13.4 最短路径问题 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
13.4 最短路径问题
人教版 八年级上册
　　由一个平面图形可以得到与它关于一条直线对称
的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；
　 新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴 的对称点；
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
轴对称的性质
复习旧知
　　问题 牧马人从图中的A 地出发，到一条笔直的河边L 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马，可使他所走的路线全程最短？
B
A
L
你能将这个问题转化为数学问题吗？
学习新知
B
A
L
　　不妨将A，B 两地看作为两个点，将河L 看成为一条直线．
饮马地方设为C，
则C为直线上一个变动的点.
当点C在L的什么位 置时，
AC与BC的和最小.
C
C
C
C
AC与BC的和最小.
C
B
A
L
C
C
A
L
B
当点A与点B在L的两侧时，
点C在L的位置是容易求得的.
连接AB，
设AB与直线L的交点为C.
点C就是所求的点.
理由：
两点之间，线段最短.
假设CB′绕着点C旋转，
B
C
A
L
B′
当点B′绕到点B的位置时，
显然这时CB = CB′，
即有　AC＋CB′=AC＋CB．
∵A→C→B′为最短路径，
∴A→C→B为最短路径.
∵CB = CB′，
∴点B与点B′关于直线L对称.
由此得到求点C的方法.
B
A
L
B′
C
画法：
1.画点B关于直线L的对称点B′.
2.连接AB′，
设AB′与直线L的交点为C.
点C就是所求的点.
即AC＋BC的值最小.
B
A
L
B′
C
你能用所学的知识证明AC ＋BC最短吗？
在直线L上任取一点C′(与点C 不重合)，
证明：
连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，
BC′=B′C′,
∴AC ＋BC
= AC ＋B′C
AC′＋BC′
= AC′＋B′C′.
在△AB′C′中，
AB′＜AC′＋B′C′,
∴AC ＋BC＜AC′＋BC′．
即　AC ＋BC 最短．
C′
= AB′，
A
B
如图，小河的同一边边有两个村庄A，B，要在河边建一座桥，使A村与B村便于出行．若要使桥到A，B村的距离之和最短，则应选择在何处建桥？
B′
C
点C就是所求的点.
此时AC＋BC的值最小.
练习巩固
A
B
一条直线上的动点到这条直线同侧的
两点距离之和最小问题：
通常作出其中一定点的对称点；然后利用
“两点之间线段最短”连接对称点和另一定点
连线与对称轴的交点就是动点的位置.
B′
A′
M
例 如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，
今要在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥
的位置才能使从A地到B地的路程最短？
B
A
探究新知
B
A
设MN是桥所在的位置.
M
N
则从A到B要走的路线是
A→M→N→B.
因为桥长MN是个定值，
所以要使路程AM＋MN＋NB最短，
只要AM＋NB最短即可．
A
N
A
M
要AM＋NB最短．
B
B
不妨设想两河岸合并在一起，
此时M与N重合，
若A、N、B刚好在同一条直线上，
则AN＋NB最短．
而点A则向下平移了河宽的距离．
B
A
D
C
N
M
(2)连接BC与河岸的一边交于点N.
(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.
则MN为所建的桥的位置．
解：(1)过点A作AD垂直于河岸，
截AC的长等于河宽．
B
A
M
N
C
N′
M′
∵AM=CN，
AM′=CN′，
AC=MN=M′N′，
∴AM＋MN＋NB=CN＋AC＋NB
=MN＋CB，
AM′＋M′N′＋N′B = CN′＋AC＋N′B
= MN＋CN′＋N′B
∵CB＜
CN′＋N′B,
∴MN＋CB
＜
MN＋CN′＋N′B;
∴AM＋MN＋NB
＜
AM′＋M′N′＋N′B.
B
A
M
N
C
N″
M″
∵AM=CN，
AM″=CN″，
AC=MN=M″N″，
∴AM＋MN＋NB=CN＋AC＋NB
=MN＋CB，
AM″＋M″N″＋N″B = CN″＋AC＋N″B
= MN＋CN″＋N″B,
∵CB＜
CN″＋N″B,
∴MN＋CB
＜
MN＋CN″＋N″B;
∴AM＋MN＋NB
＜
AM″＋M″N″＋N″B.
B
A
M
N
C
N′
M′
N″
M″
AM＋MN＋NB
＜
AM′＋M′N′＋N′B.
AM＋MN＋NB
＜
AM″＋M″N″＋N″B.
1.如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是___点．
M
N
A
B
C
D
D
巩固提高
2.如图，在平面直角坐标系中， △ABC的顶点坐标为A(0，1)，B(3，2)，C(1，4)均在正方形网格的格点上.在y轴上找一点Q，使QC＋QB
的和最短.
2
x
y
O
1
2
2
－4
1
－1
－1
A
B
C
Q
D
3.如图，OA、OB是两条公路，在两条公路夹角的内部有一油库M。现在想在两公路上分别建一个加油站，为使运油的的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短。问两加油站应如何选址？
O
A
B
M
E
F
D
C
如图所示，E、F为两个加油站的位置.
解：
4.如图，已知∠AOB=30°，点P为∠ AOB内任意一点，且OP=10，点D和点E分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PDE的最小值为 .
A
B
O
P
M
N
D
E
10
△OMN为等边三角形
今天作业
课本P93页第10、11、12题
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin