数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系教案（表格式）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系教案（表格式） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-15 15:10:58 | ||
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文档简介
课程基本信息
课题 2.5.2圆与圆的位置关系
教科书 书名：普通高中教科书 数学 选择性必修第一册 出版社： 人民教育出版社 出版日期：2020年 7 月
教学目标
教学目标：1.理解圆与圆的位置关系，掌握对圆与圆的位置关系进行判断的两种方法.2.类比直线与圆研究位置关系的方法，探究用方程判断两圆位置关系的方法.3.掌握用坐标法求动点的轨迹的基本方法.教学重点：1. 理解圆与圆的位置关系，掌握圆与圆位置关系的判断方法.2. 会用坐标法求动点的轨迹. 教学难点：1. 利用圆的方程判断圆与圆的位置关系.2. 理解动点轨迹.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
3分钟 （一）梳理提炼 引言：前面两节课我们运用直线的方程、圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，今天我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系.问题1 圆与圆的位置关系有哪些位置关系？给大家两个选项，A.和直线与圆位置关系一致，分为三种位置关系，相离、相切、相交B.相离继续分解成外离、内含；将相切分解成外切与内切.师生活动：A、B两个选项都正确，A选项的分类标准是两圆公共点的个数，B选项，考虑公共点个数外还要考虑两圆其他点的相对位置关系.根据圆与圆公共点的个数，可以把圆与圆的位置关系分为三种. 第一种，两圆没有公共点，相离. 由于圆是个封闭的图形，根据每个圆上的点都在另一个圆外，或一个圆上的点都在另一圆内两种情况，分为圆与圆外离、内含两种.第二种，两圆只有一个公共点，圆与圆相切. 在此基础上，圆上除公共点外的其他点，都在另一个圆的外部或内部，针对这两种情况，分别称之为圆与圆外切、内切.第三种，两圆相交，等价于两圆有两个公共点. 追问：如何判断圆与圆之间的位置关系呢？师生活动：定义可以作为两圆位置关系的第一种判断方法. 第二种判断方法是根据圆的几何性质，通过圆心之间距离的改变判断位置关系. 圆心之间的距离，叫做圆心距.令|O1O2|=d, 以两圆外切为例，两圆圆心距等于两圆半径和；已知圆心距等于两圆半径和，那么两圆位置关系外切，它们之间的关系是充分必要的.,两圆内切；，两圆外离；，两圆内含；，两圆相交.下面我们运用这个方法判断两圆位置关系.判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下: 第一步：计算两圆的半径R，r；第二步：计算两圆的圆心距O1O2,即d；第三步：根据d与R，r之间的关系,判断两圆的位置关系.设计意图：教师引导学生回顾学过的知识、举例,概括，目前我们只掌握了初中学过的几何法,通过观察图形、观察公共点个数或利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断. 问题2如何用方程判断圆与圆之间的位置关系呢？师生活动：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切；若无实数解,两圆相离.设计意图：有了前面学习的基础，学生容易想到用方程解决圆圆位置关系问题，即看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况.追问：你能比较两种方法的特征吗 师生活动：几何方法：直观,容易理解,但只能判断位置关系，不能求出交点坐标.代数方法：与直线与圆位置关系问题不同的是，当消元后的方程，无法判断两圆内切还是外切；同样，当时,无法判断两圆外离还是内含，只能用来判断交点个数，因此遇到判断位置关系的问题还需要其他计算支撑；优点是可以求出公共点.外离外切相交内切内含圆与圆公共点个数01210圆与圆方程联立，消元后的方程d与R、rd＞R+rd=R+r|R-r|＜d＜R+rd=|R-r|d＜|R-r|设计意图：不断比较几何代数两种角度，对位置关系问题的判断，使学生形成遇到位置关系问题，同时从两个角度思考、“翻译”的习惯.
