2022年秋季北师版数学九年级上册第四章 《图形的相似》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·兰州）已知 ， ，若 ，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
2．（2022·梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形 的位似图形 ﹐已知 ，若四边形 的面积是2，则四边形 的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
3．（2022·东营）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（2021·朝阳）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则S四边形EHFG÷S菱形ABCD的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·巴中）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2022·台湾）如图1为一张正三角形纸片，其中点在上，点在上.今以为折线将点往右折后，、分别与相交于点、点，如图2所示.若，，，，则的长度为多少？（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2021·绵阳）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ， ，将四边形 向左平移 个单位后，点 恰好和原点 重合，则 的值是（ ）
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
9．（2021·雅安）如图，将 沿 边向右平移得到 ， 交 于点G.若 . .则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（2022·连云港）如图，将矩形 沿着 、 、 翻折，使得点 、 、 恰好都落在点 处，且点 、 、 在同一条直线上，同时点 、 、 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是 ．
12．（2022·东营）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为 ．
13．（2022·北京市）如图，在矩形中，若，则的长为 ．
14．（2022·绥化）如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使.按照此规律，线段的长为 ．
15．（2022·深圳）已知是直角三角形，连接以为底作直角三角形且是边上的一点，连接和且则长为 ．
16．（2022·苏州）如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，分别以A，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 .
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·长春）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中的形状是 ；
（2）在图①中确定一点D，连结、，使与全等：
（3）在图②中的边上确定一点E，连结，使：
（4）在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2．
18．（2022·玉林）如图，在矩形 中， ，点E是 边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作 交 的延长线于点F，设 ．
（1）求 的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接 交 于点G，连接 ，当 时，求证：四边形 是菱形．
19．（2021·沈阳）如图，在菱形中，点M，N分别是边，上的点，，．连接，，延长交线段延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若AD=4，则ME的长是 ．
20．（2022·江西）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
21．（2022·杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形， 、
（1）若AB=8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
22．（2022·济南）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 ▲ ；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
23．（2022·山西）综合与实践
（1）问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
（2）问题解决：
如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
24．（2022·通辽）已知点在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点．
（1）如图1，当点在上，在上，求的值为多少；
（2）将正方形绕点逆时针方向旋转，如图2，求：的值为多少；
（3），，将正方形绕逆时针方向旋转，当，，三点共线时，请直接写出的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得，代入求解可得EF的值.
2．【答案】D
【知识点】相似多边形；位似变换
【解析】【解答】解：由题意可知，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，
由两图形相似面积比等于相似比的平方可知： ，
又四边形ABCD的面积是2，
∴四边形A'B'C'D'的面积为18.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：四边形ABCD与四边形 A′B′C′D′相似，然后结合相似图形的面积比等于相似比的平方进行解答.
3．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
4．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E，
∵AD=2DE，
∵BD∥CE，
∴，
∵AB=3，
∴BC=AB=.
故答案为：C.
【分析】过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E，根据平行线分线段成比例的性质列比例式，结合AB=3，即可求出BC长.
5．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，
∴ ，
∵G、H分别是AC的三等分点，
∴ ， ，
∴ ，
∴EG∥BC
∴ ，
同理可得HF∥AD， ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】由题意可证明EG//BC，EG=2，HF//AD，HF=2，可得四边形EHFG为平行四边形，即可求解。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴△ADC∽△ABO
∴，
∵，
∴，
∵C、D两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴B点的纵坐标为6，故C正确.
故答案为：6.
【分析】易证△ADC∽△ABO，根据相似三角形的性质可得，由已知条件可得，根据C、D两点的纵坐标可得CD=2，求出OB，得到点B的纵坐标，据此判断.
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：三角形ABC是正三角形，
，
，
∽，
，即，
，
，，，
，
，
；
故答案为：C.
【分析】证明∽，可得，据此求出FG，根据即可求解.
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得， 的值就是线段 的长度，
过点 作 ，过点 作 ，如下图：
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得
∵
∴ ，
又∵
∴
∴
∴ ，即
解得 ，
∵
∴
∴
∴ ，即
解得
由题意可知四边形 为矩形，∴
故答案为：A.
【分析】由题意可得，m的值就是线段OB的长度，过点D作DE⊥AC，过点C作CF⊥OB，易得CE、DE的值，由平行线的性质可得∠DCE=∠BAC，∠ODC=∠BOD=90°，证明△DEC∽△BCA，由相似三角形的性质可得BC、AB的值，进而证明△BCF∽△BAC，由相似三角形的性质得到BF的值，由题意可知四边形OFCD为矩形，则OF=CD=5，据此可求得OB的值.
9．【答案】B
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由平移的性质可得：AD=BE，且AD∥BE
∴△CEG∽△ADG
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：B.
【分析】由平移的性质可得AD=BE，且AD∥BE，可证△CEG∽△ADG，可得，由BC：EC=3：1可求出BE：EC=2：1，即得AD：EC=2：1，利用面积比即可求出结论.
10．【答案】B
【知识点】平行线的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD沿着GE、EC、GF折叠，使得点A、B、D恰好落在点O处，
∴DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，
∴∠FGE+∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，
∴①符合题意；
设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG+OC＝3a，
在Rt△AGE中，由勾股定理得GE2=AG2+AE2，即GE2=a2+b2，
在Rt△EBC中，由勾股定理得CE2=EB2+BC2，即CE2=b2+（2a）2，
在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2＝GE2+CE2，
（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，
整理，解得：b＝a，
∴AB＝AD，
∴②不符合题意；
设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝2a-x，
在Rt△COF中，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，
∴x2+（2a）2＝（2 a-x）2，
解得：x＝a，
∴OF＝DF＝a，
∴DF＝×a＝a，
又∵GE2=a2+b2，
∴GE=a，
∴GE=DF，
∴③符合题意；
∵2OF＝2×a＝2a，
∴OC=2OF，
∴④符合题意；
∵无法证明∠FCO＝∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，
∴⑤不符合题意；
∴正确的有①③④.
故答案为：B.
【分析】由矩形性质和折叠的性质可得DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，从而可得∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，得∠FGE+∠GEC＝180°，可判定GF∥CE；设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，得CG＝OG+OC＝3a，由勾股定理得GE2=a2+b2，CE2=b2+（2a）2，CG2＝GE2+CE2，即得（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得b＝a，从而得AB＝AD；设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝2a-x，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，即x2+（2a）2＝（2 a-x）2，解得x＝a，从而得OF＝DF＝a，进而求得GE=DF；又2OF＝2×a＝2a，从而可得∴OC=2OF；因条件不足，无法证明∠FCO＝∠GCE，因而无法判断△COF∽△CEG. 据此逐项分析即可得出正确答案.
11．【答案】2
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵点A（4，0），点C（2，0），
∴OA=4，OC=2，
∵与位似，位似中心是坐标原点O，
∴与周长的比值是.
故答案为：2.
【分析】利用点A，C的坐标可求出OA，OC的长；再利用位似三角形的性质，可知这两个三角形的周长比等于相似比，可得答案.
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形EFGH是矩形，
∴，
∴，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】先证明可得，再将数据代入可得，求出，即可得到。
13．【答案】1
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：在矩形中：，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】先求出，BC=4，再求解即可。
14．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，
是直角三角形，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
，
同理可得：，，……，
，
，
故答案为：．
【分析】先求出，，，…可得，再将n=2023代入计算即可。
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BD交BF延长线与点H，连接EH，
∵
是等腰直角三角形，
又是等腰直角三角形，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，三角形的判定与性质计算求解即可。
16．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，设AC与 MN的交点为O ，
根据作图可得MN⊥AC，且平分AC ，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
又 ， ，
，
，
，
四边形AECF是平行四边形，
∵MN垂直平分AC ，
，
四边形AECF是菱形，
， ，
，
，
∴E为BC的中点，
中， ， ，
，
，
四边形AECF的周长为 .
故答案为： .
【分析】设AC与MN的交点为O，根据作图可得MN⊥AC且平分AC，则AO=OC，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠FAO=∠OCE，证明△AOF≌△COE，得到AF=EC，推出四边形AECF是平行四边形，结合EA=EC可得四边形AECF为菱形，易得EF∥AB，根据平行线分线段成比例的性质可得E为BC的中点，根据勾股定理可得BC，由直角三角形斜边上中线的性质可得AE=BC，据此求解.
