2022年秋季北师版数学九年级上册第四章 《图形的相似》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·百色）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ）
A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9.
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方进行解答.
2．（2022·雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ＝，
DE∥BC，
故答案为：D.
【分析】根据已知条件可得，易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行计算.
3．（2022·镇江）如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： AD= ，AB=2，CD=3，
∵AB∥DC，
∴△AOB∽△DOC，
∴ ，
∴设AO=2x，则OD=3x，
∵AO+OD=AD，
∴2x+3x=5．
解得：x=1，
∴AO=2.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理可得AD的值，由图形可得AB=2，CD=3，易证△AOB∽△DOC，根据相似三角形的性质可得，设AO=2x，则OD=3x，根据AO+OD=AD可得x的值，据此解答.
4．（2022·贵阳）如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ADC与△ACB的周长比1：2.
故答案为：B.
【分析】易证△ACD∽△ABC，根据相似三角形的周长比等于相似比进行解答.
5．（2022·鄂尔多斯）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，
∴∠MGN＝90°，
∴四边形GMCN为矩形，
∴GM＝CN，
在△CDN中，∠D＝60°，CD＝，
∴CN＝CD sin60°＝，
∴MG＝3，
∵四边形BEFG为矩形，
∴∠E＝90°，BG∥EF，
∴∠BCE＝∠GBM，
又∵∠E＝∠BMG，
∴△GBM∽△BCE，
∴，
∴，
∴BE＝ ，
故答案为：B．
【分析】先求出四边形GMCN为矩形，再利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质计算求解即可。
6．（2022·绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片 ，其中 ， ， ， ， ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1，
∵剪掉的是两个直角三角形，
∴∠F=∠BCE=90°，∠FED+∠BEC=90°，∠BEC+∠CBE=90°，
∴∠FED=∠CBE，
∴△FED∽△CBE，
∴
∵矩形ABEF，
∴AB=EF=9，
设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y
∴
解之：
经检验是有原方程组的解
∴，故B不符合题意；
，故D不符合题意；
如图2
同理可知△CFD∽△EFB，
∴
设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，
∴
解之：
经检验是原方程组的解，
∴DF=10，故C不符合题意；
BF=7+8=15，故A符合题意；
故答案为：A.
【分析】分情况讨论：如图1，易证△FED∽△CBE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值；再求出DE，BE的长，可对B，D作出判断；如图2，同理可知△CFD∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值；再求出DF，BF的长，可对A，C作出判断.
7．（2022·达州）如图，点E在矩形 的 边上，将 沿 翻折，点A恰好落在 边上的点F处，若 ， ，则 的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠B=∠C=∠A=90°，BC=AD，AB=CD，
∵△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，
∴AE=EF，∠A=∠DFE=90°，
∴∠BEF=∠DFC，
∴△FCD∽△EBF，
∴CD：BF=FC：EB，
又∵CD=3BF，
∴FC：EB=3：1，
∵BE=4，
∴FC=12，
设AE=EF=a，则AB=CD=a+4，
∴BF=，
在Rt△EBF中，BF2+BE2=EF2，
∴（）2+42=a2，
整理，解得：a=-4（舍去）或a=5，
∴BF=3，
∴AD=BC=BF+FC=3+12=15.
故答案为：C.
【分析】由矩形性质得∠B=∠C=∠A=90°，BC=AD，AB=CD，由折叠得AE=EF，∠A=∠DFE=90°，可得∠BEF=∠DFC，继而证出△FCD∽△EBF，由相似三角形对应比比例关系结合CD=3BF求得FC=12，设AE=EF=a，则AB=CD=a+4，从而得BF=，由勾股定理得到a的方程（）2+42=a2，解得a=5，求得BF的长，进而求出AD的长.
8．（2021·湘西）如图，在菱形 中， 是 的中点， ，交 于点 ，如果 ，那么菱形 的周长是（ ）
A．11 B．22 C．33 D．44
【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】根据平行线可证 ，可得 ，由 是 的中点，可得EF是△ACD的中位线，可得CD=2EF=11，利用即可求出结论.
