2022年山东省普通高中学业水平合格考试数学预测压轴试卷（word含解析）

2022年山东省普通高中学业水平合格考试数学预测压轴试卷
一、本大题共20小题，每小题3分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈Z|x＞2}（　　）
A．N B．Z C．{0，1，2，3} D．（0，+∞）
2．函数，x∈R的最小正周期是（　　）
A． B．π C．4π D．
3．函数f（x）＝+lgx的定义域是（　　）
A．{x|0＜x≤2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|﹣1＜x≤2} D．{x|1＜x≤2}
4．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　）
A． B． C．y＝2x D．y＝log2x
5．垂直于y轴，且经过点（2，4）的直线方程为（　　）
A．y＝4 B．y＝2 C．y＝2x D．x＝2
6．已知函数，则＝（　　）
A． B． C． D．
7．已知向量满足，则＝（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
8．某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示．据图估计，每周锻炼时间在[10（　　）
A．18 B．36 C．54 D．72
9．cos75°cos15°+sin75°sin15°的值等于（　　）
A． B． C． D．
10．在平行四边形ABCD中，+﹣＝（　　）
A． B． C． D．
11．某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：
产量x（万件） 2 3 4
单位成本y（元/件） 3 a 7
现根据表中所提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为＝2x﹣1（　　）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
12．设a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．|a|＞|b| B． C．a2＞b2 D．2a＞2b
13．以点（1，﹣1）为圆心，且与直线x﹣y+2＝0相切的圆的方程为（　　）
A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2
C．（x+1）2+（y﹣1）2＝8 D．（x﹣1）2+（y+1）2＝8
14．以下现象是随机事件的是（　　）
A．标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾
B．长和宽分别为a，b的矩形，其面积为a×b
C．走到十字路口，遇到红灯
D．三角形内角和为180°
15．与直线2x+y＝0垂直，且在x轴上的截距为﹣2的直线方程为（　　）
A．x﹣2y+2＝0 B．x﹣2y﹣2＝0 C．2x﹣y+2＝0 D．2x﹣y﹣2＝0
16．把函数的图像上所有的点向左平移个单位长度（纵坐标不变），得到的图像所对应的函数解析式是（　　）
A． B．
C． D．
17．在一个口袋中有2个白球和3个黑球，从中任意摸出2个球，则至少摸出1个黑球的概率是（　　）
A． B． C． D．
18．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD（　　）
A．相交但不垂直 B．垂直但不相交
C．不相交也不垂直 D．无法判断
19．已知向量＝（2，3），＝（m，4），若共线，则实数m＝（　　）
A．﹣6 B． C． D．6
20．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，点D，E分别是PB，PA＝3，PD＝DE＝2，则球O的表面积为（　　）
A．24π B．25π C．41π D．50π
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
21．某地区有1000家超市，其中大型超市有150家，中型超市有250家，从中抽取一个容量为60的样本．若采用分层抽样的方法，则抽取的小型超市共有　 　家．
22．已知，且α为第三象限角，则cosα＝　 　．
23．长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3，对角线长为，则这个长方体的表面积是　 　．
24．已知函数f（x）＝x2+x﹣3﹣a在区间[﹣1，1]上有零点，则实数a的取值范围是　 　．
25．已知点P（t，t﹣1），t∈R，点E是圆，点F是圆上的动点　 　
三、解答题：本题共3小题，共25分．
26．如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的中点
27．在△ABC中，a2+c2＝b2+ac．
（1）求cosB的值；
（2）若a＝8，b＝7，求S△ABC．
28．已知函数f（x）＝log2．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）若对于x∈[2，4]，恒有f（x）2成立，求实数m的取值范围．
