人教版八年级数学上册15.2分式的运算练习卷（含解析）

15.2 分式的运算（练习卷）-人教版八年级上册
一．选择题
1．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　）
A．① B．② C．③ D．④
2．已知＝3，＝4，＝5，则＝（　　）
A． B． C． D．
3．某人从A地到B地的速度为v1，从B地返回A地的速度为v2，若v1≠v2，则此人从A地到B地往返一次的平均速度是（　　）
A． B．
C．以上都不对
4．化简（1+）÷的结果是（　　）
A．1 B． C． D．﹣
．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．
如：＝＝a+＝a﹣1+，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式a﹣1的和的形式，下列说法正确的有（　　）个．
①若x为整数，为负整数，则x＝﹣3；
②6＜≤9；
③若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+（整式部分对应等于5m﹣11，真分式部分对应等于），则m2+n2+mn的最小值为27．
A．0 B．1 C．2 D．3
．下列计算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
．如果a+b＝3，那么的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
．老师出了一道题：计算+，对于下面这三名同学的做法，你的判断是（　　）
乐乐的做法是：原式＝﹣＝＝；
淇淇的做法是：原式＝（x+3）（x﹣2）+（2﹣x）＝x2+x﹣6+2﹣x＝x2﹣4；
嘉嘉的做法是：原式＝﹣＝﹣＝＝1．
A．嘉嘉的做法是正确的
B．淇淇的做法是正确的
C．乐乐的做法是正确的
D．三名同学的做法均不正确
．若代数式（8﹣2x）0﹣有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞4 B．x≥4 C．x≠2且x≠4 D．x≠2且x≥4
．规定一种新的运算“JQx→+∞”，其中A和B是关于x的多项式．当A的次数小于B的次数时，JQx→+∞＝0；当A的次数等于B的次数时，JQx→+∞的值为A、B的最高次项的系数的商．当A的次数大于B的次数时，JQx→+∞不存在．
例：JQx→+∞＝0，JQx→+∞．
若，则JQx→+∞的值为（　　）
A．0 B． C． D．不存在
二．填空题
．纳米是一种长度单位：1纳米＝10﹣9米，已知某植物花粉的直径为3500纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为　 　米．
．已知＝，则的值为　 　．
．化简÷（1+）的结果是　 　．
．若x+y+z＝0，则x（+）+y（+）+z（+）的值是　 　．
．阅读理解：我们知道：当a是c的因数时，（a、c为整数）的值是整数．例如，当a＝±1或±2时，的值是整数；又如，因为＝3，所以当m＝±1或±5时，的值是整数．
（1）如果分式的值是整数，那么a的正整数值是 　 　．
（2）如果分式的值是整数，那么x的负整数值是 　 　．
三．解答题
．（1）解不等式：﹣x＜3﹣；
（2）计算：÷（a+1﹣）．
．（1）求不等式组的整数解．
（2）先化简，再求值：，其中m是16的算术平方根．
．我们小学学分数时学过真分数和假分数，初中我们又学习了分式，现在我们来了解一下什么是“真分式”和“假分式”，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，称为“真分式”，如；当分子的次数大于或等于分母的次数时，称为“假分式”，如：，．假分式也可以化为带分式的形式，即为整式与“真分式”的和的形式，如：，．
（1）分式是分式 　 　（填“真”或“假”）．
（2）请将分式化为带分式的形式，问当的值为整数时，求整数x的所有可能值．
．先化简，再求值：，其中x＝﹣4．
下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：原式＝…第一步
＝…第二步
…第三步
＝．…第四步
任务一：
填空：①以上化简步骤中，第 　 　步是约分得到的，约分的依据是 　 　；
②第 　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 　．
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果，并代入求值．
．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，试用两种不同方法表示阴影部分的面积．方法1：　 　；方法2：　 　；
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示该结论：　 　．
