数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.3点到直线的距离公式教案（表格式）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.3点到直线的距离公式教案（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 190.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-15 15:10:17 | ||
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文档简介
课程基本信息
课题 点到直线的距离公式
教科书 书名：普通高中教科书数学A版选择性必修1 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2020年 5 月
教学目标
教学目标：利用坐标法推导并掌握点到直线的距离公式； 利用向量法推导点到直线的距离公式，掌握用向量法推导的分析过程，体会向量法和坐标法的差异. 教学重点：点到直线的距离公式. 教学难点：点到直线的距离公式的推导.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
1’ 引 言 上节课我们研究两点间的位置关系，得到两点间的距离公式.今天我们来研究点与直线的位置关系。我们知道，在解析几何中，点在直线上，则满足直线方程。如果点不在直线上，还可以研究点到直线的距离.在就是我们今天要学习的内容——点到直线的距离公式。
21’ 点到直线距离公式的推导 问题1：如图，已知点，直线，如何求到直线的距离？ 分析：要求点到直线的距离，需过点P作PQ垂直于l交直线l于Q.此时，点与垂足间的垂线段距离即为所求。 追问1：如何求出的距离？ 利用两点间距离公式，确定P，Q点的坐标.其中，P点坐标已知.之需求Q的坐标. 追问2：如何求出点的坐标？ 点是直线与垂线的交点，所以联立两条直线方程求交点坐标. 追问3：如何求垂线的方程？ 已知一点，再求出的斜率，即可写出的点斜式方程. 追问4：如何求垂线的斜率？ 垂线与直线垂直，直线的斜率为，可得垂线的斜率. 由此，求得垂线方程为， 整理得. 解方程组： 将（1）×A+（2）×B得， 整理得. 同理可得 则. 利用两点间距离公式 通分，原式 由此，求得点P到直线l的距离. 追问5：如图，如果直线平行于轴，点 到直线的距离还满足上式吗？ 此时，到直线的距离 由，也表示为. 追问6：如果直线垂直于轴，点到直线的距离还满足上式吗？ 此时，到直线的距离， 点到直线距离也可表示为. 一般地，点到直线的距离： . 问题2：上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗 原因在于，求出的点坐标比较复杂，再代入两点间距离公式造成了运算的复杂。 追问1：能否不求出的坐标，推得点到直线距离公式 设，观察两点间距离公式的结构，能否从方程组中直接写出，的表达式？ 将构造成， 从而(3)+(4),(3)-(4)可求得： ，， 代入. 追问2：与第一种方法相比，第二种方法的计算量大大降低。能否概述简化运算的过程吗 第二种方法的推导过程，实际上是从所求表达式的结构入手，虽然“设出”Q的坐标，但是并不求出Q的坐标，通过整体代换简化了运算。“设而不求”也是运算中十分常用的方法。 问题3：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离呢 如图，点到直线的距离是点与直线上所有点的距离中最短的. 追问1：点P与直线l上任一点所成向量与向量有何关系呢？ 设M（x，y）是直线l上的任意一点，是在直线方向上的投影. 追问2：的模投影向量的模？ ，其中n是与直线l的方向向量垂直的单位向量. 追问3：如何用坐标表示n 因为直线的斜率为，它的一个方向向量为， 因此，由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个方向向量为，由此，与直线l垂直的单位向量 由此便可计算的长度. 因为，其中，所以 (5) 因为M（x，y）在直线l上，则.