1.1利用函数性质判定方程解的存在性课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
第五章　函数应用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
核心知识目标 核心素养目标
1.理解函数的零点、方程的根和图象与x轴的交点三者之间的关系.
2.会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.
3.能借助函数单调性及图象判断零点个数. 1.通过对函数零点概念的学习,培养数学抽象素养.
2.通过把函数零点问题转化为对应函数图象交点的问题加以解决,培养直观想象素养.
知识探究·素养培育
探究点一
[问题1] 完成下表:
函数的零点
一元二次方程 方程的根 二次函数 函数图象 图象与x轴的交点
x2-2x-3=0 ① . y=x2-2x-3 ④ .
x2-2x+1=0 ② . y=x2-2x+1 ⑤ .
x2-2x+3=0 ③ . y=x2-2x+3 ⑥ .
(1)观察表格,方程的根和相应函数图象与x轴的交点的横坐标有什么关系
(2)其他的函数与方程之间也有类似的关系吗 方程根的个数和图象与x轴交点的个数有什么关系
提示:①x1=-1,x2=3;②x1=x2=1;③无实数根;④两个交点:(-1,0),(3,0);⑤一个交点:(1,0);⑥没有交点.
(1)一元二次方程的根就是相应函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)方程f(x)=0有几个根,y=f(x)的图象与x轴就有几个交点,且方程的根就是交点的横坐标.
知识点1:函数的零点
(1)概念:使得 的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.
(2)方程、函数、图象之间的关系:
函数y=f(x)的 就是函数y=f(x)的图象与 ,也就是方程f(x)=0的解.
f(x0)=0
零点
x轴交点的横坐标
[思考1-1] 函数的零点是一个点吗
提示:①函数零点不是一个点,而是具体的自变量的取值.②求函数零点就是求方程f(x)=0的根.
[思考1-2] 函数的零点与方程的根有什么共同点和区别 函数与方程之间有何联系
提示:(1)联系:①数值上相等:求函数的零点可以转化成求对应方程的根;
②存在性一致:方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点.
(2)区别:零点对于函数而言,根对于方程而言.
函数与方程有着密切的联系,函数问题有时可转化为方程问题,同样,有些方程问题可以转化为函数问题来求解,这正是函数与方程思想的基础.
[例1] (1)求函数f(x)=1-log2(x+3)的零点;
解:(1)令1-log2(x+3)=0,得x=-1,
所以函数f(x)=1-log2(x+3)的零点是-1.
(3)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数 g(x)=bx2+ax的零点.
解:(1)令2x-1-3=0,得x=log26,所以函数f(x)=2x-1-3的零点是log26.
变式训练1-1:求下列函数的零点:
(1)f(x)=2x-1-3;
(3)当x>0时,由f(x)=0,即ln x=0,解得x=1;
当x≤0时,由f(x)=0,即ex+1-1=0,解得x=-1.
综上,该函数的零点为1和-1.
方法总结
根据函数解析式求函数零点的两种方法
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.
(2)几何法:对于不易求根的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
注意:几何法常用来判断函数的零点个数.
探究点二
零点存在定理
[问题2] 观察函数的图象:
①在区间(a,b)上　　(填“有”或“无”)零点;
f(a)·f(b)　　0(填“<”或“>”).
②在区间(b,c)上　　(填“有”或“无”)零点;
f(b)·f(c)　　0(填“<”或“>”).
③在区间(c,d)上　　(填“有”或“无”)零点;
f(c)·f(d)　　0(填“<”或“>”).
提示:①有　<　②有　<　③有　<
知识点2:零点存在定理
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条 的曲线,并且在区间端点的函数值 ,即 ,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
连续
一正一负
f(a)·f(b)<0
[思考2] 应用该定理要具备哪些条件
提示:定理要求具备两条:①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条
曲线;
②f(a)·f(b)<0.