5分钟 （二）探究方案 问题3 例1 已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系.追问1：如果给出两个方程：，，能否判断这两个方程是圆的方程？设计意图:引导学生发现圆的方程的几何意义，从几何图形到代数表达，从代数表示回到几何图形，强调数到形的“翻译”，复习圆的方程，同时为后面解方程组奠定基础.师生活动：思路1：将圆与圆的位置关系问题，转化为它们有几个公共点的问题，而它们有几个公共点又由它们的方程组成的方程组有几组实数解确定；消元，求，从而判断两圆位置关系.解法1：将圆的方程化为标准式，得到圆，其圆心，； 圆，其圆心，.因此圆与圆连心线长 ,圆与圆半径和 ，圆与圆半径差 ,所以，所以圆与圆两圆相交.思路2：将圆与圆的位置关系问题，转化为连心线的长与两圆半径和、两圆半径差的绝对值的大小关系问题，从而判断两圆位置关系.解法2：将圆与圆联立，得到，得：消元得：因为方程（4）的根的判别式，所以方程组有两两组实数根，所以圆与圆有两个公共点，它们相交.追问2：你能求出两圆公共弦所在直线方程吗？公共弦所在直线方程与方程（3）一致，这是巧合吗？师生活动：从代数角度看，满足方程（1）、（2）的方程组的解，必满足方程（3），我们确定方程组有两个解，即两圆有两个公共点，那么两个点坐标满足方程（3），两点确定一直线，因此方程（3）表示的就是两圆公共弦所在直线方程.设计意图：引导学生对于中间过程中产生的代数结论，进行进一步思考，发掘其几何含义.看似代数运算的中间表达，但其仍具有几何意义，提醒学生在得到代数结论时，向它所表达的几何元素这个方向上进行思考.那么结合图像，可知，求得的直线方程表示的直线，就是两圆公共弦所在直线.追问3：如果所求根的判别式为0，它说明什么 由此能确定两圆是内切还是外切吗？判别式小于0呢？师生活动：根的判别式为0，只能判断两圆只有一个交点，两圆相切，无法判断外切还是内切;同理，当根的判别式小于0时，两圆没有公共点，两圆相离，同样无法确定外离还是内含.此时两圆方程相减，所得到的直线方程的几何意义是什么呢？ 设计意图: 与直线与圆位置关系问题不同的是，当消元后的方程，无法判断两圆内切还是外切；同样，当时,无法判断两圆外离还是内含，只能用来判断交点个数，因此遇到判断位置关系的问题还需要其他计算支撑.问题4 判断圆与圆的位置关系有哪些方法？师生活动：解决两圆位置关系问题的两种方法.与判断直线与圆位置关系一样，判断圆与圆的位置关系也有两种思路：一种是根据圆心距与半径和差的大小关系判断的方法，另一种是根据两圆公共点的个数判断.二者的差异在于，圆心距与半径比较的方法，可以区分两圆位置关系是相离关系中的外离、内含、相切关系中的外切、内切, 计算上比较简洁，一定程度上简化运算；利用联立两圆方程组成的方程组的解的情况进行判断的方法，可以进一步确定公共点坐标.
10分钟 (三)方案应用 问题5 例2 已知圆O的直径AB=4,动点M与动点A的距离是它与点B的距离的倍，试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.师生活动：何为轨迹？轨迹就是一个几何图形，是满足一定条件的点，在运动变化过程中形成的几何图形. 比如平面内到点C距离等于的点的轨迹，就是以C为圆心，为半径的圆.再比如，平面内到点A的距离和它到点B的距离相等的点的轨迹，是线段AB的垂直平分线.这些动点的轨迹，根据条件画图可直接做出判断.我们可以这样来理解，轨迹是看待、描述几何图形的另一个角度，从点在某些特定条件下运动变化形成的，着重描述了几何图形的生成过程.在用坐标法研究几何图形性质的过程中，常常把图形看成点的集合或点运动形成的轨迹. 所以求轨迹，就是求一个几何图形.解：以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.由AB=4,得A(-2,0),B(2,0).设点M的坐标为(x,y)化简，得，即点M的轨迹是以P(6,0)为圆心，半径为的圆.两圆圆心距,圆与圆半径和 ，圆与圆半径差 ，点M的轨迹与圆O相交.或者，利用两圆的方程联立，判断解的个数，（1）式减去（2）式，消去y，得到关于x的方程12x-8=0，解得，得到，所以点M的轨迹与圆O相交.如果点M的轨迹不是圆，仍可运用方法2，通过联立两个方程组成的方程组，通过方程组解的个数判断两个图形之间的位置关系.拓展：当MA与MB长度之比是其他数值时， M点的轨迹还是圆么？我们可以继续探索.