2022－2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册3.4 函数的应用(一)易错分层重点练（含答案）

新人教A版 必修一 函数的应用(一)易错分层重点练
（原卷+答案）
必备知识基础练
1．国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x(km) 0＜x≤500 500＜x≤1 000 1 000＜x≤1 500 …
邮资y(元) 5.00 6.00 7.00 …
如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是(　　)
A．5.00元 B．6.00元
C．7.00元 D．8.00元
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　)
A．310元 B．300元
C．290元 D．280元
3．某宾馆共有客床100张，各床每晚收费10元时可全部住满，若每晚收费每提高2元，便减少10张客床租出，则总收入y(y>0)元与每床每晚收费应提高x(假设x是2的正整数倍)元的关系式为(　　)
A．y＝(10＋x)(100－5x)
B．y＝(10＋x)(100－5x)，x∈N
C．y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2，4，6，8，…，18
D．y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2，4，6，8
4.
甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲比乙先到达终点
D．甲、乙两人的速度相同
5．已知某停车场规定：停车时间在3小时内，车主需交费5元，若停车超过3小时，每多停1小时，车主要多交3元，不足1小时按1小时计算．一辆汽车在该停车场停了7小时20分钟，在离开时车主应交的停车费为(　　)
A．16元 B．18元
C．20元 D．22元
6．(多选)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
型号 小包装 大包装
质量 100克 300克
包装费 0.5元 0.7元
销售价格 3.00元 8.4元
则下列说法正确的是(　　)
A．买小包装实惠
B．买大包装实惠
C．卖3小包比卖1大包盈利多
D．卖1大包比卖3小包盈利多
7．若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为________________．
8．某汽车在同一时间内速度v(单位：km/h)与耗油量Q(单位：L)之间有近似的函数关系Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27，则车速为________ km/h时，汽车的耗油量最少．
关键能力综合练
1．高为H、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　)
2．某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为(　　)
A．30 B．40
C．50 D．60
3．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为(　　)
A．13 m3 B．14 m3
C．18 m3 D．26 m3
4．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t(n)(单位：小时)大致服从的关系为t(n)＝(t0、N0为常数).已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为(　　)
A.16小时 B．11小时
C．9小时 D．8小时
5．某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成．该公司2020年总收入为200亿元，其中保险业务收入为150亿元，理财业务收入为50亿元．该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加20亿元．因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速．要求从2021年起每年通过理财业务的收入是前一年的t倍，若要使得该公司2025年的保险业务收入不高于当年总收入的60%，则t的值至少为(　　)
A． B．
C． D．
6．(多选)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比，若在距离车站10 km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，下列结论正确的是(　　)
A．y1＝ B．y2＝0.4x
C．y1＋y2有最小值4 D．y1－y2无最小值
7．某商人将每台彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多了270元，则每台彩电原价是________元．
8．某种商品在第x(1≤x≤30，x∈N*)天的销售价格(单位：元)为f(x)＝，第x天的销售量(单位：件)为g(x)＝30－x，则第14天该商品的销售收入为________元，在这30天中，该商品日销售收入的最大值为________元．
9．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨，若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
10．某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20 000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数R(x)＝，其中x是“玉兔”的月产量．
(1)将利润f(x)表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益＝总成本＋利润)
核心素养升级练
1．如图一直角墙角，两边的长度足够长，P处有一棵树与两墙的距离分别是a m、4 m，其中02．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，每平方米4元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．李明家的使用面积为60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，那么它的建筑面积最多不超过________平方米．
3．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益f(x)与投资额x成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益g(x)与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2.
(1)分别写出两种产品的年收益f(x)和g(x)的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
参考答案
必备知识基础练
1．答案：C
解析：通过邮资标准表可得到，当x＝1 200时，y＝7.00元．
2．答案：B
解析：设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
函数图象过点(1，800)，(2，1 300)，则，解得，
所以y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300.所以营销人员没有销售量时的收入是300元．
3．答案：C
解析：依题意可知总收入的表达式为y＝(10＋x)(100－5x)，由于x是2的正整数倍，且5x<100，即x<20，故x＝2，4，6，…18.
4．答案：C
解析：结合已知条件可知，甲乙同时出发且跑的路程都为s0，故AB错误；且当甲乙两人跑的路程为s0时，甲所用时间比乙少，故甲先到达终点且甲的速度较大，故C正确，D错误．
5．答案：C
解析：由已知得7小时20分钟按8小时计算，所以停车费为5＋(8－3)×3＝20元．
6．答案：BD
解析：大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故B正确，卖1大包的盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3(元)，卖1小包盈利3－0.5－1.8＝0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3＝2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故D正确．
7．答案：y＝20－2x(5解析：由题意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x.