9．（2021·雅安）如图，将 沿 边向右平移得到 ， 交 于点G.若 . .则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由平移的性质可得：AD=BE，且AD∥BE
∴△CEG∽△ADG
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：B.
【分析】由平移的性质可得AD=BE，且AD∥BE，可证△CEG∽△ADG，可得，由BC：EC=3：1可求出BE：EC=2：1，即得AD：EC=2：1，利用面积比即可求出结论.
10．（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，轴，垂足为F．若，．以下结论正确的个数是（ ）
①；②AE平分；③点C的坐标为；④；⑤矩形ABCD的面积为．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵AF⊥x轴，
∴∠AFE＝∠BOE＝90°，
∵∠OEB＝∠AEF，
∴△AEF∽△BEO，
∴，∠EAF＝∠OBE，
∴BO＝3AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO=BO＝DO，
∴AO＝3AF，∠OBA＝∠OAB，故①正确；
∴∠OAB＝∠EAF，
∴AE平分∠OAF，故②正确；
∵OE＝3，EF＝1，
∴OF＝4，
∵OA2 AF2＝OF2，
∴8AF2＝16，
∴（取正值），
∴点A坐标为，
∵点A，点C关于原点对称，
∴点C，故③正确；
∵，OA＝3AF，
∴，
∴，故④错误；
∵
∴矩形ABCD的面积，故⑤正确；
∴正确的个数有4个.
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义和对顶角相等，可证得∠AFE＝∠BOE，∠OEB＝∠AEF，可得到△AEF∽△BEO，利用相似三角形的性质可得到BO＝3AF，∠EAF＝∠OBE，利用矩形的性质可推出AO＝CO=BO＝DO，可对①作出判断；同时利用等腰三角形的性质可知∠OBA＝∠OAB，可推出∠OAB＝∠EAF，可对②作出判断；再利用勾股定理求出AF的长，可得到点A的坐标，利用关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，可得到点C的坐标，可对③作出判断；利用OA=3AF，可求出BD的长，可对④作出判断；然后求出BD的长，利用三角形的面积公式求出△ABD的面积，即可求出矩形ABCD的面积，可对⑤作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·沈阳）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点H．，，当点H为GN三等分点时，MD的长为 ．
【答案】或4
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，CD=AB=4，∠D=∠C=90°，
∴∠DMN=∠GNM，
由折叠得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，
∴∠GMN=∠GNM，∠GFH=∠NEH，
∴GM=GN，
又∠GHE=∠NHE，
∴，
∴，
∵点H是GN的三等分点，则有两种情况：
①若时，则有：
∴EH=，GF=2NE=4，
由勾股定理得，，
∴GH=2NH=
∴GM=GN=GH+NH=，
∴MD=MF=GM-GF=；
②若时，则有：
∴EH=，GF=NE=1，
由勾股定理得，，
∴GH=NH=
∴GM=GN=GH+NH=5；
∴MD=MF=GM-GF=
综上，MD的值为或4．
【分析】先求出，再分类讨论计算求解即可。
12．（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是 ．
【答案】2
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵点A（4，0），点C（2，0），
∴OA=4，OC=2，
∵与位似，位似中心是坐标原点O，
∴与周长的比值是.
故答案为：2.
【分析】利用点A，C的坐标可求出OA，OC的长；再利用位似三角形的性质，可知这两个三角形的周长比等于相似比，可得答案.
13．（2022·娄底）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接.给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值.其中正确的结论有 （填结论对应的序号）.
【答案】①②③
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵AD绕点A沿顺时针方向旋转角度得到AD'
∴，
∴
即
∴
∵
得：（SAS）
故①对
∵△ABC和△ADD'是顶角相等的等腰三角形
∴
故②对
∴
即AD最小时最小
当AD⊥BC时，AD最小
由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点
故③对
故答案为：①②③.
【分析】根据旋转的性质可得∠DAD′=，AD=AD′，由角的和差关系可得∠CAD=∠BAD′，然后根据全等三角形的判定定理可判断①；根据△ABC和△ADD′是顶角相等的等腰三角形结合相似三角形的判定定理可判断②；根据相似三角形的性质结合垂线段最短的性质可判断③.
