2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.2 双曲线的简单几何性质课件（31张PPT））

凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线.
[问题]你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质呢?
方程
图形
x
范围
对称性
顶点
离心率
关于x轴,y轴和原点对称
A1(－a，0)，A2（a，0)，
B1(0,－b)，B2 (0，b)
－a≤x≤a，－b≤y≤b
F
2
F
1
M
x
O
y
y
o
F1
F2
·
·


3.2.2 双曲线的简单几何性质
（第一课时）
学习目标
01
02
了解双曲线简单几何性质
会结合双曲线理解其几何性质
性质一：顶点
性质一：顶点
令y=0,得x=±a,因此双曲线和x轴有两个交点A1(-a，0),A2(a，?0).
因为x轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点.
一：顶点
令y=0,得x=±a,因此双曲线和x轴有两个交点A1(-a，0),A2(a，?0).因为x轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点.
令x=0，得y2=-b2,这个方程没有实数解,说明双曲线和y轴没有公共点,但我们也把B1(0，-b)，B2(0，?b)两点画在y轴上.
一：顶点
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,?a叫做双曲线的实半轴长;
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长.
性质一：顶点
同理，令x=0,得y=±a,因此双曲线和x轴
有两个交点A1( 0 , -a),A2(?0 , a ).
虚点B1(-b,0)，B2(b,0)两点画在y轴上.
性质二：范围
二：范围
类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线(焦点在x轴上)，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是x≤-?a,或x≥a,纵坐标的范围是y∈R.
这说明双曲线位于直线x=-a及其左侧和直线x=a及其右侧的区域。
二：范围
焦点在y轴上时，y≤-?a,或y≥a，x∈R
焦点在y轴上时，位于直线y=-a及其下侧和直线y=a及其上侧的区域。
三：对称性
性质三：对称性
三：对称性
类比研究椭圆的对称性的方法，容易得到 ，双曲线
关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心。双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
四：渐近线
一般地，双曲线 ? 的两支向外延伸时，与两条直线 ± ???????? =0 逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.
?
????????
?
性质四：渐近线
x
y
o
a
注：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交
－a
b
四：渐近线
x
y
o
a
四.渐近线：
(2)当a=b时，双曲线的实轴和虚轴长度
都等于2a，称为等轴双曲线
－a
b
等轴双曲线和共轭双曲线
1.等轴双曲线：
双曲线? ，如果a=b,那么方程变为
x2-y2=a2，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a.
这时，四条直线x=±a,?y=±a围成正方形，渐近线方程为y=±x，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
等轴双曲线和共轭双曲线
2.共轭双曲线：
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.
性质五：离心率
c>a>0
e>1
e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大，开口越大
（1）定义：
（2）e的范围：
（3）e的含义：
x
y
o
a
－a
b
例题讲解
例1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
?
解：
∴????=????2+????2=42+32=5
?
焦点坐标是（0，－5），（0，5）；
?
????=????????=54
?
离心率 ：
渐近线方程：
????=±43????
?
例1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
?
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在????轴上，实轴长是10，虚轴长是8；
（2）焦点在????轴上，焦距是10，虚轴长是8；
?
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在????轴上，实轴长是10，虚轴长是8；
?
解：设双曲线的标准方程为：
由题意可知，????=5,????=4.
双曲线的标准方程为：
?
解：设双曲线的标准方程为
由题意可知，????=5,????=4 所以????=3.
双曲线的标准方程为：
?
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（2）焦点在????轴上，焦距是10，虚轴长是8；
?
课堂作业
求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标以及离心率：
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