数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两直线的交点坐标教案（表格式）

2.3.1 两直线的交点坐标
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两直线的交点坐标
从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况，在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.
课程目标 学科素养
A. 会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标； B.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系； C.通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系. 1.数学抽象：两直线交点和二元一次方程组的联系 2.逻辑推理：方程组解的个数判定两条直线的位置关系 3.数学运算：解方程组求两条相交直线的交点坐标 4.直观想象：直线与方程的关系
重点：能用解方程组的方法求两直线的交点坐标
难点：会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系
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教学过程 教学设计意图 核心素养目标
一、情境导学 在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题等。 二、探究新知 两条直线的交点 1.已知两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,设这两条直线的交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标就是方程组的解. 2. 方程组的解一组无数组无解直线l1和l2公共点的个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行
点睛：如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解. 1.直线 x+y=5与直线x-y=3交点坐标是(　　) A.(1,2) B.(4,1) C.(3,2) D.(2,1) 解析:解方程组因此交点坐标为(4,1). 答案:B 三、典例解析 例1.直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程． [解]　法一：联立方程解得即直线l过点(－1,3)． 因为直线l的斜率为， 所以直线l的方程为y－3＝(x＋1)，即3x－2y＋9＝0. 法二：因为直线x＋y－2＝0不与3x－2y＋4＝0平行， 所以可设直线l的方程为x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0， 因为直线l与直线3x－2y＋4＝0平行， 所以＝≠，解得λ＝， 所以直线l的方程为x－y＋＝0，即3x－2y＋9＝0. 求过两直线交点的直线方程的方法 1解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解. 2过两条相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λA2x＋B2y＋C2＝0不含直线l2. 跟踪训练1．三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值． [解]　解方程组 得 所以两条直线的交点坐标为(4,－2)． 由题意知点(4,－2)在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4,－2)代入， 得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－. 例2.分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点. (1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; (2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; (3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. 思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数判断两直线是否相交. 解:(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,-1). (2)方程组有无数个解, 这表明直线l1和l2重合. (3)方程组无解, 这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2. 跟踪训练2 已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是　　　　　. 解析:由 由∴-三、达标检测 1.直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是(　　) A.(-9,-10) B.(-9,10) C.(9,10) D.(9,-10) 解析:解方程组 得即交点坐标是(-9,10). 答案:B 2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为(　　) A.-24 B.24 C.6 D.± 6 解析:∵直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,可设交点坐标为(a,0), ∴解得故选A. 答案:A 3.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1⊥l2,则点P的坐标为　　　　　　. 解析:∵直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,且l1⊥l2, ∴a×1+1×(a-2)=0,解得a=1, 联立方程易得x=3,y=3, ∴点P的坐标为(3,3). 答案:(3,3) 4.求证:不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点. 证明:将原方程按m的降幂排列,整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0, 此式对于m的任意实数值都成立,根据恒等式的要求,m的一次项系 数与常数项均等于零,故有解得 ∴m为任意实数时,所给直线必通过定点(9,-4). 5．已知两直线l1：x＋8y＋7＝0和l2：2x＋y－1＝0. (1)求l1与l2的交点坐标； (2)求过l1与l2交点且与直线x＋y＋1＝0平行的直线方程. 解析： (1)联立两条直线的方程： 解得x＝1，y＝－1.所以l1与l2的交点坐标是(1，－1)． (2)设与直线x＋y＋1＝0平行的直线l方程为x＋y＋c＝0， 因为直线l过l1与l2的交点(1,－1)，所以c＝0. 所以直线l的方程为x＋y＝0. 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结 五、课时练 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.