17．【答案】（1）直角三角形
（2）解：如图，点D即为所求作，使与全等：
（3）解：如图所示，点E即为所作，且使：
（4）解：如图，点P，Q即为所求，使得，且相似比为1：2．
【知识点】勾股定理的逆定理；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）∵
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）根据全等三角形的判定，作出图形即可；
（3）根据相似三角形的判定，作出图形即可；
（4）作出AB、BC的中点P、Q即可。
18．【答案】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
（2）证明：由题意可得如图所示：
连接AC，
在矩形 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得∠BAD=∠ABC=∠D=90°，根据同角的余角相等得∠FAB=∠EAD，证明△ADE∽△ABF，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（2）连接AC，根据矩形的性质可得AB∥CD，AD=BC=4，AB=CD=8，∠ABC=90°，易得四边形AGCE是平行四边形，则AG=CE，BG=DE=a，易证△ABC∽△FBG，得到∠FGB=∠ACB，结合∠GFB+∠FGB=90°可得∠GFB+∠ACB=90°，推出AC⊥GE，然后利用菱形的判定定理进行证明.
19．【答案】（1）证明：四边形为菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
（2）
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）四边形为菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）先利用菱形的性质可得BM=DN，再利用“SAS”证明即可；
（2）先证明，再利用相似三角形的性质可得，再结合可得，再求出，MC=1，最后利用计算即可。
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
即，
解得：．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用两组角相等的三角形相似的判定方法求解即可；
（2）根据相似三角形的性质可得，再把数据代入可得，最后求出即可。
21．【答案】（1）解：由题意，得DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∵AB=8，
∴AD=2
（2）解：设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2．
∵
∴
∵S1=1，
∴S=16．
∵
同理可得S2=9，
∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得DE∥BC，由此可推出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AD的长.
（2）设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出S的值；同理可求出S2的值，然后根据平行四边形BFED的面积=S-S1-S2，代入计算可求解.
22．【答案】（1）解：．
证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
即．
在和中
，
∴，
∴；
（2）①；
②过点A作于点G，连接AF，如下图．
∵是等边三角形，，
∴，
∴．
∵是等边三角形，点F为线段BC中点，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（2）解：①
理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴；
【分析】（1）先求出 ，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①先求出是等边三角形，再求解即可；
②先求出 ， 再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。
23．【答案】（1）解：四边形AMDN为矩形．
理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，
∴MD∥AC，
∴∠AMD+∠A=180°，
∵∠A=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
四边形AMDN为矩形；
（2）解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴∠B+∠C=90°，．
∵点D是BC的中点，
∴CD=BC=5．
∵∠EDF=90°，
∴∠MDB+∠1=90°．
∵∠B=∠MDB，
∴∠1=∠C．
∴ND=NC．
过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．
∴CG=CD=．
∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，
∴△CGN∽△CAB．
∴，即，
∴；
（3）
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，
∵MD⊥HN，∴MN=MH，
∵D是BC中点，
∴BD=DC，
又∵∠BDH=∠CDN，
∴△BDH≌△CDN，
∴BH=CN，∠DBH=∠C，
∵∠BAC=90°，
∵∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，
设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，
在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，
∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，
解得x=，
∴线段AN的长为．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得MD//AC，可证∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可求解；
（2）过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°，证明△CGN∽△CAB，可得，即，再求出即可；
（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，先证明△BDH≌△CDN，可得BH=CN，∠DBH=∠C，再求出∠MBH=90°，设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，利用勾股定理可得(6-x)2+(8-x)2=(x)2，求出x的值即可。
24．【答案】（1）解：正方形与正方形有公共点，点在上，在上，
四边形是正方形
（2）解：如图，连接，
正方形绕点逆时针方向旋转，
，
（3）解：如图，
，，
，，，
三点共线，
中，，
，
由（2）可知，
，
．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由正方形性质得出，，由四边形是正方形，得出，求解即可；
（2）连接，由正方形绕点逆时针方向旋转，得出，证出，求解即可；
（3）由三点共线，在中，利用勾股定理得出CG的值，推出CE的值，由（2）可知，得出，即可得出答案。
1 / 12022年秋季北师版数学九年级上册第四章 《图形的相似》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·兰州）已知 ， ，若 ，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得，代入求解可得EF的值.