代入(5)式整理得 . 问题4：公式有什么结构特征？ 公式的分子：保留直线方程一般式的结构，只是把P的坐标代入到了直线方程中，体现了公式与直线方程关系.特别地，如果P在直线上，点到直线的距离为0，此时，式子中的分子为0，整个式子也等于0.运算结果与实际相符。这么一来，这个公式可以表示平面内任一点到任一直线的距离。 注意，因为所求的是距离，所以要加绝对值保证结果为正。 分母则是未知数系数的平方和再开根。从向量法的推导过程中，我们也能发现实际是与已知直线垂直的直线。它的方向向量单位化时模掉的向量长度。 问题5：比较上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法两种方法，它们各有什么特点 坐标法是通过寻找所求量的坐标表示再经过一系列运算最终得到点到直线距离公式。有时坐标法运算量较大，所以我们还要寻求简化运算的方法。这里我们就用到了设而不求再整体代换的手段。 相比之下，向量法抓住了点到直线距离是点与直线上点的最短长度——这一几何特征，借助投影向量、直线方向向量的概念，并将向量用坐标表示，再运算求解。这种方法体现了解析几何形与数、数与形的转化，“技巧性”强，但是大大降低了运算量。 其实向量法只是用到了向量的“壳”，本质上还是在用点的坐标运算。 我们不是常说解析几何就是用代数方法研究几何问题。这里的代数方法就是把图形放入坐标系中，用点的坐标来刻画图形间的关系，这就是解析几何的本质。
3’ 总结 问题1：本节课我们学了什么？ 本节课的核心就是得到点到直线的距离公式。 问题2：如何证明这个公式？ 我们采用三种方法推导： 问题2：三种方法各有特点，说一说你的体会？ 坐标法是解析几何问题中最本质的方法，都是通过点的坐标建立方程再计算获得结论。第二种坐标法采用了“设而不求”的想法，通过整体代换的思想简化了运算。 向量法利用了投影向量的概念，借助向量运算获得点到直线距离公式。这个方法十分巧妙，大大降低了运算量，但是需要熟练使用向量的相关知识。 除了这三种证明方法，你还有没有其他的想法？请同学们课后思考？
作业 思考点到直线距离的其他推导方法. 求点P0（-1，2）到直线l：3x=2的距离． 已知△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面积． 已知点P（-1，2）到直线l：4x-3y+C=0的距离为1，求C的值. 已知A（-3，-4），B（6，3）两点到直线l：ax+y+1=0的距离相等，求a的值．
课题 点到直线的距离公式
教科书 书名：普通高中教科书数学A版选择性必修1 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2020年 5 月
教学目标
教学目标：利用坐标法推导并掌握点到直线的距离公式； 利用向量法推导点到直线的距离公式，掌握用向量法推导的分析过程，体会向量法和坐标法的差异. 教学重点：点到直线的距离公式. 教学难点：点到直线的距离公式的推导.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
1’ 引 言 上节课我们研究两点间的位置关系，得到两点间的距离公式.今天我们来研究点与直线的位置关系。我们知道，在解析几何中，点在直线上，则满足直线方程。如果点不在直线上，还可以研究点到直线的距离.在就是我们今天要学习的内容——点到直线的距离公式。
21’ 点到直线距离公式的推导 问题1：如图，已知点，直线，如何求到直线的距离？ 分析：要求点到直线的距离，需过点P作PQ垂直于l交直线l于Q.此时，点与垂足间的垂线段距离即为所求。 追问1：如何求出的距离？ 利用两点间距离公式，确定P，Q点的坐标.其中，P点坐标已知.之需求Q的坐标. 追问2：如何求出点的坐标？ 点是直线与垂线的交点，所以联立两条直线方程求交点坐标. 追问3：如何求垂线的方程？ 已知一点，再求出的斜率，即可写出的点斜式方程. 追问4：如何求垂线的斜率？ 垂线与直线垂直，直线的斜率为，可得垂线的斜率. 由此，求得垂线方程为， 整理得. 解方程组： 将（1）×A+（2）×B得， 整理得. 同理可得 则. 利用两点间距离公式 通分，原式 由此，求得点P到直线l的距离. 