，进而求出其正弦即可作答.
【详解】
在中，由余弦定理得：，
而，于是得，
所以的面积为.
故选：B
6．（2021·江苏淮安·高一期末）在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定条件结合余弦定理求出即可得解.
【详解】
在中，因，
由余弦定理得，而，
所以.
故选：D
7．（2021·江苏苏州·高一期末）如图，某侦察飞机沿水平直线匀速飞行，在A处观测地面目标P，测得俯角，飞行3分钟后到达B处，此时观测地面目标P，测得俯角，又飞行一段时间后到达C处，此时观测地面目标P，测得俯角的余弦值为，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为（ ）
A．2分钟 B．2.25分钟 C．2.5分钟 D．2.75分钟
【答案】B
【解析】
【分析】
利用解三角形的指数，以及三角函数的基本关系式的恒等变换，即可求解.
【详解】
设分级的飞行速度为，根据分级的飞行图形，
测得俯角为，飞行3分钟后到达B处观测地面目标P，测得俯角，
所以为直角三角形，
过点作于点，则，可得，
设，由，可得，
则，又由，解得.
故选：B.
二、多选题
8．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）在中，．若，则的值可以等于（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据两角和差的正弦公式、二倍角的正弦公式化简等式，结合因式分解法，运用正弦定义和正弦定理进行求解即可.
【详解】
，
因此或，
当时，因为，所以，而，所以，
当时，，
故选：AD
9．（2021·江苏省镇江中学高一期末）在中内角，，的对边分别为，，，若，，，则的大小可能为（ ）．
A．30° B．150° C．60° D．120°
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据求解即可.
【详解】
因为，所以.
又因为，.所以或.
故选：CD
三、填空题
10．（2021·江苏省天一中学高一期末）在中，，，，则其外接圆的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出，由余弦定理解出BC，再通过正弦定理即可求出答案.
【详解】
解：在中，，，，故，
由余弦定理可得，，
则利用正弦定理可得：的外接圆的直径为，∴，
故的外接圆的面积为.
故答案为：.
11．（2021·江苏·金陵中学高一期末）如图，在中，点在边上，，，，，则的长为_______.．
【答案】
【解析】
【分析】
在中先利用余弦定理求出，然后在利用余弦定理求出，从而可得的值，进而可求出的长
【详解】
解：，，，
所以，
所以，
所以，
故，
又，
所以.
故答案为：
四、解答题
12．（2021·江苏省天一中学高二期末）在凸四边形中，，且，对角线．
（1）若，且为锐角，求的大小；
（2）若，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）在中利用正弦定理求出，即可得解；
（2）在中由余弦定理求出，再利用诱导公式求出，最后在中利用余弦定理计算可得；
【详解】
解：
（1）在中，，即，因为为锐角，所以，因为，所以
（2）在中由余弦定理可得
因为，所以
在中，由余弦定理可得
即，解得或（舍去）
13．（2021·江苏常州·高一期末）的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）设，，延长到点使，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理可得，进而得，从而得解；
（2）根据正弦定理解得，再根据同角关系和，得，再由可得解.
【详解】
（1）∵.由正弦定理，可得，
∴可得：，
可得：，化简可得：，
∵，∴.
（2）由，可得，
可得，
，
所以，可得.
14．（2021·江苏省镇江中学高一期末）如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l，河岸l边有一烟囱不计B离河岸的距离，河的另一侧是以O为圆心，半径为12米的扇形区域OCD，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为，，和.
（1）求烟囱AB的高度；
（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长.
【答案】（1）米；（2）米.
【解析】
（1）设AB的高度为，利用直角三角形中的特殊角函数值及即可求的值.
（2）由（1）确定的长度，结合余弦定理求，进而求CE的长.
【详解】
（1）设AB的高度为在中，，有.
在中，因为，可得.
由题意得，解得.
（2）由（1）知，在中，由余弦定理得，
所以在中，，得CE=.
答：AB的高为米，CE的长为米.
15．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）若，的面积等于，求c；
（2）若，求周长的最大值．
【答案】（1）；（2）12．
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理的边角互化可得，再由三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式可得，从而可得，由三角形的面积公式可得，由余弦定理即可求解.
（2）利用正弦定理可得，，利用三角函数的性质可得的最大值，进而可得周长的最大值.
【详解】
解析：
（1）∵，∴，
即，
∴，
∵，∴，，
∵的面积等于，
∴∴，
∵，
∴，，
由余弦定理可得，
∴．
（2）∵，∴，
∵，∴，
由正弦定理可得，
，
∴，
∵，
∴∴．
∴周长的最大值为．