化简，得观察方程的结构，你能猜想出方程表示的点的轨迹是什么图形么？我们可以猜想，无论k取何值，M点的轨迹都应是圆，如何证明这件事情呢？几何画板可以帮助我们验证一下猜想，, . ( k>0 )我们在几何画板中试验几个参数k的不同值,探究一下点M的轨迹.以B为圆心，线段a长为半径，作圆B，以A为圆心，ka长度为半径，作圆A，圆B圆A的交点，就是满足题意的M点，因此可以通过改变a的长度，得到M点的轨迹，比如给k赋值1.5，追踪M点的轨迹，发现，点M的轨迹是圆.我们继续赋值，k=0.7，发现M点轨迹仍是圆；k=1时，即MA=MB时，我们再追踪一下M点的轨迹，M点运动形成的图形，是线段AB的垂直平分线.用几何画板可以对不同的k的取值作图，验证我们的猜想，但仍不能穷尽k的所有取值情况，最终判断动点轨迹，需要回到轨迹方程.这个二次方程是否表示圆呢？当时，方程为，可知点M的轨迹是线段AB的垂直平分线；当时，方程可化为，点M的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 设计意图：为进一步拓展学生思维，教科书在此设置了一个边空问题供学生思考：如果把本例中的“倍”改为“倍”，你能分析并解决这个问题吗 教学时根据学生的实际情况，引导学生思考分析.
3分钟 (四)归纳小结 师生活动：坐标法求轨迹问题，当把几何关系直接“翻译”成动点轨迹遇到困难时，我们选择的解决策略是通过求动点轨迹方程求轨迹，这个过程怎么如此熟悉 将几何问题转化为代数问题，从而通过解决代数问题得到几何问题的结论.得轨迹方程后，需要利用方程的代数结构（比如几元、几次、最高次项系数有什么关系等等），翻译得到轨迹方程所对应的几何图形，这就是所求轨迹.数形结合一方面是几何图形的代数表达，另一方面是代数表达式的几何直观. 对于圆与圆的五种位置关系，可以画图直接判断，也可以根据圆心距与两圆半径大小关系，或者两圆方程组成的方程组的个数加以判断. 几何图形位置关系中的—相交、相切、相离，有了几何的、代数的不同的表达，代数表达式也同时拥有了几何意义.
课题 2.5.2圆与圆的位置关系
教科书 书名：普通高中教科书 数学 选择性必修第一册 出版社： 人民教育出版社 出版日期：2020年 7 月
教学目标
教学目标：1.理解圆与圆的位置关系，掌握对圆与圆的位置关系进行判断的两种方法.2.类比直线与圆研究位置关系的方法，探究用方程判断两圆位置关系的方法.3.掌握用坐标法求动点的轨迹的基本方法.教学重点：1. 理解圆与圆的位置关系，掌握圆与圆位置关系的判断方法.2. 会用坐标法求动点的轨迹. 教学难点：1. 利用圆的方程判断圆与圆的位置关系.2. 理解动点轨迹.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
3分钟 （一）梳理提炼 引言：前面两节课我们运用直线的方程、圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，今天我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系.问题1 圆与圆的位置关系有哪些位置关系？给大家两个选项，A.和直线与圆位置关系一致，分为三种位置关系，相离、相切、相交B.相离继续分解成外离、内含；将相切分解成外切与内切.师生活动：A、B两个选项都正确，A选项的分类标准是两圆公共点的个数，B选项，考虑公共点个数外还要考虑两圆其他点的相对位置关系.根据圆与圆公共点的个数，可以把圆与圆的位置关系分为三种. 第一种，两圆没有公共点，相离. 由于圆是个封闭的图形，根据每个圆上的点都在另一个圆外，或一个圆上的点都在另一圆内两种情况，分为圆与圆外离、内含两种.第二种，两圆只有一个公共点，圆与圆相切. 在此基础上，圆上除公共点外的其他点，都在另一个圆的外部或内部，针对这两种情况，分别称之为圆与圆外切、内切.第三种，两圆相交，等价于两圆有两个公共点. 追问：如何判断圆与圆之间的位置关系呢？师生活动：定义可以作为两圆位置关系的第一种判断方法. 第二种判断方法是根据圆的几何性质，通过圆心之间距离的改变判断位置关系. 圆心之间的距离，叫做圆心距.令|O1O2|=d, 以两圆外切为例，两圆圆心距等于两圆半径和；已知圆心距等于两圆半径和，那么两圆位置关系外切，它们之间的关系是充分必要的.,两圆内切；，两圆外离；，两圆内含；，两圆相交.下面我们运用这个方法判断两圆位置关系.