追问5：如图，如果直线平行于轴，点 到直线的距离还满足上式吗？ 此时，到直线的距离 由，也表示为. 追问6：如果直线垂直于轴，点到直线的距离还满足上式吗？ 此时，到直线的距离， 点到直线距离也可表示为. 一般地，点到直线的距离： . 问题2：上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗 原因在于，求出的点坐标比较复杂，再代入两点间距离公式造成了运算的复杂。 追问1：能否不求出的坐标，推得点到直线距离公式 设，观察两点间距离公式的结构，能否从方程组中直接写出，的表达式？ 将构造成， 从而(3)+(4),(3)-(4)可求得： ，， 代入. 追问2：与第一种方法相比，第二种方法的计算量大大降低。能否概述简化运算的过程吗 第二种方法的推导过程，实际上是从所求表达式的结构入手，虽然“设出”Q的坐标，但是并不求出Q的坐标，通过整体代换简化了运算。“设而不求”也是运算中十分常用的方法。 问题3：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离呢 如图，点到直线的距离是点与直线上所有点的距离中最短的. 追问1：点P与直线l上任一点所成向量与向量有何关系呢？ 设M（x，y）是直线l上的任意一点，是在直线方向上的投影. 追问2：的模投影向量的模？ ，其中n是与直线l的方向向量垂直的单位向量. 追问3：如何用坐标表示n 因为直线的斜率为，它的一个方向向量为， 因此，由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个方向向量为，由此，与直线l垂直的单位向量 由此便可计算的长度. 因为，其中，所以 (5) 因为M（x，y）在直线l上，则.代入(5)式整理得 . 问题4：公式有什么结构特征？ 公式的分子：保留直线方程一般式的结构，只是把P的坐标代入到了直线方程中，体现了公式与直线方程关系.特别地，如果P在直线上，点到直线的距离为0，此时，式子中的分子为0，整个式子也等于0.运算结果与实际相符。这么一来，这个公式可以表示平面内任一点到任一直线的距离。 注意，因为所求的是距离，所以要加绝对值保证结果为正。 分母则是未知数系数的平方和再开根。从向量法的推导过程中，我们也能发现实际是与已知直线垂直的直线。它的方向向量单位化时模掉的向量长度。 问题5：比较上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法两种方法，它们各有什么特点 坐标法是通过寻找所求量的坐标表示再经过一系列运算最终得到点到直线距离公式。有时坐标法运算量较大，所以我们还要寻求简化运算的方法。这里我们就用到了设而不求再整体代换的手段。 相比之下，向量法抓住了点到直线距离是点与直线上点的最短长度——这一几何特征，借助投影向量、直线方向向量的概念，并将向量用坐标表示，再运算求解。这种方法体现了解析几何形与数、数与形的转化，“技巧性”强，但是大大降低了运算量。 其实向量法只是用到了向量的“壳”，本质上还是在用点的坐标运算。 我们不是常说解析几何就是用代数方法研究几何问题。这里的代数方法就是把图形放入坐标系中，用点的坐标来刻画图形间的关系，这就是解析几何的本质。
3’ 总结 问题1：本节课我们学了什么？ 本节课的核心就是得到点到直线的距离公式。 问题2：如何证明这个公式？ 我们采用三种方法推导： 问题2：三种方法各有特点，说一说你的体会？ 坐标法是解析几何问题中最本质的方法，都是通过点的坐标建立方程再计算获得结论。第二种坐标法采用了“设而不求”的想法，通过整体代换的思想简化了运算。 向量法利用了投影向量的概念，借助向量运算获得点到直线距离公式。这个方法十分巧妙，大大降低了运算量，但是需要熟练使用向量的相关知识。 除了这三种证明方法，你还有没有其他的想法？请同学们课后思考？
作业 思考点到直线距离的其他推导方法. 求点P0（-1，2）到直线l：3x=2的距离． 已知△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面积． 已知点P（-1，2）到直线l：4x-3y+C=0的距离为1，求C的值. 已知A（-3，-4），B（6，3）两点到直线l：ax+y+1=0的距离相等，求a的值．