（3）运用你所得到的结论，解决问题：
①已知（x+y）2＝16，xy＝1，求x2+y2的值．
②已知x+＝2，则x2+的值为 　 　．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：
＝
＝1﹣
＝
＝，
∵x为正整数，
∴≤1，
∴≥，
∴表示的值的点落在②．
故选：B．
2．【解答】解：当＝3，＝4，＝5时，
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝．
故选：D．
3．【解答】解：本题没有AB两地的单程，可设为1，那么总路程为2，
总时间为 +．平均速度＝2÷（ +）＝．
故选：C．
4．【解答】解：（1+）÷
＝（+）÷
＝
＝
＝1，
故选：A．
．【解答】解：∵为负整数，
∴＜0，
∴或，
解第一个不等式组得：﹣4＜x＜﹣2，
解第二个不等式组得：无解，
∴﹣4＜x＜﹣2，
∵x为整数，
∴x＝﹣3，
故①的结论正确；
∵＝6+，
又x2≥0，
∴＞0，且x2+2有最小值2，
∴由最大值3，
∴6＜6+≤9，
∴②的结论正确；
∵＝＝5（x+2）﹣11﹣，
∴m＝x+2，n﹣6＝﹣（x+2），
∴m＝x+2，n＝4﹣x．
∴m2+n2+mn
＝（m+n）2﹣mn
＝36﹣（﹣x2+2x+8）
＝x2﹣2x+28
＝（x﹣1）2+27，
∵（x﹣1）2≥0，
∴m2+n2+mn有最小值为27，
∴③的结论正确，
故选：D．
．【解答】解：∵＝，
∴A选项计算正确；
∵，
∴B选项计算正确；
∵＝，
∴C选项计算错误；
∵＝，
∴D选项计算正确．
综上，计算错误的是C．
故选：C．
．【解答】解：
＝
＝
＝a+b，
当a+b＝3时，原式＝3，
故选：A．
．【解答】解：原式＝，
＝，
＝，
＝1．
∴嘉嘉的做法正确，
故选：A．
．【解答】解：由题意得：
．
∴x≠2且x≠4．
故选：C．
．【解答】解：
＝÷
＝
＝，
∴A的次数等于B的次数，
∴JQx→+∞＝，
故选：C．
二．填空题
．【解答】解：3500纳米＝3.5×103×10﹣9米＝3.5×10﹣6米，
故答案为：3.5×10﹣6．
．【解答】解：∵＝，
∴﹣3（a﹣b）＝ab．
原式＝＝﹣3．
故答案为：﹣3．
．【解答】解：原式＝÷
＝
＝．
故答案为：．
．【解答】解：原式＝+++++
＝++
∵x+y+z＝0，
∴x＝﹣（y+z），y＝﹣（x+z），z＝﹣（x+y），
∴原式＝++
＝﹣1﹣1﹣1
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
．【解答】解：（1）
＝
＝1+，
∵分式的值是整数，
∴，，
解得：a＝﹣4或a＝﹣2或a＝﹣7（不符合题意舍去），a＝2，
故答案为：2；
（2）
＝
＝
＝
＝1﹣，
∵分式的值是整数，
∴＝±1或＝±3，
解得：x＝1或x＝7或x＝13（不符合题意舍去），x＝﹣5．
故答案为：﹣5．
三．解答题
．【解答】解：（1）﹣x＜3﹣，
去分母，得：4（1﹣x）﹣12x＜36﹣3（x+2），
去括号，得：4﹣4x﹣12x＜36﹣3x﹣6，
移项及合并同类项，得：﹣13x＜26，
系数化为1，得：x＞﹣2；
（2）÷（a+1﹣）
＝÷
＝
＝
＝．
．【解答】解：（1），
解不等式①，得：x＞﹣1，
解不等式②，得：x≤2，
∴该不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
∴该不等式组的整数解是0，1，2；
（2）
＝÷
＝
＝
＝，
∵m是16的算术平方根，
∴m＝4，
当m＝4时，原式＝＝．
．【解答】解：（1）∵分子次数高于分母次数，
∴改分式是“假分式”．
故答案为：假．
（2）原式＝＝2x+1﹣．
∵原分式的值是整数，
∴2x﹣1是2因数，
∴2x﹣1＝±1，±2，
∵x是整数，
∴x＝1，0．
．【解答】解：任务一：
①以上化简步骤中，第三步是约分得到的，约分的依据是分式的基本性质；
故答案为：三，分式的基本性质；
②第一步开始出现错误，这一步错误的原因是添括号时，括号里面的第二项没有变号；
故答案为：一，添括号时，括号里面的第二项没有变号；
任务二：
＝
＝
＝
＝﹣（x+2）
＝﹣x﹣2，
当x＝﹣4时，原式＝﹣（﹣4）﹣2＝4﹣2＝2．
．【解答】解：（1）由图可得：
图中阴影部分的面积为：a2+b2或（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2；（a+b）2﹣2ab；
（2）结论：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）①∵（x+y）2＝16，xy＝1，
∴x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝16﹣2×1
＝16﹣2
＝14；
②∵x+＝2，
∴（x+）2＝4，x ＝1，
∴x2+
＝（x+）2﹣2x
＝4﹣2×1
＝4﹣2
＝2，
故答案为：2．