2．（2022·梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形 的位似图形 ﹐已知 ，若四边形 的面积是2，则四边形 的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】相似多边形；位似变换
【解析】【解答】解：由题意可知，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，
由两图形相似面积比等于相似比的平方可知： ，
又四边形ABCD的面积是2，
∴四边形A'B'C'D'的面积为18.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：四边形ABCD与四边形 A′B′C′D′相似，然后结合相似图形的面积比等于相似比的平方进行解答.
3．（2022·东营）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
4．（2022·丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E，
∵AD=2DE，
∵BD∥CE，
∴，
∵AB=3，
∴BC=AB=.
故答案为：C.
【分析】过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E，根据平行线分线段成比例的性质列比例式，结合AB=3，即可求出BC长.
5．（2021·朝阳）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则S四边形EHFG÷S菱形ABCD的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，
∴ ，
∵G、H分别是AC的三等分点，
∴ ， ，
∴ ，
∴EG∥BC
∴ ，
同理可得HF∥AD， ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】由题意可证明EG//BC，EG=2，HF//AD，HF=2，可得四边形EHFG为平行四边形，即可求解。
6．（2022·巴中）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴△ADC∽△ABO
∴，
∵，
∴，
∵C、D两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴B点的纵坐标为6，故C正确.
故答案为：6.
【分析】易证△ADC∽△ABO，根据相似三角形的性质可得，由已知条件可得，根据C、D两点的纵坐标可得CD=2，求出OB，得到点B的纵坐标，据此判断.
7．（2022·台湾）如图1为一张正三角形纸片，其中点在上，点在上.今以为折线将点往右折后，、分别与相交于点、点，如图2所示.若，，，，则的长度为多少？（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：三角形ABC是正三角形，
，
，
∽，
，即，
，
，，，
，
，
；
故答案为：C.
【分析】证明∽，可得，据此求出FG，根据即可求解.
8．（2021·绵阳）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ， ，将四边形 向左平移 个单位后，点 恰好和原点 重合，则 的值是（ ）
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得， 的值就是线段 的长度，
过点 作 ，过点 作 ，如下图：
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得
∵
∴ ，
又∵
∴
∴
∴ ，即
解得 ，
∵
∴
∴
∴ ，即
解得
由题意可知四边形 为矩形，∴
故答案为：A.
【分析】由题意可得，m的值就是线段OB的长度，过点D作DE⊥AC，过点C作CF⊥OB，易得CE、DE的值，由平行线的性质可得∠DCE=∠BAC，∠ODC=∠BOD=90°，证明△DEC∽△BCA，由相似三角形的性质可得BC、AB的值，进而证明△BCF∽△BAC，由相似三角形的性质得到BF的值，由题意可知四边形OFCD为矩形，则OF=CD=5，据此可求得OB的值.
9．（2021·雅安）如图，将 沿 边向右平移得到 ， 交 于点G.若 . .则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由平移的性质可得：AD=BE，且AD∥BE
∴△CEG∽△ADG
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：B.
【分析】由平移的性质可得AD=BE，且AD∥BE，可证△CEG∽△ADG，可得，由BC：EC=3：1可求出BE：EC=2：1，即得AD：EC=2：1，利用面积比即可求出结论.
10．（2022·连云港）如图，将矩形 沿着 、 、 翻折，使得点 、 、 恰好都落在点 处，且点 、 、 在同一条直线上，同时点 、 、 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
【答案】B
【知识点】平行线的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD沿着GE、EC、GF折叠，使得点A、B、D恰好落在点O处，
∴DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，
∴∠FGE+∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，
∴①符合题意；
设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG+OC＝3a，
在Rt△AGE中，由勾股定理得GE2=AG2+AE2，即GE2=a2+b2，
在Rt△EBC中，由勾股定理得CE2=EB2+BC2，即CE2=b2+（2a）2，
在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2＝GE2+CE2，
（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，
整理，解得：b＝a，
∴AB＝AD，
∴②不符合题意；
设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝2a-x，
在Rt△COF中，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，
∴x2+（2a）2＝（2 a-x）2，
解得：x＝a，
∴OF＝DF＝a，
∴DF＝×a＝a，
又∵GE2=a2+b2，
∴GE=a，
∴GE=DF，
∴③符合题意；
∵2OF＝2×a＝2a，
∴OC=2OF，
∴④符合题意；
∵无法证明∠FCO＝∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，
∴⑤不符合题意；
∴正确的有①③④.