判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下: 第一步：计算两圆的半径R，r；第二步：计算两圆的圆心距O1O2,即d；第三步：根据d与R，r之间的关系,判断两圆的位置关系.设计意图：教师引导学生回顾学过的知识、举例,概括，目前我们只掌握了初中学过的几何法,通过观察图形、观察公共点个数或利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断. 问题2如何用方程判断圆与圆之间的位置关系呢？师生活动：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切；若无实数解,两圆相离.设计意图：有了前面学习的基础，学生容易想到用方程解决圆圆位置关系问题，即看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况.追问：你能比较两种方法的特征吗 师生活动：几何方法：直观,容易理解,但只能判断位置关系，不能求出交点坐标.代数方法：与直线与圆位置关系问题不同的是，当消元后的方程，无法判断两圆内切还是外切；同样，当时,无法判断两圆外离还是内含，只能用来判断交点个数，因此遇到判断位置关系的问题还需要其他计算支撑；优点是可以求出公共点.外离外切相交内切内含圆与圆公共点个数01210圆与圆方程联立，消元后的方程d与R、rd＞R+rd=R+r|R-r|＜d＜R+rd=|R-r|d＜|R-r|设计意图：不断比较几何代数两种角度，对位置关系问题的判断，使学生形成遇到位置关系问题，同时从两个角度思考、“翻译”的习惯.
5分钟 （二）探究方案 问题3 例1 已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系.追问1：如果给出两个方程：，，能否判断这两个方程是圆的方程？设计意图:引导学生发现圆的方程的几何意义，从几何图形到代数表达，从代数表示回到几何图形，强调数到形的“翻译”，复习圆的方程，同时为后面解方程组奠定基础.师生活动：思路1：将圆与圆的位置关系问题，转化为它们有几个公共点的问题，而它们有几个公共点又由它们的方程组成的方程组有几组实数解确定；消元，求，从而判断两圆位置关系.解法1：将圆的方程化为标准式，得到圆，其圆心，； 圆，其圆心，.因此圆与圆连心线长 ,圆与圆半径和 ，圆与圆半径差 ,所以，所以圆与圆两圆相交.思路2：将圆与圆的位置关系问题，转化为连心线的长与两圆半径和、两圆半径差的绝对值的大小关系问题，从而判断两圆位置关系.解法2：将圆与圆联立，得到，得：消元得：因为方程（4）的根的判别式，所以方程组有两两组实数根，所以圆与圆有两个公共点，它们相交.追问2：你能求出两圆公共弦所在直线方程吗？公共弦所在直线方程与方程（3）一致，这是巧合吗？师生活动：从代数角度看，满足方程（1）、（2）的方程组的解，必满足方程（3），我们确定方程组有两个解，即两圆有两个公共点，那么两个点坐标满足方程（3），两点确定一直线，因此方程（3）表示的就是两圆公共弦所在直线方程.设计意图：引导学生对于中间过程中产生的代数结论，进行进一步思考，发掘其几何含义.看似代数运算的中间表达，但其仍具有几何意义，提醒学生在得到代数结论时，向它所表达的几何元素这个方向上进行思考.那么结合图像，可知，求得的直线方程表示的直线，就是两圆公共弦所在直线.追问3：如果所求根的判别式为0，它说明什么 由此能确定两圆是内切还是外切吗？判别式小于0呢？师生活动：根的判别式为0，只能判断两圆只有一个交点，两圆相切，无法判断外切还是内切;同理，当根的判别式小于0时，两圆没有公共点，两圆相离，同样无法确定外离还是内含.此时两圆方程相减，所得到的直线方程的几何意义是什么呢？ 设计意图: 与直线与圆位置关系问题不同的是，当消元后的方程，无法判断两圆内切还是外切；同样，当时,无法判断两圆外离还是内含，只能用来判断交点个数，因此遇到判断位置关系的问题还需要其他计算支撑.问题4 判断圆与圆的位置关系有哪些方法？师生活动：解决两圆位置关系问题的两种方法.与判断直线与圆位置关系一样，判断圆与圆的位置关系也有两种思路：一种是根据圆心距与半径和差的大小关系判断的方法，另一种是根据两圆公共点的个数判断.二者的差异在于，圆心距与半径比较的方法，可以区分两圆位置关系是相离关系中的外离、内含、相切关系中的外切、内切, 计算上比较简洁，一定程度上简化运算；利用联立两圆方程组成的方程组的解的情况进行判断的方法，可以进一步确定公共点坐标.