14．（2022·武威）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为 cm.
【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵AE=2cm，
∴BE=AB-AE=6-2=4（cm），
∵G是EF的中点，
∴EG=BG= EF，
∴∠BEG=∠ABD，
∴∠BEG=∠BDC，
∴△EBF∽△DCB，
∴ ，
∴ ，
∴BF=6，
∴EF= （cm），
∴BG= EF= （cm）.
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，根据平行线的性质可得∠ABD=∠BDC，由线段的和差关系可得BE=AB-AE=4cm，根据中点的概念可得EG=BG=EF，由等腰三角形的性质可得∠BEG=∠ABD，推出∠BEG=∠BDC，证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质求出BF，由勾股定理可得EF，进而可得BG.
15．（2021·镇江）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若 ＝ ，则 ＝ .
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝( )2＝ ，
故答案为： .
【分析】根据相似三角形的中线比等于相似比得出的比值，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解答.
16．（2021·台州）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG.若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝ .
【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在正方形ABCD中，AF⊥EG，
∴∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，
∴∠FAB =∠AGE，
又∵∠ABF=∠GAE=90°，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴BF= .
故答案是： .
【分析】利用正方形的性质及垂直的定义可证∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，可推出∠FAB =∠AGE，由此可推出△ABF∽△GAE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出BF的长.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2021·沈阳）如图，在菱形中，点M，N分别是边，上的点，，．连接，，延长交线段延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若AD=4，则ME的长是 ．
【答案】（1）证明：四边形为菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
（2）
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）四边形为菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）先利用菱形的性质可得BM=DN，再利用“SAS”证明即可；
（2）先证明，再利用相似三角形的性质可得，再结合可得，再求出，MC=1，最后利用计算即可。
18．（2021·鄂州）如图，在 中，点E、F分别在边 、 上，且 .
（1）探究四边形 的形状，并说明理由；
（2）连接 ，分别交 、 于点G、H，连接 交 于点O.若 ， ，求 的长.
【答案】（1）解：四边形 为平行四边形.
理由如下：
∵四边形 为平行四边形
∴
∵
∴
∵四边形 为平行四边形
∴
∴
∴
∵
∴四边形 为平行四边形
（2）解：设 ，∵
∴ ，
∵四边形 为平行四边形
∴ ， ，
∵
，
∴
∴
∵
∴ .
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，结合∠ABE=∠CDF，求出BE∥DF，则可证出四边形BEDF是平行四边形；
（2）设AG=2a，结合AG和OG的比值把OG和OA表示出来，再利用平行四边形的性质，把AC和CG表示出来，然后证明△AGE∽△CGB，再根据相似的性质列出比例式，结合AE=4，即可求出BC.
19．（2021·玉林）如图，在 中，D在 上， ， .
（1）求证： ∽ ；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据 可得 ，根据 可得 可得结果；
（2）由（1）可得 ， ，根据相似三角形面积比=相似比的平方可得 ，即可得结果.
20．（2021·梧州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，且AE⊥BF于点P，G为AD的中点，连接GP，过点P作PH⊥GP交AB于点H，连接GH.
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AB＝6，BE BC，求GH的长.
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，
AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠BPE=90°，
∴∠BAP+∠ABP=∠FBC+∠ABP=90°，
∴∠BAP=∠FBC，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF
（2）解：由题意，在正方形ABCD中，
∵AB＝6，BE BC，
∴ ， ，
∴ ，
∵G为AD的中点，
∴ ，
∵∠BAE=∠PBE，∠AEB=∠BEP，
∴△ABE∽△BPE，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵∠APB=90°，
∴ ，
∵∠APG+∠APH=∠APH+∠HPB=90°，
∴∠APG =∠HPB，
∵∠GAP+∠PAB=∠PAB+∠ABP=90°，
∴∠GAP=∠ABP，
∴△APG∽△BPH，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
在直角三角形AGH中，由勾股定理，则
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，利用垂直的定义及余角的性质可推出∠BAP=∠FBC；再利用ASA证明△ABE≌△BCF，利用全等三角形的性质，可证得结论.