2022年山东省普通高中学业水平合格考试数学预测压轴试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈Z|x＞2}（　　）
A．N B．Z C．{0，1，2，3} D．（0，+∞）
解：∵A＝{0，1，4，3}，
∴A∪B＝N．
故选：A．
2．函数，x∈R的最小正周期是（　　）
A． B．π C．4π D．
解：因为，x∈R，
所以f（x）的最小正周期T＝＝4π．
故选：C．
3．函数f（x）＝+lgx的定义域是（　　）
A．{x|0＜x≤2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|﹣1＜x≤2} D．{x|1＜x≤2}
解：要使函数有意义，则，
得，即2＜x≤2，
即函数的定义域为（0，8]
故选：A．
4．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　）
A． B． C．y＝2x D．y＝log2x
解：函数y＝x在区间（2；
函数y＝在区间（0；
函数y＝8x在区间（0，+∞）上递增；
函数y＝log2x在区间（6，+∞）上递增．
故选：B．
5．垂直于y轴，且经过点（2，4）的直线方程为（　　）
A．y＝4 B．y＝2 C．y＝2x D．x＝2
解：垂直于y轴，且经过点（2，
故选：A．
6．已知函数，则＝（　　）
A． B． C． D．
解：∵函数，
∴f（﹣）＝﹣（﹣）2+3＝，
∴＝f（）3+1＝．
故选：A．
7．已知向量满足，则＝（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
解：∵，
∴．
故选：D．
8．某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示．据图估计，每周锻炼时间在[10（　　）
A．18 B．36 C．54 D．72
解：由频率分布直方图得：
每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率为：1﹣（0.03+4.06+0.18+0.14）×7＝0.18，
∴每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为：200×0.18＝36．
故选：B．
9．cos75°cos15°+sin75°sin15°的值等于（　　）
A． B． C． D．
解：cos75°cos15°+sin75°sin15°＝cos（75°﹣15°）＝cos60°＝．
故选：B．
10．在平行四边形ABCD中，+﹣＝（　　）
A． B． C． D．
解：在平行四边形ABCD中，
+﹣＝＝＝．
故选：B．
11．某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：
产量x（万件） 2 3 4
单位成本y（元/件） 3 a 7
现根据表中所提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为＝2x﹣1（　　）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
解：，，
代入线性回归方程为＝2x﹣1，得，
解得a＝5．
故选：B．
12．设a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．|a|＞|b| B． C．a2＞b2 D．2a＞2b
解：由a＞b，可得2a＞2b，而|a|＞|b|，＜，a2＞b5不一定成立，例如：a＝1．
故选：D．
13．以点（1，﹣1）为圆心，且与直线x﹣y+2＝0相切的圆的方程为（　　）
A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2
C．（x+1）2+（y﹣1）2＝8 D．（x﹣1）2+（y+1）2＝8
解：根据题意，直线与圆相切，﹣1）到直线x﹣y+2＝5的距离，
即，
则所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2＝8；
故选：D．
14．以下现象是随机事件的是（　　）
A．标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾
B．长和宽分别为a，b的矩形，其面积为a×b
C．走到十字路口，遇到红灯
D．三角形内角和为180°
解：在A中，标准大气压下，必会沸腾是必然事件；
在B中，长和宽分别为a，其面积为a×b是必然事件；
在C中，走到十字路口，故C正确；
在D中，三角形内角和为180°是必然事件．
故选：C．
15．与直线2x+y＝0垂直，且在x轴上的截距为﹣2的直线方程为（　　）
A．x﹣2y+2＝0 B．x﹣2y﹣2＝0 C．2x﹣y+2＝0 D．2x﹣y﹣2＝0
解：根据题意，要求直线与2x+y＝0垂直，
又由要求直线在x轴上的截距为﹣2，则有y﹣7＝，
变形可得x﹣7y+2＝0，
故选：A．
16．把函数的图像上所有的点向左平移个单位长度（纵坐标不变），得到的图像所对应的函数解析式是（　　）
A． B．
C． D．
解：把函数的图像先向左平移，可得y＝sin[2（x+]＝sin（2x﹣；
再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