故答案为：B.
【分析】由矩形性质和折叠的性质可得DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，从而可得∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，得∠FGE+∠GEC＝180°，可判定GF∥CE；设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，得CG＝OG+OC＝3a，由勾股定理得GE2=a2+b2，CE2=b2+（2a）2，CG2＝GE2+CE2，即得（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得b＝a，从而得AB＝AD；设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝2a-x，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，即x2+（2a）2＝（2 a-x）2，解得x＝a，从而得OF＝DF＝a，进而求得GE=DF；又2OF＝2×a＝2a，从而可得∴OC=2OF；因条件不足，无法证明∠FCO＝∠GCE，因而无法判断△COF∽△CEG. 据此逐项分析即可得出正确答案.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是 ．
【答案】2
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵点A（4，0），点C（2，0），
∴OA=4，OC=2，
∵与位似，位似中心是坐标原点O，
∴与周长的比值是.
故答案为：2.
【分析】利用点A，C的坐标可求出OA，OC的长；再利用位似三角形的性质，可知这两个三角形的周长比等于相似比，可得答案.
12．（2022·东营）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形EFGH是矩形，
∴，
∴，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】先证明可得，再将数据代入可得，求出，即可得到。
13．（2022·北京市）如图，在矩形中，若，则的长为 ．
【答案】1
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：在矩形中：，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】先求出，BC=4，再求解即可。
14．（2022·绥化）如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使.按照此规律，线段的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，
是直角三角形，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
，
同理可得：，，……，
，
，
故答案为：．
【分析】先求出，，，…可得，再将n=2023代入计算即可。
15．（2022·深圳）已知是直角三角形，连接以为底作直角三角形且是边上的一点，连接和且则长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BD交BF延长线与点H，连接EH，
∵
是等腰直角三角形，
又是等腰直角三角形，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，三角形的判定与性质计算求解即可。
16．（2022·苏州）如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，分别以A，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 .
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，设AC与 MN的交点为O ，
根据作图可得MN⊥AC，且平分AC ，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
又 ， ，
，
，
，
四边形AECF是平行四边形，
∵MN垂直平分AC ，
，
四边形AECF是菱形，
， ，
，
，
∴E为BC的中点，
中， ， ，
，
，
四边形AECF的周长为 .
故答案为： .
【分析】设AC与MN的交点为O，根据作图可得MN⊥AC且平分AC，则AO=OC，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠FAO=∠OCE，证明△AOF≌△COE，得到AF=EC，推出四边形AECF是平行四边形，结合EA=EC可得四边形AECF为菱形，易得EF∥AB，根据平行线分线段成比例的性质可得E为BC的中点，根据勾股定理可得BC，由直角三角形斜边上中线的性质可得AE=BC，据此求解.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·长春）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中的形状是 ；
（2）在图①中确定一点D，连结、，使与全等：
（3）在图②中的边上确定一点E，连结，使：
（4）在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2．
【答案】（1）直角三角形
（2）解：如图，点D即为所求作，使与全等：
（3）解：如图所示，点E即为所作，且使：
（4）解：如图，点P，Q即为所求，使得，且相似比为1：2．
【知识点】勾股定理的逆定理；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）∵
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）根据全等三角形的判定，作出图形即可；
（3）根据相似三角形的判定，作出图形即可；
（4）作出AB、BC的中点P、Q即可。
18．（2022·玉林）如图，在矩形 中， ，点E是 边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作 交 的延长线于点F，设 ．
（1）求 的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接 交 于点G，连接 ，当 时，求证：四边形 是菱形．
【答案】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
（2）证明：由题意可得如图所示：
连接AC，
在矩形 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得∠BAD=∠ABC=∠D=90°，根据同角的余角相等得∠FAB=∠EAD，证明△ADE∽△ABF，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（2）连接AC，根据矩形的性质可得AB∥CD，AD=BC=4，AB=CD=8，∠ABC=90°，易得四边形AGCE是平行四边形，则AG=CE，BG=DE=a，易证△ABC∽△FBG，得到∠FGB=∠ACB，结合∠GFB+∠FGB=90°可得∠GFB+∠ACB=90°，推出AC⊥GE，然后利用菱形的判定定理进行证明.