（2）利用正方形的性质，结合已知可求出AB，BE的长；利用勾股定理求出AE的长，同时可求出AG的长；再证明△ABE∽△BPE，利用相似三角形的性质可求出BP的长，利用勾股定理求出AP的长；然后证明△APG∽△BPH，利用相似三角形的性质可求出BH的长；从而可求出AH的长，然后利用勾股定理求出GH的长.
21．（2021·南京）如图， 与 交于点O， ，E为 延长线上一点，过点E作 ，交 的延长线于点F.
（1）求证 ；
（2）若 ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵ ，
又∵ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）图形中隐含对顶角相等，因此利用AAS可证得结论.
（2）利用全等三角形的对应边相等，可求出DC，BE的长；再由EF∥CD可证得△BEF∽△BCD，利用相似三角形的对应边成比例，可得比列式，代入计算求出EF的长.
22．（2022·包头）如图，在平行四边形中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．
（1）如图1，是边上一点，连接，，与相交于点．
①若，求的长；
②在满足①的条件下，若，求证：；
（2）如图2，连接，是上一点，连接．若，且，求的长．
【答案】（1）解：①解：如图，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
②证明：∵，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
∴的长为2．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；②根据全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质解答即可；
（2）连接CF，通过相似三角形的判断定理和方程思想解答即可。
23．（2021·贵港）已知在 ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将 AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 EOF，连接AE，CF.
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长.
【答案】（1）AE=CF
（2）解：结论成立.
理由：如图2中，
， ，
，
，
，
， ，
，
.
（3）解：如图3中，
由旋转的性质可知 ，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）结论： .
理由：如图1中，
， ， ，
， ，
，
，
， ，
，
.
【分析】（1）证明 ，可得 .
（2）成立，理由：同（1）可证；
（3） 由旋转的性质及已知可得，从而可得AD=10，证明 ，可得，据此求出AE，利用股股定理即可求出DE.
24．（2021·衢州）如图，
（1）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G.
求证： .
（2）【运用】
如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H.若 ， ，求线段DE的长.
（3）【拓展】
将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若 ， ，求 的值（用含k的代数式表示）.
【答案】（1）证明：如图1，
由 折叠得到，
，
.
又 四边形ABCD是正方形，
，
，
，
又 正方形
，
（2）解：如图，连接 ，
由（1）得 ，
，
由折叠得 ， ，
.
四边形 是正方形，
，
，
又 ，
，
.
， ，
， .
，
，
（ 舍去）
（3）解：如图，连结HE，
由已知 可设 ， ，可令 ，
①当点H在D点左边时，如图，
同（2）可得， ，
，
由折叠得 ，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
.
，
，
，
（ 舍去）.
②当点 在 点右边时，如图，
同理得 ， ，
同理可得 ，
可得 ， ，
，
，
（ 舍去）.
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用折叠的性质可证得BE⊥CF，利用正方形的性质可得到BC=CD，∠D=∠BCE，利用余角的性质可得到∠BEC=∠CGD；然后利用AAS可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可求出DG的长，利用折叠的性质可得到BC=BF，CE=EF=9；再证明∠HFG=∠HGF，利用等角对等边可证得HF=HG，结合已知条件可求出HD，HF的长；再利用勾股定理建立关于DE的方程，解方程求出DE的长.
（3）连结HE， 设DH=4m，HG=5m， ，①当点H在D点左边时，同理可证得HF=HG，可得到DG=9，利用折叠的性质及余角的性质可推出∠BEC=∠CGD，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△CDG∽△BCE，利用相似三角形的性质，可表示出CE的长，即可得到DE的长；然后利用勾股定理，可求出x的值，即可得到DE与EC的比值；②当点 在 点右边时，如图，同理可证得△CDG∽△BCE，利用相似三角形的性质，可表示出CE的长，即可得到DE的长；然后利用勾股定理，可求出x的值，即可得到DE与EC的比值.
