1.1 空间向量及其运用 随堂练习-2022-2023学年高二上学期数学人教版A版（2019）选择性必修第一册（含答案）

第一节空间向量及其运用 随堂练习
一、单选题（12题）
1．若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知四面体的所有棱长都是2，点是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
3．对于空间任意两个非零向量 是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为实数0 C．与方向相同 D．
5．的顶点分别为、、，则边上的高的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知向量，若共面，则等于（ ）
A． B．1 C．1或 D．1或0
8．如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）
A． B． C． D．
9．与向量平行的一个向量的坐标是( )
A． B．(-1,-3,2)
C． D．(,-3,-2)
10．以下四组向量在同一平面的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
11．下列条件中，一定使空间四点P A B C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
12．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（ ）
A． B． C． D．
非选择题（4题）
二、填空题
13．如果两个向量不共线，则与共面的充要条件是___________.
14．在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则______．
三、解答题
15．如图所示，在长方体中，E为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出：
(1)的相等向量，的负向量；
(2)用另外两个向量的和或差表示；
(3)用三个或三个以上向量的和表示（举两个例子）.
16．如图所示，在平行六面体中，设，分别是，，的中点，试用表示以下各向量：
（1）；
（2）；
（3）.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】由空间向量基底的定义即可得出答案.
【详解】选项A：令，则，，A正确；
选项B：因为，所以不能构成基底；
选项C：因为，所以不能构成基底；
选项D：因为，所以不能构成基底．
故选：A.
2．A
【解析】根据，即 可求解.
【详解】
如图，可知，
.
故选：A.
【点睛】本题考查空间向量数量积的运算，属于基础题.
3．B
【分析】利用直线间的夹角求解即可
【详解】显然，
包括向量同向共线和反向共线两种情形
故选：B
4．D
【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项.
【详解】向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误；
，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确.
故选：D.
5．C
【解析】根据向量垂直的坐标表示运算即可求解.
【详解】∵、、，
则，，
∵点在直线上，
∴设，
则，
又∵，
则，
解得.
∴，
则，
故选：C.
6．B
【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可．
【详解】
故选：B
7．C
【分析】根据向量共面的条件求解．
【详解】因为共面，所以存在不全为0的实数，使得，
即，解得．
故选：C．
8．B
【解析】先求出 ，，，，，，再计算即可.
【详解】解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，
则 ，，，，，，
则
故选：B.
【点睛】本题考查向量的数量积，向量的模的计算公式，是中档题.
9．C
【分析】根据向量共线定理判定即可．
【详解】对于A，由于，所以与向量不共线，故A不正确．
对于B，由题意得向量与向量不共线，故B不正确．
对于C，由于，所以与向量共线，故C正确．
对于D，由题意得向量(,3,2)与向量不共线，故D不正确．
故选C．
【点睛】判断两个向量是否共线的方法是判断两个向量之间是否满足，其中为常数，本题考查计算能力和变形能力，属于基础题．
10．B
【分析】利用共面向量的基本定理逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，设，所以，，无解；
对于B选项，因为，故B选项中的三个向量共面；
对于C选项，设，所以，，无解；
对于D选项，设，所以，，矛盾.
故选：B.
11．D
【分析】要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且即可.
【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于D选项，，,所以点与、、三点共面.
故选：D.
12．A
【分析】由题知平面，直线，故当、最短时，平面，，再根据向量的关系计算即可得答案.
【详解】，，
∴ ，，
即:，；
平面，直线，
所以当、最短时，平面，，
为的中心，为线段的中点，
如图：
又正四面体的棱长为1，
，
平面，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查空间向量的数量积运算，共面向量定理，共线向量定理，解题的关键在于结合共面向量定理与共线向量定理得平面，直线，进而当当、最短时，平面，，再求解.
13．存在实数对，使.
【分析】由空间向量共面定理即可得解.
【详解】由空间向量共面定理可得，若向量不共线，
则与共面的充要条件是存在实数对，使.
故答案为：存在实数对，使.
14．##－0.5
【分析】作图，连接连接，，构造三角形中位线解题﹒
【详解】如图，连接，，
则点E在上，点F在上，
易知，且，
∴，即，∴．
故答案为：
15．(1)，，；，，，
(2)，，，（答案不唯一）
(3)，（答案不唯一）
【分析】（1）根据相等向量，相反向量的定义，结合图形分析求解.
（2）由向量加减运算法则，结合图形分析求解.
（3）由向量加法运算法则，结合图形分析求解.
（1）
解：的相等向量有：，，；
的负向量即相反向量有：，，，.
（2）
由向量加减运算法则得：，，，（答案不唯一）
（3）
由向量加法运算法则得：，（答案不唯一）
16．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）（2）根据向量加法的三角形法则表示即可；
（3）根据空间向量的线性表示，用和分别表示出和，再进行求和即可.
【详解】解：（1）∵是的中点，
∴.
（2）∵是的中点，
∴.
（3）∵是的中点，
∴，
又，
∴.
【点睛】本题考查空间向量的线性运算的应用，涉及向量的加法运算，属于基础题.