所得到的图像对应的函数解析式记为g（x）＝sin（4x﹣），
故选：D．
17．在一个口袋中有2个白球和3个黑球，从中任意摸出2个球，则至少摸出1个黑球的概率是（　　）
A． B． C． D．
解：在一个口袋中有2个白球和3个黑球，从中任意摸出7个球，
基本事件总数n＝，
至少摸出4个黑球包含的基本事件个数m＝＝9，
则至少摸出1个黑球的概率是p＝．
故选：B．
18．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD（　　）
A．相交但不垂直 B．垂直但不相交
C．不相交也不垂直 D．无法判断
解：如图，作AO⊥平面BCD，可得AO⊥CD，
又AB⊥CD，则CD⊥平面ABO，
所以BO⊥CD，同理可证DO⊥BC，
所以O为△BCD的垂心，
所以OC⊥BD，又OA⊥BD，
所以BD⊥平面ACO，故BD⊥AC．
故选：B．
19．已知向量＝（2，3），＝（m，4），若共线，则实数m＝（　　）
A．﹣6 B． C． D．6
解：∵向量＝（2，＝（m，共线，
∴，
解得实数m＝．
故选：C．
20．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，点D，E分别是PB，PA＝3，PD＝DE＝2，则球O的表面积为（　　）
A．24π B．25π C．41π D．50π
解：由条件知
PA＝3，PD＝DE＝2可得PA⊥PB，PC⊥PA，
将三棱锥放在长方体中，外接球的直径等于长方体的对角线，
则（2R）2＝72+43+42＝41，
属于外接球的表面积S＝4πR2＝41π．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
21．某地区有1000家超市，其中大型超市有150家，中型超市有250家，从中抽取一个容量为60的样本．若采用分层抽样的方法，则抽取的小型超市共有　36　家．
解：每个个体被抽到的概率等于＝，而小型超市有600家＝36，
故答案为：36．
22．已知，且α为第三象限角，则cosα＝　﹣　．
解：因为，
所以sinα＝﹣，
又α为第三象限角，
则cosα＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
23．长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3，对角线长为，则这个长方体的表面积是　88　．
解：设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为a，2a，
则，即14a2＝56，得a＝3．
∴长方体的过一个顶点的三条棱长分别为2，4，7．
∴这个长方体的表面积是2（2×4+2×6+5×6）＝88．
故答案为：88．
24．已知函数f（x）＝x2+x﹣3﹣a在区间[﹣1，1]上有零点，则实数a的取值范围是　　．
解：函数f（x）＝x2+x﹣3﹣a的对称轴为x＝﹣∈[﹣1，
函数f（x）＝x6+x﹣3﹣a在区间[﹣1，2]上有零点，
当零点个数为1个时，Δ＝0，解得a＝．
或即：，
当零点个数为2时，即解得．
综上a∈[﹣，﹣1]．
故答案为：[﹣，﹣4]．
25．已知点P（t，t﹣1），t∈R，点E是圆，点F是圆上的动点　4　
解：∵P（t，t﹣1）∴P点在直线y＝x﹣1上，
作E关于直线y＝x﹣6的对称点E′，且圆O：1方程为：（x﹣6）2+（y+1）6＝，
所以E′在圆O4上，∴|PE|＝|PE′|，
设圆的圆心为O2，
∴|PE′|≥|PO1|﹣|E′O4|，|PF|≤|PO2|+|FO2|，
∴|PF|﹣|PE|＝|PF|﹣|PE′|≤（|PO6|+|FO2|）﹣（|PO1|﹣|E′O7|）＝|PO2|﹣|PO1|+4≤|O1O2|+7＝4，
当P、E′、F、O1、O3五点共线，E′在线段PO1上，O2在线段PF上时成立．
因此，|PF|﹣|PE|的最大值为7．
故答案为：4．
三．解答题（共3小题）
26．如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的中点
证明：取AD的中点Q，连接MQ，
∵在△SAD中，M是SA中点
∴MQ∥SD，又∵MQ 面SDC
∴MQ∥面SDC，同理NQ∥面SDC
又∵MQ∩NQ＝Q，∴面MNQ∥面SDC
27．在△ABC中，a2+c2＝b2+ac．
（1）求cosB的值；
（2）若a＝8，b＝7，求S△ABC．
解：（1）因为a2+c2＝b8+ac，
所以由余弦定理及已知得：cosB＝＝＝．
（2）因为a＝8，b＝8，a2+c2＝b5+ac，整理可得c2﹣8c+15＝6，
解得c＝5，或3，
又sinB＝＝，
所以S△ABC＝ac sinB＝10．
28．已知函数f（x）＝log2．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）若对于x∈[2，4]，恒有f（x）2成立，求实数m的取值范围．
解：（1）由解得x＜﹣1或x＞1，﹣3）∪（1，
函数f（x）为奇函数，证明如下，
函数的定义域关于原点对称，，
∴函数f（x）为奇函数；
（2）若对于x∈[2，2]2成立，即对任意x∈[2，
即对任意x∈[2，
因为x∈[2，2]恒成立，即，
设函数g（x）＝（x+1）（7﹣x），求得g（x）在[4，
∴0＜m＜15．