1 / 12022年秋季北师版数学九年级上册第四章 《图形的相似》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·百色）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ）
A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
2．（2022·雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·镇江）如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（ ）
A．2 B． C． D．
4．（2022·贵阳）如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·鄂尔多斯）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（ ）
A． B． C． D．3
6．（2022·绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片 ，其中 ， ， ， ， ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）
A． B． C．10 D．
7．（2022·达州）如图，点E在矩形 的 边上，将 沿 翻折，点A恰好落在 边上的点F处，若 ， ，则 的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
8．（2021·湘西）如图，在菱形 中， 是 的中点， ，交 于点 ，如果 ，那么菱形 的周长是（ ）
A．11 B．22 C．33 D．44
9．（2021·雅安）如图，将 沿 边向右平移得到 ， 交 于点G.若 . .则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，轴，垂足为F．若，．以下结论正确的个数是（ ）
①；②AE平分；③点C的坐标为；④；⑤矩形ABCD的面积为．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·沈阳）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点H．，，当点H为GN三等分点时，MD的长为 ．
12．（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是 ．
13．（2022·娄底）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接.给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值.其中正确的结论有 （填结论对应的序号）.
14．（2022·武威）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为 cm.
15．（2021·镇江）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若 ＝ ，则 ＝ .
16．（2021·台州）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG.若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝ .
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2021·沈阳）如图，在菱形中，点M，N分别是边，上的点，，．连接，，延长交线段延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若AD=4，则ME的长是 ．
18．（2021·鄂州）如图，在 中，点E、F分别在边 、 上，且 .
（1）探究四边形 的形状，并说明理由；
（2）连接 ，分别交 、 于点G、H，连接 交 于点O.若 ， ，求 的长.
19．（2021·玉林）如图，在 中，D在 上， ， .
（1）求证： ∽ ；
（2）若 ，求 的值.
20．（2021·梧州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，且AE⊥BF于点P，G为AD的中点，连接GP，过点P作PH⊥GP交AB于点H，连接GH.
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AB＝6，BE BC，求GH的长.
21．（2021·南京）如图， 与 交于点O， ，E为 延长线上一点，过点E作 ，交 的延长线于点F.
（1）求证 ；
（2）若 ，求 的长.
22．（2022·包头）如图，在平行四边形中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．
（1）如图1，是边上一点，连接，，与相交于点．
①若，求的长；
②在满足①的条件下，若，求证：；
（2）如图2，连接，是上一点，连接．若，且，求的长．
23．（2021·贵港）已知在 ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将 AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 EOF，连接AE，CF.
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长.
24．（2021·衢州）如图，
（1）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G.
求证： .
（2）【运用】
如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H.若 ， ，求线段DE的长.
（3）【拓展】
将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若 ， ，求 的值（用含k的代数式表示）.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9.
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方进行解答.
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ＝，
DE∥BC，
故答案为：D.
【分析】根据已知条件可得，易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行计算.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： AD= ，AB=2，CD=3，
∵AB∥DC，
∴△AOB∽△DOC，
∴ ，
∴设AO=2x，则OD=3x，
∵AO+OD=AD，
∴2x+3x=5．
解得：x=1，
∴AO=2.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理可得AD的值，由图形可得AB=2，CD=3，易证△AOB∽△DOC，根据相似三角形的性质可得，设AO=2x，则OD=3x，根据AO+OD=AD可得x的值，据此解答.
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ADC与△ACB的周长比1：2.
故答案为：B.
【分析】易证△ACD∽△ABC，根据相似三角形的周长比等于相似比进行解答.
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，
∴∠MGN＝90°，
∴四边形GMCN为矩形，
∴GM＝CN，
在△CDN中，∠D＝60°，CD＝，
∴CN＝CD sin60°＝，
∴MG＝3，
∵四边形BEFG为矩形，
∴∠E＝90°，BG∥EF，
∴∠BCE＝∠GBM，
又∵∠E＝∠BMG，
∴△GBM∽△BCE，
∴，
∴，
∴BE＝ ，
故答案为：B．
【分析】先求出四边形GMCN为矩形，再利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质计算求解即可。
6．【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1，
∵剪掉的是两个直角三角形，
∴∠F=∠BCE=90°，∠FED+∠BEC=90°，∠BEC+∠CBE=90°，
∴∠FED=∠CBE，
∴△FED∽△CBE，
∴
∵矩形ABEF，
∴AB=EF=9，
设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y
∴
解之：
经检验是有原方程组的解
∴，故B不符合题意；
，故D不符合题意；
如图2
同理可知△CFD∽△EFB，
∴
设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，
∴
解之：
经检验是原方程组的解，
∴DF=10，故C不符合题意；
BF=7+8=15，故A符合题意；
故答案为：A.