19．（2021·沈阳）如图，在菱形中，点M，N分别是边，上的点，，．连接，，延长交线段延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若AD=4，则ME的长是 ．
【答案】（1）证明：四边形为菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
（2）
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）四边形为菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）先利用菱形的性质可得BM=DN，再利用“SAS”证明即可；
（2）先证明，再利用相似三角形的性质可得，再结合可得，再求出，MC=1，最后利用计算即可。
20．（2022·江西）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
即，
解得：．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用两组角相等的三角形相似的判定方法求解即可；
（2）根据相似三角形的性质可得，再把数据代入可得，最后求出即可。
21．（2022·杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形， 、
（1）若AB=8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【答案】（1）解：由题意，得DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∵AB=8，
∴AD=2
（2）解：设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2．
∵
∴
∵S1=1，
∴S=16．
∵
同理可得S2=9，
∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得DE∥BC，由此可推出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AD的长.
（2）设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出S的值；同理可求出S2的值，然后根据平行四边形BFED的面积=S-S1-S2，代入计算可求解.
22．（2022·济南）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 ▲ ；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
【答案】（1）解：．
证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
即．
在和中
，
∴，
∴；
（2）①；
②过点A作于点G，连接AF，如下图．
∵是等边三角形，，
∴，
∴．
∵是等边三角形，点F为线段BC中点，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（2）解：①
理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴；
【分析】（1）先求出 ，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①先求出是等边三角形，再求解即可；
②先求出 ， 再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。
23．（2022·山西）综合与实践
（1）问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
（2）问题解决：
如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
【答案】（1）解：四边形AMDN为矩形．
理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，
∴MD∥AC，
∴∠AMD+∠A=180°，
∵∠A=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
四边形AMDN为矩形；
（2）解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴∠B+∠C=90°，．
∵点D是BC的中点，
∴CD=BC=5．
∵∠EDF=90°，
∴∠MDB+∠1=90°．
∵∠B=∠MDB，
∴∠1=∠C．
∴ND=NC．
过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．
∴CG=CD=．
∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，
∴△CGN∽△CAB．
∴，即，
∴；
（3）
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，
∵MD⊥HN，∴MN=MH，
∵D是BC中点，
∴BD=DC，
又∵∠BDH=∠CDN，
∴△BDH≌△CDN，
∴BH=CN，∠DBH=∠C，
∵∠BAC=90°，
∵∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，
设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，
在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，
∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，
解得x=，
∴线段AN的长为．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得MD//AC，可证∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可求解；
（2）过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°，证明△CGN∽△CAB，可得，即，再求出即可；
（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，先证明△BDH≌△CDN，可得BH=CN，∠DBH=∠C，再求出∠MBH=90°，设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，利用勾股定理可得(6-x)2+(8-x)2=(x)2，求出x的值即可。
24．（2022·通辽）已知点在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点．
（1）如图1，当点在上，在上，求的值为多少；
（2）将正方形绕点逆时针方向旋转，如图2，求：的值为多少；
（3），，将正方形绕逆时针方向旋转，当，，三点共线时，请直接写出的长度．
【答案】（1）解：正方形与正方形有公共点，点在上，在上，
四边形是正方形
（2）解：如图，连接，
正方形绕点逆时针方向旋转，
，
（3）解：如图，
，，
，，，
三点共线，
中，，
，
由（2）可知，
，
．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由正方形性质得出，，由四边形是正方形，得出，求解即可；
（2）连接，由正方形绕点逆时针方向旋转，得出，证出，求解即可；
（3）由三点共线，在中，利用勾股定理得出CG的值，推出CE的值，由（2）可知，得出，即可得出答案。
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