∵y>0，∴20－2x>0，∴x<10.
又∵三角形两边之和大于第三边，
∴，即2x>20－2x，解得x>5，
∴5故所求函数的解析式为y＝20－2x(58．答案：35
解析：因为Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27可化简Q＝0.002 5(v－35)2＋1.207 5，故当v＝35 km/h时，汽车的耗油量最少．
关键能力综合练
1．答案：B
解析：根据题意知，函数的自变量为水深h，函数值为鱼缸中水的体积，所以当h＝0时，体积v＝0，所以函数图象过原点，故排除A、C；再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度与B图象相符，故选B.
2．答案：C
解析：设安排生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500.故当x＝50台时，获利润最大．
3．答案：A
解析：设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝，
则10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.
∴该职工这个月实际用水为13 m3.
4．答案：C
解析：由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，16所以＝16，得t0＝64.
又由＝8知，N0＝64，所以当n＝49时，t(49)＝＝≈9.
5．答案：A
解析：因为该公司2020年总收入为200亿元，预计每年总收入比前一年增加 20亿元，所以2025年的总收入为300亿元，
因为要求从2020年起每年通过理财业务的收入是前一年的t倍，
所以2025年通过理财业务的收入为50t5亿元，所以300－50t5≤300×0.6，解得t≥.故t的值至少为.
6．答案：BCD
解析：对A，设y1＝，(k1≠0，x>0)，由题意知：函数过点(10，1)，即k1＝10，∴y1＝，(x>0)，故A错误；
对B，y2＝k2x，(k2≠0，x>0)，由题意得：函数过点(10，4)，即4＝10k2，解得：k2＝0.4，∴y2＝0.4x，(x>0)，故B正确；
对C，y1＋y2＝＋0.4x≥2 ＝4，当且仅当＝0.4x，即x＝5时等号成立，故C正确；
对D，∵y1－y2＝－0.4x在(0，＋∞)上单调递减，
故y1－y2无最小值，故D正确．
7．答案：2 250
解析：设每台彩电原价是x元，
由题意得：x(1＋40%)·80%＝x＋270，
解得x＝2 250.
8．答案：448　600
解析：由题意可得f(14)g(14)＝28×16＝448(元)，
即第14天该商品的销售收入为448元．
销售收入y＝，x∈N*，
即y＝，x∈N*.
当1≤x≤10时，y＝－2x2＋50x＋300＝－2(x－)2＋612.5，
故当x＝10时，y取最大值，ymax＝600，
当10故当x＝10时，该商品日销售收入最大，最大值为600元．
9．解析：设可获得的总利润为R(x)万元，则
R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000＝－＋88x－8 000＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)，
∵R(x)在[0，210]上是增函数，
∴当x＝210时，R(x)max＝－(210－220)2＋1 680＝1 660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1 660万元．
10．解析：(1)由题意，当0≤x≤400时，f(x)＝400x－x2－20 000－100x＝300x－x2－20 000；
当x>400时，f(x)＝80 000－100x－20 000＝60 000－100x；
故f(x)＝；
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝300x－x2－20 000；
当x＝300时，f(x)max＝f(300)＝25 000(元)；
当x>400时，f(x)max∵25 000>20 000，
∴当x＝300时，该厂所获利润最大，最大利润为25 000元．
核心素养升级练
1．答案：C
解析：设AD长为x m，则CD长为16－x m，
又因为要将P点围在矩形ABCD内，∴a≤x≤12，
则矩形ABCD的面积为x(16－x) m2，
当0当8S＝，
分段画出函数图形可得其形状与C接近．
2．答案：80
解析：设李明家建筑面积为x平方米，
按方案(1)，李明家需缴60×4＝240元，
按方案(2)，李明家需缴3x元，
因为选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，
则3x≤240，解得x≤80，
所以它的建筑面积最多不超过80平方米．
3．解析：(1)依题意：可设f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2(x≥0)，
∵f(1)＝k1＝，g(1)＝k2＝，
∴f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0).
(2)设投资债券类产品x万元，
则股票类投资为(20－x)万元，年收益为y万元，
依题意得：y＝f(x)＋g(20－x)，
即y＝＋(0≤x≤20)，令t＝，
则x＝20－t2，t∈[0，2]，
则y＝＋，t∈[0，2]＝－(t－2)2＋3，
所以当t＝2，即x＝16万元时，
收益最大，ymax＝3万元．