【分析】分情况讨论：如图1，易证△FED∽△CBE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值；再求出DE，BE的长，可对B，D作出判断；如图2，同理可知△CFD∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值；再求出DF，BF的长，可对A，C作出判断.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠B=∠C=∠A=90°，BC=AD，AB=CD，
∵△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，
∴AE=EF，∠A=∠DFE=90°，
∴∠BEF=∠DFC，
∴△FCD∽△EBF，
∴CD：BF=FC：EB，
又∵CD=3BF，
∴FC：EB=3：1，
∵BE=4，
∴FC=12，
设AE=EF=a，则AB=CD=a+4，
∴BF=，
在Rt△EBF中，BF2+BE2=EF2，
∴（）2+42=a2，
整理，解得：a=-4（舍去）或a=5，
∴BF=3，
∴AD=BC=BF+FC=3+12=15.
故答案为：C.
【分析】由矩形性质得∠B=∠C=∠A=90°，BC=AD，AB=CD，由折叠得AE=EF，∠A=∠DFE=90°，可得∠BEF=∠DFC，继而证出△FCD∽△EBF，由相似三角形对应比比例关系结合CD=3BF求得FC=12，设AE=EF=a，则AB=CD=a+4，从而得BF=，由勾股定理得到a的方程（）2+42=a2，解得a=5，求得BF的长，进而求出AD的长.
8．【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】根据平行线可证 ，可得 ，由 是 的中点，可得EF是△ACD的中位线，可得CD=2EF=11，利用即可求出结论.
9．【答案】B
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由平移的性质可得：AD=BE，且AD∥BE
∴△CEG∽△ADG
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：B.
【分析】由平移的性质可得AD=BE，且AD∥BE，可证△CEG∽△ADG，可得，由BC：EC=3：1可求出BE：EC=2：1，即得AD：EC=2：1，利用面积比即可求出结论.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵AF⊥x轴，
∴∠AFE＝∠BOE＝90°，
∵∠OEB＝∠AEF，
∴△AEF∽△BEO，
∴，∠EAF＝∠OBE，
∴BO＝3AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO=BO＝DO，
∴AO＝3AF，∠OBA＝∠OAB，故①正确；
∴∠OAB＝∠EAF，
∴AE平分∠OAF，故②正确；
∵OE＝3，EF＝1，
∴OF＝4，
∵OA2 AF2＝OF2，
∴8AF2＝16，
∴（取正值），
∴点A坐标为，
∵点A，点C关于原点对称，
∴点C，故③正确；
∵，OA＝3AF，
∴，
∴，故④错误；
∵
∴矩形ABCD的面积，故⑤正确；
∴正确的个数有4个.
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义和对顶角相等，可证得∠AFE＝∠BOE，∠OEB＝∠AEF，可得到△AEF∽△BEO，利用相似三角形的性质可得到BO＝3AF，∠EAF＝∠OBE，利用矩形的性质可推出AO＝CO=BO＝DO，可对①作出判断；同时利用等腰三角形的性质可知∠OBA＝∠OAB，可推出∠OAB＝∠EAF，可对②作出判断；再利用勾股定理求出AF的长，可得到点A的坐标，利用关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，可得到点C的坐标，可对③作出判断；利用OA=3AF，可求出BD的长，可对④作出判断；然后求出BD的长，利用三角形的面积公式求出△ABD的面积，即可求出矩形ABCD的面积，可对⑤作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数
11．【答案】或4
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，CD=AB=4，∠D=∠C=90°，
∴∠DMN=∠GNM，
由折叠得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，
∴∠GMN=∠GNM，∠GFH=∠NEH，
∴GM=GN，
又∠GHE=∠NHE，
∴，
∴，
∵点H是GN的三等分点，则有两种情况：
①若时，则有：
∴EH=，GF=2NE=4，
由勾股定理得，，
∴GH=2NH=
∴GM=GN=GH+NH=，
∴MD=MF=GM-GF=；
②若时，则有：
∴EH=，GF=NE=1，
由勾股定理得，，
∴GH=NH=
∴GM=GN=GH+NH=5；
∴MD=MF=GM-GF=
综上，MD的值为或4．
【分析】先求出，再分类讨论计算求解即可。
12．【答案】2
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵点A（4，0），点C（2，0），
∴OA=4，OC=2，
∵与位似，位似中心是坐标原点O，
∴与周长的比值是.