[例2] (1)f(x)=2x·(x-a)-1在(0,+∞)内有零点,则a的取值范围是(　　)
(A)(-∞,+∞) (B)(-2,+∞)
(C)(0,+∞) (D)(-1,+∞)
(2)已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a,求实数a取何值时,函数f(x)=|x2-2x-3|-a
①有两个零点;
②有三个零点.
(2)解:令h(x)=|x2-2x-3|,g(x)=a,如图所示,
它们交点的个数即函数 f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数.
①当a=0或a>4时,函数有两个零点.
②a=4时,函数有三个零点.
变式训练2-1:已知函数f(x)=2ax-a+3,若 x0∈(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是(　　)
(A)(-∞,-3)∪(1,+∞)
(B)(-∞,-3)
(C)(-3,1)
(D)(1,+∞)
解析:当a=0时,f(x)=3,不合题意,当a≠0时,由题意知f(-1)·f(1)<0,即(-3a+3)(a+3)<0,解得a<-3或a>1,故选A.
方法总结
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
探究点三
函数零点的个数
[问题3-1] 方程f(x)=a的根的个数与函数y=f(x)及y=a的图象交点个数有什么关系
提示:相等.
[问题3-2] 若函数g(x)=f(x)-a有零点,如何求实数a的取值范围
提示:法一　g(x)=f(x)-a有零点可知方程f(x)-a=0有解,即a=f(x)有解.
故a的取值范围为y=f(x)的值域.
法二　g(x)=f(x)-a有零点,等价于函数y=a与函数y=f(x)的图象有交点,故可在同一平面直角坐标系中分别画出两函数的图象,观察交点情况即可.
[例3] 已知0(A)1　 (B)2 (C)3 (D)4
解析:函数y=a|x|-|logax|(01)的根的个数,也就是函数f(x)=a|x|(0画出函数f(x)=a|x|(0如图所示,观察可得函数f(x)=a|x|(0变式训练3-1:把本例函数“y=a|x|-|logax|”改为“y=2x|logax|-1”,再判断其零点个数.
方法总结
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)画出函数y=f(x)的图象,判定它与x轴的交点个数,从而判断零点的
个数.
(3)结合单调性,利用零点存在定理,可判断y=f(x)在(a,b)上零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点问题.
拓展探索素养培优
一元二次方程根的分布问题
设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根,则x1,x2的分布情况与一元二次方程系数之间的关系如下表:[记f(x)=ax2+bx+c(a>0)]
注意:二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有以下特殊根的条件:
(3)一个正根,一个负根:x1·x2<0.
[典例探究] 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两个实数根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围;
(2)若方程两个不相等的实数根均在区间(0,1)内,求m的取值范围.
[应用探究1] 方程x2-2ax+1=0的两根分别在(0,1)与(1,3)内,则实数a的取值范围为(　　)
[应用探究2] 已知关于x的方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,则实数a的取值范围是(　　)
(A)(4,+∞) (B)(-∞,4)
(C)(-∞,2) (D)(2,+∞)
解析:设f(x)=x2-ax+3,由方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,可知函数f(x)=x2-ax+3的零点分布在x=1的两侧,因此只需要f(1)<0,
即f(1)=1-a+3<0,得a>4,即实数a的取值范围是(4,+∞),
故选A.
备用例题
[例2] 已知x1满足3x+ex=3,x2满足3x-e2-x=3,则x1+x2=　　 　　.
解析:由3x+ex=3,即ex+3x-3=0,3x-e2-x=3,即e2-x+3(2-x)-3=0,
设f(x)=ex+3x-3,由y=ex,y=3x-3在R上均为单调递增函数,
则f(x)在R上单调递增.f(0)=e0-3<0,f(1)=e>0,f(2)=e2+2×3-3=e2+3>0,
所以存在唯一x0∈(0,1),使得f(x0)=0.
由x1满足3x+ex=3,x2满足3x-e2-x=3,
即x1满足ex+3x-3=0,x2满足e2-x+3(2-x)-3=0,
即x1,2-x2满足f(x1)=0,f(2-x2)=0.
由存在唯一x0,使得f(x0)=0,所以x1=2-x2,即x1+x2=2.
答案:2