高中数学人教A版（2019）必修第一册4.1 指数（学案）

第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
学案
一、学习目标
1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质.
2.通过对分数指数幂、无理数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程.
3.掌握指数幂的运算性质，体会数学抽象的过程，加强数学运算素养的培养.
二、知识归纳
1.n次方根的定义：一般地，如果，则x叫做a的n次方根，其中，且.
2.n次方根的性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n次方根用表示；
（2）当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示，正的n次方根与负的n次方根可以合并写成.
（3）负数没有偶次方根.
（4）0的任何次方根都是0，记作.
3.根式的定义：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
4.根式的性质：
（1）当n为奇数时，；
（2）当n为偶数时，.
5.分数指数幂：规定正分数指数幂（，，）；负分数指数幂（，，）；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
6.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数.
7.指数幂的运算性质：
（1）；
（2）；
（3）.
三、习题检测
1.若，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
3.若，，则( )
A.0 B. C. D.
4.下列各式中正确的是( )
A. B.
C. D.
5.（多选）下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( )
A.和 B.和 C.和 D.和
6.（多选）下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
7.___________.
8.若，，则__________，____________.
9.已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
10.回答下列问题：
（1）计算：；
（2）化简（用分数指数幂表示）：.
答案以及解析
1.答案：B
解析：，，.故选B.
2.答案：C
解析：由于，，，故A，B，D项错误，故选C.
3.答案：B
解析：.故选B.
4.答案：D
解析：对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选D.
5.答案：BD
解析：0的负分数指数幂没有意义，故A不符合题意；，故B符合题意；和均符合分数指数幂的定义，但，，故C不符合题意；，故D符合题意.故选BD.
6.答案：BD
解析：选项A中，易知，所以，故错误；选项B中，，故正确；选项C中，，故错误；选项D中，，故正确.故选BD.
7.答案：
解析：原式.故答案为.
8.答案：108；
解析：，，，.
9.解析：（1），两边平方得，.
（2）由（1）知，两边平方得，.
10.解析：（1）原式.
（2）原式.
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