故答案为：2.
【分析】利用点A，C的坐标可求出OA，OC的长；再利用位似三角形的性质，可知这两个三角形的周长比等于相似比，可得答案.
13．【答案】①②③
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵AD绕点A沿顺时针方向旋转角度得到AD'
∴，
∴
即
∴
∵
得：（SAS）
故①对
∵△ABC和△ADD'是顶角相等的等腰三角形
∴
故②对
∴
即AD最小时最小
当AD⊥BC时，AD最小
由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点
故③对
故答案为：①②③.
【分析】根据旋转的性质可得∠DAD′=，AD=AD′，由角的和差关系可得∠CAD=∠BAD′，然后根据全等三角形的判定定理可判断①；根据△ABC和△ADD′是顶角相等的等腰三角形结合相似三角形的判定定理可判断②；根据相似三角形的性质结合垂线段最短的性质可判断③.
14．【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵AE=2cm，
∴BE=AB-AE=6-2=4（cm），
∵G是EF的中点，
∴EG=BG= EF，
∴∠BEG=∠ABD，
∴∠BEG=∠BDC，
∴△EBF∽△DCB，
∴ ，
∴ ，
∴BF=6，
∴EF= （cm），
∴BG= EF= （cm）.
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，根据平行线的性质可得∠ABD=∠BDC，由线段的和差关系可得BE=AB-AE=4cm，根据中点的概念可得EG=BG=EF，由等腰三角形的性质可得∠BEG=∠ABD，推出∠BEG=∠BDC，证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质求出BF，由勾股定理可得EF，进而可得BG.
15．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝( )2＝ ，
故答案为： .
【分析】根据相似三角形的中线比等于相似比得出的比值，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解答.
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在正方形ABCD中，AF⊥EG，
∴∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，
∴∠FAB =∠AGE，
又∵∠ABF=∠GAE=90°，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴BF= .
故答案是： .
【分析】利用正方形的性质及垂直的定义可证∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，可推出∠FAB =∠AGE，由此可推出△ABF∽△GAE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出BF的长.
17．【答案】（1）证明：四边形为菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
（2）
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）四边形为菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）先利用菱形的性质可得BM=DN，再利用“SAS”证明即可；
（2）先证明，再利用相似三角形的性质可得，再结合可得，再求出，MC=1，最后利用计算即可。
18．【答案】（1）解：四边形 为平行四边形.
理由如下：
∵四边形 为平行四边形
∴
∵
∴
∵四边形 为平行四边形
∴
∴
∴
∵
∴四边形 为平行四边形
（2）解：设 ，∵
∴ ，
∵四边形 为平行四边形
∴ ， ，
∵
，
∴
∴
∵
∴ .
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，结合∠ABE=∠CDF，求出BE∥DF，则可证出四边形BEDF是平行四边形；
（2）设AG=2a，结合AG和OG的比值把OG和OA表示出来，再利用平行四边形的性质，把AC和CG表示出来，然后证明△AGE∽△CGB，再根据相似的性质列出比例式，结合AE=4，即可求出BC.
19．【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据 可得 ，根据 可得 可得结果；
（2）由（1）可得 ， ，根据相似三角形面积比=相似比的平方可得 ，即可得结果.
