高中数学人教A版（2019）必修第一册4.1 指数（教案）

第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
教学设计
一、教学目标
1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质.
2.通过对分数指数幂、无理数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程.
3.掌握指数幂的运算性质，体会数学抽象的过程，加强数学运算素养的培养.
二、教学重难点
1、教学重点
有理指数幂的含义及运算.
2、教学难点
对分数指数幂和无理数指数幂的理解.
三、教学过程
1、新课导入
为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.初中已经学过整数指数幂，在学习幂函数时，有像这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究.
2、探索新知
知识点1 n次方根
1.n次方根的定义：一般地，如果，则x叫做a的n次方根，其中，且.
2.n次方根的性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n次方根用表示；
（2）当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示，正的n次方根与负的n次方根可以合并写成.
（3）负数没有偶次方根.
（4）0的任何次方根都是0，记作.
3.根式的定义：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
4.根式的性质：
（1）当n为奇数时，；
（2）当n为偶数时，.
例题点拨
例1 求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）.
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）
知识点2 分数指数幂
1.分数指数幂的概念：规定正分数指数幂的意义是（，，）；负分数指数幂的意义是（，，）；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
2.有理指数幂的运算性质：对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质.
（1）；
（2）；
（3）.
例题点拨
例2 求值：（1）；（2）.
解：（1）；
（2）.
例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中）：
（1）；（2）.
解：（1）；
（2）.
例4 计算下列各式（式中字母均是正数）：
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）
；
（2）；
（3）.
知识点3 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数.整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂.
即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质.
（1）；
（2）；
（3）.
3、课堂练习
1.若，，则( )
A.0 B. C. D.
答案：B
解析：.故选B.
2.（多选）下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：BD
解析：选项A中，易知，所以，故错误；选项B中，，故正确；选项C中，，故错误；选项D中，，故正确.故选BD.
3.___________.
答案：
解析：原式.故答案为.
4、小结作业
小结：本节课学习了根式的概念及性质、分数指数幂、无理数指数幂的含义以及有理数指数幂的运算性质.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
4.1 指数
1.n次方根的定义：一般地，如果，则x叫做a的n次方根，其中，且.
2.n次方根的性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n次方根用表示；
（2）当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示，正的n次方根与负的n次方根可以合并写成.
（3）负数没有偶次方根.
（4）0的任何次方根都是0，记作.
3.根式的定义：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
4.根式的性质：
（1）当n为奇数时，；
（2）当n为偶数时，.
5.分数指数幂：规定正分数指数幂（，，）；负分数指数幂（，，）；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
6.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数.
7.指数幂的运算性质：
（1）；
（2）；
（3）.
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