10分钟 (三)方案应用 问题5 例2 已知圆O的直径AB=4,动点M与动点A的距离是它与点B的距离的倍，试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.师生活动：何为轨迹？轨迹就是一个几何图形，是满足一定条件的点，在运动变化过程中形成的几何图形. 比如平面内到点C距离等于的点的轨迹，就是以C为圆心，为半径的圆.再比如，平面内到点A的距离和它到点B的距离相等的点的轨迹，是线段AB的垂直平分线.这些动点的轨迹，根据条件画图可直接做出判断.我们可以这样来理解，轨迹是看待、描述几何图形的另一个角度，从点在某些特定条件下运动变化形成的，着重描述了几何图形的生成过程.在用坐标法研究几何图形性质的过程中，常常把图形看成点的集合或点运动形成的轨迹. 所以求轨迹，就是求一个几何图形.解：以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.由AB=4,得A(-2,0),B(2,0).设点M的坐标为(x,y)化简，得，即点M的轨迹是以P(6,0)为圆心，半径为的圆.两圆圆心距,圆与圆半径和 ，圆与圆半径差 ，点M的轨迹与圆O相交.或者，利用两圆的方程联立，判断解的个数，（1）式减去（2）式，消去y，得到关于x的方程12x-8=0，解得，得到，所以点M的轨迹与圆O相交.如果点M的轨迹不是圆，仍可运用方法2，通过联立两个方程组成的方程组，通过方程组解的个数判断两个图形之间的位置关系.拓展：当MA与MB长度之比是其他数值时， M点的轨迹还是圆么？我们可以继续探索.化简，得观察方程的结构，你能猜想出方程表示的点的轨迹是什么图形么？我们可以猜想，无论k取何值，M点的轨迹都应是圆，如何证明这件事情呢？几何画板可以帮助我们验证一下猜想，, . ( k>0 )我们在几何画板中试验几个参数k的不同值,探究一下点M的轨迹.以B为圆心，线段a长为半径，作圆B，以A为圆心，ka长度为半径，作圆A，圆B圆A的交点，就是满足题意的M点，因此可以通过改变a的长度，得到M点的轨迹，比如给k赋值1.5，追踪M点的轨迹，发现，点M的轨迹是圆.我们继续赋值，k=0.7，发现M点轨迹仍是圆；k=1时，即MA=MB时，我们再追踪一下M点的轨迹，M点运动形成的图形，是线段AB的垂直平分线.用几何画板可以对不同的k的取值作图，验证我们的猜想，但仍不能穷尽k的所有取值情况，最终判断动点轨迹，需要回到轨迹方程.这个二次方程是否表示圆呢？当时，方程为，可知点M的轨迹是线段AB的垂直平分线；当时，方程可化为，点M的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 设计意图：为进一步拓展学生思维，教科书在此设置了一个边空问题供学生思考：如果把本例中的“倍”改为“倍”，你能分析并解决这个问题吗 教学时根据学生的实际情况，引导学生思考分析.
3分钟 (四)归纳小结 师生活动：坐标法求轨迹问题，当把几何关系直接“翻译”成动点轨迹遇到困难时，我们选择的解决策略是通过求动点轨迹方程求轨迹，这个过程怎么如此熟悉 将几何问题转化为代数问题，从而通过解决代数问题得到几何问题的结论.得轨迹方程后，需要利用方程的代数结构（比如几元、几次、最高次项系数有什么关系等等），翻译得到轨迹方程所对应的几何图形，这就是所求轨迹.数形结合一方面是几何图形的代数表达，另一方面是代数表达式的几何直观. 对于圆与圆的五种位置关系，可以画图直接判断，也可以根据圆心距与两圆半径大小关系，或者两圆方程组成的方程组的个数加以判断. 几何图形位置关系中的—相交、相切、相离，有了几何的、代数的不同的表达，代数表达式也同时拥有了几何意义.