20．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，
AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠BPE=90°，
∴∠BAP+∠ABP=∠FBC+∠ABP=90°，
∴∠BAP=∠FBC，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF
（2）解：由题意，在正方形ABCD中，
∵AB＝6，BE BC，
∴ ， ，
∴ ，
∵G为AD的中点，
∴ ，
∵∠BAE=∠PBE，∠AEB=∠BEP，
∴△ABE∽△BPE，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵∠APB=90°，
∴ ，
∵∠APG+∠APH=∠APH+∠HPB=90°，
∴∠APG =∠HPB，
∵∠GAP+∠PAB=∠PAB+∠ABP=90°，
∴∠GAP=∠ABP，
∴△APG∽△BPH，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
在直角三角形AGH中，由勾股定理，则
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，利用垂直的定义及余角的性质可推出∠BAP=∠FBC；再利用ASA证明△ABE≌△BCF，利用全等三角形的性质，可证得结论.
（2）利用正方形的性质，结合已知可求出AB，BE的长；利用勾股定理求出AE的长，同时可求出AG的长；再证明△ABE∽△BPE，利用相似三角形的性质可求出BP的长，利用勾股定理求出AP的长；然后证明△APG∽△BPH，利用相似三角形的性质可求出BH的长；从而可求出AH的长，然后利用勾股定理求出GH的长.
21．【答案】（1）证明：∵ ，
又∵ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）图形中隐含对顶角相等，因此利用AAS可证得结论.
（2）利用全等三角形的对应边相等，可求出DC，BE的长；再由EF∥CD可证得△BEF∽△BCD，利用相似三角形的对应边成比例，可得比列式，代入计算求出EF的长.
22．【答案】（1）解：①解：如图，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
②证明：∵，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
∴的长为2．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；②根据全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质解答即可；
（2）连接CF，通过相似三角形的判断定理和方程思想解答即可。
23．【答案】（1）AE=CF
（2）解：结论成立.
理由：如图2中，
， ，
，
，
，
， ，
，
.
（3）解：如图3中，
由旋转的性质可知 ，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）结论： .
理由：如图1中，
， ， ，
， ，
，
，
， ，
，
.
【分析】（1）证明 ，可得 .
（2）成立，理由：同（1）可证；
（3） 由旋转的性质及已知可得，从而可得AD=10，证明 ，可得，据此求出AE，利用股股定理即可求出DE.
24．【答案】（1）证明：如图1，
由 折叠得到，
，
.
又 四边形ABCD是正方形，
，
，
，
又 正方形
，
（2）解：如图，连接 ，
由（1）得 ，
，
由折叠得 ， ，
.
四边形 是正方形，
，
，
又 ，
，
.
， ，
， .
，
，
（ 舍去）
（3）解：如图，连结HE，
由已知 可设 ， ，可令 ，
①当点H在D点左边时，如图，
同（2）可得， ，
，
由折叠得 ，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
.
，
，
，
（ 舍去）.
②当点 在 点右边时，如图，
同理得 ， ，
同理可得 ，
可得 ， ，
，
，
（ 舍去）.
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用折叠的性质可证得BE⊥CF，利用正方形的性质可得到BC=CD，∠D=∠BCE，利用余角的性质可得到∠BEC=∠CGD；然后利用AAS可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可求出DG的长，利用折叠的性质可得到BC=BF，CE=EF=9；再证明∠HFG=∠HGF，利用等角对等边可证得HF=HG，结合已知条件可求出HD，HF的长；再利用勾股定理建立关于DE的方程，解方程求出DE的长.
（3）连结HE， 设DH=4m，HG=5m， ，①当点H在D点左边时，同理可证得HF=HG，可得到DG=9，利用折叠的性质及余角的性质可推出∠BEC=∠CGD，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△CDG∽△BCE，利用相似三角形的性质，可表示出CE的长，即可得到DE的长；然后利用勾股定理，可求出x的值，即可得到DE与EC的比值；②当点 在 点右边时，如图，同理可证得△CDG∽△BCE，利用相似三角形的性质，可表示出CE的长，即可得到DE的长；然后利用勾股定理，可求出x的值，即可得到DE与EC的比值.
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